中考数学教学指导：与函数有关的“新定义问题”

赏析与高斯函数有关的中考新定义问题1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用[x ]或int (x )[2]表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。

在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。

笔者前些年在高三复习时发现高斯函数问题[1]在高考中频繁出现，同样的，高斯函数也已渗透到中考，多以阅读理解的新定义问题的形式出现在压轴题的位置。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终[8]。

陶行知指出：“创造力最能发挥的条件是民主。

”民主、平等、宽松、和谐、愉悦的教学气氛，能够使学生产生自觉参与的欲望，无顾忌地充分表达自己的创意和“心理安全”，为其创造性活动的开展提供必要的条件。

高斯函数[x ]有关的求值问题及方程问题，这类问题新颖有趣味性，备受命题者关注。

同时这类问题对初中生有较大难度。

下面本文从一些各地中考考题和一些数学竞赛题为例去体会高斯函数。

2 高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+。

3 高斯函数有关问题的解决一．以高斯函数的定义为背景考察例1 （2016乐山16）高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数． 例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x ]+[﹣x ]=0；③若[x +1]=3，则x 的取值范围是2≤x ＜3； ④当﹣1≤x ＜1时，[x +1]+[﹣x +1]的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．分析：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x +1]=3，则x 的取值范围是2≤ x ＜3，正确；④当﹣1≤ x ＜1时，0≤ x +1＜2，0＜﹣x +1≤2，∴[x +1]=0或1，[﹣x +1]=0或1或2，当[x +1]=1时，[﹣x +1]=2；当[﹣x +1]=1时，[﹣x +1]=1或0；所以[x +1]+[﹣x +1]的值为1、2，故错误．故答案为：①③．点评：根据“定义[x ]为不超过x 的最大整数”进行计算．【变式1】（2017崇仁）规定：用符号[x ]表示一个不大于实数x 的最大整数，例如：[3.69]=3，[3+1]=2，[﹣2.56]=﹣3，[﹣3]=﹣2．按这个规定，[﹣13﹣1]= ．分析：∵4133<<，∴3-13-4-<<，∴[]5-1-13-=．故答案为：﹣5．【变式2】（2015，永州）定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x ，下列式子中错误的是（ ）A ．[x ]=x （x 为整数）B ．0≤x ﹣[x ]＜1C ．[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．[n +x ]=n +[x ]（n 为整数） 分析：A 、∵[x ]为不超过x 的最大整数，∴当x 是整数时，[x ]=x ，成立；B 、∵[x ]为不超过x 的最大整数，∴0≤x ﹣[x ]＜1，成立；C 、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x +y ]≤[x ]+[y ]不成立，D 、[n +x ]=n +[x ]（n 为整数），成立；故选：C ．美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学教学就是数学语言的教学”，可见数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言---描述科学的语言。

例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP解：（1）联立，解得，∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，＝×|t﹣3|×3，∴S△ABPS△ABO＝×3×3，＝3S△ABO，∵S△ABP∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜9．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是y＝x；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，＝GI•（x E﹣x F），又∵S△GFE设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是C．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），直线y＝x，当x＝n时，则y＝n，∴点（n，n）在直线y＝x上，∴直线y＝x上有无数个“不动点”，故A正确；将（n，n）代入y＝，得n＝，此方程无解，∴函数y＝的图象上没有“不动点”，故B正确；将（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程无解，∴直线y＝x+1上没有“不动点”，故C错误；将（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1），故D正确，故选：C．（2）设双曲线上的“不动点”为（x，x），则x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x），则x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵当a＝1时，则＝1，∴c＝4，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为（3，3），∴直线l即直线y＝3，如图，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝交直线l于点A，交直线r于点C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，设直线t与直线r关于直线l对称，∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，∴0＜m＜．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I＝1+的图象与性质．总①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 2.5，n＝2；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：（3）①根据图象可知，I随R的增大而减小，总故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质：下列说法不正确的是AA．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，图象如下所示：故答案为：1，图象如上所示；（2）A．当x＜﹣1或x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，故选项A不正确；B．根据图象可得，函数图象不经过第四象限，故选项B正确；C．根据函数表示可得：x≠﹣1，所以函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故选项C正确；D．根据图象可知，函数图象对称中心（﹣1，0），故选项D正确；故选：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案为：0．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：②；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4．解：（1）将x＝3代入得y＝，故答案为：．（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，故②正确；故答案为：②．（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，＝AB•y A＝2×2＝4．∴S四边形OABC故答案为：4．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为30°；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，，，∴AB∥y轴，，OE＝3，∴AB⊥x轴，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA 半径画圆，交直线于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合视角的定义，P3，P6舍去．同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是③；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝3或﹣9；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案为：0，3；②描点，连线，作出函数图象如下：（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；故答案为：③；（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0时，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案为：3或﹣9；（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，故答案为：c＞﹣2．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3；②画出当x＞0时函数M的图象如下：③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；故答案为：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有②③（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），当x＝0时，y＝1，∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），当x＝0时，y＝1，∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），当x＝3时，y＝＝0，∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；故答案为：②③；（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴点D的坐标为（0，3）或．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函数；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝9，当x＝2时，y＝﹣3，∴对于﹣4＜x≤2时，任意函数值都满足﹣9＜y≤9，∴边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x＝0时，y＝m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y＝﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．解：（1）令y＝0，则mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），设抛物线C1的解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），将点A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；＝S△ONQ，理由如下：（3）∵存在一点Q，使得S△APM∵点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），设直线AM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，过点P作PG∥y轴交AM于点G，当P（﹣1，﹣）时，G（﹣1，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；当P（﹣3，﹣）时，G（﹣3，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1是对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“对称函数”．故答案为：是；y＝2|x|+1的图象如图1所示，（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，∴n＝1；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，即方程组有一个解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+4x+8，自变量的取值范围是﹣2≤x≤4；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，∴A（﹣2，0），B（4，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案为：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x≤4．（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，∵CE与半圆相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴∠CEO＝∠MCO，又∵∠COE＝∠MOC＝90°，∴△COE∽△MOC，∴＝，由勾股定理得，OC＝＝2，∴OE＝＝＝8，∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）；（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y＝kx+8，联立，消掉y得，x2+（k﹣2）x＝0，∵直线与“蛋圆”抛物线相切，∴△＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝2x+8．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝﹣上，∴，解得或，∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（﹣，4）；（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，∴，∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，∴，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，∵有且仅存在一组“XC点”，∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即＝﹣1，∴顶点M的纵坐标为﹣1，∵ax2+bx+c＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵AB＝，∴＝，∴＝，∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，∴△POA∽△BOP，∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，∵P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣1），∴t+1＝＝＝（c﹣1）2+，∴当c＝1时，t有最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形×；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形×；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形√；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。

中考数学中“新定义”问题的类型及教学策略摘要：近几年嘉兴中考对于“新定义”类型的问题要求较高，而学生往往对于这类问题感到畏惧。

本文以“新定义”问题的概念以及特征为出发点，把这类题型分为四种类型。

教学时从概念中提取信息→加工信息→转化迁移→建立模型→解决问题。

这类问题主要考查学生现学现用的能力，以及类比和转化思想。

关键词：“新定义”；策略；迁移；阅读理解“新定义”问题是近几年嘉兴中考试题中的热点题型，它是基于学生必须掌握的知识及应该具备的能力，通过新定义的方式隐藏问题本源，要求学生在理解新定义的基础上进行拓展，从而灵活运用新知解决问题，主要考查学生现学现用的能力。

“新定义”问题的重要意义在于它不仅改变了学生解题的思维方式，而且对教师的课堂教学也起到了良好的导向作用，由于突出了理解定义的内在含义、问题迁移转化等重要环节，所以学生往往遇到“新定义”问题感到畏惧，故教师在教学“新定义”问题的时候要注意教学策略。

一、“新定义”问题阐释1.“新定义”问题的概念“新定义”问题是指命题者按照一定的规则，呈现给学生没有见过的新运算、新符号、新图形、新变换、新函数等，或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，要求学生现学现用，它全面地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和创新能力。

2.“新定义”问题的特征“新定义”题型特点突出、取材广泛，材料源于课本又有创新，不仅可以考查学生的阅读理解能力、分析综合能力、辨别判断能力以及生活经验是否丰富等，而且可以综合考查学生的数学思维能力和创新意识，此类问题能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，达到从预设到生成的跨越，符合学生的认知规律，既实现了对学生知识与能力考查的结合，又体现了素质教育的本质，还为学生进入高一级学校的学习做了良好的铺垫。

与函数有关的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新的问题．[例4] 设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的五个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1； ③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2x －2－x ；⑤f (x )＝2sin x －1，其中是“美丽函数”的序号有________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意； ③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R ，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f (x )＝2sin x －1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意． 答案：②③④1．紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．2．巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．3．构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．[素材库]1．(2018·长沙市高三模拟)定义运算：x Δy ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：3Δ4＝3，(－2)Δ4＝4，则函数f (x )＝x 2Δ(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知得f (x )＝x 2Δ(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＜0或x ＞2，易知函数f (x )的最大值为4.答案：42．(2018·济宁高三模拟)如果定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的是________．(填上所有正确的序号)解析：若函数f (x )为“H 函数”，则有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，x 1[f (x 1)－f (x 2)]＞x 2[f (x 1)－f (x 2)]，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0.所以“H 函数”f (x )就是R 上的单调递增函数．①y ′＝－3x 2＋1，由y ′＞0，解得－33＜x ＜33，所以该函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，而在区间(－∞，－33)和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递减，显然在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．②y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，1]，所以y ′＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥3－22＞0，③因为函数y ＝e x 在R 上是单调递增函数，所以y ＝e x＋1在R 上也是单调递增函数，即“H 函数”．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，ln （－x ），x ＜0，0，x ＝0.故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．综上，②③正确．答案：②③。

1 / 2中考数学专题训练：关于二次函数的新定义（附参考答案）1．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y ＝(x －2)2－4向右平移m(m ＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．4D ．32．新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y ＝x2－2x ＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m ，2m ＋4，2m ＋4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2B ．14C ．－2或2D ．23．定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做“和谐点”，所围成的矩形叫做“和谐矩形”．已知点P 是抛物线y ＝x2＋k 上的“和谐点”，所围成的“和谐矩形”的面积为16，则k 的值可以是( )A ．16B ．4C ．－12D ．－184．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x －m)2－m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A ．4，－1B ．5−√172，－1 C ．4，0 D ．5+√172，－15．定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的特征数，下面给出特征数为[m ，1－m ，2－m]的二次函数的一些结论：①当m ＝1时，函数图象的对称轴是y 轴；②当m ＝2时，函数图象过原点；③当m ＞0时，函数有最小值；④如果m ＜0，当x ＞12时，y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是__________．6．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(x ，y)，当x ＜0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－x ，y)；当x ≥0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－y ，x)．抛物线y ＝(x －2)2＋n 与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件的所有n 值的和为________．7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，2 / 2 如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数y ＝－x2＋1(－2≤x ≤t ，t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度，得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时，则t 的取值范围是________________________．参考答案1．C 2．C3．C 4．D 5．①②③ 6．－13 7．≤t ≤34或54≤t ≤32。

专题复习——“新定义”问题（教案）授课日期：2016.5.18教学目标：1、通过具体实例了解"新定义"型试题的概念及常见模式；2、通过生生交流、师生互动了解解决"新定义"型试题的思路，掌握分析"新定义"型试题的方法，并学会解决"新定义"型试题。

教学重点："新定义"型试题三种常见模式及其分析、解决该类问题思路和方法。

教学难点："新定义"型试题需要学生有一定的阅读理解能力，在解决过程中又往往涉及较多的知识点，综合性较强。

因此如何引导学生读题和分析问题，并且综合运用所学知识解决问题是本节课的教学难点。

教学过程：一、专题诠释所谓"新定义"型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。

其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。

二、解题策略解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。

即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。

三、典例精析（一）运算模式例1 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b ，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。

（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，即可求解；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，最后在数轴上表示即可。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy中，（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y ＝（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限交点，这个点是；（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题参考答案与试题解析1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．2．解：（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：a＝0，故抛物线的开口向上；（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝d，设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），①当m＝2，k＝2，且d＝时，反比例函数表达式为：y＝，设点P（x，），d＝，PH＝2，即|+x﹣2|＝2，解得：x＝2，故点P（2，2）；②PH＝t+s﹣1＝d，且st＝，则1＝2st，PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，故PB＝d．3．解：（1）∵1﹣（﹣）＝，∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）∵1﹣1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；∵1÷2＝，∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．①∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值为﹣、、或．4．解：（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝∵M（3，6）∴代入y＝ax﹣3，得6＝3a﹣3∴a＝3（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣2解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣4解得m3＝2+m3＝2﹣故m的值为2﹣、2+或2﹣②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点∴函数最大值为0当∵a＝﹣1∴抛物线开口向下∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2理由：由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣25．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．6．解：（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；故答案是：（﹣，﹣1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．故答案是：A；（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y ＝的图象上．当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．第11页（共11页）。

《新定义函数类问题》微设计学习目标:1.体会新定义函数问题研究的基本方法：阅读－理解－辨析－应用；2.巩固二次函数的顶点式，交点式，对称性以及图象的平移等核心知识，尝试与其它几何图形的综合应用；3.体会函数建模、几何直观和数形结合等数学思想方法.学习重点：掌握研究新定义函数问题研究的基本方法，巩固函数的相关知识.学习难点：对新定义的阅读－理解－辨析－应用的过程.教学过程：一、认识问题例1.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？分析：阅读题意可知，特征数[p，q] 中的p,q分别是二次函数的一次项系数和常数项，且二次项系数为1，所以已知“特征数”就确定二次函数的解析式，已知解析式同样也就有了相应的“特征数”，要研究二次函数的平移问题，只需化为顶点式即可.xyA BD CO xyA BD CO 练1．定义{a ，b ，c }为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的“特征数”．如：函数y ＝x 2－2x ＋3的“特征数”是{1，－2，3}，函数y ＝2x ＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y ＝－x 的“特征数”是{0，－1，0}（1）将“特征数”是30,,13⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．分析：（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．（2）判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB ＝2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC ＝2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长＝2×4＝8；（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y ＝(x －b )2＋21，确定二次函数的图象不会经过点B 和点C ，再将菱形顶点A （0，1），D ()2,3代入二次函数解析式得出实数b 的取值范围．解析：（1）y ＝313x -，“特征数”是3013,,⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数，即y ＝313x +， 该函数图象向下平移2个单位，得y ＝313x -．（2）由题意可知y ＝313x +向下平移两个单位得y ＝313x - ∴AD ∥BC ，AB ＝2．∵3x =，∴AB ∥C D ．∴四边形ABCD 为平行四边形．3313x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得C 点坐标为（3，0），∴D （3，2） 由勾股定理可得BC ＝2，∵四边形ABCD 为平行四边形，AB ＝2，BC ＝2∴四边形ABCD 为菱形．∴周长为8． 所以二次函数的图象不会经过点B 和点C ． 设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点A 时，将A （0，1），代入二次函数， 2)，代入二次函数， 二、问题拓展分析：本题（1）可以取任意一个确定的m 的值都可以得到一对对应的兄弟抛物线，第（2） ①对照兄弟抛物线的定义即可求b ，第（2） ② 则可以通过图象数学结合的进行分析求解. 解答：（1）当m ＝0时，得到一对兄弟抛物线， y ＝x (x ＋1)与y ＝x (x －1)； （2）①y ＝x 2－x ＝x (x －1)．情况一：若y ＝x (x －1)是形如y ＝(x －m )(x －m ＋1)，则m ＝1，则另一个函数为y ＝(x －1)(x －2)，即y ＝x 2－3x ＋2，b ＝3．情况二：若y ＝x (x －1)是形如y ＝(x －m )(x －m －1)，则m ＝0，则另一个函数为y ＝x (x ＋1)，即y ＝x 2＋x ，与已知矛盾． 综上，所以b ＝3．②y ＝x 2－3x ＋2的图象可以看作是由y ＝x 2－x 的图象向右平移1个单位得到，如图． 如果k ＞0，则点A 与点B 是平移对应点，AB ＝1， ∵点B ，点C 为线段AD 三等分点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝13AD ＝1，即BC ＝1；如果k ＜0，则点A 与点C 是平移对应点，AC ＝1，∵点B ，点C 为线段AD 三等分点，∴AB ＝BC ＝12AC ＝12，即BC ＝12．故线段BC 的长为1或12．练2.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如y ＝a (x －m )2＋a (x －m )与y ＝a (x －m )2－a (x －m )的两个二次函数的图象叫做“姐妹抛物线”． （1）试写出一对姐妹抛物线的解析式；（2）判断二次函数y ＝x 2－x 与y ＝x 2－3x ＋2的图象是否为姐妹抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对姐妹抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对姐妹抛物线的解析式．分析：本题为例2的练习题，提取公因式后即转化为例2形式，所以解答的方法与例2相似，第（3）问则根据抛物线的对称性结合直角三角形，易得为等腰直角三角形，从而得顶点坐标，进而得解.解答：（1）不妨令a ＝1，m ＝1，则得此时的兄弟抛物线为： y ＝ (x －1)2＋ (x －1)＝x 2－x 与y ＝ (x －1)2－(x －1)＝x 2－3x ＋2. （2）由（1）可知a ＝1，m ＝1. 当然也可以将两个二次函数分别化为：y ＝x 2－x ＝ (x －1)2＋ (x －1) ，y ＝x 2－3x ＋2＝ (x －1)2－(x －1) ，所以a ＝1，m ＝1. （3）y ＝a (x －m )2＋a (x －m )可化为y ＝a (x －m ) (x －m ＋1)； y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 可化为y ＝a (x －m ) (x －m －1)， 不妨令y ＝a (x －m ) (x －m ＋1)的对称轴为直线2x =， 所以m ＋m －12＝2，所以m ＝52，所以y ＝a (x －52 ) (x －32 )，又抛物线与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，所以顶点为（2，－12），将顶点代人抛物线得a ＝2，所以y ＝2(x －52 ) (x －32)，当m ＝52时得姐妹抛物线为y ＝2(x －52) (x － 72 )，当m ＝32 时得姐妹抛物线为y ＝2(x －32) (x － 12 ).三、感悟提升。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解解析“新定义”问题“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想，它与所考查的知识点有机融合，既能发挥试题的区分功能，也能兼顾基础知识的整体考察，因此近年来在各地中考中频频亮相．现就中考试题进行分类解析，以展示“新定义”问题的独特之处．一、定义新“运算”例1 对于任意非零实数a、b，定义运算“○*”，使下列式子成立：1○*2＝－32，2○*1＝32，（－2）○*5＝2110，5○*（－2）＝－2110，…则a○*b＝_______．分析由新运算数字等式得出变化规律，即可得解．点评本题通过定义新运算，从一个新的视角考查了找规律试题，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．二、定义新“数”例2若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋（n＋2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数“．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”，现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．分析满足题意的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根据概率公式计算可得解．点评本题定义新数，构思新颖，同时考查了概率公式．三、定义新“函数”例3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为(a，b)．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m ≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数y ＝2147555x x --是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.分析 (1)根据反比例函数y ＝2013x的单调区间进行判断； (2)由一次函数的性质，分两种情况讨论：①k >0②k<0，列出关于系数k 、b 的方程组，即可求解；(3)抛物线顶点为（2，－115），所以分三种情况讨论①b ≤2②a<2<b ③a ≥2，同(2)，列出关于系数a 、b 的方程组，即可求解．点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．四、定义新“点”例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12）E(0，－2) ，F(23，0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．分析“新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过题意，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点．点评本题是北京市中考压轴题，考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等．五、定义新“线”及新“四边形”例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上．请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC 是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．分析由新定义，易得(1)(2)．(3)由AC是四边形ABCD的和谐线，可得出△ACD是等腰三角形．从图3得AC＝AD，图4得AD＝CD，图5得AC＝CD，三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．点评本题通过定义和谐线、和谐四边形，考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用，以及圆弧的概念，解答时容易忽略图5这种情况，因此，合理运用分类讨论思想是关键．六、定义新“角”例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．分析由特征角定义，即可得解，点评此题由新定义考查了三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．七、定义新“相似”例7 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似；如图7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似．(1)根据图8、图9和图10满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP 与△NMQ．其中，互为顺相似的是_______；互为逆相似的是_______（填写所有符合要求的序号）(2)在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C．点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．分析(1)略．(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：①如图11，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2．②如图12，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，③如图13，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'．点评本题从课本习题出发，通过新定义以及恰当的图形变化，发现图形间的内在联系，本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想．。

专题训练与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是________．3．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的表达式．►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C 的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．6．在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－2 33x2－4 33x＋2 3与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A的坐标为________，点B的坐标为________．(2)如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．►类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．详解详析1．(1，0) [解析] 解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，所以AB＝4，所以点M的坐标为(1，0)．2．8 [解析] ∵二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，∴－b2×1＝0，∴b＝0，∴函数表达式为y＝x2－4，令y＝0，则x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝2－(－2)＝4.令x＝0，则y＝－4，∴点P的坐标为(0，－4)，∴△ABP的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．(答案不唯一)(2)y＝2(x－2)2＋1 y＝a(x＋h)2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y＝a(x ＋3)2＋4，将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8， 解得a ＝49，故y ＝49(x ＋3)2＋4，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝－49(x ＋3)2－4和y ＝－49(x －3)2－4.4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y ＝－(x 2－2bx ＋b 2)＋b 2＋c ＋1＝－(x －b)2＋b 2＋c ＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b ，b 2＋c ＋1)．因为抛物线过定点M(1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b ＋c ＋1＝1，解得c ＝1－2b ，则顶点纵坐标b 2＋c ＋1＝b 2＋1－2b ＋1＝(b －1)2＋1，所以当b ＝1时，b 2＋c ＋1的值最小为1，此时c ＝1－2b ＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x.5．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)． (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A(0，0)． 如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G.∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，PA ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∴∠PAG＝60°，∴AB＝2PA＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－3 3，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋4 33x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋4 33x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋4 33x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m2－4m＝0，解得m＝0或4.②∵抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q＝3.∵抛物线y＝x2－3x＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y＝x2＋px＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(1－p，4－p)，∴CD2＝(1－p－0)2＋(4－p－3)2＝2(1－p)2.∵AB＝CD，∴2(1－p)2＝32，∴p＝5或－3.∵抛物线y＝x2＋px＋3与抛物线y＝x2－3x＋3不重合，∴p＝－3不合题意，应舍去，∴p＝5.7．解：(1)y＝－2 33x＋2 33(－2，2 3) (1，0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0)．过点A作AG⊥y轴，垂足为G. 当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”．设N(0，n)，∵A(－2，2 3)，C(－3，0)，∴AC＝13，∴AN＝AC＝13.在Rt △AGN 中，AG 2＋GN 2＝AN 2，AG ＝2，GN ＝|n －2 3|， ∴4＋(n －2 3)2＝13，解得n ＝2 3－3或n ＝2 3＋3. 设M(m ，0)，当n ＝2 3－3时，在Rt △MNO 中，(2 3－3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2－2 3； 当n ＝2 3＋3时，在Rt △MNO 中，(2 3＋3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2＋2 3. ∵－3＜m ≤1，∴m ＝2＋2 3不合题意，舍去． ∴m ＝2－2 3，此时n ＝2 3－3， ∴N(0，2 3－3)；当点M 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”，此时点M 与点O 重合，在Rt △AGM 中，AG ＝2，GM ＝2 3， ∴AG GM ＝33，∴∠AMG ＝30°， ∴∠AMC ＝∠AMN ＝∠NMB ＝60°.过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，在Rt △NMP 中，MN ＝CM ＝3， ∴NP ＝3 32，OP ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32. 综上所述，点N 的坐标为(0，2 3－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32.(3)E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2 33； E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 2⎝⎛⎭⎪⎫－4，10 33. 8．解：(1)5 3(2)由题意可得3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.(3)由题意得⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2－2x －4， 解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y ＝－x ＋2的图象如图所示．由图象可知：当x ＝3时，max{－x ＋2，x 2－2x －4}有最小值－1.。

专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数）．系列抛物线的顶点分别为1M ，2M ，3M ，⋯，n M ． （1）下列结论正确的序号是 ①②④ ． ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-；②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1)； ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；（2）对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =，与系列抛物线的交点分别为1N ，2N ，3N ，⋯，n N ．①当0a =时，1n n N N -= ；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -；若不相等，说明理由；③以1n n N N -为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a 的值．【解答】解：（1）系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-，故①正确； 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+，令2340x x +-=．解得4x =-或1x =，∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-，(1,1)，故②正确；系列抛物线二次项的系数为14n -，与抛物线214y x =-的系数不同，∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得，故③错误；2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++，∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-，251)16n +． 12516n n M M -∴=，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516，故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④；（2）当x a =时，213144n y na na n =--++，2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++，21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-；①当0a =时，11n n N N -=； 故答案为：1；②相邻两点之间的距离相等，距离为2113144n n N N a a -=+-；③系列抛物线的对称轴是直线32x =-；当32a <-时，由题意得：21331442a a a +-=-+；整理得2720a a ++=．解得a =a = 当32a >-时，整理得2100a a --=，解得a =a =综上，a 的值为72-或12+ 2．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”． （1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的是 ②③ （填序号）； ①6y x=；②|4|y x =；③225y x x =--． （2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （3）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，5B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且1212y y -=，求t 的值． 【解答】解；（1）解：根据定义，函数关于直线(x n n =为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象，不符合题意： ②|4|y x =，③225y x x =--的图象是轴对称图形，符合题意． 故答案为：②③． （2）||y x h =-是“X （3）”函数， 3h ∴=，如图，3y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(3,0)C ∴，(0,3)D -， 45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒， AM CM ∴=，BN CN =， 5B A x x -=，5MN ∴=，设CN x =，则5MC x =-， (3,)B x x ∴+，(2,5)A x x --， (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=， 1x ∴=，(4,1)B ∴， 4m ∴=；（3）由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，54t ∴=（舍)； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+， x t =时，2224y t t =-++，22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=， 74t ∴=（舍)； ⑧当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=， 又312t <，2t ∴=． ④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，22y t =-十24t +，221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=，1t ∴=，又因为322t <，1t ∴=．综上所述：22t =-或12t =+． 3．我们知道，对于二次函数2()y a x m k =++的图象，可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数2y ax =为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”．左右、上所学的函数：二次函数2y ax =，函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数，由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向 左平移1个单位 ，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为 ．（2）探究二：已知函数263y x x =-+，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离． （3）探究三：为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．【解答】解：（1）2(1)7y x =+-，∴向左平移1个单位；=故答案为：向左平移1个单位； （2）2263(3)6y x x x =-+=--，∴基本函数为2y x =；原抛物线的顶点坐标为(0,0)，新抛物线的顶点坐标为(3,6)-，∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移6个单位；=； （3）函数341x y x +=+可化为131y x =++，∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．．4．定义：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点，若满足1y ，2y ，3y 中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且1y ，2y ，3y 都大于0，则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”．（1）①函数2(12)y x x =的最小值是m ，最大值是n ，则2m < n ；（填写“>”，“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是” )（2）若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，求a 的取值范围； （3）若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）①12x ，∴当1x =时，函数的最小值为1m =，当4x =时，函数的最大值为4n =， 2m n ∴<，故答案为：<；②当 1.1x =时，函数的最小值为1.21， 当2x =时，函数的最大值为4， 当1x =时，函数值为1， 1.2114+<，∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”；故答案为：不是；（2）当1x =时，3y a =-+，当2x =时，3y =，①当0a >时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”， 则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩，解得：302a<； ②当0a <时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”， 则233a ⨯-+，30a ∴-<；综上所述，a 的取值范围为302a <或30a -<； （3）2222()y x mx x m m =-=--，∴函数最小值为2m -，当1x =时，12y m =-； 32x =时，934y m =-； ①当1m 时，1x =时120y m =-<，不满足题意； ②当1m <时，函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”， 则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩， 解得：14m -；综上所述：若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -． 5．定义：当x a =时，其对应的函数值为y f =（a ），若f （a ）a =成立，则称a 为函数y 的不动点．例如：函数234y x x =-+，当2x =时，y f =（2）223242=-⨯+=，因为f （2）2=成立，所以2为函数y 的不动点．对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-，（1）当0t =时，分别判断1-和0是否为该函数的不动点，并说明理由； （2）若函数有且只有一个不动点，求此时t 的值；（3）将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度，4t -时，判断平移后函数不动点的个数． 【解答】解：（1）1-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点；理由如下： 当0t =时，23y x x =--， 当1x =-时，1y x =-=， 当0x =时，30y =-≠，1∴-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点．（2）由不动点的定义可知，函数的不动点在y x =上， 当1t =-时，函数3y x =-，此时函数没有不动点； 当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x =+-+-，整理得，2(1)(22)30t x t x +-+-=， 函数有一个不动点，∴△2(22)12(1)0t t =+++=，整理得4(1)(4)0t t ++=，1t ∴=-（舍)或4t =-；综上可知，符合题意的t 的值为4-；（3）向下平移后的函数为：2(1)(21)3y t x t x m =+-+--， 当1t =-时，3y x m =--，函数没有不动点； 当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--， 整理得，2(1)(22)30t x t x m +-+--=，∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=，整理得△4(1)(4)t t m =+++，0m >，4t -，40t m ∴++>，当41t -<-时，△0<，平移后函数不动点的个数为0个； 当1t =-时，不是二次函数；当1t >-时，△0>，平移后函数不动点的个数为2个．综上可知，当41t --时，平移后函数不动点的个数为0个；当1t >-时，平移后函数不动点的个数为2个．6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-，二次函数234y x x =-+的图象如图所示． （1）点A 为图象与y 轴的交点，点(1,)B b -在该二次函数的图象上，求(,)d A B 的值． （2）点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点，记点C 的横坐标为m ． ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t +时，(,)d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．【解答】解：（1）把0x =代入234y x x =-+，得4y =，∴点A 坐标为(0,4)，把(1,)b -代入234y x x =-+，得1348b =++=，∴点B 坐标为(1,8)-，(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=．（2）①223734()24y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为3(2，7)4，74y∴， 点C 在抛物线上，2(,34)C m m m ∴-+，2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-，0m ，27344m m -+， (d O ∴，22)24(1)3C m m m =-+=-+，∴当1m =时，(,)d O C 最小值为3，此时点C 坐标为(1,2)． ②(d O ，2)(1)3C m =-+，∴当01m <时，(,)d O C 随m 增大而减小，当1m 时，(,)d O C 随m 增大而增大，把m t =代入(d O ，2)(1)3C m =-+得(d O ，2)(1)3C t =-+， 把1m t =+代入入(d O ，2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+， 当111t t +-=-时，12t =，当102t<时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值2(1)3p t =-+， 23(1)4p q t -=-=，解得312t =+（不符合题意，舍去），312t =-， 当112t <时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值23p t =+， 234p q t -==， 解得32t =，32t =-（不符合题意，舍去）．当1t >时，(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+，最大值23p t =+， 223(1)4p q t t -=--=， 解得78t =（不符合题意，舍去）， 综上所述，312t =-或32． 7．定义：如图，已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点，M 的半径为2，线段OM 与M 交于点A ．若点P 在M 上，且满足2PA =，则称点P 为M 的“等径点”． （1）若点M 的横坐标为3时，M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ； （2）若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，求圆心M 的坐标；（3）若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上，求点P 的坐标．【解答】解：（1）点M 在一次函数3y x =图象上，∴可设点M 的坐标为(3)a a ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ， 则||ON a =，|3|MN a =， 2||OM a ∴=，30OMN ∴∠=︒，60MON ∠=︒．①点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 左侧时，如下图所示，2PA PM AM ===， PAM ∴∆是等边三角形，60PMA MON ∴∠=∠=︒， //PM x ∴轴， (2,3)P a a ∴-；②点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 右侧时，如下图所示，设AP '与MN 交于点Q ，此时60P AM MON ∠'=∠=︒， //P A x ∴'轴， MN AP ∴⊥'，90MQP ∴∠'=︒，30QMP ∠'=︒，1QP ∴'=，MQ =(P a ∴'+．当点M 横坐标为3时，3a =，则M 的“等径点”是或(4,；故答案为：或(4,；（2）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-． 当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，则点P 的横坐标为0， 20a ∴-=或10a +=，解得2a =或1a =-，∴点M 的坐标为(2,或(1,-；（3）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．令2x a =-，y =，则y =+；令1x a =+，y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++，解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+．令2y x =++-，方程无解．综上所述：点P 的坐标为(0,或(3-+．8．定义：若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++．同时满足214a a =-且2114k k =-，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”． （1）已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，求1y 的解析式；（2）如图1，将一副边长为2的形式，若以BC 中点为原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，设经过点A ，E ，D 的抛物线为1y ，经过A 、B 、C 的抛物线为2y ，请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【解答】解：（1）22223(1)4y x x x =--=--， 21a ∴=，1h =-，24k =-，抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，21144a a ∴==--，1h =-且21164k k ==-， 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++．（2）由题意可得，42DF AF ==4AG GF DG GF ====， 2EG =，2HG =，4BC =，2OF =，点O 为BC 的中点， 2BO OC ∴==，(2,0)B ∴-，(2,0)C ，(4,6)A -，(4,6)D ，(0,8)E ，∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+，与抛物线22(2)(2)y a x x =+-，11668a ∴-+=，2(42)(42)6a -+--=，解得：118a =-，212a =，∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+，抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-，118a ∴=-，0h =，18k =，212a =，0h =且22k =-， 11(2)82-⨯-=，1824-⨯=-， ∴满足214a a =-且2114k k =-，1y ∴、2y 是一对共轭抛物线．9．阅读理解：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k 表示．一般的，直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率，则有tan k α=．探究发现：某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为：2121PQ y y k x x -=-． 启发应用：（1）应用以上结论直接写出过(3,2)A ，(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ； 深入探究：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）①已知(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，当直线CD 与直线EF 互相垂直时，请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积；②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由①可知这个定值为 ．③如图，M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆．已知(1,2)M ，(3,5)N ，请结合（2）中的结论，求出过点N 的M 的切线l 的解析式．【解答】解：（1）根据题目中的新概念可知：22213k --==-． 故答案为：2．（2）①(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，∴直线CD 的斜率为：9(1)52(6)4CD k --==--，直线EF 的斜率为：6241005EF k --==--， 1CD EF k k ∴⋅=-，∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-，②由①可得这个定值为：1-， 故答案为：1-．③设直线MN 的解析式为：11y k x b =+， 切线的解析式为y kx b =+， ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩，132k ∴=，112b =， ∴直线MN 的解析式为：3122y x =+， 圆的切线与过切点的半径垂直， 11k k ∴=-，132k =， 23k ∴=-，把(3,5)N 代入y kx b =+， 得：35k b +=，把23k =-代入35k b +=，得：7b =，∴切线的解析式为273y x =-+．10．在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ； ②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC长．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段335A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，2253()()722B C '=+=；∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线33y x b =-+中， 3403b -⨯+=，解得：433b =， 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，2273()()1322B C '=+=，b ∴的最大值为433，13BC =；最小值为233，7BC =．11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”． （1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“()X n 函数”的打“⨯”． ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （2）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，4B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且122y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-，令2x n a =-，则2my n a=-，若2m m n a a=-，则a n =， ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”； ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -，令2x n a =-，则|2(2)||42|y n a n a =-=-，若|42||2|n a a -=，则a n =或0n =，|2|y x ∴=是“(0)X 函数”； ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-，令2x n a =-，则2(2)2(2)5y n a n a =-+--，若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--，则有n a =或1n =-，225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”；故答案为：⨯，√，√；（2）|y x =一|h 是“X （2）”函数， 2h ∴=，如图，2y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(2,0)C ∴，(0,2)D -，45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒，AM CM ∴=，BN CN =，4B A x x -=，4MN ∴=，设CN x =，则4MC x =-，(2B ∴十x ，)x ，(2,4)A x x --，(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=，1x ∴=，(3,1)B ∴，3m ∴=；（3）由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，12t ∴=； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+，x t =时，2224y t t =-++，1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=，52t ∴=； ③当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=±（舍去）:④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，2224y t t =-++，22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=，12t ∴=±（舍去）， 综上所述：12或52．12．定义：我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”．例如求21y x =-的“不动点”：联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则21y x =-的“不动点”为(1,1)． （1）由定义可知，一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ；（2）若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，求m 、n 的值；（3）若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线3y kx =-上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得3ABP ABO S S ∆∆=，求满足条件的P 点坐标．【解答】解：（1）联立32y x y x =+⎧⎨=⎩， 解得11x y =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--，故答案为：(1,1)--；（2）一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，12n ∴-=，3n ∴=，∴ “不动点”为(2,2)，223m ∴=+， 解得12m =-； （3）直线3y kx =-上没有“不动点”，∴直线3y kx =-与直线y x =平行，1k ∴=，3y x ∴=-，(3,0)A ∴，(0,3)B -，设(,0)P t ，|3|AP t ∴=-，1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯， 1332ABO S ∆=⨯⨯， 3ABP ABO S S ∆∆=，|3|9t ∴-=，12t ∴=或6t =-，(6,0)P ∴-或(12,0)P ．13．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 ；（2）如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．【解答】解：（1）①2221(1)0y x x x =++=+，∴①无上确界；②23(2)y x x =-，1y ∴，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）2y x =-+，y 随x 值的增大而减小，∴当a x b 时，22b y a -+-+，上确界是b ，2a b ∴-+=，函数的最小值不超过21a +，221b a ∴-++，1a ∴-，b a >，2a a ∴-+>，1a ∴<，a ∴的取值范围为：11a -<；（3）222y x ax =-+的对称轴为直线x a =，当1a 时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=（舍)；当5a 时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=（舍)；当13a <时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=；当35a <<时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=，综上所述：a 的值为2.4．14．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值y ，都满足m y m -，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足9542n 时，则t 的取值范围是 1324t 或5342t ．【解答】解：由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时，函数最大值或最小值为n ，9542n ， 0t >，抛物线21y x t =-++开口向下，顶点坐标为(0,1)t +，1t ∴+为函数最大值，当512t +=时，32t =， 302t ∴<， 当2t =时，直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称， 302t ∴<时，直线2x =-与抛物线交点为最低点， 把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+，当532t -+=-时，12t =， 12t ∴， 当95142t +时，5342t ， 当59324t --+-时，1324t ， ∴1324t 或5342t 满足题意． 故答案为：1324t 或5342t ． 15．定义：若实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”．例如，点(1,2)-满足：2123=-+，2(2)13-=+，则点(1,2)-是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)A m n ．（1）1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中，点 2A 是“轮换点”；（2）若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当1x =时，8y =，②241b ac -=，求二次函数解析式；（3）若点A 是“轮换点”，用含t 的代数式表示m n ⋅，并求t 的取值范围．【解答】解：（1）根据实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”，1(3,2)A -，则23211=-+，此时2(2)311-≠+，1(3,2)A ∴-不是轮换点；2(2,3)A -，则2237=-+，此时2(3)27-=+，2(2,3)A ∴-是轮换点．故答案为：2A ；（2）设点(,)m n 是轮换点，由题意可知：2m n t =+①，且2n m t =+②，①-②得到：22m n n m -=-，即：(1)()0m n m n ++-=， 10m n ∴++=或0m n -=；当m n =时，则2am bm c m ++=，即：2(1)0am b m c +-+=，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”， 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根，即：2(1)40b ac --=， 又241b ac -=，22211b b b ∴-+=-，解得：b l =，40ac ∴=，且0a ≠，0c ∴=，当1x =时，8y =，8a b c ∴++=，7a ∴=，217y x x ∴=+；当10m n ++=时，21am bm c m ∴++=--，即：2(1)10am b m c ++++=，同理得：2(1)4(1)0b a c +-+=，241b ac -=，21b a ∴=-；8a b c ++=，93c a ∴=-，241b ac -=，216400a a ∴-=， 解得：52a =或0a = （舍去）， 4b ∴=，32c =， 2153422y x x ∴=++， 综上所述，二次函数解析式为：217y x x =+或2153422y x x =++； （3）点(,)A m n 是“轮换点”，2m n t ∴=+①，2n m t =+②，①-②得：220m n m n -+-=，()(1)0m m m n ∴-++=，由“轮换点“定义可知：m n ≠，10m n ∴++=，1m n ∴+=-，①+②得：222m m n n t -+-=，222()21m n t m n t ∴+=++=-，2()221m n mn t ∴+-=-，1221mn t ∴-=-，1mn t ∴=-，m n ≠，2()0m n ∴->，2220m mn n ∴-+>，2()40m n mn ∴+->，把1m n +=-代入，得：140mn ->，14mn ∴<， 114t ∴-<， 34t ∴>， 故1mn t =-，34t >． 16．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．其中定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线． ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ，准线为14y a =-，例如，抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ；准线是34y =-；抛物线23y x =-的焦点是 是1(0,)12- 准线是 ； ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>，可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠；因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +，准线为14y k a =-+．例如，抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ，准线是14y =；抛物线21(1)2y x =+的焦点是 准线为 ．根据以上材料解决下列问题：（1）完成题中的填空；（2）已知二次函数的解析式为221y x x =+-．①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式；②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标． ③抛物线上一点P ，点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形，求POF ∆周长的最小值，以及P点的坐标．【解答】解：（1）①根据新定义，可得11144(3)12y a ===-⨯-， 所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-； 故答案是：1(0,)12-；112x =-； ②根据新定义，可得1h =-，111014242k a +=+=⨯，所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-，准线是12y =-；故答案是：1(1,)2-；12y =-；（2）①将221y x x =+-化为顶点式得：2(1)2y x =+- 根据新定义，可得1h =-，11724414k a +=-=-⨯， 所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --，准线解析式为94y =-；②由①知7(1,)4F --，所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-，将74y =-代入221y x x =+-得：27214x x -=+-，解得：12x =-或32x =-，所以，过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--． ③二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线．P ∴点坐标为(0,1)-．OPF ∴∆周长OF OP PF =++，PF PQ =，OP PQ OQ +=，OPF ∆周长OF PQ =+． OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-．|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+． P ∴点的坐标为(0,1)-，OPF ∆周长的最小值为2+．17．将抛物线2y ax =的图象（如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2)，记为21:C y x a=．【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：1:C 214y x =；2:C ． 【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点(,0)M x 在x 轴正半轴上，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线1C 于点A 、B ，交抛物线2C 于点C 、D ，如图3所示． （1）填空：当1x =时，AB CD = ；当2x =时，ABCD= ； （2）猜想：对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由． 【探究与应用】（3）利用上面的结论，可得AOB ∆与COD ∆面积比为 ；（4）若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时，求COD ∆与AOB ∆面积之差； 【联想与拓展】（5）若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线3C 于点A 、B ，交抛物线4C 于点C 、D ．过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F ．对于x 轴上任取一点P ，均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是 ．【解答】解：【概念与理解】 根据题中的定义可知：211:4C y x =；22:C y x =； 故答案为：214y x =；2y x =； 【猜想与证明】（1）把1x =代入1C 中，得214y =， 12y ∴=±，1(1,)2A ∴，1(1,)2B -．1AB ∴=；把1x =代入2C 中，得21y =， 1y ∴=±，(1,1)C ∴，(1,1)D -． 2CD ∴=．∴12AB CD =． 把2x =代入1C 中，得212y =，y ∴=2A ∴，(1,2B ．AB ∴=；把2x =代入2C 中，得22y =，y ∴=C ∴，(1,D ．CD ∴=∴12AB CD ==． 故答案为：12；12．（2）成立，理由如下： 211:4C y x =，0x >，1y ∴=；2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=；22:C y x =，0x >，1y ∴=2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=12AB CD ==． 【探究与应用】（3）AOB ∆的面积12h AB =⋅；COD ∆的面积12h CD =⋅，111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=．故答案为：12． （4）①AOB ∆是直角三角形时，AM BM == OM AM ∴=，x ∴=，解得14x =或0x =（舍去）； 14OM ∴=，12AB =，1CD =，11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=；当COD ∆中有一个是直角三角形时，CM DM =OM AM ∴=，则x =1x =或0x =（舍去）； 1OM ∴=，1AB =，2CD =，1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=．∴面积差为116或12； 【联想与拓展】（5）由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上， 当x k =时，2y mk =，2y nk =，解得y =或y =(A k ∴，(,B k ，(C k ，(,D k ，//AE x 轴，//DF x 轴，(mk E n ∴，(nkF m，， mk AE k n ∴=-，nkDF k m=-， 1()2PAE mk S k n ∆∴=-，1()2PDF nk S k m∆=-， PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=， 整理得，339n m =． 故答案为：339n m =．18．阅读下面的材料，再回答问题．我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程，分解因式等等，还可以求函数的解析式等．一般地，函数解析式表达形式为：1y x =+，223y x x =+-，3y x =．还可以表示为：()1f x x =+，2()23f x x x =+-，3()f x x=的形式．我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的．举个例子：2(1)f x x +=，设1x t +=，则1x t =-，2()(1)f t t =-，即2()(1)f x t =-．已知：函数2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式．分析：我们可以用换元法设1x t +=来进行求解．解：设1x t +=，则1x t =-，所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+．所以2()43f x x x =-+．看完后，你学会了这种方法了吗？亲自试一试吧！ （1）若()1f x x =-，求(3)f x -； （2）(21)1f x x +=+，求()f x 的解析式；（3）若2(1)32f x x x -=-+，求(2)f x +的解析式． 【解答】（1）令3t x =-，则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- （2）令21x t +=，则12t x -=，所以11()122t t f t -+=+=，所以1()2x f x += （3）同理（2），可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-，再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，2()0a b -，20a ab b ∴-，2a b ab ∴+，只有当a b =时，等号成立．结论：在2(a b ab a +、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p（1）根据上述内容，回答下列问题：若0m >，只有当m = 3 时，9m m+有最小值 ． （2）探索应用：如图，已知(3,0)A -，(0,4)B -，P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值． （3）判断此时四边形ABCD 的形状，说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，992m m m m +⋅9m m=． 当9m m=时， 解得：3m =或3-（不合题意舍去）， 故当3m =时，9m m+有最小值，其最小值是6． 故答案是：3；6；（2）P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点， ∴不妨可设12(,)p x x ， 则(,0)C x ，12(0,)D x． ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形．∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++．又90,0xx>>，∴由阅读理解中的结论可知：9926x x x x+⋅=， 所以当9(0)x x x=>时，即当3x =时，261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值；（3）此时四边形ABCD 是菱形，理由如下：由（2）可知：当3x =时，此时点P 的坐标为(3,4)P ，∴5AB ==，5BC ==，5CD =，5DA =，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．另解：证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形， 再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形．20．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 左侧），若ABC ∆是等腰三角形，则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”． （1）判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”，并说明理由； （2）已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”．①若点1(2,)P k y -，(1Q k -，211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点，满足当4k >时，PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ，求此抛物线的解析式；②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，且502n <？若存在，求出所有满足条件的整数c 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线24y x =-+是“理想抛物线”，理由如下： 抛物线24y x =-+的对称轴为直线：0x =，∴该抛物线是关于y 轴对称，则点A 、B 关于y 轴对称，OC ∴垂直平分AB ，ABC ∴∆为等腰三角形，24y x ∴=-+是为“理想抛物线”；（2）①要满足ABC ∆是等腰三角形，则AB 可能为底边，也可能为腰； 当AB 为底边时，AC AB =，点A 、B 关于y 轴对称， 此时(3,0)B ，(3,0)A -，当4k >时，22k -<-，13k ->， 2P x ∴<-，3Q x >，AC 的垂直平分线恰好经过点B ，6BC AB ∴==，又ABC ∆是等腰三角形， 6AC AB BC ∴===， ABC ∴∆是等边三角形；又132OA AB ==，OC ∴=，(0,C ∴-；∴抛物线的交点式为：(3)(3)y a x x =+-，把点C 坐标代入，(03)(03)a -=+-．a ∴=（负值舍去），∴此时抛物线的解析式为：3)(3)y x x =+-； 当AB 为腰时，AB CB =，仍满足2P x <-，3Q x >， 120y y ⋅>，0a >，0P y ∴>，0Q y >，∴必有点P 在A 点上方，则(2,0)A -，对称轴直线12x =， 5CB AB ∴==， 3OB =，4OC ∴=，(0,4)C -，4c =-，又A B c x x a ⋅=，得23a =，32b =-；∴此时抛物线的解析式为：223432y x x =--； ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，理由如下：OC 是ABC ∆的高，且0a >，开口向上，抛物线与x 轴有两个交点，1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=， 1||(3)2A n x ∴=⋅-， 502n<， 150(3)22A x ∴<⋅-， 解得23A x -<，则需要分两种情况，当20A x -<时，0c <，此时BA BC =，|3|A x ∴-=，解得22(3)9A c x =--，20A x -<，20(3)916A x ∴<--，即2016c <，此时，存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意； 当03A x <<时，0c >，此时，AB AC =，|3|A x ∴-296A c x =-，03A x <<，9969A x ∴-<-<，即209c <<，此时，存在1c =或2c =满足题意；综上可知，存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=，且502n <，此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2．21．对某一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ，函数值y 满足m y n ，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 系和谐函数”．（1）已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”，请求出k 的值；（2）若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”，求p 的值；（3）已知二次函数22242y x ax a a =-+++，当11x -时，y 是“k 系和谐函数”，求k 的取值范围．【解答】解：（1）14x ，520y ∴，205(41)k ∴-=-，5k ∴=；（2）14x ，当0p >时，343p y p --，(43)(3)33p p ∴---=⨯，3p ∴=；当0p <时，433p y p --，3(43)33p p ∴---=⨯，3p ∴=-；综上所述：3p =±；（3）22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++，当1x =时，262y a a =+-，当1x =-时，222y a a =--，当x a =时，232y a a =+，①当1a <-时，226222a a y a a +---，22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+，4k a ∴=-，4k ∴>；②当1a >时，226222a a y a a +---，22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+，4k a ∴=，4k ∴>；③当10a -<时，226232a a y a a +-+，22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+，2(1)k a ∴=-，14k ∴；④当01a 时，222232a a y a a --+，22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+，2(1)k a ∴=+，14k ∴；综上所述：1k ．22．【阅读理解】已知关于x ，y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+，它的顶点坐标为(,2)a a ，故不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】（1）若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于x ，y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+，完成下列问题： ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ，求点P 到x 轴的最小距离，并求出此时m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-，∴该抛物线的顶点为(1,4)--；2243(2)1y x x x =---=-++，∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-．设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+，∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩，。

中考数学中的“新定义”近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析．一、定义新符号例l.规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3，按此规定1]=分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴，∴1<3，∴1]=2．故应填2．二、定义新数例2定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为[2m ，1一m ，一1一m]的函数的一些结论：①当m= 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33)； ②当m>0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于32； ③当m<0时，函数在x> 14时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )．A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析及解答不妨把m= 一3代入知道，a = 一6，b =4，C=2，22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33)．①正确排除选项D ；由于当m<0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ．三、定义新图形(1)定义新点例3在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…这样依次得到点123,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若点1A 的坐标为(3，1)，则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则,a b 应满足的条件为 ，分析及解答 本题涉及到不等式的解法，规律探索依题意知点1A 的坐标为(3，1)，不难求出2A (O ，4)，3A (一3，1)，4A (0，一2)，5A (3，1)，…可知周期是4．因为2014= 503×4+2，故知点2014A 的坐标为(0，4)．若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则2A (1,1)b a -++，3A (,2)a b --+，4A (1,1)b a --+．因为点n A 的纵坐标都大于零，即列不等式组：b >0，a +1>0，一b +2>0，一a+1>0，解得一1<a <l ，0<b <2，故答案依次填：3A (一3，1)；2014A (0，4)；一1<a <l ，0<b <2．(2)定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形”例4 类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A=70°∠B=80°．求∠C ，∠D 的度数．(2)在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形ABCD ”(如图2)，其中∠ABC=∠ADC ，AB=AD ，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．(3)已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．分析及解答(1)利用“等对角四边形”的定义加以解决；(2)①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然；(3)应分类讨论：①如图4若∠ABC=∠ADC=90°；②如图5，若∠BCD=∠BAD=60°．两种情况加以讨论．具体解答如下：答：(1)如图1，在等对角四边形ABCD中，由于∠A≠∠C，故∠D=∠B=80°，∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-70°-80°-80°=130°．(2)①如图2，连接BD．∵AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．∵∠ABC=∠ADC ∴∠ABC一∠ABD=∠ADC—∠ADB，即∠CBD=∠CDB．∴CB=CD．②不正确．反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，而此时BC≠CD．(3)(I)如图4，当∠ABC=∠ADC=90°时，不妨延长BC，AD相交于点E．∵∠ABC=90°∠DAB=60°．∴∠E=30°．∵AB=5 ∴AE=10 ∴DE=AE一AD=10—4=6在R t△CDE中，∠EDC=90°，∠E=30°，故CE=2CD．根据勾股定理，得222CD DE CE +=，即2226(2)CD CD +=，解得CD=在R t △ACD 中，根据勾股定理，得222AD CD AC +=，即2224AC +=，解得AC =(II)如图5，当∠BAD=∠BCD=60°时，过点D 作D E ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F∵D E ⊥AB ，∠BAD=60°，AD=4，知∠EDA=30°，∴AE=2．DE =∴BE=AB —AE=5—2=3．∵四边形DFBE 是矩形．∴DF=BE=3，BF=DE=∵∠BCD=60°,ta n ∠BCD=tan60°=3DF CF CF=，∴BC=BF+CF==在R t △ABC 中．∴222AB BC AC +=，即2225AC +=，故AC=例5 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图6，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB=30°．①求证：ABCE 是等边三角形；②求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．分析 (1)依据定义和所学过的特殊四边形，不难找到，有矩形、正方形、直角梯形，从中选出两个即可；(2)①需要依据旋转的性质得出△ABC ≌△BDC ，进而得到BC=BE ，AC=DE ，再得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步求得∠DCE=90°，从而得出△DCE 是直角三角形，问题迎刃而解．具体过程略．(3)定义新函数图象例 6 已知：如图7，直线1:3l y x =b +经过点M(o ，14)，一组抛物线的顶点123,,,,n B B B B ⋅⋅⋅ (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：11223311(,0),(,0),(,0),,(,0)n n A x A x A x A x ++⋅⋅⋅(n 为正整数)，设1(01)x d d =<<．(1)求b 的值；(2)求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式(用含d 的代数式表示)；(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当(01)d d <<的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在，请你求出相应的d 的值．分析及解答 (1)直接代人即可．14b =． (2)由(1)得1134y x =+，又∵11(1,)B y 在直线l 上 ∴当1x =时．111713412y =⨯+= ∴17(1,)12B∵1x d =∴12(,0),(2,0)A d A d -．设()(2)(0)y a x d x d a =--+≠把17(1,)12B 代入7(1)(12)12a d d =--+ ，得2712(1)a d =--， ∴抛物线的解析式是27()(2)12(1)y x d x d d =---+- (3)存在．由抛物线的对称性知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半．又∵01d <<等腰直角三角形斜边的长小于2,∴等腰直角三角形斜边上的高一定小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．∵当1x =时，1117113412y =⨯+=<， 当2x =时，21111213412y =⨯+=< 当3x =时，3111311344y =⨯+=> ∴美丽抛物线的顶点只有1B 、2B ．①若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-=； ②若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦． 由上知，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线．。

中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA 与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△AB P的Q点(异于点P)的坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a= ，b= ．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m 翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标 ，点B 坐标 ，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ，|D|为 ．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1 -x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤ 2，则在2≤x ≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤ 2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤ 3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤ 4，则在2≤x ≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤ 4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴。

专题20新定义型二次函数问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一新定义型二次函数问题】 (1)【直击中考】【考向一新定义型二次函数问题】求解体验：(1)已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0-心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线(2y ax bx c a =++线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线(2)已知抛物线225y x x =--+关于点(0,m【变式训练】m轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作(1)请将点Q “去隐”，得到该抛物线表达式；(2)记（1）中抛物线为W （如图），W 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），其顶点为点平移后的抛物线W '始终过点A ，点C 的对应点为C '．ⅰ）试确定点C '运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线2x =-的左侧，是否存在点C '，使ACC '△为等腰三角形？若存在，求出点说明理由．5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．(1)已知直线解析式为1y x =-，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）①21y x =+；②22y x x =+-；③2y x x =-；(2)如图，已知直线l ：4y x =-，抛物线23y x x =--为直线l 的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A 、B ，在直线l 上方抛物线部分是否存在点P 使△PAB 面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P 坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知x 轴的“双幸运曲线”2y ax bx c =++（0a b >>）经过点（1，3），（0，2-），在x 轴的“幸运点”分别为M 、N ，试求MN 的取值范围．6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM 的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上的点(),A x y 的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点()1,A x x y +，他们把这个点1A 定义为点A 的“简朴”点．他们发现：二次函数()20y ax bx c a =++≠所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为()20y ax bx c a =++≠的“简朴曲线”．例如，二次函数21y x x =++的“简朴曲线”就是22121y x x x x x =+++=++，请按照定义完成：(1)点()1,2P 的“简朴”点是________；(2)如果抛物线()2730y ax x a =-+≠经过点()1,3M -，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线2y x bx c =++图象上的点(),B x y 的“简朴点”是()11,1B -，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(),m n ，当03c ≤≤时，求n 的取值范围．8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数()21y a x h k =-+的图象记为1C ，其顶点为()A h k ，，二次函数()22y a x k h =-+的图象记为2C ，其顶点为()B k h ，，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．分类一：若二次函数()211:C y a x h k =-+经过2C 的顶点B ，且()222:C y a x k h =-+经过1C 的顶点A ，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出245y x x =-+的“反顶伴侣二次函数”．(3)若二次函数1C 与2C 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究1a 与2a 的关系，并说明理由．(4)分类二：若二次函数()211:C y a x h k =-+可以绕点M 旋转180°得到二次函数2C ；()22y a x k h =-+，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M 有什么特点？③如图，1C ，2C 互为“反顶旋转二次函数”，点E ，F 的对称点分别是点Q ，G ，且EF GQ x ∥∥轴，当四边形EFQG 为矩形时，试探究二次函数1C ，2C 的顶点有什么关系．并说明理由．t轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作。

例3、图1，已知四边形ABCD ，点P 为平面内一动点. 如果∠PAD =∠PBC ，则我们称点P 为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点. 如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点C 的横坐标为6.（1）若A 、D 两点的坐标分别为A （0，4）、D （6，4），当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，则点P 的坐标为＿＿＿＿＿＿；（2）若A 、D 两点的坐标分别为A （2，4）、D （6，4），当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，求点P 的坐标；（3）若A 、D 两点的坐标分别为A （2，4）、D （10，4），点P （x ，y ）为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点，其中x ＞2，y ＞0，求y 与x 之间的关系式.练习3：定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a,b ）是点M 的“距离坐标”。

根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是_______。

例4.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，则称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=32，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求as的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．练习4：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC ，∠BAD=90°，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数例5、如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角.①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝＿＿＿＿； ②若⊙O 的半径是1，AB=2，求∠APB 的度数.（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心做一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系.BA0P几何新定义练习5：阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c.（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE.①求证：△ACE是奇异三角形.②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数.课堂练习1.若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2.对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[410x+]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．563.对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（）A．（5，-9）B．（-9，-5）C．（5，9）D．（9，5）4.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为．5.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，则曲线CDEF的长是．6.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：AB BEDC EC=；（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）。

与函数有关的新定义问题1．实数x 、y 若存在坐标(x ，y )同时满足一次函数y ＝px ＋q和反比例函数y ＝k x ，则二次函数y ＝px 2＋qx －k 为一次函数和反比例函数的“共享”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y ＝－x ＋4和反比例函数y ＝3x 是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；(2)已知整数m 、n 、t 满足条件：t <n <8m ，并且一次函数y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与反比例函数y ＝2018x 存在“共享”函数y ＝(m ＋t )2＋(10m －t )x －2018，求整数m 的值；(3)若同时存在两组实数对坐标(x 1，y 1)和(x 2，y 2)使一次函数y＝ax ＋2b 和反比例函数y ＝－c x 存在“共享”函数，其中实数a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，令L ＝|1x 1－1x 2|，求L 的取值范围．解：(1)令－x ＋4＝3x ，解得x ＝1或x ＝3，y ＝－x ＋4和y ＝3x 是“共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)；(2)y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018x 的“共享”函数是y ＝(1＋n )x 2＋(2m ＋2)x －2018，由题意得，y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018x 的“共享”函数为y＝(m ＋t )x 2＋(10m －t )x －2018，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＝m ＋t 2m ＋2＝10m －t ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9m －3t ＝8m －2， 又∵t <n <8m ，∴8m －2<9m －3<8m ，m 为整数，∴ m ＝2；(3)y ＝ax ＋2b 和y ＝－c x 存在“共享”函数为y ＝ax 2＋2bx ＋c ，则a 、b 、c 满足，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝04b 2－4ac ≥0a >b >c，即2()0a c ac a a c c ⎧+->⎨>-->⎩,∴－2<a c <－12.L 2＝(1x 1－1x 2)2＝（x 1＋x 2）－4x 1x 2（x 1x 2）2＝（2b a ）2－4c a （c a ）2＝4b 2－4ac c 2＝4（a ＋c ）2－ac c 2＝4(a 2c 2＋a c ＋1)＝4(12a c )2＋3, ∵－2<a c <－12,∴3<L 2<12，∴3<L <2 3.2．对平面直角坐标系中的点P (x ，y )，定义d ＝|x |＋|y |，我们称d 为P (x ，y )的幸福指数．对于函数图象上任意一点P (x ，y )，若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y ＝x 2＋1就是一个幸福函数，理由如下：设P (x ，y )为y ＝x 2＋1上任意一点，d ＝|x |＋|y |＝|x |＋|x 2＋1|， ∵x ≥0，|x 2＋1|＝x 2＋1≥1, ∴d ≥1. ∴y ＝x 2＋1是一个幸福函数．(1)若点P 在反比例函数y ＝1x 的图象上，且它的幸福指数d ＝2，请直接写出所有满足条件的P 点坐标；(2)一次函数y ＝－x ＋1是幸福函数吗？请判断并说明理由；(3)若二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m (m >0)是幸福函数，试求出m的取值范围．解：(1)设点P的坐标为(m，1m)，∴d＝|m|＋|1m|＝2，解得：m1＝－1，m2＝1，经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解，∴满足条件的P点坐标为(－1，－1)或(1，1)；(2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数，理由如下：设P(x，y)为y＝－x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|－x＋1|；x<0时，d＝|x|＋|－x＋1|＝－x－x＋1＝1－2x>1；当0≤x≤1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1；当x>1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－1>1.∴对于y＝－x＋1上任意一点P(x，y)，它的幸福指数d≥1恒成立，∴一次函数y＝－x＋1是幸福函数；(3)设P(x，y)为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|，∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0，∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑．①当x≤0时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝－x＋x2－(2m ＋1)x＋m2＋m＝(x－m－1)2－m－1，当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m，∴m2＋m≥1，解得：m≥5－1 2；②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2－(2m ＋1)x＋m2＋m＝(x－m)2＋m－1≥1，∵(x－m)2≥0，∴m－1≥1，解得：m≥2；③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m＝－(x－m－1)2＋m＋1，当x＝m时，d取最小值，最小值为m，∴m ≥1；④当x ＞m ＋1时，d ＝|x |＋|x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m |＝x ＋x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝(x －m )2＋m －1＞m ≥1，∴m ≥1.解得：若二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m (m ＞0)是幸福函数，m 的取值范围为m ≥2.3．在平面直角坐标系中，设直线l 的解析式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l 与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l ：y ＝－x ＋2与双曲线y ＝1x 的切点坐标；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过两点(－1，0)和(3，0)，若直线l ：y ＝x ＋2与抛物线相切，试求实数a 的值；(3)已知直线l ：y 1＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2x 2＋14相切于点(12，34)，设二次函数M ：y 3＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为整数且a ≠0)，对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2.求二次数M 的解析式．解：(1)联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝1x，得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，∴切点坐标为(1，1) (2)由题可知，抛物线解析式可表示为：y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2y ＝ax 2－2ax －3a ，得：ax 2－(2a ＋1)x －3a －2＝0 由抛物线和直线相切易知：a ≠0且Δ＝0，∴Δ＝(2a ＋1)2－4a ×(－3a －2)＝16a 2＋12a ＋1＝0，解得：a 1＝－3＋58，a 2＝－3－58， (3)由题可知：直线y 1＝kx ＋m 和抛物线M 都经过(12，34)，∴34＝k 2＋m ，34＝a 4＋b 2＋c ①，∴m ＝34－k 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx ＋34－k 2，y 2＝2x 2＋14得2x 2－kx －12＋k 2＝0， ∴Δ＝k 2－4×2×(12－k 2)＝0. 解得：k ＝2，∴m ＝－14,∴直线l 1的解析式：y 1＝2x －14,∵对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2，对于一切实数x 恒有：2x －14≤ax 2＋bx ＋c ≤2x 2＋14.当x ＝0时，有－14＜c <14，而c 为整数，∴c ＝0②.联立⎩⎨⎧y 1＝2x －14y 3＝ax 2＋bx ＋c，得ax 2＋(b －2)x ＋c ＋14＝0.∴Δ＝(b －2)2－4a ×(c ＋14)＝0,∴b 2－4b ＋4－4ac －a ＝0 ③,联立①②③式得：a ＝b ＝1，c ＝0.故二次函数M 的解析式为：y 3＝x 2＋x .4．已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P (t ，t )，则称点P 为函数图象上的“bingo 点”，例如：y ＝2x －1上存在“bingo 点”P (1，1)．(1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y ＝1x 上的“bingo 点”是________；(2)若抛物线y ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2上有“bingo 点”，且“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合)的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求x 21＋x 22的最小值；(3)若函数y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1的图象上存在唯一的一个“bingo 点”，且当－2≤n ≤1时，m 的最小值为k ，求k 的值．解：(1)y =x ;（1,1）和（－1，－1）；(2)设二次函数y ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2的“bingo 点”为(x ，x )，∴x ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2，∴12x 2＋13ax －19a 2－a ＋2＝0，∴x 1＋x 2＝－23a ，x 1·x 2＝－29a 2－2a ＋4，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－23a )2－2×(－29a 2－2a ＋4)＝89(a ＋94)2－252，又∵“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合)，∴Δ≥0，即(13a )2－4·12·(－19a 2－a ＋2)≥0， ∴a ≤－3－21或a ≥－3＋21，当a ＝－3＋21时，x 21＋x 22取最小值，∴(x 21＋x 22)min ＝203－4321；(3)∵y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1只有一个“bingo 点”，∴y＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1与y ＝x 只有一个交点，则14x 2＋(n －k )x ＋m ＋k －1＝0有两个相同根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(n －k )2－(m ＋k －1)＝0，可得m ＝(n －k )2－k ＋1，当k ＜－2时，n ＝－2，m 取最小值，即(－2－k )2－k ＋1＝k ，则无解；当－2≤k ＜1时，n ＝k ，m 取最小值，即－k ＋1＝k ，则k ＝12；当k ≥1时，n ＝1，m 取最小值，即(1－k )2－k ＋1＝k ，则k 2－4k ＋2＝0；∴k 1＝2－2(不合题意，舍去)，k 2＝2＋2，综上所述，k 值为12或2＋ 2.5．已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P (t ，2t )，则称点P 为函数图象上的“偏离点”．例如：直线y ＝x －3上存在“偏离点”P (－3，－6)．(1)在双曲线y ＝1x 上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由；(2)若抛物线y ＝－12x 2＋(23a ＋2)x －29a 2－a ＋1上有“偏离点”，且“偏离点”为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，求w ＝x 21＋x 22－ka 3的最小值(用含k 的式子表示)；(3)若函数y ＝14x 2＋(m －t ＋2)x ＋n ＋t －2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值．解：(1)存在．假设存在“偏离点”，根据题意得2x ＝1x ，解得x 1＝22，x 2＝－22，当x ＝22时，y ＝2；当x ＝－22时，y ＝－2，∴“偏离点”坐标为(22，2)或(－22，－2)；(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x ，2x )，代入抛物线得－12x2＋(23a ＋2)x －29a 2－a ＋1＝2x 得－12x 2＋23ax －29a 2－a ＋1＝0，∵Δ＝4a 29＋2(－29a 2－a ＋1)≥0，∴a ≤1，又∵x 1＋x 2＝43a ，x 1·x 2＝49a 2＋2a －2，∴x 21＋x 22－ka 3＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2－ka 3＝89a 2－(4＋k 3)a ＋4，又∵抛物线开口向上，且对称轴为a ＝36＋3k 16，∴若36＋3k ≥16，即k ≥－203，则当a ＝1时，w ＝x 21＋x 22－ka 3最小值为89－k 3，若36＋3k <16，即k <－203，则当a ＝36＋3k 16时，x 21＋x 22－ka 3最小值为－k 2＋24k ＋1632， 综上所述，w 的最小值为⎩⎨⎧89－k 3 （k ≥－203）－k 2＋24k ＋1632 （k ＜－203）； (3)将“偏离点”(x ，2x )代入14x 2＋(m －t ＋2)x ＋n ＋t －2＝2x 得：14x 2＋(m －t )x ＋n ＋t －2＝0，∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”，∴Δ＝(m －t )2－4×14(n ＋t －2)＝0， 即n ＝m 2－2mt ＋t 2－t ＋2＝(m －t )2－t ＋2，又∵对称轴为m ＝t ，∴①若t ≤－2，取m ＝－2时，有n min ＝4＋4t ＋t 2－t ＋2＝t ，即t 2＋2t ＋6＝0，∵Δ＝4－4×1×6＜0，方程无解；②若－2<t <3，取m ＝t 时，有n min ＝t 2－2t 2＋t 2－t ＋2＝t ，解得：t ＝1，成立；③若t ≥3，取m ＝3时，有n min ＝32－6t ＋t 2－t ＋2＝t ， 即：t 2－8t ＋11＝0，解得t 1＝4＋5，t 2＝4－5(舍)， 综上所述，t ＝4＋5或t ＝1.6．若y 是关于x 的函数，H 是常数(H ＞0)，若对于此函数图象上的任意两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，都有|y 1－y 2|≤H ，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称第6题图为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4.(1)若函数y ＝k x (k ＞0)(－2≤x ≤－1)的界高为6，则k ＝________；(2)若函数y ＝kx ＋1(－2≤x ≤1)的界高为4，求k 的值；(3)已知函数y ＝x 2－2ax ＋3a (－2≤x ≤1)的界高为254，求a 的值．解：(1)12；【解法提示】当－2≤x ≤－1时，函数y ＝k x (k ＞0)中y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，将x 1＝－2代入得y 1＝k －2＝－k 2，将x 2＝－1代入得y 2＝k －1＝－k ，∵|y 1－y 2|＝6，∴－k 2－(－k )＝6，解得k ＝12；(2)将x 1＝－2代入得y 1＝－2k ＋1； 将x 2＝1代入得y 2＝k ＋1， ∵|y 1－y 2|＝4，∴|－3k |＝4，解得k ＝±43；(3)①当a ≥1时，将x 1＝－2，x 2＝1代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝1＋a ，∵|y 1－y 2|＝254，函数对称轴为x ＝a ，在对称轴左侧，y 随x的增大而减小，∴3＋6a ＝254，解得a ＝1324，又∵a ≥1，故此种情况不成立；②当－12≤a ＜1时，将x 1＝－2，x 2＝a 代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝3a －a 2，∵|y 1－y 2|＝254，∴a 2＋4a －94＝0， 解得a 1＝12，a 2＝－92(舍去)，∴a ＝12；③当－2≤a ＜－12时，同理有x 1＝1时y 值最大，x 2＝a 时y 值最小，将x 1＝1，x 2＝a 代入函数解析式得， y 1＝1＋a ，y 2＝3a －a 2，∵|y 1－y 2|＝254，∴a 2－2a －214＝0， 解得a 1＝－32，a 2＝72(舍去)，∴a ＝－32；④当a ＜－2时， 将x 1＝－2，x 2＝1代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝1＋a ，∵|y 1－y 2|＝254，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，∴－(3＋6a )＝254，解得a ＝－3724，又∵a ≤－2，故此种情况不成立， 综上所述，a ＝12或a ＝－32.。