灰色预测模型
一、灰色预测的概念
1.灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介
于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2.灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息
又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.
二、灰色预测的类型
1.灰色时间序列预测;即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色
预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间.
2.畸变预测;即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现
在特定时区内。
3.系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预
测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4.拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点,
并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点
三、GM（1，1)模型的建立
1.数据处理
为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i.设是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比。如果绝大部分的
级比都落在可容覆盖区间内，则可以建立GM(1,1）模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的预处理。方法目前主要有数据开n方、数据取对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑,具体可以按照下式处理
ii.预处理后对数据作一次累加生成处理，即:将原始序列的第一个数据作为生成
列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，
其和作为生成列的第二个数据。按此规则进行下去,便可得到生成列。
根据,得到一个新的数列
这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。
2.新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。
其中:a称为发展灰数；u称为内生控制灰数.
3.模型求解.
令,为待估参数向量，，
，
于是模型可表示为
通过最小二乘法得到：
求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：
,
为所得的累加的预测值，将预测值还原即为：
注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值。
4、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
1)残差检验
分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值,计算出平均相对误差判断精度是否理想。
2)
i.定义关联系数
其中：①为第个点与的绝对误差；
②称为分辨率，0〈<1，一般取=0。5；
③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始
化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据.
ii.定义关联度，称为与的关联度
根据上述方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度,根据经验，当=0。5时，关联度大于0。6便满足检验标准。
3)后验差检验
计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:
，
计算方差比，小误差概率,令，，则
检验指标和与灰色预测精度检验等级标准如下表所示：
XXX表
检验指标优良中差
〉0。9 〉0。8 〉0。7 ≤0.7
〈0。35 <0.5 〈0。65 0。65
四、残差模型修正
若用原始经济时间序列建立的GM（1，1)模型检验不合格或精度不理想时,要对建立的GM（1，1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（1,1）的残差模型。
设其中，—为的残差序列。若存在k0，满足
1.
2。，则称为可建模残差尾段，仍记为
设为可建模残差尾段，其一次累加序列的GM(1,1)模型的时间响应式为
则残差尾段的模拟序列为
其中
➢若用修正则称修正后的时间响应式
为残差修正GM（1，1)模型，简称残差GM(1，1）。
其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。
➢若则相应的残差修正时间响应式
称为累减还原式的残差修正模型.
取定k后，按此模型，可对k>k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表：
残差修正GM（1,1）模型的模拟精度得到了明显提高。若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
再用P和C检验预测效果。
五、GM（1，1)模型的适用范围
灰色GM（1,1）模型评价推广
( 1）灰色GM（1，1)模型优点
灰色GM（1，1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主，它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题。由MATLAB编制的灰色预测程序简单实用，容易操作，预测精度较高.
( 2）灰色GM（1,1)模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法，因此它对历史数据有很强的依赖性，而且GM(1,1）的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大，尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大，脱离实际. 下面我们来讨论GM(1,1)模型的适用范围。
GM(1,1)模型的白化微分方程:
其中为发展系数，
可以证明，当GM(1，1）的发展系数时，GM（1，1)模型无意义。因此,是GM(1，1)发展系数a的禁区。在此区间，GM(1，1)模型失去意义。
一般地，当时，GM（1，1）模型有意义。但是，随着a的不同取值，预测效果也不同。通过数值分析，有如下结论：
(1)当时，GM（1,1)的1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，可用于中长期预测;
（2）当时,GM(1,1）的1步和2步预测精度都在90%以上，10步预测精度也高于80%，可用于短期预测,中长期预测慎用；
（3）当时，GM(1，1)用作短期预测应十分慎重;
（4）当时，GM（1,1)的1步预测精度已低于70％，应采用残差修正模型；（5)当时，不宜采用GM(1,1)模型.
如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM( 1，n）模型. GM( 1，N）模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立，而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度。
论文小结处：与传统的数理统计模型相比，该模型在…预测方面具有明显优点：①无需典型的概率分布；②减少时间序列的随机性;③小样本即可计算；④计算简便。用灰色理论预测…理论可靠，方法较简单.对原始数据系列长度要求不高，即使在系列较短的情况下也能取得令人满意的预报结果，弥补了其他方法无
法进行短期系列观测资料的…的预测.本文建立的模型经拟合精度检验（P= ，C=）,模型判为…，预测精度高，能达到预测要求.
灰色预测法 1.介绍 灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 2.适用问题 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。 灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。 3.数学方法核心步骤 3.1数据的检验与处理 首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为
(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比 (0)(0)(1)().2,3,...,() x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2 2 12(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以 作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+= 则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比 (0)(0)(1)(),2,3,...,() y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型 按照下面的办法建立模型GM （1,1） （1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对 其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x (1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+ 其中(1) (0)1()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n 则(1)(1)(1)((2),(3),..., n )z z z =（） 。于是建立灰微分方程为 (0)(1)()(),2,3,...,x k az k b k n +== 相应的白化微分方程为(1) (1)()dx dt ax k b += （2）记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1(,),((2),(3).,(),...() 1T T z z u a b Y x x x n B z n ??- ?- ?=== ? ? ?-?? ,则称Y
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计 一、灰色系统的引入： 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。 目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。 特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。 灰色模型的优点 （一） 不需要大量的样本。 （二） 样本不需要有规律性分布。 （三） 计算工作量小。 （四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 （五） 可用于近期、短期，和中长期预测。 （六） 灰色预测精准度高。 二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型） 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。 GM （1,1）的具体模型计算式 设非负原始序列 ()()(){} n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1= 对) 0(X 作一次累加 ()()∑==k i i x k x 1 )0() 1( ; k=1,2,…,n 得到生成数列为 ()()(){} n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1= 于是()k x ) 0(的GM （1,1）白化微分方程为 u ax dt dx =+)1() 1( (1—1)
5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型 GM(1,1)模型的建立 由于统计数据信息不完整，故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。 记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。 Step1：令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数 (0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n = 其中 )()()0(k x k x =，...3,2,1=k Step2：令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，对)0(x 作累加生成，即得到新的序列)1(x ， (1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n = (1)(0)(1)(1)x x = (1) (0)1()()k m x k x m ==∑ Step3：令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值 (1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- （5.9） (1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n = 则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为 b k az k x =+)()()1()0( （5.10） 式中：b a 、为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。 其中，
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---= ----=n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k k z k z n k x k z k z k z k z b k z k z n k x k z n k x k z a 22 2)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(2 2)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()( 经变换后得到 )()()1()0(k az b k x -= （5.11） GM(1,1)模型的求解 在（5.11）两端同时乘以ak e 得， (0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b += 即 (1)()()ak ak t z k e be d C -=+? ak b Ce a -=+ 将代入上式中，可得 0(1)b C x a =- 于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值 (1)0?(1)[(1)]ak b b x k x e a a -+=-+ （5.12） 我们把上式（5.12）作为预测方程。利用Matlab 软件编程求解出相应的预测值。具体程序见附录二。
南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。 原始序列X (0)： 表1 南昌市民用汽车保有量 年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆) 24.4109 26.7307 30.3878 36.3807 41.0161 43.73 48.41 61 57 63.1 第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值； 通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到： α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749% 第三步：得出时间响应预测函数模型为： ()()858996.248269896.2731101624.01-=+?k e k X 第四步：进行灰色关联度检验。 真实值： {24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值： {24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056} 计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163 关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。 第五步：后验差检验。 计算真实值的均值与标准差：() 0254.14,2166.4310==S X 计算残差的均值和标准差：6134.49295 .12==?S ， 于是方差比 C=S 2/S 1=0.3289<0.35 S 0=0.6745*S 1=9.4601 ()} {8761.0,6076.0,2866.5,7527.1,7677.1,5638.0,3678.1,0405.0,5708.0,9295.1=?-?=k e k
SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型 灰色预测GM(1,1)模型分析 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。 灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。 特别提示： GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测； GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。
灰色预测模型案例 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 1背景 当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。数据如下： 年份城市交通噪声/dB(A) 198671.10 198772.40 198872.40 198972.10 199071.40 199172.00 199271.60 2理论 灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。在进行模型构建时，通常包括以下步骤： 第一步：级比值检验； 此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。级比值=当期值/上一期值。一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。 第二步：后验差比检验； 在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。 第三步：模型拟合和预测；
数模竞赛培训内容精选 区诗德 (玉林师范学院数学与计算机科学系,537000) 第一章 灰色系统 1. 有关灰色系统的基本概念及定理 定义1.1 设)0(X 为原始序列))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =，D 为序列算子 ))(,,)2(,)1(() 0() 0() 0() 0(d n x d x d x D X =，其中∑==k i i x d k x 1 )0() 0()()(;k=1,2,…,n ． 则称D 为)0(X 的一次累加生成算子，记为1-AGO ．习惯上，记为 ))(,,)2(,)1(()0()0()0()0(d n x d x d x D X =． 定义1.2 设序列X=))(,),2(),1((n x x x ，我们称 ) 1() ()(-= k x k x k σ;n k ,,3,2 =． 为序列X 的级比．称 ∑-== 1 1 ) () ()(k i i x k x k ρ;n k ,3,2= 为序列X 的光滑比． 定义1.3 若序列X 满足 01 1) () 1(<+k k ρρ;.1,,3,2-=n k 02 ],0[)(ερ∈k ;.,,4,3n k = 03 .5.0<ε 则称X 为准光滑序列． 定义 1.4 称灰色微分方程b k az k x =+)()()1()0(或者其白化方程
b ax dt dx =+)1() 1(为GM(1,1)模型，其中)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k z ． 定义1.5 若],[)(,b a k k ∈?σ,b-a =δ.则称序列X 具有绝对灰度为δ的指数规律. 定理1.1 设)0(X 为非负准光滑序列，则)0(X 的一次累加生成序列)1(X 具有准指数规律． 2. 建立GM(1,1)模型 定理 2.1 设))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =为非负序列， )1(X 为)0(X 的1-AGO 序列)1(Z 为)1(X 的紧邻均值生成序列： ))(,),2(),1(()1()1()1()1(n z z z Z =， 其中)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k z ，k=1,2,…,n ．记T b a a ),(?=为参数列， T n x x x Y ))(,),3(),2(()0()0()0( =， ?? ??? ? ? ???????---=111 )() 3()2()1()1()1( n z z z B ． 则灰色微分方程b k az k x =+)()()0()0(的最小二乘估计参数列Y B B B a T T 1)(?-=． 定理2.2 (1) GM(1,1)白化方程b ax dt dx =+)1() 1(的解为 a b e a b x t x at +??? ? ? -=-)0()()1()1(． (2) GM(1,1)灰色微分方程b k az k x =+)()()1()0(的解为 a b e a b x k x ak +??? ? ? -=+-)0()1(?)1()1(，k=1,2,…,n ． (3) 取)1()0()0()1(x x =，则a b e a b x k x ak +?? ? ? ? -=+-)0()1(?)0()1( ，k=1,2,…,n ． (4) )(?)1(?)1(?)1()1()0(k x k x k x -+=+， k=1,2,…,n ． 3. GM(1,1)模型检验 定义3.1 记),,,(21n ???=? 为相对误差序列，?为平均相对误差，称?-1为相对精度;若给定α>0，有?<α且n ?<α，称模型为残差合格模型．
灰色预测模型GM (1,1) §1 预备知识 灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211Λ，大致分布在一条直线上。 设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误 差平方和()∑=--=n i i i b ax y J 1 2 最小。J 是关于a , b 的二元函数。由 ()()()()???????=-?--?=??=-?--?=??∑∑==0 12021 1 n i i i i n i i i i i b x a y b J x b x a y a J () ()???????=--=--?∑∑==001 1 2 n i i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为： ?????= +=+?∑∑∑∑∑=i i i i n i i i y nb x a y x x b x a 1 2 （*） ()() ()()() ()()??? ? ???--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22 2 2 2i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据i x 、i y 去表示a 与b ，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程 ???? ?? ? ??+??????? ??≈??????? ??b b b x x x a y y y n n M M M 2121 中形式上解出a 与b 。把上式写成矩阵方程。 x
建立GM(1,1)灰预测模型进行预测。 其方法如下： 步骤一 级比检验、建模可行性判断。 对给定的序列 () () ()()()()()()(){ }000 1,2,3,...X X X X X n =, 计算级比 (0) (0) (1)()() X k k X k σ-= k ＝2，3，……，n 进而获得级比序列 (0) (0) (0) ((2),(3),(n )σσ σ σ =……，） 然后检验级比()k σ是否落于可容覆盖中，比如： 4,()(0.67,1.49),5,()(0.71,1.39),6,()(0.75,1.33), n k n k n k σσσ=∈=∈=∈ …… 当()k σ均落于可容覆盖，则该序列可做GM(1,1)建模和进行数列灰预测。 步骤二 数据变换处理。 对于级比检验不合格的序列，必须做数据变换处理，使变换后的序列的级比落于可容覆盖中，常用变换处理途径有： 平移变换，对数变换，方根变换 步骤三 GM （1，1）建模 通过累加生成新序列()()()()()()(){}1111 1,2,...,X X X X n = 则GM （1，1）模型相应的微分方程为： () () 11d d X aX t μ += 其中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。 a 、μ计算方法如下： 1()T T N a B B B Y u -??=???? （24）
其中：(1)(1)(1)(1) (1)(1)1/2[(2)(1)11/2[(3)(2)1......1/2[()(1) 1i i i i i i x x x x B x n x n ?? -+??-+? ?=????-+-???? (0)(1)(0) (2),(3),...()T N i i i Y x x x n ??=?? 则微分方程的解为 (1)(0)(1)(1) ()((1))q '(t)a k i i i u u x k x e a a --'=-+ + 然后进行累减，便可以得到预测值： ()()()()()()011?1X i X i X i =-- 步骤四 检验 1、残差检验 () ()() ()()()000?i X i X i ? = - 1,2,..., i n = ()() () () () 00100%i i X i φ? = ? 1,2,..., i n = 一般要求()i φ<20%,最好是()i φ<10%。 2、关联度检验 方法见灰关联度 rou ＝0.5 关联度大于0.6就满意了 残差模型（模型扩展） 原GM （1，1）模型检验不合格或精度不理想时 原始残差序列 (0)(0)(0)q (t)(t)(t)i i i x x '=- 使用该数据序列 建立残差GM （1，1）模型， q (1) q q (1) (0) q q q '()(q (1))a k i i u u k e a a --=- + 引入残差模型的影响 (1) (0) (1) (1) ()((1))q '(k )a k i i i u u x k x e a a --'=- + + 灰色动态模型 设原始序列为(0)(0)(0)(0),0(){(1),(2),...()}i i i i x k x x x k =，据此建立基本模型GM （1，
灰色预测理论在数学建模中的应用 作者：胡金杭 摘要：灰色系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。 关键字：GM(1,1)预测模型后验差检验等维灰数递补模型 引言 现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。 灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列( 如累加生成、累减生成) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。 一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立： 我们设已知数据变量组成序列，则我们可得到数据序列 ，用1-AGO生成一阶累加生成序列为： 其中 (1-1) 由于序列具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为序列满足下述一阶线性微分方程模型
(1-2) 我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式： (1-3) 简记为： (1-4) 式中；； 上述方程组中，和B 为已知量，A 为待定参数。可用最小二乘法得到最小二乘近似值。因此，式（1－4）可改写为 式中，E —误差项。 利用矩阵求导公式，可得 (1-5) 解得结果代入（2－2）中，我们可以得到 (1-6) 写成离散形式（令），得到GM(1,1)模型的时间响应函数 （K =1，2，…）(1-7) 我们对其做累减还原，即可得到原始数列的灰色预测模型为： （K =1，2，…） (1-8) 将相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数的具体值，即得到了具体的预测公式。 二、灰色模型精度的后验差检验：
GM(1,1)灰色预测模型 摘要 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的gm(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。本文利用灰色预测对重庆市的人均收入进行模拟，容易理解，操作简单灵活，直接面向用户，精度较高。 一、GM(1,1)预测模型的基本原理： 灰色预测的基本原理时间序列预测是采用趋势预测原理进行的.然而时间序列预测存在以下问题:(1)时间序列变化趋势不明显时,很难建立起较精确的预测 模型.(2)它是在系统按原趋势发展变化的假设下进行预测的,因而未考虑对未来 变化产生影响的各种不确定因素.为克服上述缺点,邓聚龙教授引入了灰色因子的概念,采用“累加”和“累减”的方法创立了灰色预测理论.1.1 GM(1,1)模型的基本原理当一时间序列无明显趋势时,采用累加的方法可生成一趋势明显的时间序列.如时间序列X(0)={32,38,36,35,40,42}的趋势并不明显,但将其元素进行“累加”所生 成的时间序列X(1)={32,70,106,141,181,223}则是一趋势明显的数列,按该数列的 增长趋势可建立预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测,然后采用“累减”的方法进行逆运算,恢复原时间序列,得到预测结果,这就是灰色预测的基本原理. 数据来源：重庆市统计年鉴 重庆城市居民家庭人均可支配收入： 收入 4375.43 5022.96 5302.05
表1 二、利用软件对数据进行模拟： 模拟值残差相对误差 4375.43 2 3910.0859 -1112.8741 -22.155743 3 4368.869126 -933.18087 4 -17.600379
灰色预测模型GM(1,1)的应用 一、问题背景： 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。 在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕 变断裂时间见下表。 数 列 序 数 K 1 2 3 4 5 载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时） 2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58 1、建立GM （1,1）模型 （1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==k n n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。 （2）建立矩阵B,y:
灰色系统建模 灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成: (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()], ,[(1),(2),,()],: x x x x x n x x x x x n x x ==令为原始序列,记生成数为如果 与之间满足如下关系 (1)(0)1 ()();1,2,,(21) k i x k x i k n ===-∑ ,1AGO -一次累加生成则称为记为 累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的 的,递增的数列. 累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆. ()() () ,,: r r i x r x i ∆令为次生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为 (0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]() [()][()][(1)][()][()][(1)](25) [()][()][(1)] r r r r r r r r i r i r i r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k --∆=∆=∆-∆-∆=∆-∆--∆=∆-∆ -
GM(1,1)模型的适用范围 摘要 GM(1,1)模型是一种常用的灰色系统数学模型，在许多领域得到了广泛的应用。本文将介绍GM(1,1)模型的基本原理及其适用范围，并针对不同领域中GM(1,1)模 型的具体应用进行详细讨论。 简介 灰色系统理论是一种将统计学、数学和信息科学相结合的新兴跨学科领域，其 研究的对象是具有不确定性、非完备信息的系统。GM(1,1)模型是灰色系统理论中 最常用的一种数学模型，用于预测和分析时间序列数据。 GM(1,1)模型的原理是基于灰色系统理论的灰色模型建模方法，该方法根据数 据序列的变化规律，建立数据的动态变化模型，并通过建立灰色微分方程来进行预测。GM(1,1)模型主要适用于简单的时间序列数据的预测和分析，具有简单、快速 和高效等特点。 GM(1,1)模型的适用范围 GM(1,1)模型适用于许多领域，主要包括以下几个方面： 经济领域 GM(1,1)模型在经济领域中的应用非常广泛，用于进行经济增长预测、市场趋 势分析和投资策略制定等。例如，可以将GM(1,1)模型应用于GDP季度数据的预 测和分析，对经济增长趋势进行精确预测，为决策者提供科学依据。 工程领域 GM(1,1)模型在工程领域中主要应用于生产和管理技术的改进、质量控制和生 产计划制定等。例如，可以将GM(1,1)模型应用于生产过程中某个指标的预测和分析，帮助工程师优化生产过程，提高生产效率。 自然科学领域 GM(1,1)模型在自然科学领域中主要应用于气象、环境、水资源和地震等领域 的数据分析和预测。例如，可以将GM(1,1)模型应用于气象领域的气温预测和降雨 量预测，为决策者提供准确的气象数据，为灾害防治提供科学依据。
灰色GM（1，1）模型的应用研究 0 前言： 目前常用的沉降预测方法较多，但研究表明，每种预测方法均有一定的适用范围，如双曲线法对于典型断面的理想数据预测效果较好，而对于量级小，波动大的观测数据的适用性较差；三点法（固结度对数配合法）预测误差较小，对数据段选取的依赖性小，对异常数据的敏感性强，但对沉降曲线收敛后波动太敏感，适用性差；Asoaka法预测误差一般较小，但其在预测过程钱对原始数据的平滑处理过程影响了预测误差的稳定性；指数曲线法对沉降变形数据的单调性有严格的要求，局部数据的小幅起伏变化都可能导致无法进行预测计算。 而现在高层、超高层建筑物，尤其高速铁路对于沉降控制很高，沉降量级一般较小，沉降数据波动大，如武广高铁桥涵和隧道沉降变形小于5mm，同时观测数据出现跳跃或连续几个观测数据变化趋势与常规相反的情况较多[[1] 陈善雄.高速铁路沉降变形观测评估理论与实践[M].中国铁道出版社，2010，3.]。针对这些情况，目前高速铁路对桥涵和隧道进行沉降预测及评估时，目前通用的办法就是根据相应的地质条件、地基或桩基处理方式及目前发生沉降量直接判定是否满足沉降评估的要求，但判定条件很难把握，至今仍无法统一，故一种专门针对变形量级小，数据波动相对大的沉降预测方法具有十分重要的现实意义。 1 灰色GM（1，1）模型 灰色系统是一种综合运用数学方法对信息不完全的系统进行预测、预报的理论和方法。灰色预测的思路是：把随时间变化的随机正的数据列。通过适当的方式累加，使之变成非负递增的数据列，用适当的方式逼近，以此曲线作为预测模型，对系统进行预测[[2] 宋来中.高速铁路线下工程沉降评估方法[J].中国港湾建设，2010，12（6）：35-36.]2。 目前常用的有GM（1，1）、GM（1，N）模型，其中GM（1，N）模型适合于建立系统的状态模型，为高阶系统提供基础，不适合预测用，预测模型应选用单个变量的模型即预测量本身数据模型（GM（1，1）模型）[[3] 陈启华.灰色GM （1，1）模型在高铁线下工程沉降变形预测中的应用[J].地理空间信息，2012，6（3）：141-142.][3]。GM（1，1）模型通过使用某t时刻前的观测值，完成t 时刻后状态量的预报工作。
灰色理论 在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。 等时距GM （1, 1）模型 等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。设观测到的原始等时距数据序列为： {}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。 对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列： {}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中，(1)(0)1()()k k i i x t x t ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。 [1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。 (1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为： （1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为： (0)(1)(1)()x k az k b ++= （2） 离散的过程： 式（1）在区间[,1]k k +上积分，有： 11 1(1)(1)()()k k k k k k dx t ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1) k k dx t x k x k x k +=+-=+⎰ 所以，式（1）离散后的方程为式（2）。
7.3 灰色预测模型 7.3.1 GM （1,1） 模型符号含义为 G M （1， 1） Grey Model 1阶方程 1个变量 1．GM(1,1)模型 令为GM(1,1)建模序列， ， 为的一次累加序列， ， , 令为的紧邻均值（MEAN ）生成序列 =0.5+0.5 则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为 (7.3.2) 式中称为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足 = 其中 =，= 称 (7.3.3) 为灰色微分方程 的白化方程，也叫影子方程。 如上所述，则有 1） 白化方程的解也称时间响应函数为 2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为 (0) X (0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())X x x x n =(1)X (0)X (1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())X x x x n =(1) (0)1 ()() k i x k x i ==∑1,2,...,k n =(1) Z (1) X (1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())Z z z z n =)()1(k z )()1(k x )1()1(-k x b k az k x =+)()()1()0(a b ˆα ˆ(,)T a b α=∧ αn T T Y B B B 1)(-B (1)(1)(1)(2)1(3)1......()1z z z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n Y (0)(0)(0)(2)(3)...()x x x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) (1)dx ax b dt +=b k az k x =+)()() 1()0((1) (1)dx ax b dt +=(1)(1)ˆ()((0))at b b x t x e a a -=-+b k az k x =+)()() 1()0(
灰色预测法gm1,1总结
灰色预测模型 一、灰色预测的概念 1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介 于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。 2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信 息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 二、灰色预测的类型 1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色 预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出 现在特定时区内。 3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预 测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点， 并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。 i. 设()()()()()()()()(){} ,,, (00000) 123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始 数据，计算数列的级比()()() (),,,,() 00123X t t t n X t λ-= =。如果绝大部分的级比 都落在可容覆盖区间(,)221 1 n n e e -++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰
GM(1,1)预测模型的应用 灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1)数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的开展变化所进展的预测。 (2)灾变预测。这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。 (3)季节灾变预测。假如系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，如此该预测为季节性灾变预测。 (4)拓扑预测。这类预测是对一段时间系统行为特征数据波形的预测。 例1〔数列预测〕：设原始序列 )679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X 试用GM(1,1)模型对)0(X 进展模拟和预测，并计算模拟精度。 解：第一步：对)0(X 进展一次累加，得 )558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。由 ) 1() ()() 1()0(-=k x k x k ρ 得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。 当k>3时准光滑条件满足。 第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。由 )(1) 1() ()()1()1() 1(k k x k x k ρσ+=-= 得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ 当k>3时，5.0],5.1,1[)k ()1(<=∈ρσ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。 第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得 )718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z 于是