社会保险精算原理第二章 人寿与年金保险

2.1.1死亡年年末赔付的寿险
4

终身寿险 定期寿险 两全寿险 变额寿险
终身寿险
5

对(x)的1单位元死亡年年末赔付终身寿险，其 精算现值以Ax表示，若(x)在x+k~x+k+1岁间死 亡，年末x+k+1岁上得到1单位元给付，在利 率i下的现值为νk+1，被保险人在x+k~x+k+1岁 间死亡的概率为k｜qx，故死亡赔付期望现值为 νk+1 k｜qx，投保人(x)可能在k=0,1,2…上死亡， 因此有：
V P qxt pxt t 1V
2.4.2责任准备金的递推公式
32

公式表明，t年末的责任准备金加上t+1年初的净 保费，正好等于t+1年的死亡给付在t年末的现值 与t+1年末责任准备金在利率和生者利下在t年末 的现值。这一递推公式对所有保险形式均适用， 以Pt表示t+1年初的净保费，bt表示t年末的死亡 给付金额，则一般递推公式可以表示为：
1
第二章 人寿与年金保险
本章重点
2

人寿和年金保险精算现值的意义和计算 保险费的计算 准备金的计算等
2.1人寿保险
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广义的人寿保险指以人的身体和生命为保险对 象的保险，保险的具体标的是人的死亡、伤残、 疾病和年老等，在被保险人遭受人身伤害或死 亡或生存到保险期满之后，保险人承担给付保 险金的责任。狭义的人寿保险是以人的死亡为 保险标的的保险，这里讨论的是狭义的人寿保 险。传统的人寿保险有三种基本类型，即终身 人寿保险、定期人寿保险和两全保险。
( I A) 1 [t 1] t px xt
t x:n ｜ 0
n
2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算
15

死亡时赔付的寿险精算现值以积分的形式表示， 在已知被保险人连续的存活函数时才能直接估 计出来，但在实际中，通常按照职工生命表提 供的整数年龄上的死亡概率，因此需要在一定 假设下进行计算。
t
V Pt bt 1qxt pxt t 1V
2.4.3修正的责任准备金
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实际中，虽然保费是以均衡方式收取的，但费 用的发生是不均衡的，一般在契约成立初年需 要在广告宣传、代理人佣金、核保、风险分类 等方面有较大的开支，在保险事故发生年，需 要在理赔方面有较大的开支，在其他年份，主 要是一些日常管理费。费用发生的这种不均衡 性，使均衡附加保费在初年不足，而在其他年 份又有结余。
终身生存年金
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终身生存年金的支付期没有限制，只要被保险 人存活，每隔一定时期发生一次收付。对(x)的 每年1单位元期首付终身生存年金，其精算现值 以 表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生 存保险之和，因此
ax k Ex＝
k Biblioteka Baidu k 0


k k
px

求和上限实际是ω-x-1，为方便通常写成∞。
将来法和过去法
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责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现 值与未来净保费精算现值之差。对不同保单， 根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴 付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付 精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任 准备金以tV表示。 过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去 保险金累积之差。
( I A) 1
x:n ｜
i

( IA) 1
x:n ｜

对终身标准递增寿险和定期标准递减寿险也有类似 的公式。
2.2生存年金
19

2.2.1纯粹的生存保险 2.2.2年付一次生存年金的精算现值
1.终身生存年金
2.定期生存年金
3.延期生存年金

2.2.3年付m次生存年金的精算现值 2.2.4寿险与年金的关系
2.3.2总保费
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总保费是在净保费的基础上增加附加保费的值， 对不同的费用项目通常采取不同的附加方式。 根据不同的附加方式，在总保费现值等于保险 金现值和附加保费现值之和的等式下可以估计 每年的总保费。设每次缴费的总保费为G，如果 以总保费的比例表示的附加保费为总保费的比 例k，以固定数额表示的附加保费为C，以保险 金额的比例表示的附加保费部分为保险金额的g 比例，则有平衡公式
定期寿险
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1单位元死亡时赔付n年定期寿险，其现 值随机变量为： νT， 0<t≤n Z＝ 0 t>0 n 1 t 精算现值表示为：Ax:n ｜ t px x t

0
变额寿险
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对死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死 亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元， 第k+1年内死亡赔付k+1单位元的寿险是标准递 增的变额寿险，此时，赔付额bt=[t+1]时，其中， 方括号表示最大整数函数。对于n年定期的死亡 年末赔付标准递增寿险，其精算现值为：
2.2.1纯粹的生存保险
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生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险， 纯粹的生存保险是在约定的保险期满时，如果 被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。 假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然 存活将得到k元的保险金，x存活n年的概率为npx， 得到给付金的期望现值为：kn px vn+0 nqxvn 以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：
x:n ｜ k 0 n 1 k 1

M x M xn k｜qx Dx
两全保险
8


对(x)的1单位n年两全保险，是n年定期寿险和n 年纯生存保险的合险。后者是以n年满期被保险 人仍然存活为给付条件，其现值随机变量为： νn k= n,n+1,…… Z＝ 0 k=0,1,2,……n-1
2.2.4寿险与年金的关系
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寿险与年金是两种不同的保险，但其精算现值 都依赖于被保险人的死亡年龄，因此他们之间 存在某种关系，而对这种关系的认识，有助于 进一步的精算估计。
K 1 由于 ax E(aK ｜ ) A E ( Z ) E ( ) x 1 又： a 1 K 1 d K ｜ 1 因此：
n
Ex n px
n
2.2.1纯粹的生存保险
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与在复利下的现值系数νt和累积系数(1+i)t的作 用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系 数， 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。
1/ n Ex 1/ n px (1 i)
n

n
lx lx n
它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之 积。
2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算
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Ax
0 k 0

t t
px x t
t t px x t dt
k
k 1

1 k 0 0
k s
k s
px x k s ds
1

k 0
k 1
s 1 p k x s p x k x k s ds 0
终身寿险
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寿险在被保险人死亡时支付使支付时间与被保 险人的余寿T相联系，设死亡时的赔付额函数为 bt，则赔付的现值函数为btνt，对1单位元终身寿 险，赔付现值随机变量为Z=νT ，其中t>0：
t A E ( Z ) 精算现值为： x t px x t d x 0

2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算
17

在死亡均匀分布假设下，有： spx+k μx+k+s≈ qx+k ，0≤s≤1 因此，Ax k px qxk ds 0 1 s 1 1 (1 i ) i 1 又 s 1ds (1 i)1s d (1 s) ｜ 0＝
2.4.1均衡净保费责任准备金
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责任准备金的提存和计算以净保费为依据，从 未来看，责任准备金是保险人未来的净责任， 用未来给付金现值减去未来净保费现值来衡量， 从过去看，它是保险人过去净保费收入大于赔 付支出的部分，用过去净保费终值减去过去保 险金终值计算。因此，形成了责任准备金的两 种计算方法。

Ga A gA kGa Ca
2.4责任准备金
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在趸缴保费和均衡保费下，保险人的保费收入 与赔付支出有一定的时间差，责任准备金正是 把过去保费收入大于赔付支出的部分以复利积 存起来形成的基金，这一基金也正是弥补将来 保费收入不足赔付支出的部分。因此，它是保 险人对投保人的一种负债，直接影响保险公司 的利润。

ax E(1 K 1 d ) 1 Ax d
2.3保险费
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保险费是被保险人购买保险的价格，它由性质 不同的两部分组成，一部分是作为保险人保险 给付金来源的保费，它是保险标的损失分摊形 成的费用，称为净保费或纯保费，一部分是为 补偿保险人在经营管理上必要开支的费用，称 为附加保险费，两部分之和是总保费或称毛保 费。寿险合同通常是长期合同，保险缴费一般 采取分期缴付的方式。
2.4.3修正的责任准备金
34

实际中，需要通过注入其他资金或占用均衡净 保费的方法补足初年不足的费用，而在其他年 份的费用结余中逐步补齐。由于动用保险公司 其他资金会影响保险公司资金的运用，因此， 通常是通过占用初年净保费，少提责任准备金， 以后再逐步归还的方法实现这种调整的。由于 对均衡净保费进行了调整，使责任准备金发生 了变化，我们把这种调整责任准备金的方法称 为修正的责任准备金方法。
k 1 s 1 1

0
0
ln(1 i)


故 Ax
i

Ax
2.1.3死亡时赔付寿险精算现值的计算
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同理，对死亡时给付的n年定期寿险有：
A1 t t px x t dt
x:n ｜ 0 n
i

A1
x:n ｜

对于标准变额寿险，在死亡均匀分布假设下，也有 类似的公式，对于n年定期标准递增的寿险有：
Rx Rx n nM x n ( IA) 1 x:n ｜ Dx
变额寿险
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当bK+1=n-k时，称为标准递减的变额寿险。其精 算现值为：
nM x Rx 1 Rx n1 ( DA) 1 x:n ｜ Dx
2.1.2死亡时赔付的寿险
11

终身寿险 定期寿险 两全寿险 变额寿险

Dxn qx n px 精算现值为 Ax:n ｜ k ｜ Dx k n
n n

变额寿险
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如果保险契约规定的赔付额随着死亡时间的变 动而不同，这时的寿险称为变额寿险。如果赔 付额bK+1=k+1，k是从投保开始到死亡时存活的 整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变 额寿险。精算现值为：
2.4.2责任准备金的递推公式
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对(x)的1单位元终身缴费终身寿险，t年末未来 法责任金的计算公式为： tV Ax t Pax ｜ t 两边同加保费P，并依据
Axt qxt pxt Axt 1 axt 1 pxt axt 1
t

代入上式可得
2.2.2年付一次生存年金的精算现值
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生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被 保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收 付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期 内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿 险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保 险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停 止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延 期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同 分为期首付年金和期末付年金。
2.3.1均衡净保费
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由于净保费是满足未来保险给付的保费，趸缴 净保费应等于均衡净保费的现值。而均衡保费 的缴付是以被保险人存活为条件的，因此，实 际上净保费现值是生存年金现值，根据这一平 衡公式，可以计算出均衡净保费。设保险金的 现值为A，每次净保费为P，每次1单位的生存 年金现值为：A=Pa
Ax
k 0

k 1
k｜qx
终身寿险
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在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx
lx Ax
k 0


k 1
d xk
等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净 保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年 末1单位的赔付。
定期寿险
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对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变 量为： νK+1 k=0,1,2,……n-1 Z＝ 0 k=n,n+1,…… 精算现值为 A1 E (Z )