三角函数在单位圆的表示

单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。

在三角函数中，常常会涉及单位圆。

单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。

在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。

一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。

在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。

因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。

因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。

因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。

当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。

当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。

类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。

二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。

因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。

不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。

举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。

这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。

用单位圆定义三角函数
三角函数是数学中一类重要的函数，它们描述着特定的物理关系。

在日常的学习生活中，我们经常会用到三角函数，那么它们的定义到底是怎么样的呢？
以一个单位圆为例，假定以原点O为圆心，半径为1，横轴、纵轴分别为圆心和圆上任一点之间的连线，通过圆心指向任意一点记为X1（也就是圆心处于第一象限），然后通过圆心指向另一点X2，X1、X2两点连线连接称为弧度。

由此得出圆心到点X1到点X2两点连线构成的角度称为角θ，我们把X1、X2两点构成的角度ω称为三角函数之弧度。

实际上，三角函数的定义就是以π（π的介绍请参考文末）为2π度的圆的一个角度，比如当弧度ω等于π时，它仍然是一个2π度的圆，即π弧度就对应着2π度,ω=1时就对应着180°，ω = 0.5时就对应着90°，ω = 0.25时就对应着45°，那么与每一个角度ω相对应的函数，也就成为三角函数。

举个例子，当ω=π时，它的三角函数Sin ω的值就是-1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。

当ω=π/2时，它的Sin ω的值就是1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。

其他的值可以通过计算得出。

总的来说，三角函数是从一个单位圆中定义出来的，它是以一个弧度ω作为自变量，计算出来的一系列函数数值进行映射，最终得出sin ω、cos ω和tan ω值，与角度ω成一定比例。

通过三角函数，我们可以用精确的数值计算出特定的物理关系，这对学习生活的应用非常重要。

单位圆中三角函数值规律引言三角函数是数学中常见的一类函数，其中最常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在数学中，我们通常将这些函数与单位圆联系起来，以便更好地理解它们的性质和规律。

单位圆是以原点为中心、半径为1的圆，可以帮助我们直观地看到三角函数的几何意义。

本文将探讨单位圆中三角函数的值规律。

单位圆中的角度表示单位圆中的角度可以用弧度或者度数来表示。

在单位圆中，角度的起点为右侧的正x轴，顺时针方向为正方向。

我们通常以弧度来表示单位圆中的角度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度或者2π弧度。

正弦函数的计算方法正弦函数以sin(x)表示，其中x为角度。

在单位圆中，角度为x的点的纵坐标即为sin(x)的值。

因此，可以通过单位圆上的点来计算正弦函数的值。

例如，当角度为30度或者π/6弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以sin(30°) = sin(π/6) = √3/2。

余弦函数的计算方法余弦函数以cos(x)表示，其中x为角度。

在单位圆中，角度为x的点的横坐标即为cos(x)的值。

与计算正弦函数类似，可以通过单位圆上的点来计算余弦函数的值。

例如，当角度为45度或者π/4弧度时，对应的点为(√2/2, √2/2)，所以cos(45°) = cos(π/4) = √2/2。

正切函数的计算方法正切函数以tan(x)表示，其中x为角度。

在单位圆中，角度为x的点的纵坐标除以横坐标即为tan(x)的值。

因此，可以通过单位圆上的点来计算正切函数的值。

例如，当角度为60度或者π/3弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以tan(60°) = tan(π/3) = √3。

常见角度对应的三角函数值下表列出了一些常见角度对应的三角函数值：角度 (度) 角度 (弧度) 正弦值余弦值正切值0 0 0 1 030 π/61/2 √3/2√3/345 π/4√2/2√2/2 160 π/3√3/21/2 √390 π/2 1 0 无穷大从表中可以看出，0度对应的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。

三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。

它们的定义来自于单位圆。

单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。

这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。

正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。

这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。

它们的最大值和最小值都是1和-1。

2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。

可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。

正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。

它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。

正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。

在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。

正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A 版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”1．部分教师的疑惑和意见由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始．2．对三角函数发展历史的简单回顾回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算．任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．”任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关于木星和土星运动中的不等式的一篇得奖文章中给出了三角函数的一个十分系统的处理．在Euler1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度制．” 3．任意角的三角函数与锐角三角函数的关系从上述简单回顾可以看到，任意角的三角函数虽然与三角学（锐角三角函数）有渊源关系，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题．“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系” ，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”．另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究（其中很重要的是函数的三角级数展开式问题），一个主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量的应用．三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的” ，而这种应用又与当时的数学研究的中心工作──微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式（三角级数）的系数是用定积分表示的．所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．4．用“单位圆定义法”的理由用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cosa，y= sina是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰；“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；●对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；●对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；●对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；●对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● sina在[－，]内的单调性a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……另外，学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了．另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)．（3）符合三角函数的发展历史．前述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”．所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．（4）有利于后续学习．前已述及，“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述．另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便．例如，重要极限=1几乎就是定义的一个“推论”．5．教科书中的任意角的三角函数的引入方式“人教A版”首先通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义．教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数这样做的目的主要是为了以锐角三角函数为认知基础来学习任意角的三角函数，使学生初步体会用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数所具有的简单、方便并反映本质的好处，从而为“单位圆定义法”做好认知准备．需要注意的是，这样做并不表明任意角的三角函数与锐角三角函数之间有一般与特殊的关系．事实上，用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．6．几点说明（1）“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．例如，由苏联科学院院士、世界著名数学家И.М.维诺格拉多夫主编，苏联百科全书出版社出版，被陈省身先生誉为“对数学的贡献，将无法估计”的、具有世界性权威的《数学百科全书》（中译本在2000年由科学出版社出版）中，采用了“单位圆定义法”；中国大百科全书出版社的《中国大百科全书·数学》（1992年版）中采用了“终边定义法”．应当说，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．值得强调的是正弦、余弦和正切函数在R（正切除a=(k∈Z) 外）上处处有定义，而不是角a的终边上取点的任意性．事实上，在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这三个比值（如果有的话）都不会随点P 在a的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角a，上面三个比值都是唯一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．（2）《高中数学课程标准（实验）》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中，正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算（相除、取倒数等）而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的．这样理解各三角函数的关系，那么“用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义”的担心也就不必要了．（3）“人教A版”在给出三角函数定义后，有如下两个例题：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的终边经过点P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它们的作用主要是让学生熟悉定义．例1的解答要用锐角三角函数知识，例2的解答要用一定的平面几何知识，而许多学生的平面几何基础较差，所以有一定的困难，这是教学中需要注意的．另外，例2还有让学生研究“终边定义法”的意图，教科书“边空”的“小贴士”表明了这一点：“由例2可知，只要知道角a 终边上任意一点的坐标，就可以求出角a的三角函数值．因此，利用角a终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数．你能自己给出这种定义吗？”至于类似“已知角a终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角a的三角函数值”的问题，显然是一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关．参考文献：① [美]M. 克莱因. 古今数学思想（第二册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979，43②项武义. 基础数学讲义丛书?基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③同①，122~123④同②，82⑤同①，182⑥详见②，84~87。

三角函数单位圆定义单位圆是指半径为1的圆，它在数学中被广泛应用于三角函数的定义和性质的研究。

在一个笛卡尔坐标系中，单位圆的圆心位于原点(0,0)，并且半径为1。

由于半径为1，单位圆上的所有点到圆心的距离都是1。

单位圆可以用方程x^2 + y^2 = 1表示。

单位圆的定义直接导致了三角函数的定义。

三角函数是指根据一个角的大小，计算在单位圆上特定点的坐标。

在三角函数中，常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由sin、cos和tan来表示。

首先，我们来看正弦函数sin。

对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标就是sinθ的值。

也就是说，sinθ可以通过角度θ在单位圆上的y坐标来求得。

例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以sin0°=0。

当θ等于30度时，单位圆上的点位于正x轴与y轴的夹角为30度的位置上，其坐标为(0.866,0.5)，所以sin30°≈0.5。

以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的正弦函数值。

接下来，我们来看余弦函数cos。

对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的x坐标就是cosθ的值。

也就是说，cosθ可以通过角度θ在单位圆上的x坐标来求得。

例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以cos0°=1。

当θ等于60度时，单位圆上的点位于正x轴与负y轴的夹角为60度的位置上，其坐标为(0.5,-0.866)，所以cos60°≈0.5。

以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的余弦函数值。

最后，我们来看正切函数tan。

对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标除以x坐标得到的值就是tanθ的值。

也就是说，tanθ可以通过角度θ在单位圆上的点的坐标来求得。

例如，当θ等于45度时，单位圆上的点位于正x轴与正y轴的夹角为45度的位置上，其坐标为(0.707,0.707)，所以tan45°≈1。

三角函数常用特殊值三角函数是数学中的一类重要函数，它们常常被用来描述和计算三角形的各种性质和关系。

在三角函数中，有一些特殊值是经常被使用的，它们具有特殊的性质和意义。

本文将介绍三角函数常用的特殊值，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、$\pi$的意义及其应用$\pi$是一个非常重要的数学常数，它是一个无理数，约等于3.1415926。

在三角函数中，$\pi$被广泛应用于度量角的单位。

例如，在单位圆上，一个完整的周长是$2\pi$，一个直角的角度是$\frac{\pi}{2}$，一个平角的角度是$\pi$。

这些特殊的角度可以帮助我们简化三角函数的计算，使得计算更加方便快捷。

$\pi$还在许多数学和物理问题中起到重要的作用。

例如，在圆的面积和周长的计算中，$\pi$是一个关键的参数。

在概率论和统计学中，正态分布的概率密度函数中也包含$\pi$。

因此，熟练掌握$\pi$的性质和应用，对于解决各种实际问题具有重要意义。

二、0的意义及其应用0是一个特殊的数，它在三角函数中具有重要的意义。

在三角函数中，0表示一个特殊的角度，即零角。

零角是指与正半轴方向相同的角度，它的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。

因此，当我们遇到正弦值为0的问题时，可以考虑角度为0的情况。

在实际问题中，0也经常被用来表示起始状态或基准状态。

例如，在物理学中，位置的起点常常被定义为0点，速度的基准点也常常被定义为0。

在工程学中，电压的基准点也常常被定义为0。

因此，熟练掌握0的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

三、1的意义及其应用1是一个常见的数，它在三角函数中也有重要的意义。

在三角函数中，1表示一个特殊的角度，即直角。

直角是指角度为$\frac{\pi}{2}$的角，它的正弦值为1，余弦值为0，正切值不存在。

因此，当我们遇到正弦值为1的问题时，可以考虑角度为直角的情况。

1还在许多实际问题中起到重要的作用。

例如，在几何学中，正方形的边长为1的情况经常被使用。

三角函数公式总结三角函数是数学中常用的函数之一，它由三角形的边长比例定义，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。

下面是对这些三角函数的公式进行总结：1. 正弦函数（sin）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的纵坐标就是该角度的sin值。

(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：sin(π+θ) = - sinθ，sin(2π+θ) = sinθ，其中θ为任意实数。

2. 余弦函数（cos）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的横坐标就是该角度的cos值。

(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：cos(π+θ) = - cosθ，cos(2π+θ) = cosθ，其中θ为任意实数。

3. 正切函数（tan）：(1) 定义：tanθ = sinθ / cosθ(2) 周期性：tan(π+θ) = tanθ，tan(2π+θ) = tanθ，其中θ为任意实数。

(3) 特殊值：tan(0) = 0，tan(π/4) = 1，tan(π/2) = 无穷大（不存在）。

4. 正割函数（sec）：(1) 定义：secθ = 1 / cosθ(2) 周期性：sec(π+θ) = secθ，sec(2π+θ) = secθ，其中θ为任意实数。

(3) 特殊值：sec(0) = 1，sec(π/2) = 无穷大（不存在）。

5. 余割函数（csc）：(1) 定义：cscθ = 1 / sinθ(2) 周期性：csc(π+θ) = - cscθ，csc(2π+θ) = cscθ，其中θ为任意实数。

(3) 特殊值：csc(π/2) = 1，csc(π) = 无穷大（不存在）。

6. 余角关系：(1) sin(π/2 - θ) = cosθ(2) cos(π/2 - θ) = sinθ(3) tan(π/2 - θ) = 1 / tanθ这些是最基本的三角函数公式，它们在数学和物理等领域中的应用非常广泛。

圆与锐角三角函数
圆与锐角三角函数是两种不同的三角函数系统，它们的定义、应用和概念都具有差异。

圆三角函数是用一个单位圆及其上的点构成，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数。

在一个单位圆上，以圆心为原点，向右为x轴正向，向上为y轴正向，则对于任意一点(x,y)，我们可以定义出对应的三角函数，如下：
正弦函数：sinθ=y
余弦函数：cosθ=x
正切函数：tanθ=y/x
余切函数：cotθ=x/y
正割函数：secθ=1/x
余割函数：cscθ=1/y
圆三角函数广泛用于物理、工程、数学等方面，以描述角度的变化对应于一些量的变化，比如某个物体移动的轨迹、振动的周期等。

锐角三角函数是另一种三角函数系统，由正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数构成，但是它们的定义范围不同于圆三角函数。

锐角指的是0到90度之间的角度，因此锐角三角函数只针对这个范围内的角度定义。

它们的值域也在这个范围内，不同于圆三角函数在整个实数范围内的取值。

锐角三角函数的常见定义如下：
正弦函数：sinθ=对边/斜边
余弦函数：cosθ=邻边/斜边
正切函数：tanθ=对边/邻边
余切函数：cotθ=邻边/对边
正割函数：secθ=斜边/邻边
余割函数：cscθ=斜边/对边
锐角三角函数可以用于计算直角三角形的各种参数，例如某个角度的正弦、余弦、正切、余切等，也可以通过已知的角度和其中的一些参数反推出另外的参数，提
供了方便和快捷的计算方式。

三角函数的单位圆解释与利用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域发挥着重要作用。

本文将以单位圆解释三角函数的概念，并探讨其在实际问题中的应用。

三角函数的概念可以通过单位圆来解释。

单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。

在单位圆上，我们可以定义角度，并将角度与三角函数联系起来。

例如，以圆心为顶点的角度为0度，逆时针旋转一周为360度。

根据这个定义，我们可以将角度与三角函数的值对应起来。

首先，我们来看正弦函数。

正弦函数（sin）表示一个角度对应的单位圆上的纵坐标。

例如，在单位圆上，角度为30度对应的纵坐标为0.5，角度为60度对应的纵坐标为√3/2。

正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为0，在90度处的值为1，在180度处的值为0，在270度处的值为-1。

正弦函数在几何学中常用于描述波动、振动等现象。

接下来，我们来看余弦函数。

余弦函数（cos）表示一个角度对应的单位圆上的横坐标。

例如，在单位圆上，角度为30度对应的横坐标为√3/2，角度为60度对应的横坐标为0.5。

余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为1，在90度处的值为0，在180度处的值为-1，在270度处的值为0。

余弦函数在几何学中常用于描述旋转、周期性运动等现象。

除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他的三角函数，如正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

这些函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义。

例如，正切函数（tan）等于正弦函数除以余弦函数，余切函数（cot）等于余弦函数除以正弦函数，正割函数（sec）等于1除以余弦函数，余割函数（csc）等于1除以正弦函数。

三角函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三角函数可以用来描述物体的运动轨迹、振动频率等。

在工程学中，三角函数可以用来计算力的分解、电流的相位差等。

在计算机图形学中，三角函数可以用来生成曲线、旋转图形等。

三角函数的基本关系总结三角函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。

本文将总结三角函数之间的基本关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，以及它们在单位圆上的几何解释。

1. 正弦函数和余弦函数的基本关系正弦函数（sine）和余弦函数（cosine）是最常见的三角函数之一。

它们在单位圆上的定义如下：- 正弦函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，正弦函数的值等于θ对应的点的纵坐标值。

- 余弦函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，余弦函数的值等于θ对应的点的横坐标值。

正弦函数和余弦函数之间存在着以下基本关系：- 三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，这是三角恒等式中最基本的一个。

它表明了在单位圆上，任何角度θ对应的正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。

- 正弦函数和余弦函数的相位差：两个角度θ和φ的正弦函数和余弦函数之间的关系可以通过它们的相位差来表示，即sin(θ + φ) =sinθcosφ + cosθsinφ，cos(θ + φ) = cosθcosφ - s inθsinφ。

- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，即对于任意角度θ，有sin(θ + 2π) = sinθ，cos(θ + 2π) = cosθ。

这说明在一个完整的圆周上，正弦函数和余弦函数的值会重复。

2. 正切函数和三角恒等式的关系正切函数（tangent）是另一个重要的三角函数，它在单位圆上的定义如下：- 正切函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，正切函数的值等于θ对应的点的纵坐标值除以横坐标值。

正切函数和三角恒等式之间存在着以下关系：- 三角恒等式的倒数形式：tan²θ + 1 = sec²θ，其中secθ是θ对应的余割函数。

- 正切函数的周期性：正切函数具有周期性，即对于任意角度θ，有tan(θ + π) = tanθ。

单位圆的参数方程单位圆是指半径为1的圆，其圆心位于原点(0,0)。

单位圆的参数方程可以用三角函数来表示，其中角度为参数。

我们知道，单位圆的坐标满足x^2+y^2=1为了找到单位圆上的任意一点的坐标，我们可以使用三角函数来定义角度，并将其应用到单位圆上。

具体来说，我们可以使用正弦函数sin和余弦函数cos来分别表示点在单位圆上的纵坐标和横坐标。

在单位圆上，我们将角度α馈入三角函数，然后将结果作为坐标。

具体来说，对于任意角度α，单位圆上的点的坐标为(x,y)，其中：x = cos(α)y = sin(α)下面我们将详细解释为什么这个参数方程定义了单位圆。

首先，我们看x坐标。

单位圆的半径为1，根据直角三角形的定义，我们可以知道x坐标是直角三角形的斜边与斜边对应的角度的余弦值。

而斜边就是单位圆的半径1，所以x = cos(α)。

接下来，我们看y坐标。

根据直角三角形的定义，y坐标是直角三角形的斜边与斜边对应的角度的正弦值。

而斜边就是单位圆的半径1，所以y = sin(α)。

因此，通过上述参数方程，我们可以确定任意角度α对应的单位圆上的点的坐标。

举例来说，如果我们令α为30度，则有：y = sin(30°) ≈ 0.5同样地，我们可以取其他角度，得到对应点的坐标。

总结起来，单位圆的参数方程为：x = cos(α)y = sin(α)其中α是单位圆上的角度，x和y分别是对应角度α在单位圆上的点的横坐标和纵坐标。

这就是单位圆的参数方程的详细解释。

通过使用三角函数的正弦和余弦，我们可以将角度映射到单位圆上的点的坐标。

这个参数方程在数学和物理领域中有广泛的应用，特别是在探索周期性现象和振动方程中。

课题：用单位圆中的线段表示三角函数值第 ______ 课时 总序第 ______个教案 课型：新授课 编写时间：____年___月___日 执行时间：___年___月___日教学目标：理解正弦线、余弦线、正切线的概念，掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线. 批 注 教学重点：掌握作已知角α的正弦线、余弦线、正切线.教学难点：理解正弦线、余弦线、正切线的概念.教学用具：三角板、圆规、投影仪教学方法：数形结合的思想方法教学过程：一、复习准备：1. 什么叫单位圆？（以原点为圆心，单位长为半径作的圆）2. 三个三角函数是怎样定义的？二、讲授新课：1. 教学三角函数线概念：① 定义有向线段：直线规定方向→轴；线段规定方向→有向线段；② 讨论有向线段表示：与轴正向同为正，否则为负.③画出下列角度与单位圆的交点P ，并作x 轴的垂线PM ，写出PM 、OM 的值，并与正弦、余弦值比较： 120°、240°④定义正余弦线：设角α的终边与单位圆交点P (x ，y ),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 为正弦线，OM 为余弦线.⑤练习：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.⑥定义正切线：过点A (1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T ，则有向线段AT 叫角α的正切线.⑦ 练习：画出各象限终边角的正切线，并分析符号.2. 讨论问题：① 讨论一：三角函数线为什么可以表示三角函数值？先单位圆中计算得sin α=y ，cos α＝x ；比较MP 的长度与|y |、OM 的长度与|x |；比较MP 的符号与y 的符号，OM 的符号与x 的符号；所以 sin α＝y ＝MP ， cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM =AT OA＝AT （由三角形相似得） ② 讨论二：α终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？3. 教学例题：① 出示例1：已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.② 练习：利用三角函数线比较下列各组数的大小：2sin 3π与4sin 5π；2tan 3π与4tan 5π. 三、巩固练习： 1. 作4π、53π、－40°的正弦线、余弦线、正切线.。

单位圆内三角函数的三个定义三角函数是高中数学中的重要内容，学生们都要熟练掌握。

而单位圆内三角函数是三角函数的一种扩展形式，可以更好地帮助学生理解三角函数的定义和性质。

本文将详细介绍单位圆内三角函数的三个定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

一、正弦函数定义正弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到与终点P垂直的线段PN的长度。

即sinθ = PN，其中θ表示角度。

在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。

正弦函数反映了角度变化时在y轴上对应点所对应的值的变化，因此，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。

二、余弦函数定义余弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到点P 的横坐标。

即cosθ= PX，其中θ表示角度。

在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。

余弦函数反映了角度变化时在x轴上对应点所对应的值的变化，因此，余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。

三、正切函数定义正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，其形式神似，但是正切函数则是另外一种定义方式。

正切函数定义为正切θ = sinθ / cosθ，其中θ表示角度。

在单位圆上，正切θ等于直线y=sinθ与直线x=cosθ交点的斜率。

因此，正切函数的定义域为实数集合R，值域为R。

不同于正弦和余弦函数的是，正切函数有一些性质不同寻常的特点。

当θ的值为90度或270度时，余弦函数为0，而由于正切函数为sinθ / cosθ，因此此时定义不成立，值变成无限大或无限小。

因此，我们需要在使用正切函数的时候格外小心。

综上所述，单位圆内三角函数的三个定义分别是：正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们可以帮助我们更深入地理解三角函数的定义和性质，特别是对于正弦函数和余弦函数这两个最基本的三角函数，我们在学习中应该注重其几何意义，结合具体题目来巩固掌握。

同时，在使用正切函数时也要注意其一些特殊的性质，避免因为定义不成立而导致错误的结果。

三角函数和圆的关系三角函数和圆的关系非常密切，可以说三角函数最初是从圆中定义和推导出来的。

以下是三角函数和圆的主要关系：1.单位圆上的三角函数定义：在单位圆上（即以原点为圆心，半径为1的圆），任意一点P(x, y)的坐标x和y可以分别解释为cosθ和sinθ，其中θ是从正x轴逆时针到射线OP的角度。

这样，单位圆为三角函数提供了几何解释。

2.三角函数的周期性：三角函数具有周期性，这与圆上的周期性旋转相对应。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为360度（或2π弧度），这意味着一个完整的圆旋转后，函数值重复。

3.弧长和扇形面积：圆的弧长公式和扇形面积公式中都涉及三角函数。

例如，圆心角为θ的弧长s可以用公式s = rθ来计算，其中θ必须以弧度为单位。

类似地，扇形面积A可以用公式A =(1/2)r²θ来计算。

4.极坐标：在极坐标系统中，点的位置由距离原点的距离（极径）和与正x轴的角度（极角）确定。

三角函数在极坐标和直角坐标之间的转换中起着关键作用。

5.三角恒等式的几何解释：一些三角恒等式，如和差公式、倍角公式等，可以通过圆的几何性质得到直观的解释和证明。

6.三角函数图像：正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，这些波形可以看作是单位圆上点的x坐标和y坐标随着角度θ变化而形成的。

7.复数和三角函数：在复平面上，三角函数与复数的指数形式有密切关系。

例如，欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ将三角函数与复数指数函数联系起来，其中i是虚数单位。

综上所述，三角函数和圆在多个层面上相互关联。

理解这些关系不仅有助于更深入地理解三角函数的本质和性质，而且在解决各种数学和物理问题时也非常有用。

09-10三角函数在单位圆的表示方法2 三四1、2在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线与正切线，并能由图象讲座三角函数的值域和已知三角函数值，作出对应的角。

三角函数在单位圆的表示正切线正切在单位圆上的表示讲授与讨论相结合三角函数在单位圆的表示方法课本P14 图4-12MP y yr y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1例 题 OM x xr x ====1cos α例 题P20 第2 题一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。

二、单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。

三、角α的正弦、余弦在单位上的表示1．作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 …… …… ……… …… ……设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x ,当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x若0<x OM 看作与x 轴反向 OM 具有负值x2．MP y y r y ====1sin α OM x x r x ====1cos α 这就是说：角α的正弦等于它的终边和单位圆的交点的纵坐标，而它的余弦则等于交点的横坐标。

有向线段MP,OM,分别称作α角的正弦线,余弦线。

由图可知， -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1即sin α与cos α的值域都是[-1,1]。

初中数学三角函数三角函数是数学中的重要概念，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在三角形的边长比例、角度关系以及周期性方面有广泛的应用。

一、正弦函数正弦函数记作sin(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正弦函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值。

正弦函数的取值范围在-1到1之间，当x为0度、180度、360度等时，sin(x)的值为0；最大值1出现在90度、270度等，最小值-1出现在-90度、-270度等。

正弦函数的图像是一条连续曲线，呈现周期性。

二、余弦函数余弦函数记作cos(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，余弦函数的值等于角度对应的弧度上的横坐标值。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当x为0度、360度等时，cos(x)的值为1；最大值1出现在-90度、270度等，最小值-1出现在90度、-270度等。

余弦函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

三、正切函数正切函数记作tan(x)，其中x表示角度。

在单位圆上，正切函数的值等于角度对应的弧度上的纵坐标值与横坐标值的比值。

正切函数的取值范围是全体实数，但当x为90度、270度等奇数倍角时，tan(x)的值为无穷大。

正切函数的图像也是一条连续曲线，呈现周期性。

四、三角函数的性质和公式1. 基本关系式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，这是三角函数最基本的性质，称为勾股定理。

2. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)3. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]，cos(x/2) = ±√[(1 +cos(x))/2]4. 三角函数的互余关系：sin(x) = cos(90° - x)，tan(x) = 1/tan(90° - x)5. 诱导公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)，cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)五、三角函数的应用1. 三角函数可以用于计算三角形的边长比例，如正弦定理和余弦定理。

三角函数的单位圆与弧度制三角函数是数学中一个重要的分支，它研究角与边的关系。

而单位圆与弧度制是研究三角函数的基础。

下面我们来探讨一下三角函数的单位圆与弧度制。

一、单位圆单位圆是一个半径为1的圆，它的中心在原点(0,0)处。

单位圆的方程是x²+y²=1。

在单位圆上的点(x,y)的坐标对应于角度θ的弧度。

在单位圆上，我们可以定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ。

其中sinθ 的定义是单位圆上点的 y 坐标，cosθ 的定义是单位圆上点的 x 坐标，tanθ 的定义是sinθ 除以cosθ。

二、弧度制弧度制是角度的一种衡量方式。

一个圆的周长为2πr，其中 r 是半径。

我们将圆周等分为360等份，每一份对应的角度称为1度。

而弧度制的基本单位是弧度，它的定义是在单位圆上所对应的弧长。

单位圆的周长是2π，因此一周对应的弧度是2π。

根据等周弧度定义可以推出：1度对应的弧度为π/180。

例如，90度对应的弧度就是π/2。

使用弧度制进行三角函数的计算可以避免繁琐的小数运算，并且更具有普适性和推广性。

三、三角函数的单位圆表示在单位圆上，我们可以通过求点的坐标来定义三角函数值。

例如，以点 P(x,y) 在单位圆上表示角度为θ，那么有sinθ = y，cosθ = x，tanθ= y/x。

同时，我们可以反过来通过给定的三角函数值来确定角度。

例如，已知sinθ 的值为0.5，那么可以通过单位圆上的坐标找到对应的角度。

四、三角函数的值域和周期性三角函数的值域是[-1, 1]，因为在单位圆上所有的坐标的取值范围都在[-1, 1]之间。

而三角函数具有周期性，sinθ 和cosθ 的周期是2π，tanθ 的周期是π。

也就是说，sin(θ + 2πn) = sinθ, cos(θ + 2πn)= cosθ, tan(θ + πn) = tanθ。

其中 n 是整数。

五、总结单位圆与弧度制对于理解三角函数非常重要。