课时跟踪检测(五十四) 曲线与方程

课时跟踪检测（五十三） 曲线与方程(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．2．(2018·湖南雅礼中学月考)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交线段BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1解析：选D 圆F 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F (1,0)，半径r ＝2 3.由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|PA |＝23＞2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2，所以动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．4．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：选B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 由RA ―→＝AP ―→知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R 是直线l 上的点， ∴－y ＝2(2－x )－4. 即y ＝2x .5．(2018·安徽六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．7．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝18．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为____________．解析：设Q (x ，y )．因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝⎛⎭⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2， 所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x . 所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2＝4x . 答案：y 2＝4x9．(2018·河北衡水一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹方程为_________________．解析：因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋2y 25＝1.答案：⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋2y 25＝110．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)B 级——中档题目练通抓牢1．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：选C 依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．2．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：选D 因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.3．(2018·广州模拟)动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.4．(2018·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －25．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝⎛⎭⎫x >a 4.答案：16x 2a 2－16y 23a2＝1⎝⎛⎭⎫x ＞a 46.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0， 得k 2＜15，∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎝ ⎛y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.C 级——重难题目自主选做1．(2018·合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解：(1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212， 代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1y 2＝－16x. ②由①②可得⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，则⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，得x 28－y 2＝1.考虑到x 0∈[2,22]，则x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．2．(2018·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋3 2.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．解：(1)如图，以O 为坐标原点，以BC ―→的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得B ⎝⎛⎭⎫－322，0，C ⎝⎛⎭⎫322，0.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32， 得|AB |＋|AC |＝6.因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)．设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT ―→＝13OA ―→，所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .又x 209＋2y 209＝1，所以(3x )29＋2(3y )29＝1，即x 2＋2y 2＝1， 所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)．(2)证明：设M (m,0)(m ≠1)，N ⎝⎛⎭⎫1m ，0，Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为k QM ＝y 1x 1－m ，所以直线QM 的方程为y ＝y 1x 1－m (x －m )，与x 2＋2y 2＝1联立并整理可得， (m 2＋1－2mx 1)x 2－2m (1－x 21)x ＋(2mx 1－x 21－m 2x 21)＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 21－m 2x 21m 2＋1－2mx 1，同理，x 1x 3＝2⎝⎛⎭⎫1m x 1－x 21－⎝⎛⎭⎫1m 2x 21⎝⎛⎭⎫1m 2＋1－2⎝⎛⎭⎫1m x 1＝2mx 1－m 2x 21－x 211＋m 2－2mx 1＝x 1x 2，所以x 2＝x 3或x 1＝0，当x 2＝x 3时，PR ⊥x 轴； 当x 1＝0时，由x 1＋x 2＝2m (1－x 21)m 2＋1－2mx 1，得x 2＝2mm 2＋1， 同理，x 3＝2⎝⎛⎭⎫1m ⎝⎛⎭⎫1m 2＋1＝2mm 2＋1＝x 2， ∴PR ⊥x 轴．因此|MP |＝|MR |，故△MPR 是等腰三角形．。

课时跟踪检测（四） 曲线与方程 求曲线的方程层级一 学业水平达标1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：选B 将点M (2,1)的坐标代入方程知M ∈l ，M ∈C ． 2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于x －y ＝0对称解析：选C 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称．3．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0，则x ≤0，因此选B ．4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |·|MP |＋MN ·NP＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y )，则MN ＝(4,0)，MP ＝(x ＋2，y )，NP＝(x －2，y )，∴|MN |＝4，|MP |＝(x ＋2)2＋y 2，MN ·NP ＝4(x －2)． 根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )．整理得y 2＝－8x ．∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x ．5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5． 设C 的坐标为(x ，y )， 则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2)7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN＝12，则点P 的轨迹方程为________________．解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN＝(2－x ，－y )．于是PM ·PN＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程． 答案：x 2＋y 2＝168．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1． 又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝0＋x02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2．答案：y ＝4x 29．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN＝4，求动点P 的轨迹方程． 解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN＝(x ，－2y )， 故OP ·MN＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM＋ON ，求动点Q 的轨迹．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ ＝OM＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2．又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．层级二 应试能力达标1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：选A 设动点P (x ，y )， 则由|PA |＝3|PO |，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2．化简，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0．故选A ． 2．下列四组方程表示同一条曲线的是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg xC ．y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2)D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2解析：选D 根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A 、B 、C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致；而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D 正确．故选D ．3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )解析：选A 将y ＝－4－x 2平方得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A ．4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A ．π3 B ．5π3 C ．π3或5π3 D ．π3或π6解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12．又0≤α<2π，所以α＝π3或5π3．故选C ．5．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，其图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2．答案：26．给出下列结论： ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 其中正确结论的序号是________．解析：对于①，方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y －4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．又点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0． 于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0．8．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)，当m ≠－2且m ≠－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2，y ＝m －1m ＋1x ＋2消去m ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－2时，直线PA 和QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝－3x －4和x ＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．综上，可知所求交点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．。

课时跟踪检测（五十九） 曲线与方程一、题点全面练1.平面直角坐标系中,已知两点A (3,1),B (－1,3),若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点),其中λ1,λ2∈R ,且λ1＋λ2＝1,则点C 的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析：选A 设C (x ,y ),因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→, 所以(x ,y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3),即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1,所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1,即x ＋2y ＝5,所以点C 的轨迹是直线,故选A. 2.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,A (1,0),B (1,1),C (0,1),映射f 将xOy 平面上的点P (x ,y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ,x 2－y 2),则当点P 沿着折线A -B -C 运动时,在映射f 的作用下,动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时,x ＝1,设P ′(x ′,y ′),则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1),故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1).当P 沿BC 运动时,y ＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1),所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2,－1≤y ′≤0),由此可知P ′的轨迹如D 所示,故选D.3.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA |＝1,则P 点的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.(x －1)2＋y 2＝4C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图,设P (x ,y ),圆心为M (1,0).连接MA ,PM ,则MA ⊥PA ,且|MA |＝1, 又因为|PA |＝1,所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2, 即|PM |2＝2,所以(x －1)2＋y 2＝2.4.设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点.若BP ―→＝2PA ―→,且O Q ―→·AB ―→＝1,则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) C.3x 2－32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)D.3x 2＋32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)解析：选A 设A (a,0),B (0,b ),a ＞0,b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→,得(x ,y －b )＝2(a －x ,－y ),即a ＝32x＞0,b ＝3y ＞0.点Q (－x ,y ),故由O Q ―→·AB ―→＝1,得(－x ,y )·(－a ,b )＝1,即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ,b ＝3y 代入ax ＋by ＝1,得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0).5.如图所示,已知F1,F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左,右焦点,P是椭圆Γ上任意一点,过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线,垂足为Q ,则点Q 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：选B 延长F 2Q ,与F 1P 的延长线交于点M ,连接O Q .因为P Q是∠F 1PF 2的外角的角平分线,且P Q ⊥F 2M ,所以在△PF 2M 中,|PF 2|＝|PM |,且Q 为线段F 2M 的中点.又O 为线段F 1F 2的中点,由三角形的中位线定理,得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|).根据椭圆的定义,得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,所以|O Q |＝a ,所以点Q 的轨迹为以原点为圆心,半径为a 的圆,故选B.6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,0),B (2,2),若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→),其中t ∈R ,则点C 的轨迹方程是____________________.解析：设C (x ,y ),则OC ―→＝(x ,y ),OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27.设F 1,F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点,A 为椭圆上任意一点,过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线,垂足为D ,则点D 的轨迹方程是________________.解析：由题意,延长F1D ,F 2A 并交于点B ,易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ,则|F 1D |＝|BD |,|F 1A |＝|AB |,又O 为F 1F 2的中点,连接OD ,则OD ∥F 2B ,从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2,设点D 的坐标为(x ,y ),则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48.(2019·福州质检)已知A (－2,0),B (2,0),斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ,N 满足|MA |－|MB |＝23,|NA |－|NB |＝23,且线段MN 的中点为(6,1),则k 的值为________.解析：因为|MA |－|MB |＝23,|NA |－|NB |＝23,由双曲线的定义知,点M ,N 在以A ,B 为焦点的双曲线的右支上,且c ＝2,a ＝3,所以b ＝1,所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝12,y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ,代入双曲线的方程,消去y ,得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0,所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12,① y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2,② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图,动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ,B ,C ,D 四点.点A 1,A 2分别为C 2的左、右顶点,求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1,知A 1(－3,0),A 2(3,0).设点A 的坐标为(x 0,y 0), 由曲线的对称性,得B (x 0,－y 0), 设点M 的坐标为(x ,y ), 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0,y 0)在椭圆C 2上,故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3,y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3,y ＜0).10.(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6,0),A 2(6,0),再取两个动点N 1(0,m ),N 2(0,n ),且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ,Q 两点,过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ,F 为轨迹C 的右焦点,若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1),求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知,直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6),① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6),② 设M (x ,y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点, ①×②得y 2＝－mn 6(x 2－6), 又mn ＝2,整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则N (x 1,－y 1), 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ,得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0,(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3,y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→,得(x 1－3,y 1)＝λ(x 2－3,y 2),故x 1－3＝λ(x 2－3),y 1＝λy 2, 由(1)得F (2,0),要证NF ―→＝λF Q ―→, 即证(2－x 1,y 1)＝λ(x 2－2,y 2), 只需证2－x 1＝λ(x 2－2),只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2, 即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0,又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9,x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6,所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0,即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0,而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立,即NF ―→＝λF Q ―→成立.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0,即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.2.动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0),B (－a,0)的一点,F 1,F 2为椭圆的两个焦点,动圆M 与线段F 1P ,F 1F 2的延长线及线段PF 2相切,则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A.抛物线B.椭圆C.双曲线的右支D.一条直线解析：选D 如图,设切点分别为E ,D ,G ,由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |,|F 2D |＝|F 2G |,|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ,即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ,也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ,故点G 与点A 重合,所以点M 的横坐标是x ＝a ,即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点),故选D.3.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4,若抛物线过点A (－1,0),B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________________.解析：设抛物线焦点为F ,过A ,B ,O 作准线的垂线AA 1,BB 1,OO 1,则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4,由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |,所以|FA |＋|FB |＝4,故F 点的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图,P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点,P 点在x 轴上的射影是D ,点M 满足DM ―→＝12DP ―→. (1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ,B ,求以OA ,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.解：(1)设M (x ,y ),则D (x,0), 由DM ―→＝12DP ―→,知P (x,2y ),∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴x 2＋4y 2＝4,故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1,且轨迹C 是以(－3,0),(3,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.(2)设E (x ,y ),由题意知l 的斜率存在, 设l ：y ＝k (x －3),代入x 24＋y 2＝1,得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0,Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0,得k 2＜15,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2,∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形,∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2, 又OE ―→＝(x ,y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得,x 2＋4y 2－6x ＝0, ∵k 2＜15,∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. (二)交汇专练——融会巧迁移5.[与立体几何交汇]如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°,则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°,然后用平面α去截,使直线AB 与平面α的夹角为60°,则截口为P 的轨迹图形,由圆锥曲线的定义可知,P 的轨迹为椭圆.故选C.6.[与新定义问题交汇]若曲线C 上存在点M ,使M 到平面内两点A (－5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D.x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8, ∴M 的轨迹是以A (－5,0),B (5,0)为焦点的双曲线,方程为x 216－y 29＝1.A 项,直线x ＋y ＝5过点(5,0),故直线与M 的轨迹有交点,满足题意；B 项,x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0),半径为3,与M 的轨迹没有交点,不满足题意；C 项,x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0),故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点,满足题意；D 项,把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1,可得y －y 29＝1,即y 2－9y ＋9＝0,∴Δ＞0,满足题意.7.[与正弦定理交汇]已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且顶点A ,B 的坐标分别为(－4,0),(4,0),C 为动点,且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ,则C 点的轨迹方程为________________.解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10,则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |,∴满足椭圆定义.令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1,则a ′＝5,c ′＝4,b ′＝3,则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5).答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)。

课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝23．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆4．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)6．(2012·杭州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋47．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________．8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．9．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．11．(2012·苏州模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RP,·RQ,的最小值．12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．答 案课时跟踪检测(五十六)A 级1．选A 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA ＝(3,1)，OB ＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝ 2.即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为 (x －1)2＋y 2＝2.3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y 2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .7．解析：依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 9．解析：∵(a ＋3b )⊥(a －3b )， ∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0，∴x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝110．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)． 11．解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， ∴RP ·RQ ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16. 12．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)， 故b 2＝2.根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0. 由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．B 级1．选A 设A (a,0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ＝(x ，y －b )，PA ,＝(a －x ，－y )，OQ ＝(－x ，y )，AB ＝(－a ，b )．由BP＝2PA ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ·AB ＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．选A 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．3．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6. (2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 29.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

课时跟踪检测（五十） 曲线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________．解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝12．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，则动点C 的轨迹方程为________．解析：由题意得AB ―→＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6，则点P 的轨迹是________．解析：|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．答案：双曲线4．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1，所以PM ＝MA 2＋PA 2＝2， 即PM 2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝25．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6，则动点P 的轨迹方程是________．解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，即y 2＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2＝x . 答案：y 2＝x6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城一模)设点Q (2,0)，圆C ：x 2＋y 2＝1，若动点M 到圆C 的切线长与M Q 长的比等于2，则动点M 的轨迹方程是________．解析：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 满足MN ＝2M Q ，∵圆的半径ON ＝1，∴MN 2＝MO 2－ON 2＝MO 2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝2(x －2)2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－16x ＋17＝0.答案：3x 2＋3y 2－16x ＋17＝02．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→，则点C 的轨迹方程为________________．解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC ―→＝2CB ―→，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋y 24＝13．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M 的轨迹为双曲线．答案：双曲线4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．解析：因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则AM ＝M Q ，所以MC ＋MA ＝MC ＋M Q ＝C Q ＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：4x 225＋4y 221＝15．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6.(2019·扬州一模)如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段Q N 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：因为点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线P Q 的对称点Q ′在直线F 1P 的延长线上， 故F 1Q ′＝PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又O Q 是△F 2F 1Q ′的中位线，所以O Q ＝12F 1Q ′＝2，设M (x ，y )，则Q (2x ，y )， 所以有4x 2＋y 2＝4.故点M 的轨迹方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0， 所以4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简变形，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x8．(2019·通州一模)已知⊙C ：(x ＋1)2＋y 2＝36及点A (1,0)，点P 为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C (－1,0)，半径等于6，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵AP 的垂直平分线交CP 于M ，∴MA ＝MP ，又MP ＋MC ＝6，∴MC ＋MA ＝6＞AC ＝2，∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝6,2c ＝2，∴a ＝3，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴点M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝19．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22PB ―→，求点P 的轨迹方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→，又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 则H 是MN 的中点． 所以O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝(x －4)2＋y 2，所以(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， 所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0. 则Δ＝－32kb ＋64＞0. 且x 1＋x 2＝8－2kbk 2， ① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0，所以k ＝－b ，此时Δ＞0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－(－3)5－1(x －1)，即y ＝x －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0,设C 的轨迹方程与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16， 因为OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0, 所以OA ⊥OB .(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0, 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m ＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n得y 2＝2x －8.。

课时作业55曲线与方程［授课提示：对应学生用书第258页］一、选择题1.方程(x2+y2—4)yjx+y+1 =0的曲线形状是( )［x2+^2—4=0, 解析：由题意可得x+y+l= 0或,1兀十1刁0,它表示直线x+尹+1 = 0和圆x2-\~y2—4 = 0在直线x~\~y-\-1=0右上方的部分.答案：C2.设点/为圆(x-l)2+^2=l ±的动点，刃是圆的切线，且冋|=1,则P 点的轨迹方程为()A・y2 = 2x B. (x~l)2+y2=4C・y2=—2x D. (x—1 )2 +y2— 2解析：如图，设P(x, y),圆心为M(l,0)・连接MA,则胚4丄刊，且|胚4| =1.又・・・|冲|= _____・・・ | W =yf\MAf+\R4^=边，即|PA/|2=2, A(X-1)2+/=2.答案：D3.(2018-珠海模拟)己知点/(1,0),直线人y=2x~4,点7?是直线/上的一—►—►点，若RA=AP,则点P的轨迹方程为( )A. y= _2xB. y=2xC ・y=2x—8D ・y=2x+4―►—►解析：设P(x, y), R(X\, /),由RA=AP知，点A是线段RP的中点，"x+xi2 =1，[X!=2-X,・・・], 即Z±2L_n31 = —)人I 2 _山・・•点门)在直线y=2x~4上，••吵i=2x]—4, /. 一尹=2(2—x)一4,即y=2x.答案:B4.已知点弔，0),直线/：x=—点B是/上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析：由已知^\MF\ = \MB\,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F 为焦点，直线Z为准线的抛物线.答案:D5・(2018-河北衡水六调，8)已知/(—1,0), B 是圆F：x2-2x+y2~\\=0(F 为圆心)上一动点，线段M的垂育平分线交貯于P,则动点P的轨迹方程为() 2 2 2 2A — 1 R U 1A.]?十][一1 匕6 35_,2 2 2 2C旨-牙=1 D. f+f = 1解析：由题意^\PA\=\PB\. :.\PA\+\PI^=\PB\+\PF]=r=2yl3>\AF]=29 :. 点P 的轨迹是以A. F为焦点的椭圆，且a=百,c=l, ・・・b=吊，・•・动点P的 2 7轨迹方程为〒+牙=1，故选D.答案：D―►6・已知/(一1,0), 5(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N,若Ml/—► —►=MN・NB,当久V0时，动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线—►—► —►解析：设M(JC, y),则N(x,0),所以MN2=y2,1,0)・(1 —x,0)2=久(1 —工)，所以y2—A(1 —x2),即变形为X24~1.又因为久<0,所以动点M的轨迹为双曲线.答案：C二、填空题(ci｝苗,0)(Q>0),且7・在厶/BC屮，力为动点，B, C为定点，㊁，满足条件sinC—sin5=|sirk4,则动点A的轨迹方程是 ___________解析：由正弦定理得噗1—劈二养1!肆，即\AB\~\AC\=^BC\,故动点/是以B, C为焦点，号为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为爭一豊_=l(x>0且尹工0)・答案：今4—豊■=l （x>0且尹工0）8. （2018-河南开封模拟）如图，已知圆E ： （%+^3）2+/=16，点、F （书,0）, P 是圆E 上任意一点.线段PF 的垂宜平分线和半径PE 相交于0.则动点Q 的轨 迹厂的方程为 ___________________ .解析：连接0F,因为0在线段PF 的垂直平分线上，所^\QP\ = \QF\,得|0E| + \QF\ = \QE\ + \QP\ = \PE\=4.又|釦=2^3<4,得0的轨迹是以E, F 为焦点，长轴长为4的椭圆为亍+r 2答案：j+r=i9. （2018-中原名校联考，16）已知双曲线牙一長=1的左、右顶点分别为力2，点P （xi ，刃）,0（兀1，—yi ）是双曲线上不同于Ml 、力2的两个不同的动点，则 直线AiP 与A 2Q 交点的轨迹方程为 _____ ・解析：由题设知kd>V2, AK —迄,0）,缶（迈，0）,则有直线A X P 的方程为尸点尹+Q'①・・.兀工0,且\x\<^2,因为点P （%i ，yi ）在双曲线y —/=1 ±,所以号—卅=1・2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为牙+#=1（详0,且详皿）・ 答案：牙+尸=1（兀工0,且 三、解答题10. 在平面直角坐标系兀0尹中，点B 与点/（—1,1）关于原点O 对称，P 是动 点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于一*・求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点昇（一1,1）关于原点O 对称. 所以点B 的坐标为（1, 一1）・设点P 的坐标为（x,力，由题设知直线/卩与的斜率存在且均不为零，则尹一ly+1 _1 x+1 x— 1 3’联立①②，解得化简得/+3J?=4(X H±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y=4(x^±l)・11.如下图所示，从双曲线%2—y2=l ±一点0引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段0N的中点P的轨迹方程.解析：设动点P的坐标为(兀，尹)，点0的坐标为(X[, 口), 则N(2x—x\2y—yi)代入x+y=2,得2x—xi+2y—y\ =2@又P0垂直于直线x+y=2,故=即x—y+y\ —X] =0.②3 1由①②解方程组得X!拐x+匆一1 ,代入双曲线方程即可得尸点的轨迹方程是2x2-2y2—2x~l-2y— 1 =0.[能力挑战]12.(2017-新课标全国卷III)在直角坐标系xOy屮，曲线y=x2+mx—2与x 轴交于力，B两点，点C的坐标为(0,1).当加变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C丄BC的情况？说明理由；(2)证明过力，B, C三点的圆在尹轴上截得的弦长为定值. 解析：⑴不能出现/C丄BC的情况.理由如下：设^(%1 0), 5(X2 0)»则兀1，兀2 满足x2 + wx —2 = 0, 所以X|X2=—2・又点C的坐标为(0,1),—1 — 1 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为丁•二一=—刁X\ X2Z所以不能出现MC丄3C的情况.由(1)可得xi+^2 —~m,所以的中垂线方程为x=-岁.，可得BC的中垂线方程为y-|=X2又X22+mxi—2 = 0, 可得］1/=_2-/=*x+|y_l所以过力，B, C三点的圆的圆心坐标为故圆在歹轴上截得的弦长为2 yp~^=3, 即过B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。

课时跟踪检测（五十四） 曲线与方程1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2018·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过点F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .3．(2018·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ，错误!·a ＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|O Q |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1＞0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．4．(2018·云南质量检测)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：选D MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝12|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D.5．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5，故M的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 6．(2018·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．7．(2019·杭州七校质量检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1Q F 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线Q F 2于点S ，∵Q P 是∠F 1Q F 2的平分线，且Q P ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|Q S |－|Q F 2|)＝12(|Q F 1|－|Q F 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C ：x 2169－y 225＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 为异于F 1，F 2的两点，且MN 的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于F 1和F 2的对称点分别为A ，B ，则|NA |－|NB |的值为( )A ．26B ．－26C ．52D ．－52解析：选D 设MN 的中点为P ，由几何关系结合三角形中位线可得|NA |＝2|PF 1|，|NB |＝2|PF 2|，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)，又点P 位于双曲线的左支，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)＝2×(－2a )＝－4a ＝－4×13＝－52.故选D.9．(2019·六安一中月考)如图，已知F1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.10．(2019·遵义第四中学月考)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 解析：选A 设动圆的半径为r ，由题意可得MC 1＝r ＋2，MC 2＝r －2，所以MC 1－MC 2＝22＝2a ＜8，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4，则b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)，故选A.11．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －112．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)13．(2019·漳州联考)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________．解析：不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝kx ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0，①易得抛物线x 2＝4y 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线x 2＝4y 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)，得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故点P 的轨迹方程为x ＝－1.答案：x ＝－114．(2019·湖北部分重点中学联考)设A (－2,0)，B (－1,0)，C (1,0)，动圆D 与x 轴相切于A点，如图，过B ，C 两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并写出点P 的轨迹方程；两点，求OM ―→·ON ―→的取(2)设动直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，又l 与点P 的轨迹交于M ，N 值范围．解：(1)证明：设直线PB 和PC 与圆D 分别相切于点E 和点F . 由切线长定理得|PE |＝|PF |， 则|PB |－|EB |＝|CF |－|PC |， 又|CA |＝|CF |＝3，|AB |＝|EB |＝1， 所以|PB |＋|PC |＝|CF |＋|EB |＝3＋1＝4， 所以|PB |＋|PC |为定值4.所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以c ＝1，a ＝2，b 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝±1， 不妨设M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，则OM ―→·ON ―→＝－54. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为直线l 与单位圆相切，所以|m |k 2＋1＝1， 则m 2＝k 2＋1.①由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3.所以OM ―→·ON ―→＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝7m 2－12k 2－124k 2＋3，②把①代入②得OM ―→·ON ―→＝－5(k 2＋1)4k 2＋3＝－54⎝⎛⎭⎫1＋14k 2＋3.因为4k 2＋3≥3，所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡⎭⎫－53，－54. (ⅲ)当l ：y ＝kx ＋m 过点(－2,0)或(2,0)时，k ＝±33，即y ＝±33(x ＋2)或y ＝±33(x －2)，则OM ―→·ON ―→＝－2013，综上，OM ―→·ON ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫－53，－2013∪⎝⎛⎦⎤－2013，－54.15．(2019·丹东期末)已知动点E 到点A (2,0)与点B (－2，0)的斜率之积为－14，点E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (1,0)作直线l 与曲线C 交 于P ，Q 两点，求OP ―→·O Q ―→的最大值．解：(1)设E (x ，y )，则x ≠±2.因为动点E 到点A (2,0)与点B (－2,0)的斜率之积为－14，所以y x ＋2·y x －2＝－14，整理得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当l 垂直于x 轴时，l 的方程为x ＝1， 代入x 24＋y 2＝1得P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32. 所以OP ―→·O Q ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝14.当l 不垂直于x 轴时，依题意可设y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.因为Δ＝16(1＋3k 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.所以OP ―→·O Q ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2 ＝(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2－8k 41＋4k2＋k 2＝k 2－41＋4k 2＝14－174＋16k 2＜14. 综上，OP ―→·O Q ―→≤14，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP ―→·O Q ―→的最大值是14.16．(2019·合肥调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD ―→＝53MD ―→. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、 右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线Q F ，PA 的斜率分别为k Q F ，k PA ，求k Q Fk PA的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD ―→＝53MD ―→，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点，∴x 225＋⎝⎛⎭⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)． (2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)， 设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径， ∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB ，k Q F k PA ＝k Q F －1k PB＝－k Q F k PB ＝－k Q F k Q B ＝－y 0x 0＋4·y 0x 0－5 ＝－y 2(x 0＋4)(x 0－5)＝－9⎝⎛⎭⎫1－x 2025(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 20－25)(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 0＋5)x 0＋4＝925⎝⎛⎭⎫1＋1x 0＋4.∵点P 不同于A ，B 两点且直线Q F 的斜率存在， ∴－5＜x 0＜5且x 0≠－4，又y ＝1x ＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴925⎝⎛⎭⎫1＋1x 0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞，故k Q F k PA的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞.。

阶段性测试题二第二章 圆锥曲线与方程 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·鸡东二中月考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：双曲线的方程可化为x 24－y 28＝1， ∴a ＝2，∴实轴长为4，故选C. 答案：C2．(2019·保定月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，A (2,3)为双曲线C 上一点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析：由题可知，c ＝2， ∴双曲线的焦点为(－2,0)，(2,0)， ∵A (2,3)在双曲线上， ∴2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2.∴a ＝1，∴b ＝3，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，故选D. 答案：D3．(2019·海口月考)椭圆C ：x 24＋y 23＝1与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )A.12 B ．22 C.33D ．32解析：∵椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为(±1,0)，离心率为12， ∴双曲线的离心率为2，c ＝1，∴a ＝12， ∴b ＝c 2－a 2＝1－14＝32， ∴渐近线的斜率为k ＝3212＝3，∴α＝π3，∴渐近线的倾斜角的正弦值为32，故选D. 答案：D4．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A ，B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y ＝22x ，点F 是抛物线的焦点，且△F AB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 22＝1 B ．x 2－y 28＝1C.x 22－y 216＝1 D ．x 28－y 2＝1解析：y 2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2， ∵△F AB 是直角三角形，且由题意得，|AF |＝|BF |， 由题意得|AB |＝8，∴A 的坐标为(－2,4)． ∴4a 2－16b 2＝1，①双曲线的渐近线方程为y＝22x，∴ba＝22，∴b＝22a，②由①②得a2＝2，b2＝16，∴双曲线的标准方程为x22－y216＝1，故选C.答案：C5．(2019·武汉四校期中)如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题可知CD为MF的垂直平分线，连接PF，则|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R，又显然|MO|>|OF|，∴点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆，故选A.答案：A6．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－3 B．3C．2 D．－2解析：由题可知AB与直线y＝x＋b垂直，且AB的中点在y＝x＋b上，∴k AB＝－1.设AB的中点为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 21－y 22＝x 1－x 2，∴k ＝1y 1＋y 2＝12y 0＝－1，∴y 0＝－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 222＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22＝32.又∵AB 的中点在y ＝x ＋b 上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在y ＝x ＋b 上，∴－12＝32＋b ，∴b ＝－2，故选D. 答案：D7．(2019·阜阳一中月考)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－153，153 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y ，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∵直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，设两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1，故选D. 答案：D8．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A ．48B ．24C ．24 3D ．12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 故△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24. 答案：B9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝8，则p 的值为( )A ．4B ．12 C ．1D ．2解析：设直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎨⎧y ＝x －p2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.|AF |·|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2p 2＝8，∴p 2＝4，∴p ＝2或p ＝－2(舍去)．故选D. 答案：D10．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34解析：解法一：不妨设直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)(b >0，c >0)，则直线l 的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝14.又0<e <1，∴e ＝12.解法二：如图，由Rt △OBF 的面积相等，得bc ＝a ×14×2b ，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.答案：B11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 解析：由题意可得，k AB ＝－1－01－3＝12，故直线AB 的方程为y ＝12(x －3)．由⎩⎨⎧y ＝12(x －3)，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，消去y 并整理，得(a 2＋4b 2)x 2－6a 2x ＋9a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝3a 2a 2＋4b 2＝1，∴a 2＝2b 2. 又a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋9，∴b 2＝9，a 2＝18. 故E 的方程为x 218＋y 29＝1. 答案：D12．若抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，则经过点F ，M (3,3)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：连接FM ，作它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，∵经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等， ∴圆心在抛物线上． ∵直线与抛物线交于两点，∴这两点可以作为圆心，这样的圆有2个，故选C. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则双曲线的方程为______________________．解析：设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴x2λ－y2λ4＝1，∴|λ|＋|λ|4＝25，∴|λ|＝20，∴λ＝±20.∴双曲线的方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.答案：x220－y25＝1或y25－x220＝114．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率e＝________.解析：由题意得△PF1F2为直角三角形，|PF2|＝b2 a ，∠F1PF2＝45°，∴|PF2|＝|F1F2|，∴b2a＝2c，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±2.又0＜e＜1，∴e＝2－1.答案：2－115．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，又∵∠BFC ＝90°，∴BF →·CF→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0.又b 2＝a 2－c 2，∴3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＝63.答案：6316．(2019·福州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，连接BF ，若|OA |＝|OF |＝5，|BF |＝8，则双曲线C 的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，连接AF 1，BF 1， ∵A ，B 两点关于原点O 对称，且都在双曲线上， 又∵|OA |＝|OF |＝5，∴|AB |＝|F 1F |＝10， 且四边形AFBF 1为矩形，∴|BF |2＋|BF 1|2＝|FF 1|2，∴|BF 1|＝6， ∴2a ＝|BF |－|BF 1|＝8－6＝2，∴a ＝1， 又c ＝5，∴e ＝ca ＝5. 答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线的方程．解：椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝16，c a ＝4a ＝145－45＝2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线的方程为y 24－x 212＝1.18．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点． (1)求弦AB 的长度；(2)若点P 在抛物线C 上，且△ABP 的面积为12，求点P 的坐标． 解：(1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＝1，x 2＝4，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22×|1－4|＝3 5.(2)设P (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0， P 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－y 0－4|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－45，又∵S △ABP ＝12×|AB |·d ＝12， ∴12×35d ＝12，∴d ＝855，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－45＝855，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝8，∴y 202－y 0－4＝8或y 202－y 0－4＝－8， ∴⎩⎨⎧ x 0＝4，y 0＝－4或⎩⎨⎧x 0＝9，y 0＝6 ∴点P 的坐标为(4，－4)或(9,6)．19．(12分)(2019·蕉岭月考)已知椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点分别为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，求证：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意得，c ＝1，又知椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴可设椭圆方程为11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)＋32，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0， 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k ， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ， 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.20．(12分)(2019·永泰二中期末)已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l ：y ＝12x ＋b与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当直线l 过抛物线C 的焦点F 时，求|AB |；(2)是否存在直线l 使得直线OA ⊥OB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，把F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0代入l 得，l ：y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得x 2－9x ＋14＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝9，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9＋1＝10.(2)假设存在使OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝12x ＋b ，消去x ，得y 2－4y ＋4b ＝0，由Δ＝16－16b >0，得b <1，又y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4b ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝4b 2＋4b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝－1，∴l ：y ＝12x －1，即x －2y －2＝0.21．(12分)已知动点M 到定点F (－1,0)和定直线x ＝－4的距离之比为12，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P (－4,0)，过点F 作斜率不为0的直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，设直线P A ，PB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)设M (x ，y )，则依题意有(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|＝12， 整理得x 24＋y 23＝1，即为曲线C 的方程．(2)设直线l ：x ＝ty －1(t ≠0)，则A (ty 1－1，y 1)，B (ty 2－1，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，得，(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0.∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， ∴k 1＋k 2＝y 1ty 1＋3＋y 2ty 2＋3＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝2t ×(－9)＋3×6t －9t 2＋3t ×6t ＋9(3t 2＋4)＝0，即k 1＋k 2＝0.22．(12分)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1<t <3)，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0|·|y 0|.由x 209＋y 20＝1得，y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94. 又显然－3<x 0<0，∴当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由题意得A 1(－3,0)，A 2(3,0)，∴直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③，得x 29－y 2＝1.又显然x<－3，y<0，因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x<－3，y<0)．。

求曲线的方程[A 组 学业达标]1．方程y ＝|x |x 2表示的曲线为图中的( )解析：y ＝|x |x 2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B. 又因为当x >0时，y ＝1x >0； 当x <0时，y ＝－1x >0，所以排除D. 答案：C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点． 答案：B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k P A ＋k PB ＝－1，∴y －0x －(－1)＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)． 答案：B4．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C.12D.13解析：因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，所以代入曲线方程可得a ＝13，故选D. 答案：D5．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析：设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )． 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1. 答案：A6．直线2x ＋5y －15＝0与曲线y ＝－10x 的交点坐标为________．解析：由方程组⎩⎨⎧2x ＋5y －15＝0，y ＝－10x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－52，y ＝4，即它们的交点坐标为(10，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，4.答案：(10，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，47．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝0＋x2，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1， 即y ＝4x 2. 答案：y ＝4x 28．已知定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π. 答案：4π9．已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53和点B (1,1)，求a ，b 的值．解析：依题意，得⎩⎨⎧259b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3225，b ＝1825.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程．解析：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN →＝(x ，－2y )，故OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.[B 组 能力提升]11．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：利用数形结合的思想方法，如图所示： 曲线y ＝－1－x 2表示x 2＋y 2＝1的下半圆，曲线y ＋|ax |＝0，即y ＝－|a ||x |， 当x ≥0时，即y ＝－|a |x ，当x <0时即y ＝|a |x ，得两曲线交点2个． 故选B. 答案：B12．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y29＝1解析：设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，由OP →＝13OA →＋23OB →，得(x ，y )＝13(a,0)＋23(0，b )， ∴a ＝3x ，b ＝32y . ∵|AB →|＝3，∴a 2＋b 2＝9，∴(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 2＋y 24＝1.答案：A13．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3， 得cos α＝12，又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π. 答案：π3或5π314．一动点到y 轴距离比到点(2,0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________． 解析：设动点P (x ，y )，则由条件，得(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，两边同时平方，得y 2＝4x ＋4|x |，当x ≥0时，y 2＝8x ；当x <0时，y ＝0，所以动点的轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．答案：y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)15．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解析：法一：设弦的中点为P (x ，y )， 则另一端点为(2x,2y )在圆(x －1)2＋y 2＝1上， 故(2x －1)2＋4y 2＝1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 法二：如图所示，设所作弦的中点为P (x ，y )，连接CP ， 则CP ⊥OP ，|OC |＝1，OC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以动点P 的轨迹是以点M 为圆心，以OC 为直径的圆，故轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.又因为点P 不能与点O 重合，所以0<x ≤1. 故所作弦的中点的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．16．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程． 解析：设Q (x ，y )，点M (x 0，y 0)(y 0≠0)， 则点N (0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0所以⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y2.又因为点M 在圆C 上， 所以x 2＋y 24＝4，即x 24＋y 216＝1(y ≠0)， 所以动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 216＝1(y ≠0)．。

高中数学课时跟踪检测四曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2_1层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )B．关于y轴对称A．关于x轴对称D．关于x－y＝0对称C．关于原点对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )MN MP MN NPA．y2＝8x B．y2＝－8xD．y2＝－4xC．y2＝4x解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(4,0)，＝(x ＋2，y)，＝(x －2，y)，MN MP NP∴||＝4，||＝，·＝4(x －2)．MN MP MN NP根据已知条件得4 ＝4(2－x)．整理得y2＝－8x ．∴点P 的轨迹方程为y2＝－8x ．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是() A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB|＝＝5．设C 的坐标为(x ，y)，则×5×＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x2＋2y2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0．∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P 满足·＝12，则点P 的轨。

课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝23．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆4．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y5．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)6．(2012·杭州模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为( )A．y＝－2x B．y＝2xC．y＝2x－8 D．y＝2x＋47．点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是________．8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．9．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ，试求轨迹C 的方程．11．(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交动点C 的轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP ,·RQ ,的最小值．12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．答案课时跟踪检测(五十六)A级1．选A 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1， ∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2.即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎨⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .7．解析：依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 9．解析：∵(a ＋3b )⊥(a －3b )， ∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0，∴x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝110．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．11．解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，－1，∴RP ·RQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16. 12．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆的一个顶点是A (2，0)， 故b 2＝2.根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝b a，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．B 级1．选A 设A (a,0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ＝(x ，y －b )，PA ,＝(a －x ，－y )，OQ＝(－x ，y )，AB ＝(－a ，b )．由BP ＝2PA ,得⎩⎨⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎨⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ·AB＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．选A 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．3．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 209＋y 2＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．x2 9－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为。