福建省高二上学期数学10月月考试卷

福建省漳州市第八中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为π4，则直线l 的斜率为（ ）AB ．1-C ．1 D2．已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（ ） A ．4B ．-4C ．4±D ．163．已知 a n 是递增数列，则 a n 的通项公式可能为（ ） A ．210n a n n =-+ B ．371n a n n =-+ C ．2n n a n =+ D ．2n n a -=4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（ ） A ．48B ．42C ．24D ．215．在数列{}n a 中，若11a =-，*11(2,N )1n n a n n a -=≥∈-，则10a =（ ） A ．1-B ．1C ．12D ．26．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4812,40S S ==，则12S =（ ） A ．44B ．56C ．68D ．847．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++L 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x=+，则()()()122023f a f a f a +++=L （ ） A ．2023B ．4046C ．2022D ．4044二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列B ．数列 a n 的通项公式为()1n a n n =+，则110是该数列的第10项C ．数列12…的第8项是D ．数列0，32，4，152，…的一个通项公式为212n n a -=10．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且67789,a a S S S >=>，则下列结论正确的是（ ）A ．80a =B ．0d >C ．7S 与8S 均为n S 的最大值D ．8S 为n S 的最小值11．已知数列{}n a 满足112222n n n a a a n -+++=⋅L ，则（ ）A ．1n a n =+B ．{}n a 的前n 项和为(2)2n n + C ．(){}1nn a -的前100项和为100D ．{}5n a -的前30项和为357三、填空题12．直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m 恒过定点13．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则567a a a ++=． 14．在等差数列{}n a 中，160a =，1712a =，则数列{}n a 的前n 项和为．四、解答题15．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且113342,14,16a b a b b ==+==. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 16．已知数列{}n a 满足12a =，11n n a n a n++=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设24n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+． (1)求证：数列{}2n a +是等比数列； (2)设()2n n b n a =+求{}n b 的前n 项和n T ．18．已知直线l 过点4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)当OA OB =时，求直线l 的方程； (2)当AOB V 的面积为6时，求直线l 的方程.19．如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.(1)若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a nn+++⋅⋅⋅+≤-。

2024-2025福建厦门思明区厦门外国语学校高二上学期10月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知向量，且，则（ ）A ．B ．3C ．D ．163．在空间四边形OABC 中，，且，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知直线和直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．经过点作直线l ，若直线l 与连接两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，直线BD ，AC 分别在平面内，且它们都垂直于l ．若，则异面直线AC 与BD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°7．我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．根据上述材料，()(1,0,1,A B -()()()1,,1,,1,1,2,2,a x b y c z ===-- ,a b b c ⊥∥a b c ++= ,,OA a OB b OC c === 2,2AM MC ON NB == MN =122333a b c-++ 122333a b c-+-212333a b c-+- 122333a b c--+ 1:10l x ay +-=()2:3220l a x ay ---=12l l ∥13a =()0,1P -()()2,1,1,1A B ---α0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)0,π30,,324πππ⎡⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦30,,34ππ⎡⎤⎡⎫π⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭l αβ--,αβ5,3,6,AB AC BD CD ====()00Ax B A +=≠xOy 0Ax By C ++=O xyz -0Ax By Cz D +++=()000,,P x y z (),,na b c =α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=解决下面问题：已知平面的方程为，直线l 是两平面与的交线，则直线l 与平面所成角的正弦值为（ ）AB ．CD ．8．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线，点在直线上，且的最小值为（ ）ABCD ．5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题不正确的是（ ）A ．已知直线与直线垂直，则实数a 的值是B ．设点在直线上，则这条直线的方程还可以表示为C ．若是空间向里的一组基底，则也是空问向量的一组基底D ．向量在向量上的投影向量为10．对于直线，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过点B ．当时，直线l 与y 轴上的截距为3C ．若直线l 不经过第二象限，则D ．坐标原点到直线l11．在长方体中，，，点P 满足：α270x y z -+-=10x y -+=210x z -+=α1312(),x y (),a b ()11,Mx y 12l y x =+()22,N x y 2l y x =1MN l ⊥-()2210a x ay ++-=320ax y -+=43-()000,P x y 0Ax By C ++=()()000A x xB y y -+-={},,a b c {},2,a b c a b c +++()1,1,0a = ()0,1,1b = 110,,22⎛⎫⎪⎝⎭():1230l m x y m -+-+=()2,1-0m =31,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -2AB AD ==11AA =，其中、、，下列结论正确的是（ ）A ．当， 时，P 到B ．当时，点P 到平面的距离的最大值为1C ．当，时，直线PB 与平面ABCDD ．当，时，四校锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在平行六面体中，，，，，，则______．13．过点作直线l ，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的一般式方程为______．14．已知实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直四棱锥中，，，，E ，F ，G 分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：C ，E ，F ，G 四点共面．16．已知的顶点，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为，的平分线BH 所在直线的方程为．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BC 的一般式方程；1AP AB AD AA λμγ=++ λμ[]0,1γ∈1λ=0γ=11A D 1μ=11BDD B 0λ=1μ=1λμ==12γ=11P BB DD -28932πABCD A B C D ''''-4AB =3AD =3A A '=90BAD ∠=︒60A AB A AD ''∠=∠=︒AC '()3,0P 220x y --=30x y ++=0,0a b ><1111ABCD A B C D -AB CD ∥AB AD ⊥1224AA AB AD CD ====1111,,DD A D BB CG EF ⋅ABC △()1,2A 210x y +-=ABC ∠y x =（3）求的面积．17．如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面ABC ，，，E 为AC 的中点．（1）求证：平面（2）求平面与平面．所成角的大小18．已知点P 和非零实数，若两条不同的直线、均过点P ，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ 、QR 、RP 上的点（A 、B 、C 与P 、Q 、R 均不重合），且直线PR 、PQ 是“共轭线对”，直线QP 、QR 是“共轭线对”，直线RP 、RQ 是“共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O 到直线、的距离之积的取值范围．19．如图①所示，矩形ABCD 中，，，点M 是边CD 的中点，将沿AM 翻折到，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥，N 为PB 中点．（1）求证：平面PAM ；（2）若平面平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB所成角的大小；ABC △111ABC A B C -11ABB A 113AA B π∠=11ABB A ⊥AB BC=1AC ==11B C ⊥11ABB A 11EB C 11BB C C λ1l 2l λ1l 2l P λ12l y x =212l y x =-1O -O 1l 2l 3O -12l y x -2l ()0,1A ()1,0B -()1,0C 1P 4Q 9R (1,Q -1l 2l 2Q -1l 1l 2l 1AD =2AB =ADM △PAM △P ABCM -NC ∥PAM ⊥（3）设的大小为，若，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．P AM D --θ0,2θπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。

福建省厦门海沧实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知{,,}a b c r r r为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）A ．a b +rr ，b c +r r ，-r r a cB ．2a b +r r ，b r ，-r r a cC ．2a b +r r ，2b c +r r ，a b c ++r r rD ．a c +r r ，2b a +r r ，2b c -r r2．设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===-r r r R ，且,//a c b c ⊥r r r r，则2a b +=r r （ ）A ．B ．0C ．3D ．3．已知()2,3,1a =r ，()1,2,2b =--r ，则a r 在b r上的投影向量为（ ） A ．2b rB ．2b -rC ．23b rD ．23b -r4．已知直线220kx y k -+-=恒过定点A ，点A 在直线20mx ny ++=上，其中m 、n 均为正数，则22m n+的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．4-5．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段BD 上的一点，且3PD PB =，设1AA a =u u u r r，1111,A B b A D c ==r r u u u u r u u u u r ，则1PC =u u u u r（ ）A ．1324a b c ++r r rB ．113444a b c -+r r rC ．1344a b c -++r r rD ．131444a b c -+r r r7．已知点(1,1,2),(2,0,1),(1,2,0)A B C -，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A B ．13C D8．在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，P 为△ABC 内的一点，AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则下列说法错误的是（ ）A ．若P 为△ABC 的重心，则21x y +=B ．若P 为△ABC 的外心，则18PB BC ⋅=u u u r u u u rC ．若P 为△ABC 的垂心，则716x y +=D ．若P 为△ABC 的内心，则58x y +=二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若0a b ⋅>r r ，则向量a r ，b r的夹角是锐角B ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C ．若对空间中任意一点O ，有111488AP OA OB OC =-++u u u r u u ur u u u r u u u r ，则,,,P A B C 四点共面D ．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u r D ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为411．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．若1,0λμ==，则118P A BD V -=B ．若1λμ+=，则1//D P 平面1A BDC ．若11,2λμ==，则OP ⊥平面1A BDD ．若1,01λμ=≤≤时，直线OP 与平面1A BD 所成的角为θ，则sin θ∈三、填空题12．直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于a 的方程2280a a n ++=的两根，若12l l ⊥，则实数n =． 13．已知向量(2,,1),(2,1,1)a t b =--=r r，若a r 与b r 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．14．已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN 为球O的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM PN ⋅u u u u v u u u v的取值范围是．四、解答题15．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，AD c =u u ur r ，,,M N P 分别是1AA ，BC ，11C D 的中点.(1)试用a r ，b r ，c r表示以下列向量：1MP NC +u u u r u u u u r .(2)1AB AD AA ==，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，求证：1AC ⊥平面1A BD16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC =，2BC =，13CC =，点D 是棱AB 的中点.(1)证明：1//AC 平面1B CD ；(2)求直线1A B 与平面1B CD 所成角的正弦值.17．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 上的一点，且112A E EB =，点F 是棱11A D 上的一点，且112A F FD =．(1)求异面直线1AD 与CF 所成角的余弦值； (2)求直线BD 到平面CEF 的距离．18．如图，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1,2PA AB BC AD ====．(1)求证：平面PAC ⊥平面PDC(2)求直线EC 与平面P AC 所成角的正弦值．19．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 垂直AB ，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.。

2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。

福建省莆田第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数2i12iz =-+的虚部为（ ） A ．25B ．25-C ．2i 5 D ．2i 5-2．在四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，(0)OM OA λλ=>u u u ur u u u r ，N 为BC 的中点，若311422MN a b c =-++r r u u u r ru ，则λ=（ ）A ．13B ．34C ．23D ．143．在空间直角坐标系内，平面α经过三点()1,0,2A ，()0,1,0B ，()2,1,1C -，向量()1,,n λμ=r是平面α的一个法向量，则λμ-=（ ） A ．3B ．5-C ．5D ．3-4．在空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)n v μωμνω=≠r的直线l 方程为00x x y y z z v μω---==.已知：在空间直角坐标系O xyz -中，平面α的方程为：230x y z ++=，经过(0,0,0)P 的直线l 方程为23x yz ==，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ）A B C D ．11145．已知直线l sin 10y α++=()a ∈R ，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点11,O A AB A AC BAC ∠∠∠==160,3,2A A AB AC ====o ，则线段AO 的长度为（ ）A B C ．52D 7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AD AA ===，E 为棱CD 的中点，则异面直线1A D 与1D E 之间的距离为（ ）A ．13B C D 8．已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．3-2-4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．7-04⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．73--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．[]-20，二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线()24R y ax a a =-+∈必过定点()2,4B ．直线310x y --=在y 轴上的截距为1C ．过点()2,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为210x y ++=D ．直线10x +=的倾斜角为120°10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC =AB BC ==2AC =，点M 是棱1AA 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线BC 与1B M 所成的角为90o B ．在1BC 上存在点D ，使//MD 平面ABC C ．1B M CM ⊥D ．二面角1B AC B --的大小为60o11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中[][],0,10,1λμ∈∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的面积为定值B ．当1μ=时，四棱锥11P A BCD -的体积为定值C ．当λμ=时，点PD ．当1λμ+=时，1PD 的取值范围时⎣三、填空题12．直线2340x y --=关于x 轴对称的直线方程为.13．两平行直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=的距离为.14．已知矩形ABCD ，20AB =，15BC =，沿对角线AC 将ABC V 折起，使得BD =，则二面角B AC D --的大小是.四、解答题15．已知直线l 过定点(2,3)P --(1)若()1,3Q 到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求ABO V （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程.16．如图三棱柱111ABC A B C -中，122AC AB BB ===，160ABB ∠=︒，90BAC ∠=︒，平面ABC ⊥平面11AA B B ，D 是棱AC 的中点.(1)求证：1//B C 平面1A BD ； (2)求1C 到直线BD 的距离.17．如图，在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，2BC =.（1）若ABC V AC 的长；（2）若AD 4ACB ACD π∠=∠+.求ACD ∠的大小.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，24DC DA ==，1DD =11DC D B ⊥(1)求证：DA DB ⊥；(2)求三棱锥11C AC D -的体积；(3)线段11C D 上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面11ABB A 的夹角为π4?若存在，求1D E 的长；若不存在，请说明理由.19．数学家阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体ABCD A B C D -''''中，点M 是BC 的中点，点P 是正方体表面DCC D ''上一动点（包括边界），且两直线AP ，MP 与平面DCC D ''所成的角相等.(1)证明：点P 的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象（不要求写出画法）；(2)记点P 的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为O ，求D P OP '⋅u u u u r u u u r的取值范围；(3)当线段D P '最短时，在线段A D ''上是否存在点N ，使得//D P '平面AMN ，若有，请求出平面AMN 截正方体ABCD A B C D -''''的截面周长，若无，说明理由.。

福建省厦门第六中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1AB B ．DC 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ABCD -为阳马，DE xAB y A z AP C +=+，则x y z ++=（）A ．1C ．134．如果三点()1,5,2A -，A ．3,2a b ==A ．1010B ．557．已知ABC 的顶点为(20)A ，，的一个方向向量的坐标可以是（A ．(1)2，B ．(13)，8．空间直角坐标系O xyz -中，平面ABC ，则||AP =（）A ．5B ．7二、多选题9．若直线l 经过点(1,2)A ，在可能是（）A ．12-B ．2-10．给出下列命题，其中是真命题的是（A ．若直线l 的方向向量a 直B ．若直线l 的方向向量aC ．若平面α、β的法向量分别为15．点P 是棱长为1的正方体范围是.四、双空题16．在ABC 中，已知顶点ABC ∠的平分线所在直线方程为程．五、解答题17．若直线l 过点()1,2P ，且与的面积为4时，求直线l 的方程18．已知空间中的三点(2,0,2P -（1）若ka b + 与2ka b -互相垂直，求（2）求点N 到直线PM 的距离19．如图所示，在长方体ABCD 求证：1A B N M ，，，四点共面．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，2,23PN PA PD DC ===．(1)证明：DN PM ⊥；(2)设平面PAB ⋂平面PCD l =21．如图，在矩形ABCD 和ABEF AN AE λ=，01λ<<，记AB = (1)将MN 用a ，b ，c表示出来，并求(2)是否存在λ使得MN ⊥平面ABCD 22．如图甲，已知在长方形ABCD AM 折起，如图乙，使得平面(1)求证：AD ⊥平面BDM ；(2)若点E 是线段DB 上一动点，点。

福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r r 都为基底，则m r不可以为（ ）A ．a rB ．c rC ．a c +r rD ．-r r a c3．若直线3m y x n m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线1322y x =+的倾斜角的2倍，则（ ） A ．4m =-，3n =- B ．4m =，3n = C ．4m =，3n =-D ．4m =-，3n =4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11A D 的中点，则直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）A B C D 5．集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC V 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =u u u u r u u u r ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =u u u r u u u r ，则MN =（ ）A ．5B ．3 CD 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11ABCD C ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π68．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A．B ．C ．3D ．6二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=-- D ．已知()()2,4,1,1A B ，若直线:20l kx y k ++-=与线段AB 有公共点，则21,32k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =-r ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--r，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a r ，b r 满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1=r a ，()0,1,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u rD ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为4三、填空题12．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．13．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=uuu r uuu r．14．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题15．在三棱锥P-ABC 中，2AB BC PC PB ====，90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，PB AC ⊥．(1)求证：平面PBE ⊥平面ABC ； (2)求点C 到平面P AB 的距离．16．已知ABC V 的顶点()4,2A -，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=．(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，且14AA =，14CC CE =u u u u r u u u r，直线AE 与1AC 交于点F .(1)证明：1AC ⊥平面ABE . (2)求二面角1A BE A --的正弦值.18．在面积为S 的ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． (1)求C 的值；(2)若c ABC V 周长的最大值；(3)若ABC V 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC V 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。

2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考（高二数学）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，，则（ ）A.9B.12C.15D.182.已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）A.1或 B.1C.2或D.23.已知数列的前项和，，则（ ）A.20B.17C.18D.194.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ）A.60B.55C.50D.115.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺A.B.C.D.6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）A.2B.4C.8D.167.在数列中，若，，则（ ）A. B.1C.D.2.8.高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）A.2023B.4046C.2022D.4044二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.{}n a 53a =96a =13a ={}n a 12a =53a a =10a 1-2-{}n a 221n S n =+*n ∈N 5a ={}n a n S n 65a =11S 47162981545{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b ={}n a 11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-10a =1-12123100++++ 1100101+=299101+=5051101+=501015050⨯=n {}n a 120231a a =24()1f x x=+()()()122023f a f a f a +++=9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（）A.的通项公式为B.等差数列的前项和为C.等比数列的公比为D.10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）图（1）图（2）A. B. C. D.11.已知数列满足，，则（ ）A. B.数列是等差数列C. D.数列的前99项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，则___________.13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，（1）求的通项公式；{}n a 32a =392S ={}n b 11b a =415b a ={}n b n n T {}n a 24n a n =-{}n a n 234n n nS +={}n b 1221n n T =-⋯{}n a {}n b 515a =520b =101045b a =+(1)2n n n a +={}n a 12a =1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++216a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10102400a =2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2516{}n a 1359a a a ++=24a a +={}n a 4780a a -=1a 21a +3a 5a ={}n a 211n n n na a k a a ++++=k {}n a k {}n a 11a =22a =2202a ={}n a 2d =5a 6a 9a {}n a（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.（I ）求；（II ）若数列，求数列的前项和.18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大正整数.19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.{}n a n n S n S n {}n a 12a =324a a =+{}n a {}n b {}n n a b +n n S n S {}n a n 132a a +=-()*1575N S n =∈9S ()()1144n n n b a a +=++{}n b n n T {}n a 127a =()*1231n n n a a n a +=∈+N 13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1231111100na a a a +++⋯+<n {}n a n n S ()*12N 2n n S a n =-∈{}n b 11b =120n n b b +-+={}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T 0λ>n 222nnb k a λλ-+>k柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考（高二数学）参考答案1. A在等差数列中，，，所以，所以，2.C设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3.C因为数列的前项和，，所以.4.B因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：B.5.D设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.故选：D 6.D等差数列中，，故原式等价于解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.故选：D.7.A解：因为，，所以，，{}n a 53a =96a =95132a a a =+139522639a a a =-=⨯-={}n a q 12a =53a a =21q =1q =±91012a a q ==±{}n a 221n S n =+*N n ∈()()2255425124118a S S =-=⨯+-⨯+={}n a n S n 65a =()1111161111552a a S a +===d 2020192042322S d ⨯=⨯+=45d =45{}n a 31172a a a +=27740a a -=70a =74a ={}n a 774a b =={}n b 268716b b b ==11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-2111111(1)2a a ===---321121112a a ===--，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.8.B解：选B 根据等比数列的下标性质由，函数，，令，则，，.9.AC【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，，所以，故A 错误；，故B 正确；设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C 错误；，故D 正确.故选：AC.10.ACD【详解】依题意，，，AD 正确；，，B 错误；，，C 正确.故选：ACD 11.ACD解：A 选项，中得，，故，A 正确；413111112a a a ===-=--52411111(1)2a a a ====---{}n a 1033111a a a ⨯+===-12023202411n n a a a a -⋅=⇒⋅= 24()1f x x =+222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫∴+=+== ⎪++⎝⎭+()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a ∴=++++++=⨯ 4046T ∴={}n a d 32a =392S =122a d +=9332a d +=11a =12d =1n 11(1)22n a n +=+-=211n 3n(1)224n S n n n +=+-⨯={}n b q 111b a ==4158b a ==38q =2q =n122112n n T -==--(1)12342n n n a n +=+++++=55(51)152a +==2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== 525b =1010(101)552a +==1010100554545b a ==+=+1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++1n =21223212a a -=⨯⨯=216a =B 选项，变形得到，故数列不是等差数列，B 错误；C 选项，，……，，上面个式子相加得，设①，则②，式子①－②得，则，故，所以，故，C 正确；D 选项，由C 选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，的前99项和为，D 正确.12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.13.【解答】解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，由，，成等差数列，可得，即为，解得，所以，故答案为：32.11(1)2(2)2(1)(2)1n n n n n n na n a a an n n n n n++-+=⇒-=+⋅+++n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2321232,422132a a a a -=⨯-=⨯11(1)21n n n a a n n n ---=+⋅-(1)n -2113242(1)21n n a a n n --=⨯+⨯+++⋅ 213242(1)2n n T n -=⨯+⨯+++⋅ 2323242(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ 231426222(1)26(1)22212nn nn n n T n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 22n n T n =⋅-222n na n n-=⋅-22n n a n =⋅210101021001024102400a =⋅=⨯=22nn a n =122(1)2n n a n a n ++=2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()1002512991001004252222222221612-+++==-<==- {}n a 313539a a a a =++=33a =24326a a a +=={}n a q 4780a a -=3748a q a ==2q =1a 21a +3a ()21321a a a +=+()1122141aa a a +=+12a =5232as ==14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.【解答】解：令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.15.【答案】（1）（2）最小值为，.【小问1详解】由知为等差数列，设的公差为，则，，，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：（1）设为等比数列的公比，则由，得，1n n na b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=2n n b b +=1b 2b n b 2020a n 1nn a b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=20n n b b +-=2n n b b +=2112a b a == 2131b b ∴=-=*1*1,2,N 2,21,Nn n n a n k k b a n k k +⎧=∈∴==⎨=-∈⎩101032019202022020112201820191212122a a a a a a a a a a ∴=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=1010229n a n =-16-4n =12n n a a +-={}n a {}n a d 2d =5a 6a 9a 2659a a a =()()()211110816a a a +=++17a =-2d ={}n a 29n a n =-22(729)8(4)162n n n S n n n -+-==-=--4n =n S 16-q {}n a q q {}n a 12(1)21n b n n =+-=-n q {}n a 12a =324a a =+2224q q =+即，解得或（舍去），因此，的通项为；（2）由已知可得，，，【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.17.【解答】解：（I ）设等差数列的公差为，则由，，得，解得.；（II ）由（I ）知，，，.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题.18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.（1）解：，，，，又，，220q q --=2q =1q =-2q ={}n a ∴n 1n 222n a -=⨯=12(1)21n b n n =+-=-2(21)n n n a b n ∴+=+-()12212(1)222122n n n n n S n n +-+∴=+⨯-=+--n {}n a d 132a a +=-1575S =112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩121a d =-⎧⎨=⎩9989(2)1182S ⨯∴=⨯-+⨯=21(1)3n a n n =-+⨯-=-()()1111144(1)(2)12n n n b a a n n n n +∴===-++++++123111111112334122224n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111332n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1231111na a a a +++⋯+1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x (33)0f <(34)0f >1231n n n a a a +=+ 13112n n na a a ++∴=111322n n a a +∴=+1111332n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭127a =1171322a ∴=-=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，，，若，则，，令，所以在上单调递增，且，，所以满足条件的最大正整数.19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，当时，解得.当时，②，①－②得，整理得，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以.数列满足，点在直线上.所以（常数），所以.（2），所以①，②，①－②得，整理得.∴13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212111113222n n n a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132nn a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111100n a a a a ++++< 1131002nn ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭13992nn ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x R 331(33)999902f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭341(34)1029902f ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭33n ={}n a n ()*1,22n n n S S a n =-∈N 1n =112a =2n ≥11122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12n n a a -={}n a 1222n n a -={}n b 11b =()1,n n P b b +20x y -+=12n n b b +-=21n b n =-2(21)2n n n n c a b n -==-⋅21113252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅- 1211232(21)n n T n -=⨯+⨯++⋅- ()2211212222(21)2n n n T n ---=+++++-- 13(23)22n n T n -=+-⋅（3）由（1）得，所以，所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，对所有的正整数都有都成立，故，可得，所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.2222(21)n nnb n a -=⋅-222212(1)22(21)2(21)2(56)0n n n n nn nb b n n n a a ---++=⋅+-⋅-=-<2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1221n n b b a a ≤=2n n b a n 222nnb k a λλ-+>221k λλ-+>21k λλ<+1k λλ<+min12k λλ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭2k <k (,2)-∞。

福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线l 的一个方向向量是)，则直线l 的倾斜角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π62．如图，三棱锥O ABC -中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c=u u u r r ，点M 为BC 中点，点N 满足2ON NA =u u u r u u u r，则MN =u u u u r（ ）A ．112233a b c --r r rB ．112233a b c -+r r rC ．211322a b c --r r rD ．121232a b c --+r r r3．已知直线1:21l x my +=，2:82l mx y m +=-，则“4m =-”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知直线l 过点(),3m 和()3,2，且在x 轴上的截距是1，则实数m 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．设点()1,2A ，()2,1B ，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．(][),31,-∞--+∞UC ．[]3,1--D ．(][),13,-∞+∞U6．已知空间向量3,2a b ==r r ，且2a b ⋅=r r ，则b r 在a r 上的投影向量为（ ）A ．a rB ．29a rC ．92a rD r7．下面三条直线1:44l x y +=，2:0l mx y +=，3:234l x my -=不能构成三角形，则m 的集合是（ ） A ．21,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．14,6⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．121,,,463⎧⎫--⎨⎬⎩⎭D ．121,,0,,463⎧⎫--⎨⎬⎩⎭8．在矩形ABCD 中，AD a =，AB b =，b a >．将ACD n 沿着AC 翻折，使D 点在平面ABC 上的投影E 恰好在直线AB 上，则此时二面角B AC D --的余弦值为（ ）A ．22a bB ．a bC D ．2a bb+二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若向量,,a b c r r r 与向量,,a m c r u r r 分别构成空间向量的一组基底，则//m b u r rB ．若非零向量,,a b c r r r 满足a b ⊥r r ，b c ⊥r r，则有//a c r rC ．若,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r是空间向量的一组基底，且()13OD OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点共面D ．若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r是空间向量的一组基底，则,,a b c r r r 也是空间向量的一组基底10．已知直线l ：()()211740+++--=m x m y m ，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 过定点()3,1B ．原点O 到直线lC ．若点()1,0A -，()10B ,到直线l 的距离相等，则12m =- D ．若直线l 经过一、二、三象限，则4172m -<<-11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，()11101B G B C λλ=≤≤u u u u r u u u u r，则（ ）A ．无论λ取何值，三棱锥C EFG -的体积始终为1B ．若4λ=，则12EG BD ⋅=u u u r u u u u rC ．点1D 到平面EFGD ．若异面直线EF 与AG ．则710λ=三、填空题12．直线l 过点()1,2-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的方程为 13．直线xcosθ＋2＝0的倾斜角的范围是．14．设10x y -+=，求d =.四、解答题15．已知()1,1A ，()2,2B -，()0,1C -. (1)求ABC V 的面积；(2)若CD AB ⊥，//CB AD ，求点D 的坐标.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是CD PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）设34PA AB ==，，求二面角B PC D --的余弦值.17．三棱台111ABC A B C -中，1112,,AB A B AB BC AC BB =⊥⊥，平面11AA B B ⊥平面ABC ，13,2,1,2AB BC BB AE EB ====u u u r u u u r，1AC 与1AC 交于D ．(1)证明：DE ∥平面11A BC ； (2)求异面直线11AC 与DE 的距离．18．已知直线1:0l mx y m -+=，()2:10l x my m m +-+=，()()3:110l m x y m +-++=，记12l l C ⋂=，23l l B ⋂=，31l l A ⋂=．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标； （2）求证：不论m 为何值，ABC V 总有一个顶点为定点； （3）求ABC V 面积的取值范围.(可直接利用对勾函数的单调性)19．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.(1)求证：1AC ⊥平面BCDE ； (2)求CM 与平面1A BE 所成角的大小；(3)在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN ？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.。

福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一､单选题1.的倾斜角是（）A.B. C. D.2.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.若直线与直线平行，则的值为（ ）A.2B.C.2或D.或4.已知在三棱柱中，侧棱底面点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）B.5.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）6.已知，直线，为上的动点.过点作的切线20240y +-=π6π32π35π6111ABC A B C -G AD ,,BA a BC b BD c === CG =1122a b c -+ 1122a b c ++ 311222a b c -+ 311222a b c ++ ()1:2140l x m y +++=2:320l mx y +-=m 3-3-2-3-111ABC A B C -1BB ⊥,ABC BC CA ⊥11,D F 11A B 11AC 1BC CA CC ==1BD 1AF 12()()()0,1,2,1,0,1,2,1,OA OB OC λ==-= ,,,O A B C OC OB22:2220M x y x y +---= :220l x y ++=P l P M，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）.A. B.C.D.7.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A.若平面，则动点的轨迹是一条线段B.不存在点，使得平面C.当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D.若，那么8.已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）.A.B.C.D.二､多选题9.下列给出的命题正确的是（）.A.若直线的方向向量为，平面的法向量，则B.两个不重合的平面的法向量分别是，则C.若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底,PA PB ,A B PAMB AB 210x y --=210x y +-=210x y ++=210x y -+=1111ABCD A B C D -P 1BB Q 11BB C C 1D Q ∥1A PD Q Q 1D Q ⊥1A PDQ 1CC 1Q A PD -1D Q =Q ,A B P (0PB PAλλ=>1)λ≠P ()0,0,O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=2:320l x ky k +++=P 12,l l 32PO PQ +6-9-3+l ()1,0,3e = a 22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭l ∥a ,αβ()()2,2,1,3,4,2u m =-=-αβ⊥{},,a b c {},,a b b c c a +++D.空间内任意一点与不共线的三点，若，则四点共面10.直线与曲线可取下列哪些值（ ）.A.B.C.111.在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（）A.当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为B.的面积最大值为1C.若原点始终在动弦上，则不是定值D.若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为三､填空题12.向量，若，且，则的值为__________.13.经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若的值为__________.14.已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为__________.四､解答题15.已知直线和直线的交点为.（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若直线与直线垂直，且到，求直线的方程.16.如图，在四棱锥中，平面，分别为线段的中点.O ,,A B C (),,OP xOA yOB zOC x y z =++∈R,,,P A B Cy x b =+x =b 1-xOy 221:(1)2C x y -+=AB 222:()(8C x a y -+=1C 2C a []3,5-1ABC O AB OA OB ⋅P OAPB P ()()2,1,,2,,1a x b y ==- a = a b ⊥ x y +()3,1P --k l 22:(1)(2)14C x y ++-=,A B AB =k O ,2,P ABCD PA AB EF -==O Q QE QF ⋅2310x y -+=20x y +-=P P 310x y --=1l 310x y --=P 1l 1l P ABCD -PA ⊥,,ABCD AB AD BC ⊥∥AD 222,1,,,AD BC PA AB E F G ====,,AD DC PB（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.（1）证明：平面；（2）求动点到线段的距离的取值范围.18.已知的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为被直线：截得的弦长为2.（1）求的方程；（2）设点在上运动，且点满足，（O 为原点）记点的轨迹为.①求曲线的方程；②过点的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19.如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆：交于两点，已知当直线过圆心时，.PEF ∥AGC GC PCD PAB ,12,,AP AB AB AP D C ⊥==,PA PB PDC DC ABCD PA =,,PA PB PC P ABCD -PB N CN Q CN CN ⊥PAB Q AP C 330x y --=C y y 1,C l 30x y -+=C D C T 2DT TO =T E E ()1,0M E ,A B x N x ANB ∠N ()00,P x y 22:9O x y +=P O l 1O ()22()(4)1000x a y a -+-=>,A B l 1O 14O P =（1）求的值；（2）当线段最短时，求直线的方程；（3）问：满足条件的点有几个？请说明理由.福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一､单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二､多选题9.【答案】BC 10.【答案】AC 11.【答案】ABD三､填空题12.【答案】13.【答案】或014.【答案】四､解答题15.【答案】（1）；（2）或.a AB l 13AP BP=P 4-125-[0,2]320x y --=30x y +=380x y +-=16.【解】，且，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线，即，因为平面平面，所以平面，因为分别为线段的中点，所以，因为平面平面，所平面，因为平面平面，所以平面平面（2）因为底面平面平面，所以，，因为，所以两两互相垂直，以为原点，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，所以，，设平面的法向量为则，所以令，可得，所以，设直线与平面所成角为，则BC ∥AD 1,2BC AD AE AB AD ==⊥ABCE O EB G PB OG PBE OG PE ∥OG ⊄,PEF PE ⊂PEF OG ∥PEF ,E F ,AD DC EF ∥AC AC ⊄,PEF EF ⊂PEF AC ∥PEF OG ⊂,GAC AC ⊂,GAC AC OG O ⋂=PEF ∥GACPA ⊥,ABCD AB ⊂,ABCD AD ⊂ABCD PA AB ⊥PA AD ⊥AB AD ⊥PA AB AD ､､A AB ,AD AP x y z()()()()110,0,0,,0,,1,1,0,0,2,0,0,0,122A G C D P ⎛⎫⎪⎝⎭()11,1,,1,1,122GC PC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()0,2,1PD =- PCD (),,n x y z = 0n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y z x y z -=⎧⎨+-=⎩1y =2,1z x ==()1,1,2n =GC PCD θ，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.【解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，所以，所以，在折叠前分别为中点，所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，；以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则为中点，所以，设平面的法向量为，又，所以，令，则，所以，所以，所以，所以平面.（2）设，动点在线段上，所以，即，即，所以，设点到线段的距离为，，，令，则，根据二次函数的性质可知，所以，由此可知动点到线段的距离的取值范围为1sin 6n GCn GCθ⋅===PD ACG 16D PA 12PA =6PD AD ==PA =222PD AD PA +=PD AD ⊥,D C ,PA PB DC ∥AB PA AB ⊥DC PA ⊥PD AD ⊥,DC PD AD DC ⊥⊥D DA DC DP ､､x y z ､､()()()()()0,0,0,6,0,0,6,12,0,0,6,0,0,0,6,D A B C P N PB ()()3,6,3,3,0,3N CN =PAB (),,m x y z =()()6,0,6,0,12,0AP AB =-= 0660,1200AP m x z y AB m ⎧⋅=-+=⎧⎪⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 1x =0,1y z ==()1,0,1m = 3CN m = CN ∥mCN ⊥PAB ()()()111111,,,,6,,3,0,3Q x y z CQ x y z CN =-=Q CN [],0,1CQ CN λλ=∈ ()()111,6,3,0,3x y z λλ-=111363x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩()()()3,6,3,6,0,6,63,6,3Q AP QA λλλλ=-=---QAP ,d d =[]0,1d λ=∈[]0,1d λ=∈[]2183654,0,1t λλλ=-+∈[]218(1)36,0,1t λλ=-+∈[]36,54t ∈d ⎡∈⎣Q AP.18.【答案】（1）（2）①；②存在，19.解：（1）当直线过圆心点时，，解得（负值舍去）.（2）解法1（代数法）：因为与圆相切，所以直线的方程为，且，所以圆心到直线的距离，则直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，所以，所以当时，，此时弦长最短由解得，所以直线亂的方程为.解法2（几何法）：如图，过作bot ，则为弦的中点，设，⎡⎣22(1)9x y -+=22113x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭l 1O 14O P ===3a =OP O l 009x x y y +=22009x y +=1O l d 0034z x y =+00340x y z +-=22009x y +=()0,0340x y z +-=3d '=1515z - (15)z =-max8d =AB 00220341509x y x y ++=⎧⎨+=⎩0095125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34150x y ++=1O 1O M ‚AB M AB 1d O M =当最长时，弦长最短，因为，当且仅当三点共线时，取得最大值，此时，因为，所以直线的方程为，由解得（点在第3象限）所以直线的方程为3.（3）因为，所以设，则，所以，所以，（i ）如图，当在直线同侧时，②，由①②得或，当时，直线可看作是圆与圆的公切线，此时两圆相交，公切线有两条､所以满足条件的点有2个，时，直线AB 可看作是圆与圆的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个，（ii ）如图，当在直线异侧时，，③由①③可得或（舍），满足条件的点不存在，综上，满足条件的点共有4个.附：当时，即，由解得P 或，当时，即，由，解得或或（舍去）.1O M AB 118d O P OO OP +=……1,,O O P 1OO AB ⊥143OO k =1OO 43y x =2200439yx x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩912,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭P13AP BP=AP t =()30BP t t =>4AB t =22(2)100d t +=①1,O O AB 222||25(3)t MP d ==--6d =2d =6d =AB 229x y +=22(3)(4)36x y -+-=P 2d =229x y +=22(3)(4)4x y -+-=P 1,O O AB 222||25(3)t MP d ==-+6d =-2d =-P P 6d =6d 0034918x y +-=00220349189x y x y ⎧+-=⎨+=⎩()3,0-2172,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2d =2d 003496x y +-=00220034969x y x y ⎧+-=⎨+=⎩P P 912,55P ⎛⎫⎪⎝⎭。

福建省晋江市养正中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则1()2AF AB AC -+=u u u r u u u r u u u r （ ） A ．EF -u u u r B ．BD u u u r C ．EF u u u rD ．BD -u u u r 2．已知点(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是（ ） A ．2-，3B ．1-，2C ．1，3D ．2-，23．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=4．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14,5,90AB AD AA BAD ∠====o ，1160BAA DAA ∠=∠=o ，则1AC 的长为（ ）A B C ．85 D ．976．已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=rn 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC V 的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A ．1522y x =-+B ．1126y x =+ C ．210y x =-+ D ．210y x =-8．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发经BC ，CA 反射后又回到点P ，若光线QR 经过ABC V 的重心，则PQR V 的周长等于（ ）A BC ．D二、多选题9．已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的一个法向量为)B ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥C ．点)到直线l 的距离是2D ．过()与直线l 40y --= 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．非零向量a r ，b r ，若0a b ⋅=r r ，则a b ⊥r rB ．若对空间中任意一点O ，有111532OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{},,a b c r r r是空间中的一组基底，则{},,a b b c a c -++r r r r r r 也是空间的一组基底D ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C 三点共线11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D E C．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知a R ∈，设直线1:10l x ay +-=，2:10l ax y +-=，若12l l //，则a =.13．当点()2,1P --到直线()()():131240R l x y λλλλ+++--=∈的距离最大时，此时的直线l 方程为.14．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60,︒我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60︒坐标系”下向量的斜60°坐标：i r ，j r，k r 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴、y轴、z 轴）正方向的单位向量，若向量,n xi yj zk =++r r r r则n r 与有序实数组(),,x y z 相对应，称向量n r 的斜60︒坐标为[],,x y z ，记作[],,.n x y z =r 若[]1,2,3a =r ，[]1,1,2b =-r ，则a b +rr 的斜60°坐标为在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，2AB AD ==，13AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，N 为线段D 1C 1的中点.如图，以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为基底建立“空间斜60°坐标系”.若[]2,2,0,AM =-u u u u r 则AM u u u u r 与BN 夹角的余弦值为.四、解答题15．已知直线1l ：2320x y +-=，2l ：()2110mx m y +-+=，其中m 为实数. (1)当12l l ∥时，求直线1l ，2l 之间的距离；(2)当1m =时，求过直线1l ，2l 的交点，且垂直于直线240x y -+=的直线方程.16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点.(1)证明：1//A F 平面CDE .(2)求1A E 与平面CDE 所成角的正弦值.17．设直线l 的方程为()()1520R a x y a a ++--=∈． (1)求证：不论a 为何值，直线l 必过一定点P ；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(,0)A A x ，(0,)B B y ，当A O B V 面积最小时，求此时的直线方程；(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线l 的方程． 18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，4BC =，60ABC ∠=︒，PABV是边长为2的等边三角形，PB AC ⊥，E 是线段PD 的中点.(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)若(01)PF PC λλ=<<u u u r u u u r ，是否存在λ，使得平面BEF 和平面PAD 夹角的余弦值为35？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B --的大小为θ.(1)求证：AC BN ⊥；(2)若A 到平面BCFE ，求cos θ的值.。

福建省龙岩市连城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知数列1L则 ）A ．第30项B ．第31项C ．第32项D ．第33项 2．直线34250x y +-=与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交且直线过圆心B ．相交但直线不过圆心C ．相切D ．相离 3．在等比数列{}n a 中，1a ，99a 是方程210160x x -+=的两个根，则50a 的值为（ ） A ．10 B ．16 C ．4± D ．44．若直线l的一个方向向量为(，则它的倾斜角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒ 5．“6m >”是“方程22470x y mx y m +-+++=是圆的方程”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（ ）A ．55B ．52C ．39D ．267．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 8．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设{}n a 为斐波那契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为n n n a ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+的正整数解，则n 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或3-C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限 10．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2n n a =B ．数列{}n a 单调递减C ．122n n S S +=+D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列11．已知()()4240P A ，，，，点Q 为圆22:4O x y +=上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M N 、，下列说法正确的是（ ）A ．若圆()()22:231C x y -+-=，则圆O 与圆C 有四条公切线B ．若x y ，满足224x y +=，则44y -≤+≤C ．直线MN 的方程为210x y +-=D ．12PQ AQ +三、填空题12．若等比数列{}n a 共有2n 项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{}n a 的所有项之和为．13．已知直线210x y ++=与22:(1)4C x y -+=e 交于A ，B 两点，则ABC V 的面积为. 14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数()x f x {}n a 满足()*121(0)(1)-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L n n a f f f f f n n n n N ，若存在*n ∈N 使不等式242270n n n ka +-+≤成立，则k 的取值范围是．四、解答题15．已知点()()()2,1,2,3,1,3A B C ---；(1)求过点A 且与BC 平行的直线方程；(2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．16．已知数列{}n a 满足1112,n n a n a a n++==. (1)求{}n a 的通项公式.(2)求数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 17．证明圆221:4160C x y x +--=与圆222:240C x y y ++-=内切，并求它们的公切线方程． 18．已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ． 19．在平面直角坐标系中，圆M是以(1,A B 两点为直径的圆，且圆N 与圆M 关于直线=y x 对称．(1)求圆N 的标准方程；(2)设(0,1),(0,4)C D ，过点C 作直线1l ，交圆N 于P 、Q 两点，P 、Q 不在y 轴上． ①过点C 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆N 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ,DQ 相交于点G ，试讨论点G 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．。

福建省德化第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ．设1111,AB a AD b ==u u u u v u u u u v vv ，1A A c =u u u r r，则下列向量中与12B M u u u u r 相等的向量是（ ）A ．2a b c -++r r rB ．2a b c ++r r rC ．2a b c -+r r rD ．2a b c -+-r r r2．设直线l 的方向向量为()2,1,m z =-u r，平面α的一个法向量为()4,2,2n =--r ，若直线l //平面α，则实数z 的值为（ ） A ．-5B ．5C ．-1D ．13．已知直线l 10y ++=，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．如图所示，若直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（ ）A ．213k k k <<B ．123k k k <<C ．321k k k <<D ．312k k k <<5．如图，在棱长为的1正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11AC 的中点，则1AE D B ⋅=u u u r u u u u r（ ）A ．1B ．0C ．12-D ．1-6．过点(4,1)A ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A ．50x y +-=B ．40x y -=或50x y +-=C ．40x y -=或30x y -+=D ．40x y -=或50x y +-=7．已知直线l ：210x my m +--=，则点()2,1P -到直线l 距离的最大值为（ ）AB C ．5D ．108．已知直线:3l y x =与圆22:40C x y y +-=相交于,A B 两点，则ABC V 的面积为（ ）A B ．65C D ．5二、多选题9．若平面α，β的法向量分别是()13,4,2n =-u r，()22,0,3n =-u u r ，直线l 的方向向量为()2,0,3a =-r ，直线m 的方向向量为()0,2,1b =-r，则（ ） A ．αβ⊥B ．//l αC ．l 与m 为相交直线D ．a r 在b r 上的投影向量为630,,55⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知实数x 、y 满足方程()2223x y -+=，则下列说法正确的是（ ）A ．22x y +的最大值为7+B ．y x -2C ．yx D ．x y +的最大值为211．直线1:220l ax y +-=，直线2:(1)20l x a y ++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．若12//l l ，则1a =或2a =-B ．若12l l ⊥，则23a =-C．当12//l l D ．当12l l ⊥时，两直线的交点坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题12．在边长为2的正方体中，M 为棱AB 的中点，则二面角1B CM B --的正切值是. 13．圆222440x y x y +---=上的点到直线210x y ++=的距离的最大值.14．设直线()()()11380l m x m y m R +---=∈：，则直线1l 恒过定点；若过原点作直线21l l ∥，则当直线1l 与2l 的距离最大时，直线2l 的方程为．四、解答题15．已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB =r u u u r ，b AC =r u u u r . (1)已知()a kb b +⊥r r r，求k 的值；(2)若6c =r ，且c r ∥BC u u u r，求c r 的坐标.16．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DA ==，E ，F 分别为PC ，AD 的中点.(1)求证：//DE 平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离.17．已知直线l 过点()3,1A -且与直线1:4330l x y --=垂直. (1)求直线l 的一般式方程；(2)求以点()0,10P 为圆心且与直线l 相切的圆的一般方程.18．已知关于,x y 的方程C ：22240x y x y m +--+=． (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且||MN =m 的值． 19．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，CD 的中点．(1)求;CE u u u r(2)求直线EC 与AF 所成角的余弦值; (3)求平面AFE 和平面AFB 夹角的余弦值．。