第5章 两点边值问题求解方法

y( a ) A, y (b ) B
离散化，将区间 x a, b 等分为N个子区间： ba h , xi a ih, i 0,1, 2, , N N 在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：
yi 1 yi 1 2 y i yi 1 yi 1 f ( xi , yi , ), 2 h 2h y0 A, y N B
线性近似：按割线求根
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5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
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i 1, 2,, N 1
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5.3 有限差分法 有限差分法解微分方程两点边值问题的几何解释
离散点：微分用有限差分近似
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5.3 有限差分法 例5.1：用有限差分法求解两点边值问题
1 2 1 3 y( xi 1 ) y( xi ) y( xi )h h y( xi ) h y ( xi ) 2 6
忽略二阶以上部分，得一阶导数的后向差分近似： y ( xi ) y ( x i 1 ) 一阶精度 y ( xi ) h
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2 2 sin(ln x) y 2 y , 1 x 2 2 x x x y(1) 1, y(2) 2 y
取离散化区间h=0.1，N=10。
yi 1 yi 1 2 y i yi 1 yi 1 f ( xi , yi , ), i 1, 2, , N 1 2 h 2h y0 A, y N B yi 1 yi 1 2 yi sin(ln xi ) 2 yi 1 yi 1 2 2 yi 2 h xi 2h xi xi2
（与割线法等价） 割线代替切线
或采用其它数值微分方法。 f 可微时解偏导数微分方程 y2 , y2 f ( x, y1 , y2 ), x a, b y1
y1 (a) A, y2 (a)
y1 ( x; ), y2 ( x; )
微分方程对α求偏导： y1 y2 , y1 ( a; ) 0,
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
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5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
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y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
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1 y1 (b;m1 ) B
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5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
y0 1,
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yN 2
xi 1 ih,
i 1, 2, , N 1
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5.3 有限差分法
2 2 sin(ln x ) h h h h 线性方程组： 1 i y 2 1 y 1 y i 1 i 1 2 i 2 x x x x i i i i y0 1, y N 2
y( a ) A, y (b ) B
变换：
( x ) f ( x, y1 , y2 ), x a, b y2 y2 y y1 ( a ) A, y1 (b ) B 考虑初值问题： y2 , y2 f ( x, y1 , y2 ), x a, b y1
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y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 ( a ) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 ( a ) A,
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如何求α？
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5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
5.2 打靶法 作业题5：
用牛顿打靶法求解两点边值问题
2 2 sin(ln x) y 2 y , 1 x 2 2 x x x y(1) 1, y(2) 2 y
迭代初始条件取 y(1) 0 。
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5.3 有限差分法 用差分近似代替微分，将微 5.3 有限差分法 分方程化为代数方程求解 以二阶系统为例，边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
5.3 有限差分法 xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略三阶以上部分，得 一阶导数的中心差分近似： y ( xi 1 ) y ( xi 1 ) y ( x i ) 二阶精度 2h xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相加，忽略四阶以上部分，得
二阶导数中心差分近似：
打靶：求解初值问题
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5.2 打靶法 5.1.1 割线法 以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解： y1 ( x;0 ), y1 ( x;1 ) 根据初值条件知： y1 (a;0 ) y1 (a;1 ) A 假设 y1 (b; ) 是α的线性函数，可取α 为： B y1 (b; 0 ) 2 0 1 0 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) 迭代求解公式：
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
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航空航天中的计算方法
授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院
第二部分 边值问题求解方法
第5章 两点边值问题求解方法
内容提要 5.1 5.2 5.3 5.4 常微分方程边值问题的概念 打靶法 有限差分法 有限元法
[1] Part 3: Two-Point Boundary Value Problems. [2] David L. Darmofal, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chap11,12. [3] 清华大学数学系编，现代应用数学手册•计算方法分册（ 第十一章，常微分方程边值问题的数值方法），北京出版 社，1990.
m 1
结束条件：
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B y1 (b; m 1 ) m 1 m m 1 y1 (b; m ) y1 (b; m 1 )
1 y1 (b;m1 ) B
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5.2 打靶法 割线法的几何解释：
y( xi ) y ( xi 1 ) y ( xi 1 ) 2 y ( x i ) h2
二阶精度
三阶导数的中心差分近似？
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5.3 有限差分法 xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分： 1 y( xi 1 ) y( xi 1 ) 2 y( xi )h h3 y( xi ) O( h5 ) 3 xi+2和xi-2在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分： 8 y( xi 2 ) y( xi 2 ) 4hy( xi ) h3 y( xi ) O( h5 ) 3 三阶导数的中心差分近似： y ( xi 2 ) 2 y ( xi 1 ) 2 y ( x i 1 ) y ( x i 2 ) y ( xi ) h3
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5.3 有限差分法 若取x=xi+1=x+ih：
1 1 y( xi 1 ) y( xi ) y( xi )h h2 y( xi ) h3 y ( xi ) 2 6
忽略二阶以上部分，得一阶导数的前向差分近似： y ( xi 1 ) y ( xi ) y ( x i ) 一阶精度 h 若取x=xi-1=x-ih：
二阶精度
四阶导数的中心差分近似： y ( xi 2 ) 4 y ( xi 1 ) 6 y ( x i ) 4 y ( x i 1 ) y ( x i 2 ) (4) y ( xi ) 二阶精度 4 h
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5.3 有限差分法 有限差分法解微分方程两点边值问题 微分方程 y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
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5.1 常微分方程边值问题的概念 5.1 常微分方程边值问题的概念 对于常微分方程： y( x) f ( x, y( x)) 其中 y dy dx ，x为标量， y和 f 为m维向量。在 x a, b 上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为： g( y( a), y(b)) 0 其中 g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP， Two Point Boundary Value Problem）。
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y2 f y1 f y2 y y , x a , b 1 2 y 2 ( a; ) 1 初值问题，可解！
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5.2 打靶法 每一步迭代求解初值问题
y2 , y1 f ( x, y1 , y2 ), y2 z2 , z1 z2 f f z1 z2 , y1 y 2 y1 ( a ) A y2 ( a ) z1 ( a ) 0 z2 ( a ) 1
y( a ) A, y (b ) B
有限差分近似 将区间 x a, b 等分为N个子区间 ba h , xi a ih, i 0,1, 2, , N N
将 y( x )在xi处Taylor展开： 1 1 2 3 y ( x ) y ( xi ) y ( xi ) x xi y ( x i ) x x i y ( x i ) x x i 2 3!