高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试674

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案，不完好版〕三．解答题〔本大题一一共5题，满分是74分〕 19、〔此题满分是12分〕底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其外表展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .〔此题满分是14分〕此题有2个小题，第一小题满分是6分，第二小题满分是1分。

设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(假设a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.〔此题满分是14分〕此题一共有2个小题，第1小题满分是6分，第2小题满分是8分. 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设AB 、在同一程度面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. 设计中CD 是铅垂方向，假设要求βα2≥，问CD 的长至多为多少〔结果准确到〕？ 施工完成后.CD 与铅垂方向有偏向，如今实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长〔结果准确到〕？22〔此题满分是16分〕此题一共3个小题，第1小题满分是3分，第2小题满分是5分，第3小题满分是8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（假设η<0，那么称点21,P P 被直线l 分隔。

假设曲线C与直线l 没有公一共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，那么称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵假设直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，务实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的间隔 与到y 轴的间隔 之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.〔此题满分是18分〕此题一共3个小题，第1小题满分是3分，第2小题满分是6分，第3小题满分是9分. 数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. 假设2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；假设{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q的取值范围； 假设12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角一样且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，112233PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2333BO BD ==，63PO =，1136222232233V =⋅⋅⋅⋅=解：〔1〕由题得，248()1(,1)(1,)2424x xx f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x fx x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞∵2()2x x af x a+=-且0a ≥∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数解：〔1〕由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥即2403516400CD CD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米 由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米证明：〔1〕由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。

2024年一般高等学校招生全国统一考试理科数学留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z=：—+2i,则|z|=1+1A.0B.—C.1D.、/22.已知集合A=(x|x2-x-2>0},贝=A.(x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}C.(x|x<-l}.(x|x>2}D.(x|x<-l}_(x|x>2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入削减B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入及第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记&为等差数列｛%｝的前〃项和.若3S.=S2+S4,%=2,贝胞=A.—12B.-10C・10D.125.设函数了⑴=r+(o_1K+"若/*3)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x B・y= C.y=2xD."x6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E8=311331 A.—AB—AC B.—AB—AC C.—AB h—AC44444413一D.-AB+-AC447.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从肱到N的路径中，最短路径的长度为A.2面「B.2^5C.3D.28.设抛物线Q jMx的焦点为R过点(-2,0)且斜率为甘的直线及。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y ex +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位 （8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 绝密★启用前卷）1. 项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选.已知集合=−<<=−−A xx B 3}{∣55,{3,1,0,2,3}，则A B =（）A−{1,0} B.{2,3} C. −−{3,1,0} D. 2. −{1,0,2}若z −z1=+1i ，则z =（）A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 已知向量a b x ==(0,1),(2,)，若b b a ⊥−(4)，则x =（）A. −2 B. 4. D. C. −112已知 αβαβ+==mcos(),tan tan 2，则cos()αβ−=（）A. −3m B. −m 3C.m 3D. 5. 3m，则圆锥的体积为（）AB.C.D.6. 已知函数⎩++≥−−−<⎧x x x ax a x x e ln(1),0f x ()=⎨2,0在R 上单调递增，则a 的2取值范围是（）A.−∞(,0] B.−[1,0] C. −[1,1] D. 7. +∞[0,)当[0,2]πx 时，曲线y x =sin 与⎝⎭⎪⎛⎫y x π=−6 D. C. B. 2sin 3的交点个数为（）468f x ()的定义域为R A. 38. 已知函数，，>−+−f x f x f x ()(1)(2)且当x <3时f x x ()=，则下列结论中一定正确的是（）.A. f >(10)100B. f >(20)1000C.f <(10)1000 D. 要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. f <(20)10000在每小题给出的选项中，有多项符合题目为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x =2.1，样本方差s =0.012，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N )(1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N x s ,2)(，则（）（若随机变量Z 服从正态分布N)(μσ,2， P Z <+≈μσ()0.8413）A. P X >>(2)0.2 B. P X ><(2)0.5 C.P Y >>(2)0.5 D. 10. P Y ><(2)0.8设函数 f x x x ()(1)(4)=−−2，则（）A.x =3是f x ()的极小值点 B. 当<<x 01时，f x f x()<2)C. (当<<x 12时，−<−<f x D. 4(21)0当x−<<10时，11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:−>f x f x (2)()横坐标大于−2，到点F (2,0)的距离与到定直线 x a a =<(0)的距离之积为4，则（）A. B. a =−2点D. C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为在C 上1当点,)在C (x y 00上时，x 0+4212. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分y 0≤.设双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222左右焦点分别为、F F 12，过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若||13,||1013. ，则C F A AB 1==的离心率为___________．若曲线=+y x e x 在点(0,1)处的切线也是曲线=++y x a ln(1)的切线，则张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________分别标有数字2，4，6，81，3，5，714. a =__________.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一.的15. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin =C B，a b c （1）求B ；（2）222+−=若ABC的面积为16. c 3．已知A (0,3)和⎝⎭⎪⎛⎫P 23,3椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22（1）求C 的离心率;（2）若过P 上两点22.的直线l 交C 于另一点B ，且ABP17. 的面积为9，求l 的方程．如图，四棱锥−P ABCD 中，底面ABCD PA ⊥，PA AC ==2，BC AB == （1）1,．若⊥AD PB ，证明：（2）PBC AD //平面；若⊥AD DC ，且二面角−−A CP D正弦值为7，求AD ．为18. 已知函数 2−=++−f x ax b x x()ln(1)（1）x3若b =0，且 x ≥f '()0，求（2）a 的最小值；证明：曲线（3）y f x =()是中心对称图形；若f x >−()2当且仅当<<x 12，求19. 设m b 的取值范围．为正整数，数列a a a a 1242,,...,m +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i 和a i j j (<)后剩余的4m 项可被平均分为 组，且每组的m 个数都能构成等差数列，则称数列a a a 1242,,...,m +是（1）(i j ,)−可分数列．写出所有的(i j ,)，≤<≤i j 16，使数列 ,,...,a a a 126是（2）(i j ,)−可分数列；当m ≥3时，证明：数列,,...,m +a a a 1242是（3）(2,13)−可分数列；从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和<j i j )(，记数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的概率为P m ，证明：P >m 81．1.【答案】A 【详解】参考答案因为=<<=−−A x x B |,3,1,0,2,3{}{，且注意到<<12从而AB ，=故选：A.2.【答案】C 【详解】{−1,0}.因为−−−==+=+z z z 11111i z z −+111，所以z =+=−i 11i (4故选：C.3【答案】D 1.【详解】因为)b b a ⊥−，所以)b b a (40⋅−= ，所以b a b −⋅=240即+−=440x x 2，故 故选：D.4.【答案】A x =2，【详解】因为cos (αβ+=)m ，所以 cos cos sin sin αβαβ−=m ，而tan tan 2αβ=，所以= ααβsin sin 2cos cos ，故cos cos 2cos cos αβαβ−=m 即cos cos αβ=−m ，从而sin sin 2αβ=−m ，故cos 3αβ−=−m )故选：A.5. 【答案】B (，【详解】设圆柱的底面半径为r，而它们的侧面积相等，所以=π2πr r=，故r =3，故圆锥的体积为3故选：B.6. 【答案】B 【详解】π⨯=91.因为f x ()在R 上单调递增，且x ≥0时，f x x x)(()=++e ln 1单调递增，则需满足()⎩−≤+⎪⨯−⎪ ⎨⎧−≥21a e ln1−2a0−≤≤10a 0，解得，.即a 的范围是T =2πy x =sin 故选：B.7. 【答案】C 【详解】−[1,0].因为函数的的最小正周期为，函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3π的最小正周期为 T =32π，所以在x ∈[0,2π]上函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3x <8. 【答案】B 【详解】由图可知，两函数图象有6个交点.故选：π有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：C 因为当3时 f x x()=，所以f f (1)1,(2)2==，又因为>−+−f x f x f x ()(1)(2)，则f f f f f f (3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5>+=>+>，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89，f f f f f f f f f >+>>+>>+>11)377(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(>+>>+>f f f f f f (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987，>+>>f f f (16)(15)(14)15971000，则依次下去可知且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.9. 【答案】，则B f >(20)1000正确；BC【详解】依题可知，x s ==2.1,0.012，所以(2.1,0.1YN)，故P Y P Y P Y )() ()，C 正确，D (>=>−=<+≈>2 2.10.1 2.10.10.84130.5错误；因为(1.8,0.1XN )，所以P X P X )()(>=>+⨯2 1.820.1，因为P X )(<+≈1.80.10.8413，所以 P X )(>+≈−=<1.80.110.84130.15870.2，而P X P X P X )()()故选：BC ．10. 【答案】ACD 【详解】对A ，B 正确，A (>=>+⨯<>+<2 1.820.1 1.80.10.2错误，，因为函数f x 的定义域为R ()，而'f x x x x x x 2))(())()((()=−−+−=−−2141313，易知当x ∈(1,3)时，'f x ()<0，当x ∈−(∞,1)或x ∈+(3,∞)时，'f x ()>0函数f x ()在(−∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故x =3是函数f x 点，正确；对B ()的极小值，当<<x 01时，x x x x −=−>2)(10，所以>>>10x x 2，而由上可知，函数f x ()在(0,1)上单调递增，所以f x f x2)对C ()>(，错误；，当<<x 12时，<−<x 1213，而由上可知，函数 f x ()在(1,3)上单调递减，所以f f x f ())()>−>(1213，即−<−<f x 4210)对D (，正确；，当x −<<10时，−−=−−−−−−=−−>f x f x x x x x x x (2)()12141220222))()()()(()(，所以故选：ACD.11. 【答案】ABD 【详解】对于A −>f x f x (2)()，正确；：设曲线上的动点P x y (,)，则x >−2x a −=4，a04−=，解得对于B ，故A 正确a =−2.x +=24，而x >−2，x +=24)(.当x y ==0=−=2844)(，故)对于C 在曲线上，故B 正确(.：由曲线的方程可得()x +y x =−−216222(2)，取x =23，则494y 2641=−，而⨯−−=−=>−49449449410641645256245，故此时y 2>1，故对于D 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误C .：当点,)在曲线上时，由C (x y 00的分析可得()()++x x 2216160022y x 00=−−≤22(2)，故 −≤≤x x 00++4422故选：ABD.12. ，故D 正确y 0.【答案】2【详解】3由题可知,,A B F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将=x c 代入a b −=x y12222得a y =±b 2，即⎝⎭⎝⎭−⎛⎫⎛⎫a a A c B c ⎪ ⎪,,,b b 22，故a AB ==102b 2，a AF ==52b 2，又AF AF a −=212，得AF AF a a 12=+=+=22513，解得a =4，代入a=5b 2得b 2=20，故c a b 222=+=36,，即c =6，所以a e ===c 4263.故答案为：213. 3【答案】【详解】ln 2由=+y x e x得y '|e 12x =0=+=0y '=+e 1x ，，故曲线=+y xe x在(0,1)处的切线方程为y x =+21；由=++y x a ln 1)(得 x +y '=11，设切线与曲线=++y x a ln 1) (相切的切点为,ln 100()(x x a )++，由两曲线有公切线得y '==x 0+112，解得2x 01=−，则切点为⎝⎭ ⎪−+ ⎛⎫a 22,ln 11，切线方程为⎝⎭ ⎪=+++=++− ⎛⎫y x a x a 222ln 21ln 211，根据两切线重合,所以 a −=ln 20，解得a =ln 2.故答案为：14. ln 2【答案】2【详解】1##0.5设甲在四轮游戏中的得分分别为,,,X X X X 1234，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率⨯===P X k 448163)(，所以 E X k k (1,2,3,4))==83(.从而==E X E X X X X E X k k k823311123444)( )∑∑(()=+++===.记p P X k k k ===)(0,1,2,3)如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8(.，所以A 24114如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6p 0==4；，所以A 24114p 3==4.而的所有可能取值是0，1，2，3X ，故p p p p 0123+++=1，223p p p E X 1233++==().所以12p p 12++=11，822p p 1213++=，两式相减即得242p 211+=，故 2所以甲的总得分不小于2p p 231+=.的概率为 2p p 231+=.故答案为： 215.【答案】（11.） B =3（2π）a b c ab C +−=【小问1详解】由余弦定理有2cos 222，对比已知a b c 222+−=，可得+−ab ab a b c 222cos C ===222，因为C ∈(0,π)，所以sin 0C >，从而C ===2 sin ，又因为sin =C B ，即 2cos B =1，注意到B ∈(0,π)，所以 B =3【小问2详解】由（1π.）可得B =3π，2cos C =，C ∈0,π()，从而C =4π，A =−−=3412 π5πππ，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫A ==+=+⨯=124622224sin sin sin 1ππ5π，由正弦定理有==a b c1234sin sin sin ππ5π，从而==== +a c b c 4222,1，由三角形面积公式可知，ABCSab C c c c 的面积可表示为ABC==⋅⋅= +222228sin 由已知21113，ABC的面积为+3，可得 c 8=332所以16. 【答案】（1c =）2（2）1直线l 的方程为3260【解析】【小问1x y −=x y −−=或20.详解】由题意得⎪+=⎪⎪⎪⎧14⎨99⎩a b b =322⎩a ，解得=⎨212⎧b 2=9，所以e ===21【小问2.详解】法一：−k AP==−03223−AP 13，则直线的方程为 y x =−+231，即x y +−=260，==AP ，由（1）知+= x y 129C :122，设点B 到直线AP的距离为d，则d ==25，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：x y C ++=20，=5，解得C =6或C =−18，当C =6时，联立⎪⎩x y ++=⎪260⎨129+=1⎧x y 22，解得⎩y =−⎨3⎧x =0或⎩⎪⎨y ⎧=−23⎪x =−3，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，当B (0,3−)时，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即3260x y −−=，当⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3时，此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，当C =−18时，联立⎪⎩x y +−=⎪2180⎨129+=1⎧x y 22得2271170，此时该直线与椭圆无交点27421172070y y 2−+=，∆=−⨯⨯=−<2.综上直线 l 的方程为x y −−=3260或x y −=20.法二：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP 的距离 d =5，B x y ,00)(，则⎩⎪⎪=129+=1x y 0022，解得⎩⎪⎨⎧2y 0=− 3⎪x 0=−3或⎩y 0=−⎨3⎧x 0=0，设即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,，以下同法一3.法三：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP的距离 d =5，设B ,3sin θθ)(，其中θ∈π[0,2)= 5，联立cos sin 1θθ+=22，解得⎩⎪⎨⎪⎧2⎪sin θ=−21⎪cos θ=−或⎩θ⎨=−θ=sin 1⎧cos 0，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B SPAB(0,3−)，=⨯⨯=26391，符合题意，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即x y −−=3260，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx =+3，联立椭圆方程有⎪⎩⎪129+=1⎨x y ⎧y kx =+322，则43240k x kx 22++=)(，其中k k ≠AP ，即k ≠−21，解得x =0或x =43k 2−24k +，k ≠0， k ≠−21，令x =43k 2−24k +，则+k y =k 43−+12922，则⎝⎭++ ⎪−−+⎛⎫k k B k k 4343 ,24129222同法一得到直线AP 的方程为x y +−=260，点B 到直线AP的距离 d =5，=，解得32 k，此时⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3，则得到此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，综上直线 l 的方程为3260x y −=20x y −−=或.法五：当l 的斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当l 的斜率存在时，设−=−2PB y k x :(3)3，令P x y B x y ,,,1122))((，⎪⎪⎪⎪x y ⎩⎧y k x =−+129+=12(3)⎨322，消y 可得+−−+−−=2222 ))(Δ(4324123636270k x k k x k k ，=−−+−−>2222)(()k k ≠)(24124433636270k kk k k ，且AP ，即k ≠−21，⎩+⎪⎨⎪−⎧k 43363627,432⎪x x 12=k k 2−−PB ==k 2+⎪x x 12+=2412k k 2，A 到直线PB 距离9PABd S===21 ，∴=k 21或23，均满足题意，∴=l y x 2:1或2y x =−33，即x y −−=3260或x y −=20.法六：当l斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当直线l 斜率存在时，设2l y k x :(3)=−+3，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则⎝⎭⎪ ⎛⎫Q k 20,3−+3，联立⎪⎨⎩⎪y kx k ⎧=−+343623x y 223+=，则有⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k x k k x k k ，⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k xk k x k k ，其中⎝⎭ ⎪⎛⎫2834343636270Δ=−−+−−>k k k k k 3222)2()(，且k ≠−21，则==++−−−−k kx x B B 3434 3,3636271212922k k k k 22，则+=−=+=S AQ x x k k +P B 2223439k 11312182，解的k =21或32 的，经代入判别式验证均满足题意k .则直线l 为=y x 21或y x =−233，即x y −−=3260或（217. 【答案】（1）x y −=20.证明见解析PA 【解析】【小问1详解】（1）因为⊥平面ABCD ，而 AD ⊂平面ABCD ，所以⊥PA AD ，又⊥AD PB ，PBPA P =，⊂PB PA ,平面PAB ，所以AD ⊥平面 PAB ，而PAB AB ⊂平面，所以 ⊥AD AB .因BC AB AC +=222，所以，⊥BC AB 根据平面知识可知AD BC //，又⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以AD //平面【小问2详解】如图所示，过点D PBC ．作⊥DEAC E ，再过点E 作⊥EF CP 于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面=ABCD AC ，所以⊥DE 平面 PAC ，又⊥EF CP ，所以 CP ⊥平面DEF ，根据二面角的定义可知，∠DFE 即为二面角−−A CP D 的平面角，即DFE 7sin ∠=，即 ∠=DFE tan 因为⊥AD DC ，设=AD x，则=CD，由等面积法可得，DE =2，又CE ==24−x2，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =2，故∠==DFE tan 22x =AD =．为18. 【答案】（1）（3（2）−2证明见解析）b ≥−3b =0【解析】【小问12详解】时，−xf x ax ()=+ln2x，其中x ∈(0,2)，则()− '−x x x x f x a a x ,0,2()()=++=+∈11222，因为⎝⎭x x ⎛⎫⎪2−+2x x2)(21−≤=，当且仅当x =1时等号成立，故=+'f x a 2min ()，而'f x ()≥成立，故a +≥20即a ≥−2，所以a 的最小值为【小问2.−2，详解】−xf x ax b x 3) (()=++−ln12x 的定义域为(0,2)，设P m n(,)为=y f x ()图象上任意一点，P m n (,)关于(1,a )的对称点为Q m a n (2,2−−)，因为P m n ,)(在=y f x ()图象上，故=++−n am b m 2−m mln 1 3)(，而⎣⎦⎢⎥⎡⎤−m m 2f m a m b m am b m a −2m m 33)())(()=−+(2ln221ln 12−=+−+−−=−++−+，n a 2，所以Q m a n(2,2−−)也在=y f x ()图象上，由P 的任意性可得=y f x ()图象为中心对称图形，且对称中心为【小问3(1,a ).详解】因为f x ()>−2当且仅当<<x12，故x =1为f x ()=−2的一个解，所以f)=−(12即a =−2，先考虑<<x12时，f x 恒成立()>−2.此时f x ()>−2即为+−+−>2−x x ln21103) )((x b x 在(1,2)上恒成立，设t x =−∈10,1()，则1−−+>tln 20t bt t +13(0,1)上恒成立，设−g t t bt t 3()()=−+∈ln 2,0,11t +1t，则−'−t tg t bt 112−++32322232 t bt b 22)()(=−+=，当b ≥0，−++≥−++=>32332320bt b b b 2，故'g t ()>0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00 ()>=即f x 上恒成立(1,2()>−2在).当−≤<3b 0 2时，−++≥+≥323230bt b b 2，故'g t ()≥0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00()>=即 f x ()>−2在上恒成立(1,2).当b <−32，则当<<<t 01时，'g t ()<0故在⎝ ⎛上g t ()为减函数，故g t g)(00()<=，不合题意，舍；综上，f x ()>−2在(1,2)上恒成立时 b ≥−2.3而当 b ≥−32时，而b ≥−32时，由上述过程可得g t ()在(0,1)递增，故 g t ()>0的解为(0,1)，即 f x >−2()的解为(1,2).综上， b ≥−19. 【答案】（12.3） )()()（3）(1,2,1,6,5,6证明见解析（2(i j ,)−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；）根据(i j ,)−可分数列的定义即可验证结论；在（3）证明使得原数列是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有2),,...,m 【小问1详解】个，再使用概率的定义(m m +−1.首先，我们设数列+a a a 1242的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形'=+=+da k m ka a k 11,2,...,42−1)(，得到新数列a k k m '==+k(1,2,...,42)，然后对,,...,m '''+进行相应的讨论即可a a a 1242.换言之，我们可以不妨设a k k m ==+k 回到原题，第1，此后的讨论均建立在该假设下进行(1,2,...,42).小问相当于从中取出两个数 i 和j i j ，使得剩下四个数是等差数列(<).那么剩下四个数只可能是 1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(i j ,)就是)()()m 【小问2详解】(1,2,1,6,5,6.由于从数列+1,2,...,42中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,61,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14}}{}{{，共3组；②{m m m m −++}} }{{15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42，共m −3组.（如果，则忽略②m −=30）故数列m +1,2,...,42是【小问3可分数列(2,13)−.详解】定义集合=+==+A k k m m }}{{410,1,2,...,1,5,9,13, (41)=+==+B k k m m}}{ {420,1,2,...,2,6,10,14,...,42.下面证明，对≤<≤+i j m 142，如果下面两个命题同时成立，则数列 1,2,...,42m +一定是 命题1(i j ,)−可分数列：：∈∈i A j B ,或命题2∈∈i B j A ,；：我们分两种情况证明这个结论j i −≠3..第一种情况：如果∈∈i A j B ,，且j i −≠3.此时设j k =+422i k =+411，，∈,0,1,2,...,k k m 12}{.则由i j <可知4142k k 12+<+，即 4k k 211−>−，故k k ≥21.此时，由于从数列 m +1,2,...,42中取出i k =+411和 j k =+422后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②++++++++−−+111111112222}}{}{{42,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ，共k k −21组；③++++++++−++22222222}}{ }{ {43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共组m k −2.（如果某一部分的组数为 0，则忽略之）故此时数列m +1,2, (42)可分数列(i j ,)−.第二种情况：如果∈∈i B j A ,，且j i −≠3.此时设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,..., k k m 12}{.则由<i j 可知4241k k 12+<+，即 4k k 211−>，故k k >21.由于j i −≠3，故+−+≠21))((41423k k ，从而k k 21−≠1，这就意味着k k 21−≥2.此时，由于从数列m +1,2,...,42中取出i k =+421和j k =+412后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②+++++++1121212}{41,31,221,31k k k k k k k ，+++++++1212122 }{32,222,32,42k k k k k k k ，共③2组；全体+++++++1121212} {4,3,22,3k p k k p k k p k k p ，其中3,4,...,21=−p k k ，共k k 21−−2组；④++++++++−++22222222}}{ }{{43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共m k −2组.（如果某一部分的组数为这里对②和③进行一下解释：将③0，则忽略之）中的每一组作为一个横排，排成一个包含4k k 21−−2个行，个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：+++1112}{43,44,...,3k k k k ，+++++121212}{33,34,...,22k k k k k k ，+++++121212}{223,223,...,3k k k k k k ，++++33,34,...,412122}{k k k k k . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍+++112}{41,42,...,42k k k 中除开五个集合++11}{41,42k k ，++++1212}{31,32k k k k ，221,222k k k k 1212++++}{，++++31,321212}{k k k k ，++22}中的十个元素以外的所有数{41,42k k .而这十个数中，除开已经去掉的42 k 1+和41以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数k 2+.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列m +1,2,...,42是可分数列(i j ,)−.至此，我们证明了：对≤<≤+i j m ，如果前述命题1和命题2142同时成立，则数列的个数(i j ,可分数列.(i j ,)m +1,2,...,42一定是−然后我们来考虑这样的).首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有个元素，故满足命题1m +1的(i j ,)总共有2(m +1)个；而如果j i −=3，假设∈∈i A j B ,，则可设i k =+411，j k =+422，代入得+−+=21 ))((42413k k .但这导致 2k k 211−=，矛盾，所以∈∈i B j A ,.设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,...,k k m 12}{，则+−+=21) )((41423k k ，即k k 21−=1.所以可能的,)(k k 12恰好就是(0,1,1,2,...,1,)()(m m −)，对应的m m (i j ,)分别是−+2,5,6,9,...,42,41)()()(，总共个m .所以这2个满足命题1(m +1)的)中，不满足命题2(i j ,的恰好有这就得到同时满足命题1和命题2个m .的(i j ,)的个数为2)(m m +−1.当我们从m +1,2,...,42中一次任取两个数i 和j i j (<)时，总的选取方式的个数等于=++2)((2141m m))()(4241m m ++.而根据之前的结论，使得数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有 2)个(m m +−1.所以数列a a a 1242,,...,m +是(i j ,)−可分数列的概率))))P m 一定满足(()(()(()(()⎝⎭ ⎪P ⎛⎫≥=>==m m ++214121412142221218m m m m m m m m m +m ++++++++42m m ++11122212)这就证明了结论(m m +−1..。

【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题）1．设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10D．﹣22．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}3．若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5B．C．﹣2D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2B．C．1D．25．已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P （﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．6．设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A．B．C．D．8．已知，则＝（）A．B．C．D．9．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”C．“⊥”的充分条件是“x＝0”D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sin A+sin C＝（）A．B．C．D．12．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（共4题）13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．15．已知a＞1，，则a＝．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．（共5题）17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：不合格总计优级品合格品品甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝3a n+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，，FB=，M为AD的中点.（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]（共2题）22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．23．实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．【答案区】1．【答案】A【解析】【解答】解：据题意，，则，，所以故答案为：A.【分析】利用已知条件先求出，再求出的值，代入即可求出结果2．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，，而，利用代入法求解集合B，可得，此时，所以故答案为：D.【分析】根据集合A与集合B的运算求出集合B的所有元素，进而求出A∩B，即可求出∁A（A∩B）的结果.3．【答案】D【解析】【解答】解：据题意，先画出的可行域：如下图所示：法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：，分别将这三点代入z＝x﹣5y，则在A点时，z有最小值为；法二：由化简成：，此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，此时，在可行域内平移直线，在A点时，截距有最大值，此时z有最小值为.故答案为：D.【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果. 4．【答案】B【解析】【解答】解：由S5＝S10，则，化简得：5a1+35d=0，又a5＝1，即解得故答案为：B.【分析】由S5＝S10，a5＝1，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.5．【答案】C【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4），则c=4，又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：，根据两点坐标公式得：，，所以2a=4，则a=2；所以故答案为：C.【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，则，此时切线斜率利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；令，则；令，则；所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故答案为：A.【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.7．【答案】B【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x，则，所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，利用特殊值：当x=1时，，所以B符合.故答案为：B.【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.8．【答案】B【解析】【解答】解：由，利用齐次式分子分母同时除以得：，解得，则故答案为：B.【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果. 9．【答案】C【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）当时，，则，解得或，所以A错误，C正确；同理，当，即，即，所以，BD错误.故答案为：C.【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果. 10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，由，得，同理，根据基本事实四，则，所以.，所以，又∩=m，则，根据基本事实四，则，③正确；对于④，若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，则，则④错误.故答案为：A.【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果. 11．【答案】C【解析】【解答】解：由，根据正弦定理有：又因为，即，所以；根据余弦定理，所以，根据正弦定理得：，即，结合，因为所以，因为A，B，C是三角形的内角，所以所以故答案为：C.【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.12．【答案】C【解析】【解答】解：由a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，将，代入直线方程，所以有，化简得：，则直线恒过定点；对于圆的方程x2+（y+2）2＝5，圆心为，半径为，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，要求|AB|的最小值，只需，此时，，利用勾股定理有故答案为：C.【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.13．【答案】【第1空】5；【解析】【解答】解：根据题意，二项式的通项为：并且假设展开式中第项系数最大，则此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，建立不等式进行求解：，解得：，由因为k为正整数，则；所以.故答案为：5.【分析】先设展开式中第项系数最大，此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，则建立不等式有，进而求出k即可求解.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：据题意，甲乙两个圆台的轴截面都是等腰梯形，可以利用构造直角三角形，结合勾股定理的计算得到圆台的高，即甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），所以甲圆台构造的直角三角形斜边长为：2（r1﹣r2），而其中一条直角边为，则甲圆台的高为：；同理，乙圆台构造的直角三角形斜边长为：3（r1﹣r2），则；此时，故答案为：..【分析】先根据已知条件和圆台结构特征，构造出直角三角形分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，直接代入计算即可得解.15．【答案】【第1空】64；【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，即，对式子进行化简得：，即，利用因式分解得，所以或，因为a＞1，所以，所以，即，故答案为：64.【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.16．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，，则，故，，所以，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：.【分析】利用古典概型的计算公式，先根据题意进行全排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后列出对应事件的数量，进而利用古典概型的计算公式求解即可得到结果.17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：优级品非优级品总数甲车间262450乙车间7030100总计9654150将上面的数值代入公式计算得：，又因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，所以用频率估计概率可得，根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到解果；（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论. 18．【答案】（1）解：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）解：，所以故所以，.【解析】【分析】（1）根据题意，由S n与a n之间的关系，利用分类讨论思想求得与的表达式，结合化简即可得到结果；（2）利用错位相减法求解即可得到结果.19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）过B作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，由（1）可知为平行四边形，则，又，所以为等边三角形，为中点，根据直角三角形OBA，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，利用勾股定理得，所以，所以两两垂直，所以以方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，则，又，即，则，所以，则，故二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；（2）作交于，连接，易证三线两两垂直，利用建系法求出二面角夹角余弦公式即可得到结果.20．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，所以，故，因为在上为增函数，根据单调性的性质，所以在上为增函数，又因为，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2）解：因为，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，又，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍去.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；综上，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）21．【答案】（1）解：设，由题设有且，故，解得，，故椭圆方程为.（2）解：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又根据韦达定理得：，而，故直线，故，所以，故，即轴.【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.22．【答案】（1）解：由，将代入，故可得，两边平方后得：.（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.联立，得，，所以，设，根据韦达定理，所以，则，解得【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.23．【答案】（1）证明：因为，当时等号成立，则，因为，所以；（2）证明：【解析】【分析】（1）直接利用，利用放缩法，结合做差法比较两个式子大小，利用基本不等式即可得到结果.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。

普通高等学校招生全国统一考试（附答案）理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。

威武不屈舍死忘生肝胆相照克己奉公一丝不苟两袖清风见礼忘义永垂不朽顶天立地豁达大度兢兢业业卖国求荣恬不知耻贪生怕死厚颜无耻描写人物神态的成语神采奕奕眉飞色舞昂首挺胸惊慌失措漫不经心垂头丧气没精打采愁眉苦脸大惊失色炯炯有神含有夸张成分的成语怒发冲冠一目十行一日千里一字千金百发百中——一日三秋一步登天千钧一发不毛之地不计其数胆大包天寸步难行含——比喻成分的成语观者如云挥金如土铁证如山爱财如命稳如泰山门庭若市骨瘦如柴冷若冰霜如雷贯耳守口如瓶浩如烟海高手如林春天阳春三月春光明媚春回大地春暖花开春意盎然春意正浓风和日丽春花烂漫春天的景色鸟语花香百鸟鸣春百花齐放莺, 歌燕舞夏天的热赤日炎炎烈日炎炎骄阳似火挥汗如雨大汗淋漓夏天的景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天——天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪, 地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万, 物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳绚丽多彩五彩缤纷草绿草如茵一碧千里杂草丛生生机勃勃绿油油树苍翠挺拔郁郁葱葱枯木逢春秀丽多姿青翠欲滴林海雪原耸入云天瓜果蔬菜清香鲜嫩青翠欲滴果园飘香果实累累果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大春天的景色鸟语花香百鸟鸣春百花齐放莺歌燕舞夏天的热赤日炎炎烈日炎炎骄阳似火挥汗如雨大汗淋漓3、书名号里还要用书名号时, 外面用双书名号里面用单书名号。

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数 学〔理工类〕本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第Ⅱ〔非选择题〕两局部，一共150分，考试用时120分钟。

第一卷1至3页，第二卷4至6页。

答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，并在规定的指定正确位置粘贴考试用条形码。

答卷时，所有考生必须将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：·1、每一小题在选出答案以后，用铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷一共8小题，每一小题5分，一共40分 参考公式：假如事件 A ，B 互斥，那么 ·假如事件 A ，B 互相HY ， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第一卷考前须知：本卷一共8小题，每一小题5分，一共40分.一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 〔1〕全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，那么集合 A ∩C u B=〔A 〕{}2,5 〔B 〕{}3,6 〔C 〕{}2,5,6 〔D 〕{}2,3,5,6,8〔2〕设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么目的函数6z x y =+的最大值为〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕18〔D 〕40〔3〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S 的值是〔A 〕10- 〔B 〕6〔C 〕14〔D 〕18〔4〕设x R ∈ ，那么“21x -< 〞是“220x x +-> 〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .假设2,4,3CM MD CN === ，那么线段NE 的长为 〔A 〕83 〔B 〕3〔C 〕103 〔D 〕52〔6〕双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y = 的准线上，那么双曲线的方程为〔A 〕2212128x y -= 〔B 〕2212821x y -=〔C 〕22134x y -= 〔D 〕22143x y -=〔7〕定义在R 上的函数()21x mf x -=- 〔m 为实数〕为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，那么,,a b c 的大小关系为〔A 〕a b c << 〔B 〕a c b << 〔C 〕c a b << 〔D 〕c b a <<〔8〕函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，假设函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔A 〕7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 〔B 〕7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔C 〕70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔D 〕7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷考前须知：1、用黑色墨水的钢笔或者签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷一共12小题，一共计110分.二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 〔9〕i 是虚数单位，假设复数()()12i a i -+ 是纯虚数，那么实数a 的值是 .〔10〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m 〕， 那么该几何体的体积为 3m .〔11〕曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .〔12〕在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .〔13〕在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 那么a 的值是 .〔14〕在等腰梯形ABCD 中,//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC和DC上,1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==且则的最小值为 . 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．15.〔本小题满分是13分〕函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. 〔本小题满分是13分〕为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加.现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名；乙协会的运发动5名，其中种子选手3名.从这8名运发动中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. 〔本小题满分是13分〕 如图，在四棱柱1111ABCDA B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5ACAA AD CD,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD (II)求二面角11D AC B 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，假设直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. 〔本小题满分是13分〕数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. 〔本小题满分是14分〕椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为F -c （,0）,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b xy截得的线段的长为c ，(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，假设直线FP ，求直线OP 〔O 为原点〕的斜率的取值范围.20. 〔本小题满分是14分〕函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)假设关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21a x x n.绝密★启用前2021年普通高等招生全套统一考试〔卷〕数学〔理工类〕参考解答一、选择题：此题考察根本知识和根本运算。

普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1.复数()()1=+g为虚数单位在复平面上对应地点位于z i i iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用地 抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对地 边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．525.函数()2ln f x x =地 图像与函数()245g x xx =-+地 图像地交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦ B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦ D ．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1地 正方体地 俯视图是一个面积为1地 正方形，则该正方体地 正视图地 面积不可能．．．等于A ．1 B C ．2D ．28.在等腰三角形ABC中，=4AB AC=，点P是边AB上异于,A B 地一点，光线从点P出发，经,BC CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC∆地中心，则AP 等A．2 B．1 C．83D．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 . 10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .11.如图2，在半径为7地 O e 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 地 距离为 .必做题（12-16题）12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示地 程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地 两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆地 最小内角为30o ，则C 地 离心率为___。

2021年普通高等招生全国统一考试数学试题理〔卷〕本套试卷一共5页，150分。

考试时长120分钟。

所有考生必须将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

第一局部〔选择题一共40分〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分。

在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项。

1. 集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，那么A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的一共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其一共轭复数，找到一共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的一共轭复数为对应点为，在第四象限，应选D.点睛：此题考察复数的四那么运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如下图的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环构造，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环完毕，输出，应选B.点睛：此题考察循环构造型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环构造；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开场循环，弄清进入或者终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，那么应选D.点睛：此题考察等比数列的实际应用，解决此题的关键是可以判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：〔1〕定义法，假设〔〕或者〔〕，数列是等比数列；〔2〕等比中项公式法，假设数列中，且〔〕，那么数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图复原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，那么在四棱锥中，直角三角形有：一共三个，应选C.点睛：此题考察三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或者长方体中进展复原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进展棱长、外表积、体积等相关问题的求解.6. 设a，b均为单位向量，那么“〞是“a⊥b〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“〞是“a⊥b〞的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“假设那么〞、“假设那么〞的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒〞为真，那么是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．3．集合法：假设⊆，那么是的充分条件或者是的必要条件；假设＝，那么是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P〔cosθ，sinθ〕到直线的间隔，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A〔2，0〕，那么根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解： P为单位圆上一点，而直线过点A〔2，0〕，所以d 的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表如今求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的间隔的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合那么A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，〔2，1〕C. 当且仅当a<0时，〔2，1〕D. 当且仅当时，〔2，1〕【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进展求解.详解：假设，那么且，即假设，那么，此命题的逆否命题为：假设，那么有，应选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考察线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进展判断.设，假设，那么；假设，那么，当一个问题从正面考虑很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二局部〔非选择题一共110分〕二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分。

202X 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和卷子指定位置上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本卷子上无效。

3．考试结束后，将本卷子和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，完成翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.假设3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.假设()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点〔–2，0〕且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．假设g 〔x 〕存在2个零点，则a的取值范围是 A ．[–1，0〕B ．[0，+∞〕C ．[–1，+∞〕D ．[1，+∞〕10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的地域记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅱ，其余局部记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .假设OMN △为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2021年普通高等招生全国统一考试数学(理)(卷)本套试卷一共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生必须将答案答在答题卡上.在试卷上答题无效.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.第一局部(选择题一共40分)一、选择题一共8小题。

每一小题5分.一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合胜目要求的一项.1.集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜那么A∩B=( )A．〔﹣∞，﹣1〕 B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.〔3，＋∝〕2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.那么此点到坐标原点的间隔大于2的概率是〔〕A. B. C. D.3.设a，b∈R.“a=O〞是‘复数a+bi是纯虚数〞的〔〕4.执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A. 2B .4D. 165.如图. ∠ACB=90º。

CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.那么( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²·EB=CD ²中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三梭锥的三视图如下图，该三梭锥的外表积是〔〕A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如下图.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为〔〕第二局部(非选择题一共110分)二.填空题一共6小题。

每一小题5分。

一共30分.(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为10.﹛﹜等差数列=，=，那么=△ABC中，假设α=2，b+c=7,=-，那么b==4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<4}，，则M∩N=()A. B. {x|13⩽x<4} C. D. {x|0<x⩽5} 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6％B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10％C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知，则A. −1−32i B. C. D. −32−i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)()A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60∘,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为( )A. √72B. √132C. √7D. √136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A−EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( )A. B. C. D.7.等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45∘,∠A′B′C′=60∘.由C点测得B点的仰角为15∘,BB′与CC′的差为100；由B 点测得A点的仰角为45∘，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为(√3≈1.732)( )A. 346B. 373C. 446D. 4739.若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα,则tanα=( )A. √1515B. √55C. √53D. √15310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A. 13B. 25C. 23D. 4511.已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为( )A. √212B. √312C. √24D. √3412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为_______________．14.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,0)，若a⃗⊥c⃗，则k=______．15.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{√S n}是等差数列；③a2=3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且已知点，且⊙M与L相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．21.已知且a≠1，函数．(1)当时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．22. [选修4−4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. [选修4−5：不等式选讲]23、已知函数f(x)=|x −2|,g(x)=|2x +3|−|2x −1|. (1)画出y =f(x)和y =g(x)的图象； (2)若f(x +a)≥g(x)，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】简单的集合交并补运算，直接求解即可．【解析】由已知，结合交集的概念，可得M∩N={x|13⩽x<4}；故选．2.【答案】C【解析】【分析】考查统计模块中的频率分布直方图，学生掌握频率分布直方图的相关概念和知识点，此题不难求解．【解析】对于答案A，由频率分布直方图，可得0.02+0.04= 0.06= 6％，故A正确；对于答案B，由频率分布直方图，可得0.02×3+0.04=0.10=10％，故B正确；对于答案D，由频率分布直方图，可得0.10+0.14+0.20×2=0.64=64％，故D正确；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】复数模块，两边同除以(1−i)2后，再根据共轭复数定义，直接化简计算，难度不大．【解析】由(1−i)2z=3+2i，得z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=−1+32i，．4.【答案】C【解析】【分析】题干新颖，但考查的并不难，考查了指数和对数之间的互化，属于基础题．【解析】将L=4.9代入L=5+lg V，可得lg V=−0.1=−110．故V=10−110=√1010≈11.529≈0.8．故选．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线离心率的求法，求解过程中用到了余弦定理，综合性较强，属于中等偏难一点题，在前6题中出现，是一个不小的挑战．【解析】因为|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a , |PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ． 在ΔF 1PF 2中，． 可得(2c)2=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×cos60∘,即e =c =√7. 故选A.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三视图，但不是由三视图还原几何体，相对而言难度不是特别大，只要做出几何体直观图，便可直接画出侧视图．【解析】正视图与侧视图的高相等，能看见的用实线． 故选D ．7.【答案】B【解析】【分析】本题是一道综合题，考查了数列和简易逻辑，简易逻辑考查的是充分必要条件，数列考查的是等比数列的单调性，考查点都不难．【解析】a =−1，q =2时，{ S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；若{ S n }是递增数列，则a n = S n − S n−1>0，可以推出q >0，故甲是乙的必要条件． 故选 B ．8.【答案】B【解析】【分析】本题属于解三角形的范畴，题干复杂，做题时需要能提炼出有用信息，结合图去求解即可，整体上不失为一道好题，近年来大量的高考题和生活和文化相结合，是高考的命题方向，这道题很好的切合了最近几年的命题方向．【解析】过点C 作BB′垂线，交BB′于点M ，过点B 作AA′垂线，交AA′于点N ，设B′C′=CM =m,A′B′=BN =n.在ΔA′B′C′中，msin75=nsin45，在ΔCBM 中，msin75∘=100sin15∘， 联立两式求得n =√3−1≈273．可得A 、C 两点到水平面的高度差AA′−CC′约为273+100=373．故选B.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数，做这道题需要用到弦切互化的技巧，以及同角三角函数关系的知识点，有一定的综合性，难度中等．【解析】由tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα.化简可得,sinα=14,tanα=√1515. 故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的排列组合和概率，排列组合考察的是插空法，插空法是排列组合问题的基础求解方法，作为高考题非常合适，考察了学生的基本功．【解析】由将4个1和2个0随机排成一行共有C 62种，先将4个1全排列，再将2个0用插空法共有C 52种，则题目所求的概率为P =C 52C 62=23.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】这道题考查了球体几何和三棱锥体积的求解，求出球心到平面的距离，此题迎刃而解．【解析】记▵ABC 的外接圆的圆心为O 1.由于AC⊥ BC，又球的半径为1，且AB=√2，OC=√22；所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=√22.于是OO12+O1C2=OC2，所以OO1⊥O1C，OO1⊥AB.进而OO1⊥平面ABC.所以V O−ABC=13×S ABC×OO1=13×12×1×1×√22=√212.故选A.12.【答案】A【解析】【分析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的．【解析】因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，即a+ b=0，所以b=− a.又f(0)= f(−1+1)=− f(1+1)=− f(2)=−4 a− b=−3 a.f(3)= f(1+2)= f(−1+2)=f(1)=0，由f(0)+ f(3)=6，得a=−2.f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)=−94a−b=−54a=52.故选A.13.【答案】【答案】y=2x+1．【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，是基础题．先根据函数解析式，得到导函数，再得到切线的斜率，即可得到结果．【解析】因为y=1−2x+2=xx+2，所以y′=x+2−x(x+2)2=2(x+2)2，所以曲线在点(−1,−1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.14.【答案】【答案】−32．【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力．利用已知向量表示c⃗=k a⃗+b⃗ ，通过a⃗⊥c⃗，向量的数量积为0，求解即可．【解析】a⃗=(1,1)，b⃗ =(1,2)，c⃗=k a⃗+b⃗ =(k+1,k+2)，a⃗⊥c⃗，则k+1+k+2=0，解得k=−32.故答案为−32.15.【答案】【答案】16．【解析】【分析】本题考查椭圆方程应用，考查椭圆的性质，属基础题【解析】根据题意，可得|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9.又P在椭圆上，联立两方程，可求得|y1|=163，代入面积公式，即可求得答案解：因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且|PQ|=6，所以|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9，又P在椭圆上，所以x1225+y1216=1，联立方程{x12+y12=9x1225+y1216，可得y12=2569，即|y1|=163，所以▵PF1F2的面积S=12⋅|F1F2|⋅|y1|=12×6×163=16.故答案为16.16.【答案】【答案】2．【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图像和性质以及相关应用，需要由图求出正弦型函数的解析式，然后解一个一元二次不等式，得到的范围，最后求解的范围．【解析】34T=13π12−π3=34π,可得T=π,φ=2.将x=π3代入f(x)=cos(2x+φ),得cos(2π3+φ)=0.故2π3+φ=π2,即φ=−π6.所以f(x)=cos(2x−π6).保存编辑所以题目条件可转化为(f(x)−1)(f(x)+√3)>0.等价于f(x)>1,f(x)<−√3.从图像可以看出:x∈(π2,3π4).故答案为x=2.17.【答案】【答案】(1)P1=150200=0.75,P2=120200=0.6；(2)没有．【解析】【分析】统计和概率作为第一道大题，难度不大，第一问由表格数据和频率计算公式可以直接得到，非常简单，送分题，第二问考查卡方分布，也是直接套公式，这套卷子的第一道大题可以说是非常简单了．【解析】(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分P1、P2；则有P1=150200=0.75,P2=120200=0.6.(2)根据列联表中数据，可得K²的观测值；K2=400(150×80−120×50)2200×200×270×130=40039≈10.256.因为10.256<10.828，所以没有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．18.【答案】【答案】▵.选择条件①和③．▵.选择条件①和②．▵.选择条件②和③．【解析】【解析】Ⅰ.选择条件①和③．数列{a n}是等差数列，a2=3a1，设公差为d.则a2=3a1=a1+d，即d=2a1.因为S n=na1+n(n−1)2d=n2a1，所以√n=n√a1(a1>0).故{√S n}是等差数列．Ⅱ.选择条件①和②．已知数列{a n}是等差数列，数列{√S n}是等差数列；则a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n.因为数列{√S n}是等差数列，则a1=d2，所以a2=a1+d=3a1.Ⅲ.选择条件②和③．已知数列{√S n}是等差数列，a2=3a1.因为s2=a1+a2=4a1，所以√s2−√s1=√4a1−√a1=√a1(a1>0)．即{√S n}的公差d等于√a1，所以√s n=√a1+(n−1)d=n√a1．所以S n=n2a1，即数列{a n}是等差数列．19.【答案】【答案】(1)见解析；(2)√33.【解析】【分析】立体几何这道大题，以直三棱柱作为载体，第一问考查了线线垂直的证明，由线面垂直可以轻松得到线线垂直，第二问考查了二面角，建立空间直角坐标系，用空间向量去求解，求解的时候注意证明才能建立坐标系，整体而言，立体几何这道题比较常规．【解析】(1)因为E,F 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中AC 和CC 1的中点,且AB =BC =2;所以CF =l,BF =√5.，，于是AF =3，所以AC =2√2，由AB 2+BC 2=AC 2，；于是,A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 设B 1D =m,则D(m,0,2).于是,BF =(0,2,1),DE =(1−m,1,−2).由BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，；(2)易知平面BB 1C 1C 的法向量为n ⃗ 1=(1,0,0)，而DE =(1−m,1,−2),EF =(−1,1,1). 于是,平面DFE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,m +1,2−m).于是cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ > =3√2(m−12)2+272． 当m =12时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大值为，故正弦值最小为．20.【答案】【答案】(1)C 的方程为y 2=x ，⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=1；．【解析】【分析】圆锥曲线大题考查椭圆、双曲线、抛物线中最简单的一条抛物线；第一问求解抛物线方程和圆的方程难度不大；第二问考查设而不求的思路和韦达定理． 可以先把抛物线上的三个点(a 2,a)、(b 2,b)、(c 2,c)都设出来；根据两个相切条件，得到2=1，2=1；进一步得到b 和c 是(a 2−1)x 2+2ax −a 2+3=0的两根；接下来算出圆心到A2A3的距离为d=|2+bc|√1+(b+c)2；再由韦达定理可知b+c和bc，带入计算求出d=1，即可得到A2A3和圆相切．【解析】(1)C的方程为y2=x，⊙M的方程为(x−2)2+y2=1；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)．当A1,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标的值均为3时，满足条件，且此时直线A2A3与⊙M也相切．当x1≠x2≠x3时，可知直线A1A2的方程为x−(y1+y2)y+y1y2=0，，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0；同理可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0；由此可知，．依题意有，．M到直线A2A3的距离，d2=(|2+y1y2|√1+(y1+y2)2)2=(2+y1y2)21+(y1+y2)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1．．21.【答案】【答案】；(2)a∈(1,e)∪(e,+∞)．【解析】【分析】导数作为压轴题的存在，考查了单调性和零点，第一问的单调性，难度不大，不含参数，不需要分类讨论；第二问交点问题最后转化成零点问题，构造函数后再看函数和直线相交的情况，构造出的函数不含参数，图像易得，最后求参数范围即可，这道导数压轴题和往年相比，相对难度不是特别大．【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x>0)，求导f′(x)=x(2−xln2)2x(x>0)，．令，即x>2ln 2，此时单调递减．单调递增区间为，单调递减区间为．(2)要使y=f(x)与y=1有2个交点,即x aa x =1有2解,故ln xx=ln aa有2解．令g(x)=ln x x,求导g′(x)=1−ln x x 2(x >0)．令g ′(x)=0,解得x =e ，令g′(x)>0,即0<x <e,此时g(x)单调递增，，故g(x)max =g(e)=1e ,当x >e 时,g(x)∈(0,1e )． 因为g(1)=0,要使得条件成立.则0<ln a a<1．①当0<a <1,此时不符合条件． ②当1<a,g(x)max =g(e)=1e ．故a ∈(1,e)∪(e,+∞)．22.【答案】【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2；(2)C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π))．【解析】【分析】极坐标和参数方程这道题，作为选做题，难度不大，第一问考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，较为基础；第二问考查了轨迹方程的求法，考查的是相关点法，求出直角坐标系下的方程后，进一步化成极坐标方程即可，由圆心距小于半径差可得两个圆为内含关系，本题整体难度不大，考查的较为基础． 【解析】(1)∵p =2√2 cos θ,∴p 2=2√2pcos θ.∵x =pcos θ,p =x 2+y 2,∴x 2+y 2=2√2x.即曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2．(2)设P 点坐标为(x,y),M 点坐标为(x ′,y′).则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ′−1,y′).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵M 为上的动点,∴(√2+1−√2)2+(√2)2=2.即(x −√2−3)2+y 2=4.故C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π)).∴|CC 1|=3,r 1=2,r =√2. ∴r 1−r <|CC 1|<r 1+r.故C 与C 1有公共点.23.【答案】【答案】(1)见解析；．【解析】【分析】不等式选讲这道选做题，考查了绝对值函数图像的画法和含参绝对值不等式的求法，绝对值函数图像作图相对简单，含参绝对值不等式的求解，主要用到分类讨论的思想，分类讨论的时候需要注意不重不漏．(1)通过对x 分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出． (2)由图像可得：f(6)=4，f(12)=4，若满足题意，那么就需把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|个单位以后，f(x)的图像不在g(x)图像的下方，由图像观察可得出结论．【解析】(1)当x <−32时，2x +3<0，2x −1<0， 故g(x)=[−(2x +3)]−[−(2x −1)]=−4．当−32≤x ≤12时，2x +3≥0，2x −1≤0， 故g(x)=(2x +3)−[−(2x −1)]=4x +2．当x >12时，2x +3>0，2x −1>0， 故g(x)=(2x +3)−(2x −1)=4．综上，g(x)={4x +2,−32≤x <12−4,x<−324,x≥32 ,y=f(x)和y=g(x)的图象为：(2)由上可知，y=f(x+a)是函数y=f(x)左右平移|a|个单位得到．观察图像，不难发现函数y=f(x)向右平移不符合题意．函数y=f(x)向左平移至图像右支恰好经过点(12,4)，此时为满足f(x+a)≥g(x)的临界状态．y=f(x+a)=|x−2|+a=x−2+a，代入点(12,4)，可得a=112．由上可得，a的取值范围为[112,+∞)．。

2020 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动 . 用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效·4.考试结束后 . 将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给同的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

（ 1）已知会合A{1,2,3,4,5}, B{( x, y) x A, y A, x y A} ；,则 B 中所含元素的个数为（）(A) 3(B) 6(C)(D)【分析】选Dx 5, y 1,2,3,4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y1 共10个（ 2）将2名教师，4名学生疏成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1名教师和 2 名学生构成，不一样的安排方案共有（）( A) 12种( B) 10种(C) 种(D) 种【分析】选 A甲地由 1名教师和 2 名学生：C21C4212 种2（ 3）下边是对于复数z的四个命题：此中的真命题为（）1 i 1p2: z22i p3: z1ip4 : z1p : z 2的共轭复数为的虚部为( A) p2 , p3(B)p1 , p2(C ) p , p(D ) p , p【分析】选 C22(1i)1izi ( 1i)( 1 i )1p1 : z 2 ，p2: z22i ， p3 : z 的共轭复数为1i ，p4: z的虚部为1（ 4）设F F是椭圆E :x2y21(a b 0) 的左、右焦点，P为直线3a上一点，1 22b2xa2F 2 PF 1 是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）(A)1( B) 2(C )(D )23【分析】选 CF 2 PF 1 是底角为 30o的等腰三角形PF 2F 2 F 1 2( 3a c) 2cec32 a4（ 5）已知 a n为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5a 68 ，则 a 1a10（）(A) 7(B)5(C )( D )【分析】选 Da 4 a 7 2，a 5a 6a 4 a 78 a 44, a 72或a 42, a 7 4a 4 4, a 7 2 a 1 8, a 10 1 a 1 a 107a 42, a 74a10 8, a 11a 1a107（ 6）假如履行右侧的程序框图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 ,a 2 ,..., a n ，输出 A, B ，则（）( A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a n 的和(B) AB为 a 1 , a 2 ,..., a n 的算术均匀数2(C ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最大的数和最小的数(D ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最小的数和最大的数【分析】选 C（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）( A) 6(B) 9 (C) (D)【分析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3此几何体的体积为1 1 V63393 2（ 8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216 x 的准线交于 A, B两点， AB4 3 ；则 C 的实轴长为（）(A) 2( B) 2 2(C )( D )【分析】选 C设 C : x 2 y 2 a 2 (a 0) 交 y 2 16x 的准线 l : x4于 A( 4,2 3)B(4,23)得： a 2( 4) 2(2 3) 2 4a 22a 4（ 9）已知0 ，函数 f ( x)sin( x) 在 ( , ) 上单一递减。

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕〔理科〕本试题包括选择题，填空题和解答题三局部，一共6页，时间是120分钟，满分是150分.一.选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，贼每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项复合题目要求的. 1.()211i i z -=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z =〔 〕 A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.设A,B 是两个集合，那么〞AB A =〞是“A B ⊆〞的〔 〕3.执行如图1所示的程序框图，假如输入3n =，那么输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.49,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么3z x y =-的最小值为〔 〕A.-7B.-1 C()ln(1)ln(1)f x x x =+--，那么()f x 是〔 〕A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，那么a =〔 〕 A.3 B.3- C.6 D-6 7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔 〕A.2386B.2718C.3413D.47728.点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.假设点P 的坐标为〔2,0〕，那么PA PB PC ++的最大值为〔 〕A.6B.7 C()2f x isn x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，假设对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，那么ϕ=〔 〕 A.512π B.3π C.4π D.6π10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=新工件的体积原工件的体积〕〔 〕 A.89π B.169πC.34(21)π-D.312(21)π-二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.11.20(1)x dx ⎰-= . 12.在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如图4所示.假设将运发动按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，那么其中成绩在区间[139,151]上的运发动人数是 .13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，假设C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，那么C 的离心率为 .n S 为等比数列{}n a 的前项和，假设11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，那么n a = .15.32,(),x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，假设存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，那么的取值范围是 .三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：〔1〕0180MEN NOM ∠+∠=；〔2〕FE FN FM FO •=•〔Ⅱ〕直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB •的值.〔Ⅲ〕设0,0a b >>，且11a b a b +=+. 〔1〕2a b +≥；〔2〕22a a +<与22b b +<不可能同时成立.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角?(1)证明：2B A π-=〔2〕求sin sin A C +的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上.〔1〕假设P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；〔2〕假设PQ//平面11ABB A ，二面角P-QD-A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.20.抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公一共弦的长为6〔1〕求2C 的方程；〔2〕过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向 〔ⅰ〕假设||||AC BD =，求直线l 的斜率〔ⅱ〕设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形21.0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：〔1〕数列{()}n f x 是等比数列〔2〕假设211a e ≥-*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕一、填空题〔56分〕 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -=。

2、假设全集UR =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，那么U C A =。

3、设m 为常数，假设点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，那么m =。

4、不等式13x x+<的解为。

5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为。

6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目的C ，假设0075,60CAB CBA ∠=∠=，那么A 、C 两点之间的间隔是千米。

7、假设圆锥的侧面积为2π，底面积为π，那么该圆锥的体积为。

8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为。

9、马教师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！〞处无法完全看清，且两个“？〞处字迹模糊，但能肯定这两个“？〞处的数值一样。

据此，小牛给出了正确答案E ε=。

10、行列式a b c d〔,,,{1,1,2}a b c d ∈-〕的所有可能值中，最大的是。

11、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，那么AB AD ⋅=。

12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是〔默认每月天数一样，结果准确到0.001〕。

13、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，假设()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，那么()f x 在区间[10,10]-上的值域为。

?!?321P(ε=x )x14、点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，那么0lim ||n n Q P →∞=。