中考试题分类汇编反比例函数

一．选择题（共21小题）1．（2018•中考数学试题分类汇编：考点15 反比例函数玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【解答】解：设等腰三角形的底角为y ，顶角为x ，由题意，得y=﹣x +90°，故选：B ．2．（2018•怀化）函数y=kx ﹣3与y=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据当k ＞0、当k ＜0时，y=kx ﹣3和y=（k ≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．【解答】解：∵当k ＞0时，y=kx ﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，当k ＜0时，y=kx ﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限， ∴B 正确；故选：B ．3．（2018•永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b ≠0）与二次函数y=ax 2+bx （a ≠0）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b 同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b 异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b 异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；故选：D．4．（2018•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，故选：B．5．（2018•大庆）在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．故选：B．6．（2018•香坊区）对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y=得﹣1=﹣1，故A选项正确；B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：C．7．（2018•衡阳）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．故选：D．8．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a=±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．9．（2018•德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．【解答】解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；故选：B．10．（2018•嘉兴）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．【解答】解：设点A的坐标为（a，0），∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，∴点C（﹣a，），∴点B的坐标为（0，），∴=1，解得，k=4，故选：D．11．（2018•温州）如图，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）A．4 B．3 C．2 D．【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为，即可解答．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），∵AC∥BD∥y轴，∴点C，D的横坐标分别为1，2，∵点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），∴AC=k﹣1，BD=，∴S△OAC =（k﹣1）×1=，S△ABD=•×（2﹣1）=，∵△OAC与△ABD的面积之和为，∴，解得：k=3．故选：B．12．（2018•宁波）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=A B•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．=AB•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∵S△ABC∴k1﹣k2=8．故选：A．13．（2018•郴州）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．【解答】解：∵A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A （2，2），当x=4时，y=1，即B （4，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =×4=2．∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3，∴S △AOB =3．故选：B ．14．（2018•无锡）已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：y=的k=﹣2＜0，图象位于二四象限，∵a＜0，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞0；∵b＞0，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜0．∴n＜0＜m，即m＞n，故D正确；故选：D．15．（2018•淮安）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】根据待定系数法，可得答案．【解答】解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y=，得k=﹣2×3=﹣6，故选：A．16．（2018•岳阳）在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x ＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（）A．1 B．m C．m2D．【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知y=x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求x3．【解答】解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3=∴ω=x1+x2+x3=x3=故选：D．17．（2018•遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y==2，【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=，进而得出S△AOD即可得出答案．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴=tan30°=，∴=，∵×AD×DO=xy=3，=×BC×CO=S△AOD=1，∴S△BCO=2，∴S△AOD∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣．故选：C．18．（2018•湖州）如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）【分析】直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．【解答】解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（﹣1，﹣2）．故选：A．19．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（）A．两直线中总有一条与双曲线相交B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2【分析】A、由m、m+2不同时为零，可得出：两直线中总有一条与双曲线相交；B、找出当m=1时两直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式可得出：当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，可得出：当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；D、由y与x之间一一对应结合两交点横坐标之差为2，可得出：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．此题得解．【解答】解：A、∵m、m+2不同时为零，∴两直线中总有一条与双曲线相交；B、当m=1时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），当x=1时，y==3，∴直线l1与双曲线的交点坐标为（1，3）；当x=3时，y==1，∴直线l2与双曲线的交点坐标为（3，1）．∵=，∴当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，∴当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；D、∵m+2﹣m=2，且y与x之间一一对应，∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．故选：D．20．（2018•铜仁市）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．21．（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内【分析】利用图中信息一一判断即可；【解答】解：A、正确．不符合题意．B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；C、y=5时，x=2.5或24，24﹣2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；D、正确．不符合题意，故选：C．二．填空题（共9小题）22．（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是k＜1．【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．23．（2018•齐齐哈尔）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k 的值可以是1．（写出满足条件的一个k的值即可）【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则可知2﹣k＞0，解得k的取值范围，写出一个符合题意的k即可．【解答】解：由题意得，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则2﹣k＞0，故k＜2，满足条件的k可以为1，故答案为：1．24．（2018•连云港）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1＜y2．【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y=﹣，﹣4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，﹣4＜﹣1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．25．（2018•南京）已知反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），则k=3．【分析】根据反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），可以求得k的值．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），∴﹣1=，解得，k=3，故答案为：3．26．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为．【分析】设反比例函数的表达式为y=，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为．【解答】解：设反比例函数的表达式为y=，∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），∴k=m2=﹣2m，解得m1=﹣2，m2=0（舍去），∴k=4，∴反比例函数的表达式为．故答案为：．27．（2018•东营）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为y=．【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．【解答】解：设A坐标为（x，y），∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），设过点A的反比例解析式为y=，把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，则过点A的反比例解析式为y=，故答案为：y=28．（2018•成都）设双曲线y=（k＞0）与直线y=x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y=（k＞0）的眸径为6时，k的值为．【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（﹣，）．根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（﹣+2， +2）．又∵点P′在双曲线y=上，∴（﹣+2）•（+2）=k，解得：k=．故答案为：．29．（2018•安顺）如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是②③④．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得到﹣2m=n故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP =S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确．【解答】解：由图象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，∴，∵﹣2m=n，∴y=﹣mx﹣m，∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），∴OP=1，OQ=m，∴S△AOP =m，S△BOQ=m，∴S△AOP =S△BOQ；故③正确；由图象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确；故答案为：②③④．30．（2018•安徽）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是y=x﹣3．【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），∴2m=6，解得：m=3，故A（2，3），则3=2k，解得：k=，故正比例函数解析式为：y=x，∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，∴B（2，0），∴设平移后的解析式为：y=x+b，则0=3+b，解得：b=﹣3，故直线l对应的函数表达式是：y=x﹣3．故答案为：y=x﹣3．三．解答题（共20小题）31．（2018•贵港）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3．【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣×6+4=1，∴点B的坐标为（6，1）．∵反比例函数y=过点B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．32．（2018•泰安）如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC 的中点，反比例函数y=的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式．【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，E点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得m的值，可得答案．【解答】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD=3，AB=8，E为CD的中点，∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），函数图象经过E点，∴m=﹣3×4=﹣12，设AE的解析式为y=kx+b，，解得，一次函数的解析是为y=﹣x；（2）AD=3，DE=4，∴AE==5，∵AF﹣AE=2，∴AF=7，BF=1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），∵E，F两点在函数y=图象上，∴4a=a﹣3，解得a=﹣1，∴E（﹣1，4），∴m=﹣1×4=﹣4，∴y=﹣．33．（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；（2）作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为y=．（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）∴b=∴AD=3﹣．=BC•AD∴S△ABC=a（3﹣）=6解得a=6∴b==1∴B（6，1）．设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得，解得，直线AB的解析式为y=﹣x+4．34．（2018•柳州）如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（﹣，n）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过A（3，1），即可得到反比例函数的解析式为y=；（2）把B （﹣，n ）代入反比例函数解析式，可得n=﹣6，把A （3，1），B （﹣，﹣6）代入一次函数y=mx +b ，可得一次函数的解析式为y=2x ﹣5．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A （3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为y=；（2）把B （﹣，n ）代入反比例函数解析式，可得 ﹣n=3，解得n=﹣6，∴B （﹣，﹣6），把A （3，1），B （﹣，﹣6）代入一次函数y=mx +b ，可得， 解得，∴一次函数的解析式为y=2x ﹣5．35．（2018•白银）如图，一次函数y=x +4的图象与反比例函数y=（k 为常数且k ≠0）的图象交于A （﹣1，a ），B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P 在x 轴上，且S △ACP =S △BOC ，求点P 的坐标．【分析】（1）利用点A 在y=﹣x +4上求a ，进而代入反比例函数y=求k ． （2）联立方程求出交点，设出点P 坐标表示三角形面积，求出P 点坐标．【解答】解：（1）把点A （﹣1，a ）代入y=x +4，得a=3，∴A （﹣1，3）把A （﹣1，3）代入反比例函数y=∴k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）联立两个函数的表达式得解得或∴点B 的坐标为B （﹣3，1）当y=x +4=0时，得x=﹣4∴点C （﹣4，0）设点P 的坐标为（x ，0）∵S △ACP =S △BOC ∴解得x 1=﹣6，x 2=﹣2∴点P （﹣6，0）或（﹣2，0）36．（2018•菏泽）如图，已知点D 在反比例函数y=的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B （0，3），直线y=kx +b 经过点A （5，0），与y 轴交于点C ，且BD=OC ，OC ：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx +b 的表达式；（2）直接写出关于x 的不等式＞kx +b 的解集．【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，∴a=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的表达式为y=﹣．将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣2．（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得：x2﹣2x+6=0，∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．37．（2018•湘西州）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B （3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，∴反比例函数解析式为y=；把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，∴B点坐标为（3，1）；（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此时此时PA+PB的值最小，设直线BA′的解析式为y=mx+n，把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，∴P点坐标为（，0）．38．（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P 的坐标，再利用割补法求解可得．【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC=4、AC=3，∴OA==5，∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）∵点B坐标为（9，3），∴OB所在直线解析式为y=x，由可得点P坐标为（6，2），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．39．（2018•枣庄）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12（2）当﹣=﹣2x+12时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）=S△CDA+S△EDA=∴S△CDE（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜040．（2018•杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的解析式可以求得a的值；（3）根据题意可以判断m的正负，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，∴，得，即该一次函数的表达式是y=2x+1；（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y=2x+1的图象上，∴a2=2（2a+2）+1，解得，a=﹣1或a=5，即a的值是﹣1或5；（3）反比例函数y=的图象在第一、三象限，理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y=2x+1的图象上，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），假设x1＜x2，则y1＜y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，假设x1＞x2，则y1＞y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，由上可得，m＞0，∴m+1＞0，∴反比例函数y=的图象在第一、三象限．41．（2018•杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式．（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案；（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：100=vt，则v=；（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≤5，则v≥=20，答：平均每小时至少要卸货20吨．42．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v米/秒．当甲距乙x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．【分析】（1）用待定系数法解题即可；（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=得：18=∴k=18设h=at2，把t=1，h=5代入∴a=5∴h=5t2（2）∵v=5，AB=1∴x=5t+1∵h=5t2，OB=18∴y=﹣5t2+18。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．3．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.4．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），∵AB∥x轴，∴，∴a=﹣b；∴AB=a﹣b=2a，∴S△OAB= •2a• =3（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴OA2=OB2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，a﹣b≠0，∵a+b≠0，∴1= ，∴ab=3（舍）或ab=﹣3，即：ab的值为﹣3；（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．理由：如图，∵a≥3，AC=2，∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，∴C（a﹣2，），∴D（a﹣2， +2），设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，∴F（a﹣2，），∴FC= ﹣ = ，∴2﹣FC=2﹣ = ，∵a≥3，∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，∴≥0，∴2﹣FC≥0，∴FC≤2，∴点F在线段CD上，即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．5．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．（1）求△APQ的面积；（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，∴点A（m, ）,点P（－m, ）,∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ＝AQ时，则（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m, ）,B(n, )，∴∴mn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】专题09反比例函数（精选60题）一．选择题（共16小题）1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系2．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y=abx（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜k2x的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜24．（2022•钢城区）如图，一次函数y ＝kx +1与反比例函数y =6x（x ＞0）的图象交于点P （2，t ），过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，连接OP ，下列结论错误的是（ ）A ．t ＝3B ．k ＝1C ．△OAP 的面积是3D ．点B （m ，n ）在y =6x （x ＞0）上，当m ＞2时，n ＞t5．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y =−kx （k 为常数且k ≠0）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k1x （k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，与反比例函数y 2=k2x （k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．32D ．−327．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y=ax与一次函数y＝bx+c的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点C，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣3D．39．（2021•威海）一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=k2x（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，﹣2），点B（2，1）．当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞2C．0＜x＜2D．0＜x＜2或x＜﹣110．（2021•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y= a+b+cx的图象在同一坐标系中大致为（）A．B．C．D．11．（2021•青岛）已知反比例函数y=bx的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．12．（2021•济南）反比例函数y=kx（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．13．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y=a2+1x（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x214．（2021•德州）小红同学在研究函数y＝|x|+4|x|的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．（2021•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y=2x相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（）A．2+√2或2−√2B．2√2+2或2√2−2C．2−√2D．2√2+216．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y=9x（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）A．（﹣2019，674）B．（﹣2020，675）C．（2021，﹣669）D．（2022，﹣670）二．填空题（共16小题）17．（2023•日照）已知反比例函数y=6−3kx（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k值．18．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为．19．（2023•枣庄）如图，在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．20．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为．21．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y=kx（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为．22．（2022•滨州）若点A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为．23．（2022•威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为．24．（2022•济宁）如图，A是双曲线y=8x（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是．25．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．26．（2021•滨州）若点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为．27．（2021•青岛）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到km/h．28．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y=ax与y=bx（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝．（结果用a，b表示）29．（2021•威海）已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=4x于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为．30．（2021•枣庄）如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2=k2x（k2≠0）的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当k1x＜k2x时，x的取值范围是．31．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=k x（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为．32．（2021•菏泽）如图，一次函数y＝x与反比例函数y=1x（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为．三．解答题（共28小题）33．（2023•泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2=kx的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．（1）求反比例函数的表达式；（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）点P在x轴负半轴上，连接P A，且P A⊥AB，求点P坐标．34．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）请根据图象直接写出不等式kx ＜ax +b 的解集．35．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A （0，4），B （2，0），连接AB ，过点B 作BC ⊥AB ，交反比例函数y =k x在第一象限的图象于点C （a ，1）． （1）求反比例函数y =kx和直线OC 的表达式；（2）将直线OC 向上平移32个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．36．（2023•济宁）如图，正比例函数y 1=12x 和反比例函数y 2=kx (x ＞0)的图象交于点A （m ，2）． （1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移3个单位后，与y 轴交于点B ，与y 2=kx(x ＞0)的图象交于点C ，连接AB ，AC ，求△ABC 的面积．37．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．38．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx(m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）在双曲线y=mx上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．39．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜4x的解集；（3）设直线AB 与x 轴交于点C ，若P （0，a ）为y 轴上的一动点，连接AP ，CP ，当△APC 的面积为52时，求点P 的坐标．40．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y =kx的图象都经过A （2，﹣4）、B （﹣4，m ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．41．（2022•淄博）如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y =mx相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点C （4，0）． （1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞mx 的解集．42．（2022•青岛）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴正半轴相交于点C ，与反比例函数y =−2x 的图象在第二象限相交于点A （﹣1，m ），过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD ＝CD ． （1）求一次函数的表达式；（2）已知点E （a ，0）满足CE ＝CA ，求a 的值．43．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg /L ．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg /L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AC 表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg /L ．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 满足下面表格中的关系： 时间x （天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y （mg /L ）4.52.72.251.5……（1）在整改过程中，当0≤x ＜3时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式； （2）在整改过程中，当x ≥3时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？44．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．（1）求k，p的值；（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．45．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？46．（2022•济南）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．47．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2√5，tan A=12，反比例函数y=kx的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．（1）求k值；（2）求△OBD的面积．48．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………49．（2021•东营）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA=√5，tan∠AOC=1 2．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式k1x+b≤k2x的解集．50．（2021•烟台）如图，正比例函数y=12x与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及线段BC的长；（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△P AC的面积相等时，请求出点P的坐标．51．（2021•济南）如图，直线y=32x与双曲线y=k x（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．52．（2021•泰安）如图，点P为函数y=12x+1与函数y=mx（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数y=mx（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD=12，求点M的坐标．53．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜k2x的解集．54．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为．55．（2021•聊城）如图，过C点的直线y=−12x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．（1）求k值和点D的坐标；（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y=−12x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．56．（2021•德州）已知点A为函数y=4x（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．（1）如图1，若点A 的坐标为（4，n ），求点C 的坐标；（2）如图2，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，求四边形OCDA 的面积．57．（2021•济宁）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C （2，0），点B （0，4），反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点A ． （1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数y =kx （x ＞0）图象上的点（1，n ），求m ，n 的值．58．（2021•临沂）已知函数y ={3x ，x ≤−1，3x ，−1＜x ＜1，3x ，x ≥1．（1）画出函数图象； 列表： x … … y ….…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．59．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y=x−2x（x≠0）的图象与性质进行探究．因为y=x−2x=1−2x，即y=−2x+1，所以可以对比函数y=−2x来探究．列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣1−12121234…y=−2x…1223124﹣4﹣2﹣1−23−12…y=x−2x…325323m﹣3﹣10n12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=x−2x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数y=x−2x的图象是由y=−2x的图象向平移个单位而得到．③函数图象关于点中心对称．（填点的坐标）60．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：年度（年）201620172018201920202021年度纯收入（万元）1.52.5 4.57.511.3若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y=mx（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数y=mx（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．。

18：反比例函数的图像和性质一、选择题1.（重庆江津4分）已知如图，A 是反比例函数k y x=的图象上的一点，AB 丄x轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6【答案】C 。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义。

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=12k ，由反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，∴由已知，得132k =，即6k =故选C 。

2.（浙江温州4分）已知点P （－1，4）在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，则k 的值是A 、－14B 、14C 、4D 、－4【答案】D 。

【考点】曲线上的点与坐标的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把点P 的坐标代入k y x=，即可求出4k =-。

故选D 。

3. （辽宁本溪3分）反比例函数(0)k y k x=≠的图象如图所示，若点A（11x y ，）、B （22x y ，）、C （33x y ，）是这个函数图象上的三点，且1230x x x >>>，则123y y y 、、的大小关系A 、312y y y <<B 、213y y y <<C 、321y y y <<D 、123y y y << 【答案】B 。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

4.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是反比例函数3y x=图象上的点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是A 、y 3＞y 1＞y 2B 、y 1＞y 2＞y 3C 、y 2＞y 1＞y 3D 、y 3＞y 2＞y 1【答案】A 。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

2023中考数学真题汇编·11反比例函数及其应用一、单选题1.（2023·云南）若点 1,3A 是反比例函数(0)ky k x图象上一点，则常数k 的值为（）A ．3B ．3C ．32D ．322.（2023·湖南永州）已知点 2,M a 在反比例函数ky x的图象上，其中a ，k 为常数，且0k ﹐则点M 一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.（2023·湖北随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I (单位：A)与电阻R (单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6 时，电流为()A ．3AB ．4AC ．6AD ．8A4.（2023·湖南）如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数 0ky k x的图像上，点B 的坐标为 2,4，则点E 的坐标为（）A ． 4,4B ． 2,2C ． 2,4D ．4,25.（2023·浙江）如果100N 的压力F 作用于物体上，产生的压强P 要大于1000Pa ，则下列关于物体受力面积 2S m 的说法正确的是（）A ．S 小于20.1mB ．S 大于20.1m C ．S 小于210m D ．S 大于210m 6.（2023·浙江嘉兴）已知点 1232,,1,,1,A y B y C y 均在反比例函数3y x的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y B ．213y y y C ．312y y y D ．321y y y 7.（2023·天津）若点 123,2,,1,)2(,A x B x C x 都在反比例函数2y x的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（）A ．321x x x B ．213x x x C ．132x x x D ．231x x x 8.（2023·山西）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c 都在反比例函数4y x的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b cB ．b a cC ．c b aD ．c a b9.（2023·湖北宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 1233,,2,3,1,,2,y y y ，则，123,,y y y 的大小关系为（）A ．213y y y B ．321y y y C ．231y y y D ．132y y y 10.（2023·内蒙古通辽）已知点 1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x的图像上，且120x x ，则下列结论一定正确的是（）A ．120y y B ．120y y C ．120y y D ．120y y 11.（2023·湖北）在反比例函数4ky x的图象上有两点 1122,,,A x y B x y ，当120x x 时，有12y y ，则k 的取值范围是（）A ．0k B ．0k C ．4k D ．4k 12.（2023·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，32AB ，则k 的值为（）A ．3B ．32C ．4D ．613.（2023·湖南）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数 0ky k x图像上的一点，过点A 分别作AM x 轴于点M ，AN y 轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A ．2B ．2C ．1D ．114.（2023·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC ，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数ky x（0x ）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．3215.（2023·湖南张家界）如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点D 在AB 上，且14AD AB，反比例函数 0ky k x的图象经过点D 及矩形OABC 的对称中心M ，连接,,OD OM DM ．若ODM △的面积为3，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．516.（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),(23,0),(3,1),O A B OAB △与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x的图象与A B 交于点C ．若A C BC ，则k 的值为（）A ．23B ．332C ．3D ．3217.（2023·湖南怀化）如图，反比例函数(0)ky k x的图象与过点(1,0) 的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S ，那么点C 的坐标为（）A ．(3,0)B ．(5,0)C ．(3,0) 或(5,0)D ．(3,0)或(5,0)18.（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x和ny x的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．3B ．13C ．13D ．319.（2023·广西）如图，过(0)ky x x 的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交1y x的图象于B ，D两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若23452S S S ，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．120.（2023·黑龙江）如图，ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC x ∥轴，双曲线ky x过,A B 两点，过点C 作CD y ∥轴交双曲线于点D ，若12BCD S ，则k 的值是（）A ．6B ．12C ．92D ．921.（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y ，x轴上，BC x 轴．点M 、N 分别在线段BC 、AC 上，BM CM ，2NC AN ，反比例函数 0ky x x的图象经过M 、N 两点，P 为x 正半轴上一点，且:1:4OP BP ，APN 的面积为3，则k 的值为（）A ．454B ．458C ．14425D ．7225二、填空题22.（2023·广东）某蓄电池的电压为48V ，使用此蓄电池时，电流I (单位：A )与电阻R (单位： )的函数表达式为48I R，当12R 时，I 的值为_______A ．23．（2023·四川成都）若点 123,y ,1,A B y 都在反比例函数6y x的图象上，则1y _______2y （填“ ”或“ ”）．23.（2023·浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P （kPa ）与汽缸内气体的体积V （mL ）成反比例，P 关于V 的函数图象如图所示．若压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了___________mL ．24.（2023·河北）如图，已知点(3,3),(3,1)A B ，反比例函数(0)ky k x图像的一支与线段AB 有交点，写出一个符合条件的k 的数值：_________．25.（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 在反比例函数 0ky k x图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x图像的一支上，点C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 是面积为9的正方形，则实数k 的值为______．26.（2023·广东深圳）如图，Rt OAB 与Rt OBC △位于平面直角坐标系中，30AOB BOC ，BA OA ，CB OB ，若AB 0ky kx恰好经过点C ，则k ______．27.（2023·江苏连云港）如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x的图像上，顶点B C 、在第一象限，对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，2cos 3OAC ，则k __________．28.（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为直角三角形，90A ，30AOB ，4OB ．若反比例函数 0ky k x的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，则k ______．29.（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．26．（2023·湖北鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b 与双曲线22k y x（其中120k k ）相交于 2,3A ， ,2B m 两点，过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，则ABP 的面积是___________．30.（2023·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x（k 为大于0的常数，0x ）图象上的两点 1122,,,A x y B x y ，满足212x x ．ABC 的边AC x ∥轴，边∥BC y 轴，若OAB 的面积为6，则ABC 的面积是________．31.（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在反比例函数(0)ky x x的图象上，点O 、E 的对应点分别是点C 、A ．若点A 为OE 的中点，且14EAF S △，则k 的值为___________．32.（2023·浙江宁波）如图，点A ，B 分别在函数(0)ay a x图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数(0,0)by b x x图象上，AE x 轴，BD y ∥轴，连接,DE BE ．若2AC BC ，ABE 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，则a b 的值为__________，a 的值为__________．33.（2023·湖北荆州）如图，点 2,2A 在双曲线(0)k y x x上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，交双曲线于点C ．若2BC ，则点C 的坐标是___________．34.（2023·山东枣庄）如图，在反比例函数8(0)y x x的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ___________．35.（2023·湖北十堰）函数ky x a的图象可以由函数k y x的图象左右平移得到．（1）将函数1y x的图象向右平移4个单位得到函数1y x a的图象，则 a ____；（2）下列关于函数1y x a的性质：①图象关于点 ,0a 对称；②y 随x 的增大而减小；③图象关于直线y x a 对称；④y 的取值范围为0y ．其中说法正确的是________（填写序号）；（3）根据（1）中a 的值，写出不等式11x a x的解集：_________．三、解答题36.（2023·湖南常德）如图所示，一次函数1y x m 与反比例函数2ky x相交于点A 和点 3,1B ．（1）求m 的值和反比例函数解析式；（2）当12y y 时，求x 的取值范围．37.（2023·湖南）如图，点A 的坐标是 3,0 ，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90 得到A BC △．（1）反比例函数ky x的图像经过点C ，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A 两点，求该一次函数的表达式．38.（2023·四川广安）如图，一次函数94y kx（k 为常数，0k ）的图象与反比例函数(my m x为常数，0)m 的图象在第一象限交于点 1,A n ，与x 轴交于点 3,0B ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P 在x 轴上，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．39.（2023·山东）如图，已知坐标轴上两点 0,4,2,0A B ，连接AB ，过点B 作BC AB ，交反比例函数ky x在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数ky x和直线OC 的表达式；（2）将直线OC 向上平移32个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．40.（2023·浙江杭州）在直角坐标系中，已知120k k ，设函数11k y x与函数 2225y k x 的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4 ．（1）求12,k k 的值．（2）过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．41.（2023·四川自贡）如图，点 24A ，在反比例函数1my x图象上．一次函数2y kx b 的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且OAC △与OBC △的面积比为2:1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出12y y 时，x 的取值范围．42.（2023·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l y kx 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，与反比例函数 0my x x的图象相交于点C ，已知1OA ，点C 的横坐标为2．（1）求k ，m 的值；（2）平行于y 轴的动直线与l 和反比例函数的图象分别交于点D ，E ，若以B ，D ，E ，O 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．43.（2023·四川南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 16A ，3,3B a a，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）点M 在x 轴上，若OAM OAB S S △△，求点M 的坐标．44.（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点 30C ，，顶点A 、 6B m ，恰好落在反比例函数ky x第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．45.（2023·四川遂宁）如图，一次函数1y k x b 的图像与反比例函数2k y x的图像交于 41A ，， 4B m ，两点．（1k ，2k ，b 为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像直接写出不等式21k k x b x的解集；（3）P 为y 轴上一点，若PAB 的面积为3，求P 点的坐标．46.（2023·四川眉山）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b与x 轴交于点 4,0A ，与y 轴交于点 0,2B ，与反比例函数m y x在第四象限内的图象交于点 6,C a ．（1）求反比例函数的表达式：（2）当mkx b x时，直接写出x 的取值范围；（3）在双曲线my x上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47.（2023·江西）如图，已知直线y x b 与反比例函数(0)k y x x的图象交于点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数(0)k y x x的图象于点C ．（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式；（2）求ABC 的面积．48.（2023·四川乐山）如图，一次函数y kx b 的图象与反比例函数4y x的图象交于点 ,4A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点 0,3C ．（1）求m 的值和一次函数的表达式；（2）已知P 为反比例函数4y x图象上的一点，2OBP OAC S S △△，求点P 的坐标．49.（2023·湖南岳阳）如图，反比例函数kyx（k 为常数，0k ）与正比例函数y mx （m 为常数，0m ）的图像交于 1,2,A B 两点．（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；（2）若y 轴上有一点 0,,C n ABC △的面积为4，求点C 的坐标．50.（2023·湖南）如图，正比例函数43y x的图象与反比例函数12(0)y x x的图象相交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）分别以点O 、A 为圆心，大于OA 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B 和点C ，作直线BC ，交x 轴于点D ．求线段OD 的长．51.（2023·江苏苏州）如图，一次函数2y x 的图象与反比例函数(0)ky x x的图象交于点 4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接,BD BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x的图象上．（1）求,n k 的值；（2）当m 为何值时，AB OD 的值最大?最大值是多少?52.（2023·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 0y ax b a与反比例函数 0ky k x交于 ,3A m m ， 4,3B 两点，与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）请根据图象直接写出不等式kax b x的解集．53.（2023·山东枣庄）如图，一次函数(0)y kx b k 的图象与反比例函数4y x的图象交于(,1),(2,)A m B n 两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x的解集；（3）设直线AB 与x 轴交于点C ，若(0,)P a 为y 轴上的一动点，连接,AP CP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．54.（2023·山东滨州）如图，直线(,y kx b k b 为常数)与双曲线my x（m 为常数）相交于 2,A a ， 1,2B 两点．（1）求直线y kx b 的解析式；（2）在双曲线my x上任取两点 11,M x y 和 22,N x y ，若12x x ，试确定1y 和2y 的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x 的不等式mkx b x的解集．55.（2023·甘肃兰州）如图，反比例函数 0ky x x与一次函数2y x m的图象交于点 1,4A ，BC y 轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x与一次函数2y x m 的表达式；（2）当1OD 时，求线段BC 的长．56.（2023·湖北黄冈）如图，一次函数1(0)y kx b k 与函数为2(0)my x x的图象交于1(4,1),,2A B a两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足120y y 时x 的取值范围；（3）点P 在线段AB 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交函数2y 的图象于点Q ，若POQ △面积为3，求点P 的坐标．57.（2023·四川）如图，已知一次函数6y kx 的图象与反比例函数 0my m x的图象交于 34A ，，B 两点，与x 轴交于点C ，将直线AB 沿y 轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D ，E ．（1）求k ，m 的值及C 点坐标；（2）连接AD ，CD ，求ACD 的面积．58.（2023·山东）如图，正比例函数112y x和反比例函数2(0)ky x x的图像交于点 ,2A m ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移3个单位后，与y 轴交于点B ，与2(0)ky x x的图像交于点C ，连接AB AC ，，求ABC 的面积．59.（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y mx n 与反比例函数ky x的图象在第一象限内交于 ,4A a 和 4,2B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，连接OA ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当0x 时，请结合函数图象，直接写出关于x 的不等式kmx n x≥的解集；（3）过点B 作BD 平行于x 轴，交OA 于点D ，求梯形OCBD 的面积．60.（2023·山东聊城）如图，一次函数y kx b 的图像与反比例函数m y x的图像相交于 1,4A ， ,1B a 两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点 ,0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交my x的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP 时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．61.（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数ky x图象上的点A 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．62.（2023·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线5y x 与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x的图象的一个交点为(,4)B a ，过点B 作AB 的垂线l ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点，连接PA ，以P 为位似中心画PDE △，使它与PAB 位似，相似比为m ．若点D ，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值．【参考答案与解析】1.【答案】A【解析】解：∵点 1,3A 是反比例函数(0)ky k x图象上一点，∴133k ，故选：A ．2.【答案】A【解析】解：0k ∵， 反比例函数ky x的图象经过第一、三象限，故点M 可能在第一象限或者第三象限，2,M a ∵的横坐标大于0， 2,M a 一定在第一象限，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：设该反比函数解析式为 0kI k R，由题意可知，当8R 时，3I ，38k，解得：24k ， 设该反比函数解析式为24I R， 当6R 时，2446I，即电流为4A ，故选：B ．4.【答案】D【解析】∵ 0k y k x经过 2,4，∴解析式为8y x，设正方形的边长为x ，则点 2,E x x ，∴ 28x x ，解得122,4x x （舍去），故点 4,2E ，故选：D ．5.【答案】A【解析】解：假设P 为1000Pa ，∵F 为100N ，2F 100S =0.1m P 1000.P 1000Pa Q ，2S 0.1m .故选：A.6.【答案】B【解析】解：∵30k ，∴图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵2101 ，∴2130y y y ．故选：B ．7.【答案】D【解析】解：2y x，20 ，∴双曲线在二，四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大；∵ 123,2,,1,)2(,A x B x C x ，∴1230,0x x x ，∴231x x x ；故选：D ．8.【答案】B【解析】解：∵反比例函数4y x中0k ，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10, ∴(2,),(1,)A a B b 位于第三象限，∴0,0,a b ∵210, ∴0.a b ∵30,∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c ∴.b a c 故选：B ．9.【答案】C【解析】解：设反比例函数的解析式为k y x，将点 2,3 代入得：236k ，则反比例函数的解析式为6y x，所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，又∵点 1233,,1,,2,y y y 在函数6y x 的图象上，且3012 ，1320y y y ，即231y y y ，故选：C ．10.【答案】D【解析】解：∵点 11,A x y ， 22,B x y ）是反比例函数2y x的图像上的两点，∴11222x y x y ，∵120x x ，∴210y y ，即120y y ，故D 正确．故选：D ．11.【答案】C【解析】解：∵当120x x 时，有12y y ，∴反比例函数4ky x的图象在一三象限，∴40k 解得：4k ，故选：C ．12.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设 ,1A k ， 1,B k ∴ 1,1C ，则1,1AC k BC k ，又∵90ACB ，AB ∴ 22211k k ，∴3BC AC ，∴13k 解得：4k ，故选：C ．13.【答案】A【解析】解：AM x ∵轴于点M ，AN y 轴于直N ，90MON ， 四边形AMON 是矩形，∵四边形AMON 的面积为2，2k ，∵反比例函数在第一、三象限，2k ，故选：A ．14.【答案】C 【解析】设 3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC ，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴ 3,2,1,2C m D m ，∴32m m ，解得1m ，∴ 3,1B ，∴313k ，故选：C ．15.【答案】C【解析】解：∵四边形OCBA 是矩形，∴AB OC ，OA BC ，设B 点的坐标为(,)a b ，∵矩形OABC 的对称中心M ，∴延长OM 恰好经过点B ，(,)22a bM ，∵点D 在AB 上，且14AD AB ，∴1(,)4D a b ，∴34BD a ，∴1133()224216BDM b S BD h a b ab∵D 在反比例函数的图象上，∴14ab k ，∵11332216ODM AOB AOD BDM ab S S S S ab k ，∴11332816ab ab ab ，解得：16ab ，∴144k ab，故选：C ．16.【答案】A【解析】解：如图所示，过点B 作BD x 轴，∵(0,0),(23,0),(3,1)O A B ，∴1,3BD OD ∴3AD OD ，3tan BD BOA OD∴222OB AB OD BD ，30BOA BAO ，∴60OBD ABD ，120OBA ，∵OA B 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA ，∴180OBA OBD ，∴A ，B ，O 三点共线，∴2A B AB ，∵A C BC ，∴1BC ，∴2CD ，∴3,2C ，将其代入(0,0)ky k x x得：23k ，故选：A ．17.【答案】D【解析】解：∵反比例函数(0)k y k x的图象过点(1,3)，∴133k ∴3y x设直线AB 的解析式为y mx n ，∴30m n m n ，解得：3232m n,∴直线AB 的解析式为3322y x，联立33223y x y x，解得：13x y 或232x y ，∴32,2B ，设 ,0C c ，∵1313922ABC S c，解得：3c 或5c ，∴C 的坐标为(3,0)或(5,0) ，故选：D ．18.【答案】A【解析】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在3y x上，∵OB OA ，90AOB BDO ACO ，∴90CAO AOC BOD ．∴AOC OBD ≌．∴32AOC OBD S S2n ．∵A 点在第二象限，∴3n ．故选：A ．19.【答案】C【解析】设 ,A a b ，则1,B b b ，1,D a a，11,C b a∵点A 在(0)ky x x的图象上，则1S ab k ，同理∵B ，D 两点在1y x 的图象上，则241S S ，故3511122S ，又∵31211S b a，即112ab ，故2ab ，∴2k ，故选：C ．20.【答案】C【解析】解：由题意，设,k B b b，∵AB 过原点O ，∴,k A b b，过点A 作AE BC 于E ，∵ABC 是等腰三角形，∴ 2CE BE b b b ，∴4BC b ，点D 的横坐标为3b ，∵底边BC x ∥轴，CD y ∥轴，∴1141222BCD S BC CD b CD，∴6CD b，∴点D 的纵坐标为66k k b b b ，∴63,k D b b，∴ 6336k k b k b ，解得：92k ，故选：C．21.【答案】B【解析】解：如图，过点N 作NQ x 轴于点Q，设点A 的坐标为 0,0A a a ，点M 的坐标为 5,0,0M b c b c ，点N 的坐标为 ,0,0N m n m n ，则 5,2C b c ，OA a ，5OB b ，:1:4OP BP ∵，,4OP b BP b ，2NC AN ∵， 5202223b m m n c a c，解得53223b m a c n，522,33b a c N ，522,33b a cOQ NQ，23bPQ OQ OP，APN ∵ 的面积为3，3AOP NPQ OANQ S S S 梯形，即15221122232332233a c b a c b a ab ，整理得：29ab bc ，将点 5225,,,33b a c M b c N代入k y x 得：522533b a c k bc ，整理得：27a c ，将27a c 代入29ab bc 得：79bc bc ，解得98bc ，则4558k bc，故选：B ．二、填空题22.【答案】4【解析】解：∵12R ，∴4848412I R A 故答案为：4．23．【答案】 【解析】解：∵点 123,y ,1,A B y 都在反比例函数6y x的图象上，∴1623y，2661y ，∵26 ，∴1y 2y ，故答案为： ．23.【答案】20【解析】解：设P 关于V 的函数解析式为kP V，由图象可把点 100,60代入得：6000k ，∴P 关于V 的函数解析式为6000P V，∴当75kPa P 时，则60008075V，∴压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了1008020mL ；故答案为：20．24.【答案】4（答案不唯一，满足39k 均可）【解析】解：当反比例函数(0)ky k x图像过(3,3)A 时，339k ；当反比例函数(0)ky k x图像过(3,1)B 时，313k ；∴k 的取值范围为39k ，∴k 可以取4．故答案为：4（答案不唯一，满足39k 均可）．25.【答案】6 【解析】解：如图：∵点A 在反比例函数 0k y k x 图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x 图像的一支上，∴,22ODAE OCBE k k S k k S∵四边形ABCD 是面积为9的正方形，∴9ODAE OCBE S S ，即92kk ，解得：6k ．故答案为：6 ．26.【答案】3【解析】解：过点C 作CD x 轴于点D ，如图所示：∵30AOB BOC ，BA OA ，CB OB ，∴11,22AB OB BC OC ，∵90AOD ，∴30COD ，∵3AB ∴23OB AB 在Rt OBC △中，2233OB OC BC BC ，∴2BC ，4OC ，∵30COD ，90CDO ，∴122CD OC ，∴323OD CD ，∴点23,2C ，∴43k ，故答案为：4327.【答案】83【解析】解：方法一：∵2cos 3OAC ，∴2cos 3AD AO OAC AO AC设2AD a ，则3AO a ，∴92AC a∵矩形OABC 的面积是6，AC 是对角线，∴AOC 的面积为3，即132AO OC ∴623OC a a在Rt AOC 中，222AC AO OC 即 2229232a a a即22813644a a解得：2a 在Rt ADC中，DO∵对角线AC x ∥轴，则AD OD ，∴2458222153AOD k S a ,∵反比例函数图象在第二象限，∴83k ，方法二：∵2cos 3OAC ，∴2cos 3AD AO OAC AO AC设2AD a ，则3AO a ，∴92AC a，∴24992AD a AC a，488226993AOD AOC S S，∵0k ，∴83k ，故答案为：83．28.【答案】334【解析】解：如图，作CE OB 交OB 于点E ，，∵90A ，30AOB ，4OB ，3cos3043OA OB∵点C 为OA 的中点，113322OC OA∵CE OB ，90OEC ，30COE ∵，113333cos303222CE OC OE OC ，332C，，∵点C 在反比例函数图象上，333224k，3329.【答案】24【解析】解：设,k C a a，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x 轴，∴,kOB a AC a，则点D 到BC 的距离为a ，∵CB 为A 的直径，∴122k AC BC a ，∴16224ACDk k S a a ，解得：24k ，故答案为：24．26．【答案】152【解析】∵直线11y k x b 与双曲线22k y x（其中120k k ）相交于 2,3A ， ,2B m 两点，∴2232k m ∴263k m ，，∴双曲线的表达式为：26y x， 3,2B ，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，∴3BP ，∴1153(32)22ABP S，故答案为：152．30.【答案】2【解析】解：如图，过点A B 、作AF y 轴于点F ，AD x 轴于点D ，BE x ⊥于点E，6AFO ABO BOE FABEO S S S S k ∵五边形AFOD FABEO ADEB ADEB S S S k S 矩形五边形梯形梯形6ADEB S 梯形2121()()62y y x x∵212x x 2112y y11112121111()(2)()()32==6224y y x x y y x x y x 11=8x y 8k21121111111111()()82222244ABC S AC BC x x y y x y x y =×=-×-=×==´=故答案为：2．31.【答案】6 【解析】解：连接BO，设对称轴MN 与x 轴交于点G ，∵ODE 与CBA △关于对称轴MN ，∴AG EG ，AC EO ，EC AO ，∵点A 为OE 的中点，设AG EG a ，则2EC AO AE a ，∴4AC EO a ，∵14EAF S △，∴8112EGF EAF S S△△，∵GF OD ，∴EFG EDO ∽△△，∴2EGF EOD S EG S EO △△，即2184EOD a S a △，∴11628EOD S △，∴2ACB S △，∵4AC a ，2AO a ，∴213OCB ACB AOB S S S △△△，∴132k ，∵0k ，∴6k ，故答案为：6 ．32.【答案】12；9【解析】解：如图，延长BD ，AE 交于点Q ，BD 与x 轴交于点K ，而AE x 轴，BD y ∥轴，∴90Q ，∵ABE 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，∴BDE △的面积是5，设,a A m m ，,a B n n，∴,a Q n m ，,b D n n ，,bm a E a m∴b a BD n n ，bm EQ n a ，bm AE m a，a a BQ m n ，∴152b a bm n n n a ，192bm a a m a m n ，整理得： 10b a bm an na ①， 18n m a b n ②，∵OK AQ ∥，2AC BC ，∴12BK BC QK AC ，∴2QK BK ，∴2a a m n，则2n m ③，把③代入②得： 3182m a b m ，∴12a b ，即12b a ④，把③代入①得： 220b a b a a ⑤，把④代入⑤得：9a ；故答案为：12；9.33.【答案】【解析】解：把 2,2A 代入(0)ky x x ，可得22k ，解得4k ， 反比例函数解析式4(0)y x x，如图，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，2,2A ∵，AE OE ，45AOE ，9045AOD AOE ，∵将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，45CBD ,在Rt CBD △中，sin 45CD CB 22CD即点C把x 4(0)y x x，可得yC ，故答案为：．34.【答案】2023253【解析】当1x 时，1P 的纵坐标为8，当2x 时，2P 的纵坐标为4，当3x 时，3P 的纵坐标为83，当4x 时，4P 的纵坐标为2，当5x 时，5P 的纵坐标为85，…则11(84)84S ；2881(4)433S ；3881(2)233S ；481(22558S ；…881n S n n ；1238888888844228335111n n S S S S n n n n ，∴12320238202320242532023S S S S．故答案为：2023253．35.【答案】（1）4 ；（2）①④．（3）0x 或4x ．【解析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；∵函数1y x 的图象向右平移4个单位得到函数14y x 的图象，∴4a ；（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将y x 向左平移a 个单位，得出y x a ，即可判断③；∵1y x a可以看作是由1y x 向左平移a 0a 个单位得到的，∵函数1y x 图象的对称中心为 00，，将其对称中心向左平移a 个单位，则对称中心为 ,0a ，故①正确，②类比反比例函数图象，可得x a ¹-，故函数图象不是连续的，在直线x a 两侧，y 随x 的增大而减小；故②错误；③∵1y x关于y x 对称，同①可得，y x 向左平移a 个单位得到： y x a x a ，∴图象关于直线y x a 对称；故③不正确；④∵平移后的对称中心为 ,0a ，左右平移图象后，1y x a与y 轴没有交点，∴y 的取值范围为0y ．故④正确，（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．∵4a ，∴不等式114x x如图所示，在第三象限内和第一象限内，114x x ，∴0x 或4x ，36.【答案】（1）2m ，3y x；（2）1x 或03x 【解析】（1）将点 3,1B 代入1y x m 得：31m 解得：2m 将 3,1B 代入2k y x得： 313k ∴23y x（2）由12y y 得：32x x，解得121,3x x 所以,A B 的坐标分别为1,3,3,1A B 由图形可得：当1x 或03x 时，12y y 37.【答案】（1）解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴ 0,2C ，2OC BC ，由旋转可得：2BC BC ，90CBC ，∴ 2,4C ，∴248k ，∴反比例函数的表达式为8y x；（2）如图，过A 作A H BC 于H ，则90AOB A HB ，而90ABA ，AB A B，∴90ABO BAO ABO A BO ，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∴ABO BA H ≌，∴3AO BH ，4OB A H ，∴431OH ，∴ 4,1A ，设直线AA 为y mx n ，∴3041m n m n ，解得：1737m n，∴直线AA 为1377y x ．【解析】（1）由点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，可得 0,2C ，2OC BC ，由旋转可得：2BC BC ，90CBC ，可得 2,4C ，可得248k ，从而可得答案；（2）如图，过A 作A H BC 于H ，则90AOB A HB ，而90ABA ，AB A B ，证明ABO BA H ≌，可得3AO BH ，4OB A H ， 4,1A ，设直线AA 为y mx n ，再建立方程组求解即可．38.【答案】（1）解：把点 3,0B 代入一次函数94y kx 得，930,4k 解得：34k ，故一次函数的解析式为3944y x，把点 1,A n 代入3944y x ，得39344n ，(1,3)A ，把点(1,3)A 代入m y x，得3m ，故反比例函数的解析式为3y x；（2）解： 3,0B ，(1,3)A ，5AB ，当5AB PB 时，(8,0)P 或(2,0)，当PA AB 时，点,P B 关于直线1x 对称，(5,0)P ，综上所述：点P 的坐标为(8,0) 或(2,0)或(5,0)．【解析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；（2）首先利用勾股定理求出得AB 的长，再分两种情形讨论即可．39.【答案】（1）如图，过点C 作CD x 轴于点D ，则1CD ，90CDB ，∵BC AB ，∴90ABC ，∴90ABO CBD ，∵90CDB ，∴90BCD CBD ，∴BCD ABO ，∴ABO BCD ∽ ，∴OA BD OB CD，∵ 0,4,2,0A B ，∴4OA ，2OB ，∴421BD ，∴2BD ，∴224OD ，∴点 4,1C ，将点C 代入k y x 中，可得4k ，∴4y x，设OC 的表达式为y mx ，将点 4,1C 代入可得14m ，解得：14m，∴OC 的表达式为14y x ；（2）直线l 的解析式为1342y x，当两函数相交时，可得13442x x ，解得12x ,8x ,代入反比例函数解析式，得1122x y ，22812x y∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为 2,2或18,2【解析】（1）如图，过点C 作CD x 轴于点D ，证明ABO BCD ∽ ，利用相似三角形的性质得到2BD ，求出点C 的坐标，代入k y x可得反比例函数解析式，设OC 的表达式为y mx ，将点 4,1C 代入即可得到直线OC 的表达式；（2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．40.【答案】（1）∵点A 的横坐标是2，∴将2x 代入 22255y k x ，∴ 2,5A ，∴将 2,5A 代入11k y x得，110k ，∴110y x ，∵点B 的纵坐标是4 ，∴将4y 代入110y x 得，52x ，∴5,42B ，∴将5,42B 代入 2225y k x 得，254252k，∴解得22k ，∴ 222521y x x ；（2）如图所示，由题意可得，5,52C， 2,4D ，∴设CD 所在直线的表达式为y kx b ，∴55224k b k b ，解得20k b ，∴2y x ，∴当0x 时，0y ，∴直线CD 经过原点．【解析】（1）首先将点A 的横坐标代入 2225y k x 求出点A 的坐标，然后代入11k y x 求出110k ，然后将点B 的纵坐标代入110y x 求出5,42B，然后代入 2225y k x 即可求出22k ；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．41.【答案】（1）解：将 24A ，代入1m y x 得，42m ，解得8m ，∴反比例函数解析式为18y x；当0x ，2y b ，则 0C b ，，OC b ，当20y ，b x k，则0b B k ，b OB k ，∵OAC 与OBC △的面积比为2:1，∴2212A OC x OC OB ，整理得2A x OB ，即22b k ，解得b k 或b k ，当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得43k ，则24433y x ；当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得4k ，则244y x ；综上，一次函数解析式为24433y x 或244y x ；∴反比例函数解析式为18y x ，一次函数解析式为24433y x 或244y x ；（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为24433y x 时，如图1，联立1284433y x y x ，解得383x y 或24x y ，由函数图象可知，12y y 时，x 的取值范围为3x 或02x ；②当一次函数解析式为244y x 时，如图2，联立12844y x y x ，解得18x y 或24x y ，由函数图象可知，12y y 时，x 的取值范围为1x 或02x ；综上，当一次函数解析式为24433y x 时，x 的取值范围为3x 或02x ；当一次函数解析式为244y x 时x 的取值范围为1x 或02x ．【解析】（1）将 24A ，代入1m y x 得，42m ，解得8m ，可得反比例函数解析式为18y x ；当0x ，2y b ，则 0C b ，，OC b ，当20y ，b x k，则0b B k ，，b OB k ，由OAC 与OBC △的面积比为2:1，可得2212A OC x OC OB ，整理得2A x OB ，即22b k ，解得b k 或b k ，当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得43k ，则24433y x ；当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得4k ，则244y x ；（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为24433y x 时，如图1，联立1284433y x y x ，解得383x y 或24x y ，根据函数图象判断x 的取值范围即可；②当一次函数解析式为244y x 时，如图2，联立12844y x y x ，解得18x y 或24x y ，根据函数图象判断x 的取值范围即可．42.【答案】（1）解：∵1OA ，∴ 10A ，，∵直线2y kx 经过点 10A ，，∴02k ，解得，2k ，∴直线的解析式为22y x ，∵点C 的横坐标为2，∴2226y ，∴ 26C ，，∵反比例函数 0m y x x的图象经过点C ，∴2612m ；（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为12y x ，令0x ，则2022y ，∴点 02B ，，设点 22D a a ，，则点12E a a，，∵以B ，D ，E ，O 为顶点的四边形为平行四边形，∴2DE OB ，∴12222a a，整理得12222a a 或12222a a ，由12222a a得222122a a a ，整理得26a ，解得a ∵0a ，∴a∴点 2D ；由12222a a得222122a a a ，整理得2260a a ，解得1a ，∵0a ，∴1a ，∴点1D ；综上，点D 的坐标为 2或1．【解析】（1）求得 10A ，，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得 26C ，，据此即可求解；（2）设点 22D a a ，，则点12E a a，，利用平行四边形的性质得到12222a a ，解方程即可求解．43.【答案】（1）解：设反比例函数解析式为1k y x ，将 16A ，代入1k y x ，可得161k ，解得16k ，反比例函数的解析式为6y x ，把3,3B a a 代入6y x ，可得336a a ，解得1a ，经检验，1a 是方程的解，3,2B ，设一次函数的解析式为2y k x b ，将 16A ，， 3,2B 代入2y k x b ，可得623x bx b ，解得224k b ，一次函数的解析式为24y x ；（2）解：当0y 时，可得024x ，解得2x ，2,0C ，2OC ，112622822OAC OBC OAB S S S △△△，。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•B D= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C在反比例函数y= 的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴S△DFO= ×|﹣6|=3．∵S△BAF=4S△DFO，∴4+ =4×3，解得：n= ，经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，∴点D的坐标为（，﹣4）．【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．5．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），∴k=4×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16．由直线y=kx+b过点A，B得：，解得，，∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；②若OP∥AB，OA∥BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；③若OB∥AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）解：如图，过点作，垂足为，∵，∴，设，∵ =12，∴EC=12-x，在RtΔBEC中，，∴整理得：，解得：（不合题意舍去），，∴，，∴，把代入，得（3）解：存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=2或OP=6，∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），∴P（0，4+2 ）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 ）故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：，所以，所以，；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

中考第13题——反比例函数有关问题题型一：反比例函数k 值有关计算1.如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x k y =和xy 2=的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，若S △ABC =3，则K= （2019铁一9模）2.如图, 过C(1，2)作AC//x 轴. BC//y 轴，点A. B 都在直线y=-x+5上, 若双曲线y=kx (x >0)与ΔABC 总有公共点, 则k 的取值范围是 . （2019铁一8模）3.如图,点A 在反比例函数y=2x (x >0)的图象上，点B 在反比例函数y=kx (k ≠0,>0)的图象上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴于点D.连接OB,与AD 相交于点C 若CD=12AC ,则看K 的值为 . （2019铁一7模）4.如图，A,B 两点在双曲线（x<0）的一个分支上,AD 丄y 轴于D 点,BC 丄X 轴于C 点,若▲AOB 的面积为，▲C0D 的面积为3,则k 的值为 。

（2019铁一5模）5.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC 平行于y 轴,点B(3,5),若反比例函数ky x=的图象经过点A 和C,则k 的值为 （2019铁一3模）6.如图，直线l :b x y +-=与反比例函数xky =的图象交于A 、B ，与x 轴、y 轴相交于C 、D 两点，过点A 、B 作y 轴、x 轴的平行线交于点E ，若25=∆AEB S ，9=∆COD S ，则k= 。

（2019铁一2模）7.已知反比例函数y=xky =(k ≠0)，点A ()1y m ，，B ()2y 2m ，+是函数图象上两点,且满足1-y 1y 121=,则k 的值为___________（2019交大3模）x k y =498.如图，直线AB 经过原点O ，与双曲线）（0k xky ≠=交于A 、B 两点，AC ⊥y 轴于点C ，且△ABC 的面积是3，则k 的值是___________.（2019交大2模）9.如图，点B 是双曲线y ＝（k ≠0）上的一点，点A 在x 轴上，且AB ＝2，OB ⊥AB ，若∠BAO ＝60°，则k＝．（2019交大1模）10.如图，点A 在双曲线x k y 1=上，点C 在双曲线xky 2=上，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为点B ，连接AC 、BC ，BC 与x 轴交于点D ，若BD=2DC ，△ABC 的面积为6，则21k k +的值为______.（2019工大8模）12.如图，直线分别与反比例函数3k y y x x==和的图象交于点A 和点B ，AB 与y 轴交于点P ，且P 为线段AB 的中点，作AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 于点D ，若四边形ABDC 的面积是5，则k= （2019高新7模）13.如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数(ky k x=为常数，0)k ≠的图象上，正方形ADEF 的面积为4，且2BF AF =，则k 值为 ．（2019高新6模）14.如图，A ，B 是反比例函数ky x=图象上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，AOD ∆的面积为6，则k 的值为 ．（2019高新5模）x16.如图,点A 是双曲线y =−6x 在第二象限分支上的一个动点,连接AO 并延长交另一分支于点B ,以AB 为底作等腰△ABC ,且∠ACB =120∘,点C 在第一象限,随着点A 的运动,点C 的位置也不断变化,但点C 始终在双曲线y =kx 上运动,则k 的值为_____.（2019高新2模）题型二：函数解析式问题17.如图，在Rt ▲AOB 中，∠OAB=90°，∠OBA=30°，顶点A 在反比例函数的图象上，若Rt ▲AOB 的面积刚好被y 轴平分，则经过B 点的反比例函数的解析式为___________。

河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）1．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．二．反比例函数的应用（共1小题）2．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．三．二次函数综合题（共1小题）3．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．四．三角形综合题（共1小题）4．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 （填序号）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．五．四边形综合题（共2小题）5．（2022•河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．6．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 个单位长度．（2）探究迁移如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD＝m，求P，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD 的边平行时，请直接写出AP的长．六．切线的性质（共1小题）7．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．七．作图—基本作图（共1小题）8．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．八．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．11．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）1．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【答案】（1）y＝；（2）作图见解析部分；（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）解：如图，直线m即为所求．（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．二．反比例函数的应用（共1小题）2．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1）k＝；（2）2；60°；（3）3﹣．【解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中，得：1＝，解得：k＝；（2）过点A作OD的垂线，交x轴于G，∵A（，1），∴AG＝1，OG＝，OA＝＝2，∴半径为2；∵AG＝OA，∴∠AOG＝30°，由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝60°，∴∠AOC＝60°，∴圆心角的度数为：60°；（3）∵OD＝2OG＝2，∴S菱形AOCD＝AG×OD＝2，∴S扇形AOC＝×π×r2＝，在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，∵S△FHO＝＝，∴S△FBO＝2×＝，∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．三．二次函数综合题（共1小题）3．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．【答案】（1）m＝﹣2，b＝2；（2）B（﹣1，3），不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）﹣1≤x M＜2 或x M＝3．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去），即点B的坐标为（﹣1，3），从图象看，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤x M＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当x M＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即x M＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上所述，﹣1≤x M＜2 或x M＝3．四．三角形综合题（共1小题）4．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是　⑤　（填序号）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．【答案】（1）⑤；（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由见解答；（3）2或2+．【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO＝∠PHO＝90°，∵OE﹣OC＝OF﹣OD，∴CE＝DF，∵CG＝CE，DH＝DF，∴CG＝DH，∴OC+CG＝OD+DH，∴OG＝OH，∵OP＝OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），故答案为：⑤．（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠PEC＝∠PFD，∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△CPE≌△DPF（AAS），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，∴射线OP是∠AOB的平分线．（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∵∠CPE＝30°，∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，∴MP＝ME，设MP＝ME＝m，则OM＝MP•tan60°＝m，由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，∴MP＝ME＝1，∴OP＝2MP＝2，∴OC＝OP＝2；如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，∴OE＝OP＝+1，∵MC＝MP＝OP＝OE＝，∴OM＝MP•tan60°＝×＝，∴OC＝OM+MC＝+＝2+．综上所述，OC的长为2或2+．五．四边形综合题（共2小题）5．（2022•河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）　．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　15　°，∠CBQ＝　15　°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．【答案】（1）∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；（2）①15，15；②∠MBQ＝∠CBQ，理由见解析过程；（3）cm或cm．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，∵sin∠BME＝＝，∴∠EMB＝30°，∴∠ABM＝60°，∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；（2）①由（1）可知∠CBM＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°，故答案为：15，15；②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴∠CBQ＝∠MBQ；（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM，∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，∴CQ＝MQ，当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm，∵PQ2＝PD2+DQ2，∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25，∴AP＝，当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm，∵PQ2＝PD2+DQ2，∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9，∴AP＝，综上所述：AP的长为cm或cm．6．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为　180°　；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为　8　个单位长度．（2）探究迁移如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD＝m，求P，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD 的边平行时，请直接写出AP的长．【答案】（1）8；（2）①β＝2α；②2m•sinα；（3）AP＝3﹣或2．【解答】解：（1）答案为：8；（2）①如图1，β＝2α，理由如下：连接AP1，由轴对称的性质可得：∠PAB＝∠BAP1，∠P1AD＝∠DAP2，∴∠PAB+∠DAP2＝∠BAP1+∠DAP1＝∠BAD＝α，∴β＝2α；②如图2，作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD，可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，∴DE＝HP1，EF＝GP1，∵DF＝AD•sin A＝m•sinα，∴GP1+HP1＝DE+EF＝DF＝m•sinα，∵HP3＝HP1，PG＝P1G，∴HP3+PG＝GP1+HP1＝m•sinα，∴PP3＝2m•sinα；（3）如图3，在Rt△KMN中，∠M＝90°，∠N＝15°，KS＝SN，则∠KSM＝30°，设KM＝1，则SN＝KS＝2，MS＝，则KN＝，∴sin15°＝，当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，∵P1P2⊥AD，∴P2P3⊥P1P2，∴∠P3P2P1＝90°，∵PP3∥DI，∴∠P2P3P1＝∠ADI＝30°，由（2）知：PP3＝2AD•sin60°＝6，设AP1＝AP＝x，则PP1＝2AP•sin∠PAB＝2x•sin15°＝2x•＝，∴P1P3＝PP3﹣PP1＝6﹣，∵∠BAP1＝∠BAP＝15°，∵∠P1AT＝∠DAB﹣∠BAP1＝60°﹣15°＝45°，由轴对称性质得：∠ATP1＝90°，∴TP1＝AP1＝，∴P1P2＝，由P1P2＝P1P3•sin∠P2P3P1＝P1P3•sin30°得，6﹣＝2x，∴x＝3，如图5，当P2P3∥CD时，设AP＝x，同理可得：P1P2＝2P1P3，∴2[6﹣]＝x，∴x＝2，综上所述：AP＝3﹣或2．六．切线的性质（共1小题）7．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）3．【解答】（1）证明：如图①，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⨀O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）解：如图②所示，连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO＝＝，由（1）可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴，即，解得PD＝3，OD＝4，∴CD＝OC﹣OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝＝，∵CB为圆的直径，∴∠BPC＝90°，∴BP＝＝＝3，故BP长为3．七．作图—基本作图（共1小题）8．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．八．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．【答案】9.1m．【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30cm，BH＝20cm，则tan∠EAF＝＝，∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，∵AF＝11m，则，∴EF＝，∴EG＝EF+FG＝ 1.8≈9.1m．答：树EG的高度为9.1m．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【答案】拂云阁DC的高度约为32米．【解答】解：延长EF交DC于点H，由题意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH•tan45°＝x（米），在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝≈0.67，∴x≈30.5，经检验：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），∴拂云阁DC的高度约为32米．11．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知：∠DAB＝45°，∴BD＝AD，在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，∵tan∠DAC＝，∴tan37.5°＝≈0.77，解得AD≈17.4m，∴BD＝AD≈17.4m，答：佛像的高度约为17.4 m．。

中考数学真题分类之函数专题——反比例函数一．反比例函数的定义（共2小题） 1．已知反比例函数的解析式为y =|a|−2x，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≠2B ．a ≠﹣2C ．a ≠±2D ．a ＝±2 2．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数二．反比例函数的图象（共1小题）3．已知ab ＜0，一次函数y ＝ax ﹣b 与反比例函数y =ax在同一直角坐标系中的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．三．反比例函数的性质（共2小题）4．反比例函数y =2x的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限5．关于反比例函数y =5x 的图象，下列说法正确的（ ） A ．经过点（2，3） B ．分布在第二、第四象限 C ．关于直线y ＝x 对称D ．x 越大，越接近x 轴四．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）6．如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y =kx（k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，∠AOD ＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是4√33，则k 的值是 ．7．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，且关于y 轴对称，反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过点C ，反比例函数y =k 2x（x ＜0）的图象分别与AD ，CD 交于点E ，F ，若S △BEF ＝7，k 1+3k 2＝0，则k 1等于 ．8．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为（1，0），点D （4，4）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，直线y =23x +b 经过点C ，与y 轴交于点E ，连接AC ，AE ．（1）求k ，b 的值； （2）求△ACE 的面积．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题）9．如图，点A ，B 是直线y ＝x 上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线y =1x（x ＞0）于点C ，D ．若AC =√3BD ，则3OD 2﹣OC 2的值为（ ）A ．5B ．3√2C ．4D ．2√310．、若点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数y =kx（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 111．如图，点A ，B 在双曲线y =3x（x ＞0）上，点C 在双曲线y =1x（x ＞0）上，若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．4 D ．3√212．反比例函数y =k x（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有 个．13．已知：函数y 1＝|x |与函数y 2=1|x|的部分图象如图所示，有以下结论：①当x ＜0时，y 1，y 2都随x 的增大而增大； ②当x ＜﹣1时，y 1＞y 2；③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2； ④函数y ＝y 1+y 2的最小值是2． 则所有正确结论的序号是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例y =kx（k ＞0）的图象和△ABC 都在第一象限内，AB ＝AC =52，BC ∥x 轴，且BC ＝4，点A 的坐标为（3，5）．若将△ABC 向下平移m 个单位长度，A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，则m 的值为 ．15．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y ．（1）用列表法或树状图法，列出点M （x ，y ）的所有可能结果；（2）求点M （x ，y ）在双曲线y =−2x上的概率．16．如图，已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y =k x（k ≠0）的图象与AD 边交于E （﹣4，12），F （m ，2）两点． （1）求k ，m 的值；（2）写出函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围．六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，2）．（1）将点A 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B ，则点B 的坐标是 ．（2）点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标是 ． （3）反比例函数的图象经过点B ，则它的解析式是 ． （4）一次函数的图象经过A ，C 两点，则它的解析式是 ．18．如图，已知平行四边形OABC 中，点O 为坐标原点，点A （3，0），C （1，2），函数y =kx （k ≠0）的图象经过点C ． （1）求k 的值及直线OB 的函数表达式： （2）求四边形OABC 的周长．19．如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ．（1）求直线AB 和反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）20．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（ ）A ．﹣3＜x ＜2B ．x ＜﹣3或x ＞2C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜221．如图，一次函数y 1＝（k ﹣5）x +b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx的图象相交于A ，B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是1＜x ＜4，则k ＝ ．22．已知直线y ＝ax （a ≠0）与反比例函数y =kx（k ≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 ．23．如图，已知反比例函数y =k x（x ＞0）的图象与一次函数y =−12x +4的图象交于A 和B （6，n ）两点． （1）求k 和n 的值；（2）若点C （x ，y ）也在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，求当2≤x ≤6时，函数值y 的取值范围．24．如图，一次函数y ＝mx +b 的图象与反比例函数y =kx的图象交于A （3，1），B （−12，n ）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n 的值及该一次函数的解析式．八．反比例函数的应用（共1小题）25．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x 千立方米，总需用时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600天． （1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？九．反比例函数综合题（共1小题）26．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y=k1x过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y=k2x 与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y=k3x与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．参考答案与试题解析一．反比例函数的定义（共2小题） 1．【解答】解：根据反比例函数解析式中k 是常数，不能等于0，由题意可得：|a |﹣2≠0， 解得：a ≠±2， 故选：C ． 2．【解答】解：设等腰三角形的底角为y ，顶角为x ，由题意，得y =−12x +90°， 故选：B ．二．反比例函数的图象（共1小题）3．【解答】解：若反比例函数y =ax经过第一、三象限，则a ＞0．所以b ＜0．则一次函数y ＝ax ﹣b 的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数y =ax经过第二、四象限，则a ＜0．所以b ＞0．则一次函数y ＝ax ﹣b 的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确； 故选：A ．三．反比例函数的性质（共2小题） 4．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限； 故选：A ．5．【解答】解：A 、把点（2，3）代入反比例函数y =5x得2.5≠3不成立，故A 选项错误；B 、∵k ＝5＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B 选项错误；C 、反比例函数有两条对称轴，y ＝x 和y ＝﹣x ；当x ＜0时，x 越小，越接近x 轴，故C 选项正确；D 、反比例函数有两条对称轴，y ＝x 和y ＝﹣x ；当x ＜0时，x 越小，越接近x 轴，故D 选项错误． 故选：C ．四．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题） 6．【解答】解：如图，作EM ⊥x 轴于点M ，则EM ＝1． ∵△ODE 的面积是4√33， ∴12OD •EM =4√33，∴OD =8√33． 在直角△OAD 中，∵∠A ＝90°，∠AOD ＝30°， ∴∠ADO ＝60°，∴∠EDM ＝∠ADO ＝60°．在直角△EMD 中，∵∠DME ＝90°，∠EDM ＝60°， ∴DM =EM tan60°=√3=√33， ∴OM ＝OD +DM ＝3√3， ∴E （3√3，1）．∵反比例函数y =kx（k ＞0）的图象过点E ，∴k ＝3√3×1＝3√3． 故答案为3√3．7．【解答】解：设点B 的坐标为（a ，0），则A 点坐标为（﹣a ，0） 由图象可知，点C （a ，k 1a），E （﹣a ，−k 2a），D （﹣a ，k 1a），F （−a3，k 1a） 矩形ABCD 面积为：2a •k 1a=2k 1∴S △DEF =DE⋅DF 2=23a×(−2k 2a)2=−23k 2S △BCF =CF⋅BC2=43a×k 1a2=23k 1S △ABE =AB⋅AE2=2a×(−k 2a)2=−k 2∵S △BEF ＝7∴2k 1+23k 2−23k 1+k 2＝7 ①∵k 1+3k 2＝0∴k 2=−13k 1代入①式得43k 1+53×(−13k 1)=7解得k 1＝9 故答案为：9 8．【解答】解：（1）由已知可得AD ＝5， ∵菱形ABCD ，∴B （6，0），C （9，4），∵点D （4，4）在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上， ∴k ＝16，将点C （9，4）代入y =23x +b ，∴b ＝﹣2；（2）E （0，﹣2），直线y =23x ﹣2与x 轴交点为（3，0）， ∴S △AEC =12×2×（2+4）＝6；五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 9．【解答】解：延长CA 交y 轴于E ，延长BD 交y 轴于F ． 设A 、B 的横坐标分别是a ，b ， ∵点A 、B 为直线y ＝x 上的两点， ∴A 的坐标是（a ，a ），B 的坐标是（b ，b ）．则AE ＝OE ＝a ，BF ＝OF ＝b ．∵C 、D 两点在交双曲线y =1x （x ＞0）上，则CE =1a，DF =1b． ∴BD ＝BF ﹣DF ＝b −1b，AC =1a−a ．又∵AC =√3BD ， ∴1a−a =√3（b −1b），两边平方得：a 2+1a2−2＝3（b 2+1b2−2），即a 2+1a 2=3（b 2+1b2）﹣4，在直角△ODF 中，OD 2＝OF 2+DF 2＝b 2+1b2，同理OC 2＝a 2+1a2， ∴3OD 2﹣OC 2＝3（b 2+1b 2）﹣（a 2+1a2）＝4．故选：C ．10．【解答】解：∵k ＜0，∴在每个象限内，y 随x 值的增大而增大， ∴当x ＝﹣1时，y 1＞0， ∵2＜3， ∴y 2＜y 3＜y 1 故选：C ．11．【解答】解：点C在双曲线y=1x上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，1a ），则B（3a，1a），A（a，3a），∵AC＝BC，∴3a −1a=3a﹣a，解得a＝1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC＝BC＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2√2，故选：B．12．【解答】解：观察反比例函数y=kx （x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；因为当x＜0时，y随x的增大而增大；所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称；所以③正确；因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为3．13．【解答】解：补全函数图象如图：①当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大；故①错误；②当x＜﹣1时，y1＞y2；故②正确；③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；故③正确；④∵（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2|x|，∵y＝y1+y2＝|x|+1|x|=x2+1|x|≥2，∴函数y ＝y 1+y 2的最小值是2． 故④正确．综上所述，正确的结论是②③④． 故答案为②③④．14．【解答】解：∵AB ＝AC =52，BC ＝4，点A （3，5）． ∴B （1，72），C （5，72）， 将△ABC 向下平移m 个单位长度，∴A （3，5﹣m ），C （5，72−m ）， ∵A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m ）＝5（72−m ）， ∴m =54；故答案为54；15．【解答】解：（1）用树状图表示为： 点M （x ，y ）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．（2）在点M 的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y =−2x上， ∴P =26=13；因此，点M （x ，y ）在双曲线y =−2x上的概率为13．16．【解答】解：（1）∵点E （﹣4，12）在y =k x上，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x， ∵F （m ，2）在y =−2x上，∴m ＝﹣1．（2）函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围为：﹣4＜x ＜﹣1或1＜x ＜4．六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 17．【解答】解：（1）将点A 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B ，则点B 的坐标是（2，3）；（2）点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y =kx， 把B （2，3）代入得：k ＝6，∴反比例函数解析式为y =6x；（4）设一次函数解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，2）与C （1，﹣2）代入得：{−m +n =2m +n =−2，解得：{m =−2n =0，则一次函数解析式为y ＝﹣2x ．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y =6x；（4）y ＝﹣2x ．18．【解答】解：（1）依题意有：点C （1，2）在反比例函数y =kx（k ≠0）的图象上，∴k ＝xy ＝2， ∵A （3，0） ∴CB ＝OA ＝3， 又CB ∥x 轴， ∴B （4，2），设直线OB 的函数表达式为y ＝ax ， ∴2＝4a ，∴a =12，∴直线OB 的函数表达式为y =12x ；（2）作CD ⊥OA 于点D ， ∵C （1，2），∴OC =√12+22=√5， 在平行四边形OABC 中， CB ＝OA ＝3，AB ＝OC =√5，∴四边形OABC 的周长为：3+3+√5+√5=6+2√5， 即四边形OABC 的周长为6+2√5．19．【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，∴b＝2，m＝﹣2，∴y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y=3x ；（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h=3x ，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2√6或﹣2√6（舍弃），此时点P到直线AB距离最短；∴P（√62，√6）；七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）20．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c x （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．故选：C．21．【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，所以有{k −5+b =k4(k −5)+b =k 4解得k ＝4， 故答案为4． 22．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称， ∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）．23．【解答】解：（1）当x ＝6时，n =−12×6+4＝1， ∴点B 的坐标为（6，1）． ∵反比例函数y =kx 过点B （6，1），∴k ＝6×1＝6． （2）∵k ＝6＞0，∴当x ＞0时，y 随x 值增大而减小， ∴当2≤x ≤6时，1≤y ≤3．24．【解答】解：（1）∵反比例函数y =kx的图象经过A （3，1）， ∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y =3x；（2）把B （−12，n ）代入反比例函数解析式，可得 −12n ＝3， 解得n ＝﹣6，∴B （−12，﹣6），把A （3，1），B （−12，﹣6）代入一次函数y ＝mx +b ，可得{1=3m +b−6=−12m +b，解得{m =2b =−5，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣5．八．反比例函数的应用（共1小题）25．【解答】解：（1）根据题意可得：y =600x， ∵y ≤600， ∴x ≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：600 m −600m+100=0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．九．反比例函数综合题（共1小题）26．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y=k1x 过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y=12x．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴DNBM =CDBC，∴DNCD =BMCB，∴CNCD =CMCB，∵∠MCN ＝∠BCD ， ∴△MCN ∽△BCD ， ∴∠CNM ＝∠CDB ， ∴MN ∥BD ，∴△CMN ∽△CBD ． ∵B （6，0），D （0，8），∴直线BD 的解析式为y =−43x +8， ∵C ，C ′关于MN 对称， ∴CC ′⊥MN ， ∴CC ′⊥BD ， ∵C （6，8），∴直线CC ′的解析式为y =34x +72， ∴C ′（0，72）．（3）如图3中，①当AP ＝AE ＝5时，∵P （m ，5），E （m +3，4），P ，E 在反比例函数图象上， ∴5m ＝4（m +3）， ∴m ＝12．②当EP ＝AE 时，点P 与点D 重合，∵P （m ，8），E （m +3，4），P ，E 在反比例函数图象上， ∴8m ＝4（m +3）， ∴m ＝3．③显然PA ≠PE ，若相等，点P 在点E 的下方，显然不可能． 综上所述，满足条件的m 的值为3或12．。

2011-2023北京中考真题数学汇编反比例函数7．（2014北京中考真题）如图，在平面直角坐标系(0)ky k x=≠，使它的图象与正方形9．（2011北京中考真题）如图，在平面直角坐标系图象的一个交点为A（﹣（1）求反比例函数y=（2）若P是坐标轴上一点，且满足10．（2018北京中考真题）在平面直角坐标系线14l y x b=+∶与图象G（1）求k的值；∴由上述结果可知，分母不能为，故【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．9．（1）y=﹣2x；（2）（【详解】解：（1）∵点∴n=﹣2×（﹣1）=2∴点A的坐标为（﹣1∵点A在反比例函数的图象上．∴k=﹣210．（1）4；（2）①3个．【详解】分析：（1）根据点（2）①当1b =-时，根据整点的概念，直接写出区域②分a ．当直线过（4，0时四种情况进行讨论即可详解：（1）解：∵点A （∴14k=，∴4k =．（2）①3个．（1，0），（②a ．当直线过（4，0）时：b ．当直线过（5，0）时：c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b =d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -≤<-或71144b <≤．点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.11．（1）1(0)y x x =>不是有界函数，y=x+1(-4<x ≤2)是有界函数，边界值是3；（2）-1＜b≤3；（3）0≤m≤14或34≤m≤1．【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断；（2）根据一次函数的性质可得1y x =-+的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得此不等式组可得b 的取值范围；（3）要分情况讨论，易判断1m >不符合题意，故1m；结合已知函数解析式可得函数过点以此求得其平移后的点坐标，进而可得34≤1-m≤1或-1≤-m≤34，由此即可求得m 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知1(0)y x x=>不是有界函数，数，边界值是3；（2）1y x =-+Q 中10-<，y 随x 的增大而减小，∴当x a =时，12=-+=y a ，故1a =-．当x b =时，1=-+y b ，根据题意可得：212b b a--+<⎧⎨>⎩ ，31b ∴>- ；（3）若1m >，函数向下平移m 个单位后，0x =时，函数值小于1-，此时函数的边界值不符，故1m．当=1x -时，1y =，即过(1,1)-，当0x =时，0min y =，即过(0,0)，将(1,1)-，(0,0)都向下平移m 个单位，得到(1,1)m --，(0,)m -，根据题意可得：1m t -=或m t -=，∴34≤1-m≤1或-1≤-m≤34，0≤m≤14或34≤m≤1．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质．。

专题13反比例函数及其应用（41题）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =-=-，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数()0ky k x=≠与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，∴231y =-=-，∴13k-=，∴3k =-，故选：A2．（2024·重庆·中考真题）反比例函数10y x=-的图象一定经过的点是（）A ．()1,10B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,8【答案】B【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．【详解】解：解：当1x =时，10101y =-=-，图象不经过()1,10，故A 不符合要求；当2x =-时，1052y =-=-，图象一定经过()2,5-，故B 符合要求；当2x =时，1052y =-=-，图象不经过()2,5，故C 不符合要求；当2x =时，1052y =-=-，图象不经过()2,8，故D 不符合要求；故选：B ．3．（2024·天津·中考真题）若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<4．（2024·广西·中考真题）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在反比例函数y x=的图象上，若120x x <<，则有（）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．120y y <<5．（2024·浙江·中考真题）反比例函数y x=的图象上有()1,P t y ，()24,Q t y +两点．下列正确的选项是（）A ．当4t <-时，210y y <<B ．当40t -<<时，210y y <<C ．当40t -<<时，120y y <<D ．当0t >时，120y y <<【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数4y x=，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出1y 与2y 的大小．【详解】解：根据反比例函数4y x=，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y 都是随着x 的增大而减小，反比例函数4y x=的图象上有()1,P t y ，()24,Q t y +两点，当40t t <+<，即4t <-时，120y y >>；当04t t <<+，即40t -<<时，120y y <<；当04t t <<+，即0t >时，120y y >>；故选：A ．6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x 度，则能使用y 天．下列说法错误的是（）A ．若5x =，则100y =B ．若125y =，则4x =C ．若x 减小，则y 也减小D ．若x 减小一半，则y 增大一倍【答案】C【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x 度，能使用y 天．∴500xy =，∴500y x=，当5x =时，100y =，故A 不符合题意；当125y =时，5004125x ==，故B 不符合题意；∵0x >，0y >，∴当x 减小，则y 增大，故C 符合题意；若x 减小一半，则y 增大一倍，表述正确，故D 不符合题意；故选：C ．7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2024·重庆·中考真题）已知点()3,2-在反比例函数()0y k x=≠的图象上，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．6-D ．69．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y x=的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，2OE AE =，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是（）A ．25B ．35C ．45D ．85【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E 作EM OC ⊥，则EM AC ，设k E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，由OME OCA ∽，可得3322k OC a AC a ==⋅，，再由O O F OBD CF A OBAC D S S S S =++ 矩形四边形，列方程，即可得出k 的值．【详解】过点E 作EM OC ⊥，则EM AC ，∴OME OCA ∽，∴OM EM OEOC AC OA==设k E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵2OE AE =∴23OM EM OC AC ==，∴3322kOC a AC a==⋅，∴3322O OBD DAF OCF OBAC kS S S S a a=++=⋅⋅ 矩形四边形即3322222k k k a a++=⋅⋅，解得：85k =故选D10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线()0y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（）A ．4.5B ．3.5C ．3D ．2.5设12,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥∴AF y ∥轴，DF =∴AFE ODE ∽，∴116394.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．11．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】根据函数表达式计算当0x =时y 的值，可得图像与y 轴的交点坐标；由于42x +的值不可能为0，即0y ≠，因此图像与x 轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当0x =时，422y ==，∴42=+y x 与y 轴的交点为()0,2；由于42x +是分式，且当2x ≠-时，402x ≠+，即0y ≠，∴42=+y x 与x 轴没有交点．∴函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B ．12．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0ky k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0ky k x x=>>的图象交于点C ．若5BC =，则点B 的坐标是（）A ．(5B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,5【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．∵()4,2A ，∴4OE =，222425OA =+=∴42sin 5525OE OAE OA ∠===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，∴221BD BC CD =-=，∴413OB OD BD =-=-=,∴()0,3B 故选：B ．13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，反比例函数()0y k x=≠的图象经过点A 、B 及AC 的中点M ，BC x ∥轴，AB 与y 轴交于点N ．则ANAB的值为（）A ．13B ．14C ．15D ．25【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出A 、B 两点的坐标，利用D ，M 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过A 作BC 的垂线垂足为D ，BC 与y 轴交于E 点，如图，在等腰三角形ABC 中，AD BC ⊥，D 是BC 中点，设,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,k B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由BC 中点为D ，AB AC =，故等腰三角形ABC 中，∴BD DC a b ==-，二、填空题14．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()13,y 和()23,y -，则12y y +的值是.15．（2024·云南·中考真题）已知点()2,P n 在反比例函数y x=的图象上，则n =．【答案】5【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点()2,P n 代入10y x=求值，即可解题．【详解】解： 点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，1052n ∴==，故答案为：5．16．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线()10y ax b a =+≠与双曲线()20y k x=≠交于点()1,A m -，()2,1B -．则满足12y y ≤的x 的取值范围．【答案】10x -≤<或2x ≥【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当10x -≤<或2x ≥时，12y y ≤，∴满足12y y ≤的x 的取值范围为10x -≤<或2x ≥，故答案为：10x -≤<或2x ≥．17．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为．【答案】180【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入kf l=求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入kf l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．18．（2024·陕西·中考真题）已知点()12,A y -和点()2,B m y 均在反比例函数y x=-的图象上，若01m <<，则12y y +0．【答案】</小于19．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数y x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小，∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数(0)ky x x=<的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，OC 在x 轴上，若点()1,3B -，3ABCO S = ，则实数k 的值为．【答案】6-【分析】本题考查了反比例函数，根据,A B 的纵坐标相同以及点A 在反比例函数上得到A 的坐标，进而用代数式表达AB 的长度，然后根据3ABCO S = 列出一元一次方程求解即可．【详解】ABCO 是平行四边形,A B ∴纵坐标相同()1,3B - A ∴的纵坐标是3A 在反比例函数图象上∴将3y =代入函数中，得到3k x =,33k A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭13k AB ∴=--3,ABCO S B = 的纵坐标为333AB ∴⨯=即：1333k ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭解得：6k =-故答案为：6-．21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数12y x =，23y x=-，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值是a ，函数2y 的最大值是b ，则b a =．【答案】12/0.5【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出a 与b 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出a 与b ，再代入b a 进而得出答案．【详解】解： 函数12y x=，当13x ≤≤时，函数1y 随x 的增大而减小，最大值为a ，1x ∴=时，12y a ==，23y x =- ，当13x ≤≤时，函数2y 随x 的增大而减大，函数2y 的最大值为21y b =-=，1122b a -∴==．故答案为：12．22．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数1k y x-=的图象在第一、三象限，则点()3k -,在第象限．【答案】四/423．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为．∴33(13,),1,22B a a D a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，∵点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，∴()3313122k a a a a ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：233a =，∵反比例函数图象在第一象限，∴2321332333k ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：23．24．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()5,0，()2,6，过点B 作BC x ∥轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且2BD AD =．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k 的几何意义，作BM x ⊥轴于M ，作DN x ⊥轴于N ，则DN BM ∥，由点A ，B 的坐标分别为()5,0，()2,6得2BC OM ==，6BM OC ==，3AM =，然后证明ADN ABM ∽△△得DN AN ADBM AM AB ==，求出2DN =，则4ON OA AN =-=，故有D 点坐标为()4,2，求出反比例函数解析式8y x =，再求出4,63E ⎛⎫⎪⎝⎭，最后根据∵点A ，B 的坐标分别为∴2BC OM ==，BM =∵DN BM ∥，∴ADN ABM ∽△△，∴DN AN ADBM AM AB==，25．（2024·四川广元·中考真题）已知y =与()0y x x=>的图象交于点()2,A m ，点B 为y 轴上一点，将OAB 沿OA 翻折，使点B 恰好落在()0ky x x=>上点C 处，则B 点坐标为．【答案】()0,4【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出()2,23A 以及()430y x x=>，根据解直角三角形得130∠=︒，根据折叠性质，330∠=︒，然后根据勾股定理进行列式，即()222324OB OC ==+=．【详解】解：如图所示：过点A 作AH y ⊥轴，过点C 作CD x ⊥轴，∵3y x =与()0ky x x=>的图象交于点()2,A m ，∴把()2,A m 代入3y x =，得出3223m =⨯=，∴()2,23A ，把()2,23A 代入()0ky x x=>，解得22343k =⨯=，∴()430y x x=>，设43C m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，在23Rt tan 1323AH AHO OH ∠=== ，，26．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x=上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k =．∵4tan 3AOC ∠=，∴43AD OD =，∴设4AD a =，则3OD a =，∴点()34A a a ，，∵点A 在反比例函数3y x=上，∴343a a ⋅=，∴12a =（负值已舍），则点322A ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2AD =，32OD =，∴2252OA OD AD =+=，∵四边形AOCB 为菱形，∴52AB OA ==，AB CO ∥，∴点()42B ，，∵点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，∴428k =⨯=，故答案为：8．27．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，(1,0)A ，(0,2)C ．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B ''（点A 平移后的对应点为A '），A B ''交函数(0)k y x x=>的图象于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，则下列结论：①2k =；②OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；③A E '2④B BD BB O ''∠=∠．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）∵1212AOB A OD S S '==⨯= ，∴BOK AKDA S S '= 四边形，∴BOK BKD AKDA S S S S '+=+ 四边形∴OBD 的面积等于四边形ABDA 如图，连接A E '，∵DE y ⊥轴，90DA O EOA ''∠=∠=︒，∴四边形A DEO '为矩形，∴A E OD '=，∴当OD 最小，则A E '最小，设()2,0D x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2224224OD x x x x=+≥⋅⋅=，∴2OD ≥，∴A E '的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，∴()1,2B n '+，∵反比例函数为2y x=，四边形A B CO ''为矩形，∴90BB D OA B '''∠=∠=︒，21,1D n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，∴BB n '=，1OA n '=+，22211n B D n n '=-=++，2A B ''=，∴2112n BB n B D n OA n A B ''+==='''+，∴B BD A OB ''' ∽，∴B BD B OA '''∠=∠，∵B C A O ''∥，∴CB O A OB '''∠=∠，∴B BD BB O ''∠=∠，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①3y x =-+；②2y x =；③221y x x =-+-．（2）若一次函数3y mx m =-图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为．（2）()33y mx m m x =-=-中，3x =时，0y =，∴图象恒过点()3,0，当直线过()1,1-时，()113m -=-，∴12m =，∴102m <≤；当直线过()1,1时，()113m =-，∴12m =-，∴102m -≤<；∴m 的取值范围为102m -≤<或102m <≤．故答案为：102m -≤<或102m <≤．三、解答题29．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数y ax =的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y ax b =+的图象，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点()24A ，．过点()02B ，作x 轴的平行线分别交y ax b =+与()0k y x x=>的图象于C ，D 两点．(1)求一次函数y ax b =+和反比例函数k y x=的表达式；(2)连接AD ，求ACD 的面积．∵()24A ，，∴()()11642622ACD A C S CD y y =⋅-=⨯⨯-=△．30．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数y x b =-+和反比例函数y x=的图象相交于点()1,A m ，(),1B n ．(1)求点A ，点B 的坐标及一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出不等式9x b x-+>的解集．【答案】(1)()1,9A ，()9,1B ，10y x =-+(2)0x <或19x <<【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：（1）分别把点()1,A m ，点(),1B n 代入9y x =，可求出点A ，B 的坐标，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解．【详解】（1）解：把点()1,A m 代入9y x =中，得：991m ==，∴点A 的坐标为()1,9，把点(),1B n 代入9y x =中，得：991n ==，∴点B 的坐标为()9,1，把1x =，9y =代入y x b =-+中得：19b -+=，∴10b =，∴一次函数的解析式为10y x =-+，（2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得：当0x <或19x <<时，一次函数y x b =-+的图象位于反比例函数9y x=的图象的上方，31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）．(2)当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．32．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与k y x=部分自变量与函数值的对应关系：x72-a 12x b +a1________kx ________________7(1)求a 、b 的值，并补全表格；(2)结合表格，当2y x b =+的图像在k y x=的图像上方时，直接写出x 的取值范围．【答案】(1)25a b =-⎧⎨=⎩，补全表格见解析(2)x 的取值范围为702x -<<或1x >；【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；（1）根据表格信息建立方程组求解,a b 的值，再求解k 的值，再补全表格即可；（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.【详解】（1）解：当72x =-时，2x b a +=，即7b a -+=，当x a =时，21x b +=，即21a b +=，∴721a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解得：25a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数为25y x =+，当1x =时，7y =，∵当1x =时，7k y x==，即7k =，∴反比例函数为：7y x =，当72x =-时，7722y ⎛⎫=÷-=- ⎪⎝⎭，当1y =时，2x a ==-，当2x =-时，72y =-，补全表格如下：x72-2-12x b +2-17∴当2y x b =+的图像在k y x =的图像上方时，33．（2024·湖北·中考真题）一次函数y x m =+经过点()3,0A -，交反比例函数y x =于点(),4B n ．(1)求m n k ，，；(2)点C 在反比例函数k y x=第一象限的图象上，若AO OB C A S S <△△，直接写出C 的横坐标a 的取值范围．∴304m n m -+=⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，∴点()1,4B ，∵反比例函数k y x=经过点()1,4B ，∴144k =⨯=；（2）解：∵点()30A -,，点()1,4B ，∴3AO =，∴1134622AOB B S AO y =⨯=⨯⨯=△，1322AOC C C S AO y y =⨯=△，由题意得362C y <，∴4C y <，∴1C x >，∴C 的横坐标a 的取值范围为1a >．34．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数12y x =与反比例函数()20y x x=>的图象交于点()2A m ，．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线112y x =向上平移3个单位长度与()20k y x x=>的图象交于点B ，连接,AB OB ，求AOB 的面积．【答案】(1)28y x =(2)6【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．联立方程组8132yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得24xy=⎧⎨=⎩，81xy=-⎧⎨=-⎩（舍去），(2,4)B∴35．（2024·贵州·中考真题）已知点()1,3在反比例函数y x=的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)点()3,a -，()1,b ，()3,c 都在反比例函数的图象上，比较a ，b ，c 的大小，并说明理由．【答案】(1)3y x=(2)a c b <<，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．（1）把点()1,3代入ky x=可得k 的值，进而可得函数的解析式；（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A 、点B 和点C 的横坐标即可比较大小．【详解】（1）解：把()1,3代入k y x =，得31k =，∴3k =，∴反比例函数的表达式为3y x=；（2）解：∵30k =>，∴函数图象位于第一、三象限，∵点()3,a -，()1,b ，()3,c 都在反比例函数的图象上，3013-<<<，∴0a c b <<<，∴a c b <<．36．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．（3）解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x=，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：92．37．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．(1)求m 、n 的值和一次函数的表达式；(2)连接AB ，求点C 到线段AB 的距离．【答案】(1)3m =，3n =，21y x =+(2)点C 到线段AB 的距离为322【分析】（1）根据点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x=图象上，代入即可求得m 、n 的值；根据一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ，代入求得k ，b ，即可得到表达式；（2）连接BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为点E ，可推出BC x ∥轴，BC 、AD 、DB 的长度，然后利用勾股定理计算出AB 的长度，最后根据1122ABC S BC AD AB CE =⋅=⋅ ，计算得CE 的长度，即为点C 到线段AB 的距离．【详解】（1） 点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x=图象上∴3m =，3n =又 一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ∴31k b b +=⎧⎨=⎩∴BC x ∥轴，3BC = 点()1,3A ，()3,1B ，AD ∴点()1,1D ，2AD =，DB 在Rt ADB 中，AB AD =38．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与反比例函数()0my x x=>的图象交于点()1,6A ，(),2B n ，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 在y 轴上，当PAB 的周长最小时，请直接写出点P 的坐标；(3)将直线AB 向下平移a 个单位长度后与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，当12EF AB =时，求a 的值．【答案】(1)一次函数的表达式为28y x =-+，反比例函数的表达式为6y x=(2)点P 的坐标为()0,5(3)6a =或10a =【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）根据已知条件列方程求得6m =，得到反比例函数的表达式为6y x=，求得()3,2B ，解方程组即可得到结论；（2）如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接EB 交y 轴于P ，则此时，PAB 的周长最小，根据轴对称的性质得到()1,6E -，得到直线BE 的解析式为5y x =-+，当0x =时，5y =，于是得到点P 的坐标为()0,5；（3）将直线AB 向下平移a 个单位长度后得直线EF 的解析式为28y x a =-+-，得到()8,0082a E F a -⎛⎫- ⎪⎝⎭．，，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解： 一次函数y kx b =+与反比例函数()0my x x=>的图象交于点()1,6A ，(),2B n ，61m∴=，6m ∴=，∴反比例函数的表达式为6y x=，把(),2B n 代入6y x=得，62n=，3n ∴=，()3,2B ∴，把()1,6A ，()3,2B 代入y kx b =+得，632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为28y x =-+；此时，PAB 的周长最小，点()1,6A ，()1,6E ∴-，39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y kx =与双曲线4y x=-交于A ，B 两点，已知A 点坐标为(),2a ．(1)求a ，k 的值；(2)将直线y kx =向上平移()0m m >个单位长度，与双曲线4y x=-在第二象限的图象交于点C ，与x 轴交于点E ，与y 轴交于点P ，若PE PC =，求m 的值．【答案】(1)2,1a k =-=-(2)2m =【分析】（1）直接把点A 的坐标代入反比例函数解析式，求出a ，然后利用待定系数法即可求得k 的值；（2）根据直线y x =-向上平移m 个单位长度，可得直线CD 解析式为y x m =-+，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数图象上，∴42a=-，解得2a =-，将()2,2A -代入y kx =，1k ∴=-；（2）解：如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ，CF OE ∴∥，FCP OEP ∴∠=∠，CFP EOP ∠=∠，PE PC = ，()AAS CFP EOP ∴ ≌，CF OE\=，OP PF =，∵直线y x =-向上平移m 个单位长度得到y x m =-+，令0x =，得y m =，令0y =，得x m =，40．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数1y x=和一次函数2y mx n =+的图象相交于点()3,A a -，3,22B a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭两点，O 为坐标原点，连接OA ，OB ．(1)求1ky x=与2y mx n =+的解析式；(2)当12y y >时，请结合图象直接写出自变量x 的取值范围；(3)求AOB 的面积．（1）根据题意可得3322a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即有3a =，问题随之得解；（2）12y y >表示反比例函数1ky x=的图象在一次函数2y mx n =+的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可；（3）若AB 与y 轴相交于点C ，可得()0,1C ，则1OC =，根据()12AOB AOC BOC B A S S S OC x x =+=- ，问题即可得解．【详解】（1）由题知3322a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴3a =，∴()3,3A -，9,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴19y x=-，把()3,3A -，9,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y mx n =+得33922m n m n -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴231m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴2213y x =-+；（2）由图象可知自变量x 的取值范围为30x -<<或92x >（3）若AB 与y 轴相交于点C ，当0x =时，22113y x =-+=，∴()0,1C ，即：1OC =，∴()11915132224AOB AOC BOC B A S S S OC x x ⎛⎫=+=-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭ ．41．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．(1)已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N -，()30,2N -中，是点M 等和点的有_____；(2)若点()3,2M -的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值；(3)已知，双曲线1ky x=和直线22y x =-，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x -<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =-上，求点P 的坐标．故答案为：()14,2N 和()30,2N -；（2）解：设点N 的横坐标为a ，∵点N 是点()3,2M -的等和点，∴点N 的纵坐标为()325a a +--=+，∴点N 的坐标为(),5a a +，∵点N 在直线y x b =+上，∴5a a b +=+，∴5b =；（3）解：由题意可得，0k >，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A B 、，如图，由12y y <时x 的取值范围是4x >或20x -<<，可得点A 的横坐标为4，点B 的横坐标为2-，把4x =代入2y x =-得，422y =-=，∴()4,2A ，把()4,2A 代入1k y x =得，24k =，∴8k =，∴反比例函数解析式为18y x =，设8,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 的横坐标为n ，∵点Q 是点P 的等和点，∴点Q 的纵坐标为8m n m+-，∴8,Q n m n m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点Q 在直线22y x =-上，∴82m n n m+-=-，整理得，820m m -+=，去分母得，2280m m +-=，解得14m =-，12m =，经检验，4,2m m =-=是原方程的解，∴点P 的坐标为()4,2--或()2,4．。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）解：令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和进行比较得到y1＜y2，得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到，由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.3．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

中考真题分类汇编（函数）----反比例函数一、选择题1. （2021•怀化市）如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，AE ⊥BC 于E 点，交BD 于M 点，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过线段DC 的中点N ，若BD ＝4，则ME 的长为（ ）A ．ME ＝B ．ME ＝C ．ME ＝1D ．ME ＝2. （2021•宿迁市）已知双曲线k y (0)k x =<过点(3，1y )、(1，2 y )、(-2，3y )，则下列结论正确的是（ ）A. 312y y y ＞＞B. 321y y y ＞＞C. 213y y y ＞＞D. 231y y y ＞＞ 3.（江苏省扬州）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCD k k S -=；③()21212DCP k k S k -=，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ① 4．（2021•山西）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A.图象位于第一、第三象限 B.图象必经过点（4，32）C.图象不可能与坐标轴相交D. y 随 x 的增大而减小5. （2021•湖北省宜昌市）某气球内充满了一定质量m 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的反比例函数：p ＝，能够反映两个变量p 和V 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.（2021•四川省达州市）在反比例函数y ＝（k 为常数）上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），若x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 17. （2021•四川省乐山市）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A. 35-B. 3或32C. 35+或35-D. 38. （2021•天津市）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x =-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A. 123y y y <<B. 231y y y <<C. 132y y y <<D. 312y y y << 9. （2021•浙江省嘉兴市）已知三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）在反比例函数y ＝的图象上，其中x 1＜x 2＜0＜x 3，下列结论中正确的是（ ）A ．y 2＜y 1＜0＜y 3B ．y 1＜y 2＜0＜y 3C ．y 3＜0＜y 2＜y 1D ．y 3＜0＜y 1＜y 210、（2021•浙江省温州市）如图，点A ，B 在反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0），AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结AE ．若OE ＝1，OC ＝，AC ＝AE ，则k 的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．211. （2021•湖北省荆门市）在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ﹣k 与y ＝（k ≠0）的大致图象是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12. （2021•湖北省十堰市）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点(2,1)A ，过A 作AB y ⊥轴于点B ，连OA ，直线CD OA ⊥，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B '恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）551- B. 52 C. 73 551+ 13. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOF S =，则k 的值为（ ）A. 73B. 214C. 7D. 21214. （2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，△AEF 的面积为1，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．315. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AD y ⊥轴，垂足为E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴正半轴上，反比例函数(0k y k x=≠,0)x >的图象同时经过顶点C D 、．若点C 的横坐标为5，2BE DE =，则k 的值为（ ）A. 403B. 52C. 54D. 20316. （2021•贵州省贵阳市）已知反比例函数y ＝（k ≠0）的图象与正比例函数y ＝ax （a≠0）的图象相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（1，2），则点B 的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（2，1）17. （2021•江苏省无锡市）8．一次函数y ＝x +n 的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝（m ＞0）的图象交于点A （1，m ），且△AOB 的面积为1，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418 . (2021•内蒙古包头市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（4，2），反比例函数2(0)y x x=>的图象与BC 交于点D ，与对角线OB 交于点E ，与AB 交于点F ，连接OD ，DE ，EF ，DF ．下列结论：①sin cos DOC BOC ∠=∠；②OE BE =；③DOE BEF S S =△△；④:2:3OD DF =．其中正确的结论有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二．填空题 1. （2021•甘肃省定西市）若点A （﹣3，y 1），B （﹣4，y 2）在反比例函数y ＝的图象上，则y 1 y 2．（填“＞”或“＜”或“＝”）2. （2021•湖北省武汉市）已知点A （a ，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y ＝（m 是常数）的图象上，且y 1＜y 2，则a 的取值范围是 ．3. （2021•株洲市）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数k y x =图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________．4.（2021•江苏省南京市）如图，正比例函数y kx =与函数6y x=的图像交于A ，B 两点，//BC x 轴，//AC y 轴，则ABC S =________．5. （2021•宿迁市）如图，点A 、B 在反比例函数()k y 0x x=＞的图像上，延长AB 交x 轴于C 点，若△AOC 的面积是12，且点B 是AC 的中点，则k =__________．6. （2021•四川省广元市）如图，点()2,2A -在反比例函数k y x=的图象上，点M 在x 轴的正半轴上，点N 在y 轴的负半轴上，且5OM ON ==．点(),P x y 是线段MN 上一动点，过点A 和P 分别作x 轴的垂线，垂足为点D 和E ，连接OA 、OP ．当OAD OPE SS <时，x的取值范围是________．7. （2021•浙江省绍兴市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，C 在第一象限，顶点D 的坐标（，2），反比例函数y ＝（常数k ＞0，x ＞0）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是 5或22.5 ．8. （2021•湖北省荆门市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB ＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y ＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．9.2021•北京市）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．10.（2021•福建省）若反比例函数y＝的图象过点（1，1），则k的值等于．11.（2021•广西玉林市）如图，ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边//BC x轴双曲线kyx=过A，B两点，过点C作//CD y轴交双曲线于点D，若8BCDS=△，则k的值是______．12. （2021•山东省威海市）已知点A 为直线2y x =-上一点，过点A 作//AB x 轴，交双曲线4y x =于点B ．若点A 与点B 关于y 轴对称，则点A 的坐标为_____________． 13. （2021•呼和浩特市）正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的图象交于A ，B 两点，若A 点坐标为(3,23)-，则12k k +=__________．14. （2021•齐齐哈尔市）如图，点A 是反比例函数1(0)k y x x =<图象上一点，AC x ⊥轴于点C 且与反比例函数2(0)k y x x=<的图象交于点B ，3AB BC = ，连接OA ，OB ，若OAB 的面积为6，则12k k +=_________．15. （2021•贵州省铜仁市）如图，矩形ABOC 的顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，矩形ABOC 的面积为3，则k =______________；16. （2021•浙江省衢州卷） 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A 与原点O 重合，AB 在x 轴正半轴上，且43AB =E 在AD 上，14DE AD =，将这副三角板整体向右平移_______个单位，C ，E 两点同时落在反比例函数k y x=的图象上．17. （2021•绥化市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在(0,0)k y k x x=≠<的双曲线上．点O E 、的对应点分别是点C A 、．若点A 为OE 的中点，且1AEF S =△，则k 的值为____．18.（2021•深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标(2,3)，直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为________．三、解答题1. （2021•湖北省黄冈市）如图，反比例函数k y x =的图象与一次函数y ＝mx +n 的图象相交于A （a ，﹣1），B （﹣1，3）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点N （t ，0）是x 轴正半轴上的一个动点的图象于点M ，连接CN 四边形COMN ＞3，求t 的取值范围．2. （2021•湖南省常德市）如图，在Rt AOB 中，AO BO ⊥．AB y ⊥轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(),3n ，反比例函数11k y x=的图象的一支过A 点，反比例函数22k y x =的图象的一支过B 点，过A 作AH x ⊥轴于H ，若AOH △的面积为32．（1）求n 的值；（2）求反比例函数2y 的解析式．3. （2021•岳阳市） 如图，已知反比例函数()0k y k x=≠与正比例函数2y x =的图象交于()1,A m ，B 两点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）若点C 在x 轴上，且BOC 的面积为3，求点C 的坐标．4. （2021•株洲市）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0k y k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值．5. （2021•江西省）如图，正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，a ）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点C 坐标为（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）求AB所在直线的解析式．6.（2021•山东省聊城市）如图，过C点的直线y＝﹣12x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝kx（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标；（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣12x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．7.（2021•山东省泰安市）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M 的坐标．8. （2021•湖北省随州市）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2m y x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积．（1）22y x =，13y x =-+；（2）39. （2021•山东省菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，点P 的坐标为 （，0） ．10. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x +的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象相交于点A （a ，3），与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当△ABD 是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．11. （2021•广东省）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+>的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数4y x=图象的一个交点为()1,P m ．（1）求m 的值；（2）若2PA AB =，求k 的值．12. （2021•四川省广元市）如图，直线2y kx =+与双曲线 1.5y x=相交于点A 、B ，已知点A 的横坐标为1，（1）求直线2y kx =+的解析式及点B 的坐标；（2）以线段AB 为斜边在直线AB 的上方作等腰直角三角形ABC ．求经过点C 的双曲线的解析式．13. （2021•四川省乐山市） 如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，交反比例函数(0)k y k x=≠的图象于P 、Q 两点．若2AB BP =，且AOB 的面积为4（1）求k 的值；（2）当点P 的横坐标为1-时，求POQ △的面积．14. （2021•四川省凉山州）如图，AOB 中，90∠=︒ABO ，边OB 在x 轴上，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过斜边OA 的中点M ，与AB 相交于点N ，912,2AOB S AN ==．（1）求k 的值；（2）求直线MN 的解析式．15. （2021•四川省南充市）如图，反比例函数的图象与过点A （0，﹣1），B （4，1）的直线交于点B 和C ．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）已知点D （﹣1，0），直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E ，直接写出点E 的坐标，并求△BCE 的面积．16. （2021•遂宁市）如图，一次函数1y ＝kx ＋ b （k ≠0）与反比例函数2m y x=（m ≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标；（3）将直线1y 向下平移2个单位后得到直线y 3，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．17.（2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．（1）求k；（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．18.（2021•浙江省湖州市）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数1yx=(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数kyx=(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO 是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数kyx(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．19.（2021•山东省济宁市）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．。

反比例函数 一、选择1．（2009年泸州）已知反比例函数xky =的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 2.（2009年宁波市）反比例函数ky x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．（2009河池）如图5，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >4．（2009年娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )【关键词】反比例函数 5．（2009年娄底）一次函数y =kx +b 与反比例函数y =kx 的图象如图5所示，则下列说法正确的是 （ ） A ．它们的函数值y 随着x 的增大而增大 B ．它们的函数值y 随着x 的增大而减小 C ．k ＜0D ．它们的自变量x 的取值为全体实数O BxyC A 图56．（2009丽水市）如图，点P 在反比例函数1y x =(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '.则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是A ．)0(5>-=x xy B.)0(5>=x x y C. )0(6>-=x x y D. )0(6>=x x y7．（2009恩施市）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）8．（2009年广西南宁）在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【关键词】反比例函数9．(2009年鄂州)如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2B 、m-2C 、mD 、4P210 5 O x y 2 10 5O x y 2 10 10O x y2 10 10O x y yx 1222 A ． B ． C ． D ．【关键词】一次函数与反比例函数的综合应用10．（2009泰安）如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。

2024年四川中考数学真题分类汇编——反比例函数一成都如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．（1）求a ，b ，m 的值；（2）若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；（3）过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数m y x=（m 为常数，0m ≠）的图象交于点()2,3A ，(),2B a -．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点C 是x 轴正半轴上的一点．且90BCA ∠=︒．求点C 的坐标．如图，一次函数22y x =-+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点()1,A m -．（1）求m 的值和反比例函数k y x=的解析式；（2）将直线22y x =-+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)k y x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集．如图，一次函数y ax b =+（a ，b 为常数，0a ≠）的图象与反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象交于(2,4)A ，(,2)B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）直线AB 与x 轴交于点C ，点(,0)P m 是x 轴上的点，若PAC △的面积大于12，请直接写出m 的取值范围．如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+的图象相交于点()3,A a -，3,22B a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭两点，O 为坐标原点，连接OA ，OB ．（1）求1k y x=与2y mx n =+的解析式；（2）当12y y >时，请结合图象直接写出自变量x 的取值范围；（3）求AOB 的面积．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．（1）求、的值和一次函数的表达式；（2）连结，求点到线段的距离．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与x 轴相交于点()2,0A -，与反比例函数a y x=的图象相交于点()2,3B ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线()2x m m =>与反比例函数()0a y x x =>和()20y x x=->的图象分别交于点C ，D ，且2OBC OCD S S =△△，求点C 的坐标．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．如图，直线y kx b =+经过(0,2),(1,0)A B --两点，与双曲线(0)my x x =<交于点(,2)C a ．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，点P 在x 轴上，若以O ，A ，P 为顶点的三角形与BCD △相似，直接写出点P 的坐标．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()2,3-，点B 的坐标为()3,n （1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式k ax b x+<的解集十一遂宁如图，一次函数()10y kx b k =+≠的图象与反比例函数()20m y m x=≠的图象相交于()()1,3,1A B n -，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作直线OB ，交反比例函数图象于点C ，连结AC ，求ABC 的面积．十二宜宾如图，一次函数．()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()()1,4,1A B n -、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集；（3）已知点D 在x 轴上，点C 在反比例函数图象上．若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标．十三自贡如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于(6,1)A -，(1,)B n两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）P 是直线2x =-上的一个动点，PAB 的面积为21，求点P 坐标；（3）点Q 在反比例函数m y x =位于第四象限的图象上，QAB 的面积为21，请直接写出Q 点坐标．十四凉山如图，正比例函数112y x =与反比例函数()20k y x x =>的图象交于点()2A m ，．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线112y x =向上平移3个单位长度与()20k y x x =>的图象交于点B ，连接,AB OB ，求AOB 的面积．。

专题09 反比例函数一．选择题1．（2022·湖北宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）D ．a b ≤2．（2021·贵州黔西）对于反比例函数y ＝﹣5x，下列说法错误的是（ ）A ．图象经过点（1，﹣5）B ．图象位于第二、第四象限C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大3．（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y =1x的图象，点A (x ，y )是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324．（2022·湖北武汉）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．120y y +<B ．120y y +>C ．12y y <D ．12y y >5．（2022·江苏扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（2022·天津）若点()()()123,2,,1,,4A x B x C x -都在反比例函数8y x=的图像上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<7．（2022·湖南衡阳）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·云南）反比例函数y =6x的图象分别位于（ ）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限 9．（2022·湖南怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．（2022·山东滨州）在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与ky x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·江苏宿迁）如图，点A 在反比例函数()20=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．412．（2022·湖南娄底）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的是（ ） ①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB 成等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③13．（2022·四川德阳）一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题14. （2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）15．（2022·湖南株洲）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．16．（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，tan 3ABO ∠=，以AB 为边向上作正方形ABCD ．若图像经过点C 的反比例函数的解析式是1y x=，则图像经过点D 的反比例函数的解析式是______．17．（2022·陕西）已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 18．（2022·浙江宁波）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D 都在函数0)y x =>的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为EFOE的值为___________，点F 的坐标为___________．19．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x=的图象经过点C ，()0ky k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．20．（2022·江西）已知点A 在反比例函数12(0)y x x=>的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为__________．21．（2022·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，4），将ABO 向右平移到CDE△位置，A 的对应点是C ，O 的对应点是E ，函数(0)ky k x=≠的图象经过点C 和DE 的中点F ，则k 的值是______．22．（2022·浙江舟山）如图，在直角坐标系中，ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数ky x =（0k >，0x >）的图象上，点B 的坐标为(4,3)，AB 与y 轴平行，若AB BC =，则k =_____．23．（2022·四川凉山）如图，点A 在反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB的面积为3，则k ＝_______．24．（2022·山东滨州）若点123(1,)(2,)(3,)A y B y C y --,,都在反比例函数6y x=的图象上，则123,,y y y 的大小关系为_______．25．（2022·四川成都）关于x 的反比例函数2m y x-=的图像位于第二、四象限，则m 的取值范围是________． 26．（2022·新疆）已知点 M （1，2）在反比例函数ky x=的图象上，则 k ＝____． 27．（2022·四川广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在第二象限内，反比例函数ky x=的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是 _____．28．（2022·湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点C ，若AB BC =，则k 的值为______．三．解答题29．（2022·浙江台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y （单位：cm ）是物距（小孔到蜡烛的距离）x （单位：cm ）的反比例函数，当6x =时，2y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)若火焰的像高为3cm ，求小孔到蜡烛的距离．30．（2022·山东泰安）如图，点A 在第一象限，AC x ⊥轴，垂足为C ，OA =1tan 2A =，反比例函数ky x=的图像经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ．(1)求k 值；(2)求OBD 的面积．31．（2022·江苏苏州）如图，一次函数()20y kx k =+≠的图像与反比例函数()0,0my m x x=≠>的图像交于点()2,A n ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点()4,0C -．(1)求k 与m 的值；(2)(),0P a 为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．32．（2022·湖北黄冈）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图像与函数y 2＝m x（x ＞0）的图像交于A （6，－12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．(1)求y 1与y 2的解析式；(2)观察图像，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围； (3)连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 ．33．（2022·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图像与函数ky x=（x ＞0）的图像相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3(1)求k 和b 的值；(2)若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数ky x=（x ＞0）的图像上，并说明理由．34．（2022·湖南常德）如图，已知正比例函数1y x =与反比例函数2y 的图象交于()2,2A ，B 两点．(1)求2y 的解析式并直接写出12y y <时x 的取值范围；(2)以AB 为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．35．（2022·四川泸州）如图，直线32y x b =-+与反比例函数12y x =的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6(1)求b 的值；(2)若点C 是x 轴上一点，且ABC 的面积为3，求点C 的坐标．36．（2022·四川乐山）如图，己知直线1：y =x +4与反比例函数y =kx(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．37．（2022·浙江温州）已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象的一支如图所示，它经过点()3,2-．(1)求这个反比例函数的表达式，补画该函数图象的另一支．(2)求当5y ≤，且0y ≠时自变量x 的取值范围．38．（2022·湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，点A 、B 分别在函数()120y x x=<、()20,0ky x k x=>>的图象上，点C 在第二象限内，AC x ⊥轴于点P ，BC y ⊥轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为－2．(1)求点A 的横坐标；(2)记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．39．（2022·湖南衡阳）如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()3,1A ，()1,B n -两点．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．40．（2022·甘肃武威）如图，B ，C 是反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE 的面积．41．（2022·江西）如图，点(,4)A m 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，2OB =，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且1OD =． (1)点B 的坐标为__________，点D 的坐标为__________，点C 的坐标为__________（用含m 的式子表示）；(2)求k 的值和直线AC 的表达式．42．（2022·浙江杭州）设函数11k y x=，函数22y k x b =+（1k ，2k ，b 是常数，10k ≠，20k ≠）． (1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()1,A m ，点B (3，1)，①求函数1y ，2y 的表达式：②当23x <<时，比较1y 与2y 的大小（直接写出结果）．(2)若点()2,C n 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求n 的值．43．（2022·四川遂宁）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围； (3)若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．44．（2022·浙江宁波）如图，正比例函数23y x =-的图像与反比例函数(0)k y k x=≠的图像都经过点(,2)A a ．(1)求点A 的坐标和反比例函数表达式．(2)若点(,)P m n 在该反比例函数图像上，且它到y 轴距离小于3，请根据图像直接写出n 的取值范围．45．（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y ax b a =+≠的图像与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于P 、Q 两点．点()43P ,-，点Q 的纵坐标为－2．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求POQ △的面积．46．（2022·重庆）已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点()1,A m ，(),2B n -．(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集； (3)若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC 的面积．47．（2022·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．专题09 反比例函数一．选择题1．（2022·湖北宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）D ．a b ≤【答案】A【分析】根据电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x 和y 的变化规律是单调的，即可判断【详解】∵电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系 由表格：5,20I R ==；1,100I R == ∴在第一象限内，I 随R 的增大而减小 ∵204080100<<< ∴51a b >>>故选：A【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减2．（2021·贵州黔西）对于反比例函数y＝﹣5x，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：反比例函数y＝﹣5x，A、当x＝1时，y＝﹣51＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．3．（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y=1x的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（）A．1B．12C．2D．32【答案】B【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是12．【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，⊥A为反比例函数y=1x图象上一点，⊥xy=1，⊥S△ABO=12AB•OB=12xy=12×1=12，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k 的绝对值，等于△AOB 的面积的2倍，数形结合比较直观． 4．（2022·湖北武汉）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．120y y +< B ．120y y +> C ．12y y < D ．12y y >【答案】C【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系． 【详解】解：⊥点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数6y x=的图象时的两点， ⊥11226x y x y ==． ⊥120x x <<，⊥120y y <<．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 5．（2022·江苏扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为ky x=，则令甲()11,x y 、乙()22,x y 、丙()33,x y 、丁()44,x y ，过甲点作y 轴平行线交反比例函数于()11,x y '，过丙点作y 轴平行线交反比例函数于()33,x y '，如图所示：由图可知1133,y y y y ''><， ∴()11,x y '、乙()22,x y 、()33,x y '、丁()44,x y 在反比例函数ky x=图像上， 根据题意可知xy =优秀人数，则①2244x y k x y ==，即乙、丁两所学校优秀人数相同；②1111x y x y k '<=，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③3333x y x y k '>=，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．6．（2022·天津）若点()()()123,2,,1,,4A x B x C x -都在反比例函数8y x=的图像上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．231x x x << C ．132x x x << D ．213x x x <<【答案】B【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出213x x x 、、，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式8y x=，得： 182x =，解得1=4x ； 28-1x =，解得2=-8x ； 384x =，解得3=2x ； ⊥-8<2<4， ⊥231x x x <<，故选： B ．【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．7．（2022·湖南衡阳）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先证明CD AD y ==，过D 点做DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∽△△，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：⊥AB CD ∥，⊥ACD BAC ∠=∠， ⊥AC 平分DAB ∠，⊥BAC CAD ∠=∠，⊥ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形， 过D 点做DE AC ⊥于点E ．则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒， ⊥BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，⊥ABC AED ∽△△，⊥AC AB AD AE=，⊥63x y =，⊥18y x =，⊥在ABC 中，AB AC <，⊥6x <，故选D ．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明ABC AED ∽△△是解本题的关键． 8．（2022·云南）反比例函数y =6x的图象分别位于（ ）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限 【答案】A【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：⊥6＞0，⊥反比例函数y =6x的图象分别位于第一、第三象限．故选：A【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数()0ky k x=≠，当0k >时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大是解题的关键．9．（2022·湖南怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，由S △BCD =112a m m -⋅即可求解.【详解】解：设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，⊥BD ⊥y 轴⊥S △BCD =112a m m-⋅=5，解得：11a =故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．10．（2022·山东滨州）在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与ky x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数1y kx =+可得，该函数图象与y 轴的交点在x 轴上方，排除B 、D 选项，当k ＞0时，函数1y kx =+的图象在第一、二、三象限，函数ky x=-在第二、四象限，故选项A 正确，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022·江苏宿迁）如图，点A 在反比例函数()20=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．4【答案】C【分析】如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMAAHB 证明,AOM BAH ≌ 可得,,OMAH AMBH 设2,,A m m则222,,,,AMm OMMH mBD m mmm可得 22,,B mm m m 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．【详解】解：如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMA AHB 90,MOA MAO,,AOAB AOAB90,MAO BAH,MOABAH,AOM BAH ≌,,OM AH AMBH设2,,A m m则222,,,,AM m OMMH mBD m mmm∴ 22,,B mm m m22222282,OBmm m mmm0,m > 而当0,0a b >>时，则a b +≥2222882228,m m m m⊥2282mm 的最小值是8，⊥OB = 故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“222a b ab +≥的变形公式”是解本题的关键．12．（2022·湖南娄底）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的是（ ） ①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB 成等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大． A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③【答案】D【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ 的解析式，得到A ，B 的坐标可判断②，由P ，Q 的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案． 【详解】解： 点(),1P m 、()1,Q m 的横纵坐标的积为,m ∴ 点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；故①符合题意； 设过点(),1P m 、()1,Q m 的直线为：,y kx b =+1,mk b k b m解得：1,1k b m∴ 直线PQ 为：1,y x m当0x =时，1,y m =+ 当0y =时，1,x m =+ 所以：1,OA OB m90,AOB ∠=︒所以AOB 是等腰直角三角形，故②符合题意； 点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），∴ 点(),1P m 、()1,Q m 在第一象限，且P ，Q 不重合，90,POQ 故③符合题意；,1,1,,P m Q m ，而PQ 在直线1y x m =-++上，如图，显然POQ ∠是随m 的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意； 故选D【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键．13．（2022·四川德阳）一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A 选项可以根据一次函数与y 轴交点判断，其他选项根据图象判断a 的符号，看一次函数和反比例函数判断出a 的符号是否一致；【详解】一次函数与y 轴交点为（0，1），A 选项中一次函数与y 轴交于负半轴，故错误；B 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者一致，故B 选项正确；C 选项中，根据一次函数y 随x 增大而增大可判断a >0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者矛盾，故C 选项错误；D 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过二、四象限，则-a <0，即a >0，两者矛盾，故D 选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．二．填空题14. （2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”） 【答案】＞ 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，∴1y >2y ． 故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．15．（2022·湖南株洲）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．【答案】3【分析】由图得，x 轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即3C C x y ⋅=，又由于点C 在反比例函数图象上，则可求得答案．【详解】解：x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， 632C C x y ∴⋅==， 3C C k x y ∴=⋅=，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k x y =⋅是解题的关键．16．（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，tan 3ABO ∠=，以AB 为边向上作正方形ABCD ．若图像经过点C 的反比例函数的解析式是1y x=，则图像经过点D 的反比例函数的解析式是______．【答案】3y x=-【分析】过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设OB x =，3OA x =，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到ADF ∆≌BAO ∆≌CBE ∆，然后表示出点C 和点D 的坐标，求出212x =，即可求出答案．【详解】解：过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图：∵tan 3OAABO OB∠==， 设OB x =，3OA x =，∴点A 为（3x -，0），点B 为（0，x -）； ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD AB BC ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴ADF DAF DAF BAO ∠+∠=∠+∠， ∴ADF BAO ∠=∠，同理可证：ADF BAO CBE ∠=∠=∠， ∵90AFD BOA CEB ∠=∠=∠=︒， ∴ADF ∆≌BAO ∆≌CBE ∆，∴3OA FD EB x ===，OB FA EC x ===，∴2OE OF x ==，∴点C 的坐标为（x ，2x ），点D 的坐标为（2x -，3x ）， ∵点C 在函数1y x=的函数图像上，∴221x =，即212x =； ∴21236632x x x -=-=-⨯=-，∴经过点D 的反比例函数解析式为3y x =-；故答案为：3y x=-．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C 和点D 的坐标，从而进行解题． 17．（2022·陕西）已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 【答案】y =2x-【分析】根据点A 与点A ′关于y 轴对称，得到A ′(2，m )，由点A ′在正比例函数12y x =的图象上，求得m 的值，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵点A 与点A ′关于y 轴对称，且A (−2，m )， ∴A ′(2，m )，∵点A ′在正比例函数12y x =的图象上， ∴m =12×2，解得：m =1， ∴A (−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y =kx，∵A (−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k =-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y =2x -，故答案为：y =2x-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．18．（2022·浙江宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数0)y x=>的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为EFOE的值为___________，点F的坐标为___________．【答案】12，0）【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b），D（a），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【详解】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b），D（a），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴DI CI OI BI， ∵∠CID =∠BIO ， ∴△CDI ∽△BOI ， ∴∠CDI =∠BOI ， ∴CD ∥OB ，∴S △BOD =S △AOB =12S 矩形AOCB ，∵S △BOE =S △DOG =12|k S 四边形BOGD =S △BOD +S △DOG =S 梯形BEGD +S △BOE ，∴S 梯形BEGD =S △BOD ，∴12 )•（a -b ）， ∴2a 2-3ab -2b 2=0， ∴（a -2b ）•（2a +b ）=0， ∴a =2b ，a =-2b（舍去），∴D （2b ），即：（2b ，在Rt △BOD 中，由勾股定理得， OD 2+BD 2=OB 2，∴[（2b ）2+2]+[（2b -b ）2+2]=b 2+）2，∴b∴B ），D （），∵直线OB 的解析式为：y ，∴直线DF 的解析式为：y -当y =0时，-=0，∴x ，∴F ，0），∵OE OF ，∴EF=OF-OE∴12 EFOE=，故答案为：12，，0）．【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．19．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数1yx=的图象经过点C，()0ky kx=≠的图象经过点B．若OC AC=，则k=________．【答案】3【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=112OCBAS=平行四边形即可．【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，∴CD∥BE，∵四边形ABCO为平行四边形，∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，∴四边形CDEB为平行四边形，∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，OC AB CD EB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ， ∵反比例函数1y x=的图象经过点C ，∴S △OCD =S △CAD =12，∴S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，∴S △OBA =112OCBA S =平行四边形， ∴S △OBE =S △OBA +S △ABE =13122+=， ∴3232k =⨯=． 故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．20．（2022·江西）已知点A 在反比例函数12(0)y x x=>的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为__________．【答案】5或【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：①当AO =AB 时，AB =5；②当AB =BO 时，AB =5；③当OA =OB 时，则OB =5，B （5，0），设A （a ，12a）（a >0），。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。

19：反比例函数的应用一、选择题A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 。

【考点】反比例函数综合题。

【分析】过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，如图，∵双曲线xk =经过点A （2，2），∴k ＝2×2＝4，而点B （4，m ）在4y x=上，∴4•m＝4，解得m=1，即B 点坐标为（4，1）， ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC －S △BOD ＝ 12×2×2＋12×（2＋1）×（4－2）－12×4×1＝3。

故选B 。

2. （江苏泰州3分）某公司计划新建一个容积V(m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系式为)0(≠=h hV S ，这个函数的图象大致是【答案】C 。

【考点】反比例函数的图像和性质。

【分析】因为池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系为反比例函数的一部分，所以根据反比例函数的图像特征，直接得出结果。

故选C 。

3.（江苏徐州2分）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P 是反比例函数1y x=-图象上的一个动点，过点P 作PQ⊥x 轴，垂足为点Q 。

若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与∆OAB 相似，则相应的点P 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个DABC【答案】D。

【考点】相似三角形的判定，反比例函数的图象。

【分析】Rt∆OAB两直角边的比是12，故只要Rt∆OPQ两直角边的比也是12即可。

由1yx=-知x y与异号，从而有111221x xx x==和::::，解之，得2x x=±=，所以相应的点P为22⎛⎛--⎝⎭⎝⎭，，22⎛⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，。

4．（河北省3分）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：①x＜0 时，2yx=②△OPQ的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是A、①②④B、②④⑤C、③④⑤D、②③⑤【答案】B。