快速傅里叶变换实验报告
机械34班 攀 2013010558
一、 基本信号（函数）的FFT 变换
1. 000()sin()sin 2cos36
x t t t t πωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N
∆==0.5Hz 。
最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：
幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。
2) 采样频率08s f f =，截断长度N=32；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N
∆==0.25Hz 。
最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度04T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：
幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。
2. 00()sin()sin116
x t t t πωω=++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N
∆==0.5Hz 。
最高频率c f =110f =11Hz ，s f <2c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。
截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图：
由上图可以看出，并未体现出110f 的成分，说明波形出现混叠失真。
为了消除混叠现象，应加大采样频率， 使之大于等于 22Hz 。
0f 处的幅值误差0A ∆=，110f 处由于出现了混叠现象，幅值误差没有意义；相位误差0ϕ∆=。
2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =32Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==1Hz 。
最高频率c f =110f =11Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度0T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图：
该频谱图体现出了0f 和110f 的成分，说明未失真，且幅值均为1,。
幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。
3. 0()x t t =
1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N
∆==0.5Hz 。
最高频率c f 0f ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
频谱图：
在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：
0()0.9098cos(356.9520)x t t ω≈+︒
故幅值误差0.909610.0904A ∆=-=-，相位误差56.9520ϕ∆=︒。
2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =32Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==1Hz 。
最高频率c f 0f ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
频谱图：
在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：
0()0.9820cos(327.6898)x t t ω≈+︒
则幅值误差A ∆=0.9820-1=-0.0180，相位误差ϕ∆=27.6898︒。
分析：很明显，出现了泄露现象，主要原因是截断时加了矩形窗。
与（1）相比，（2）的窗宽度减小，主瓣变宽，能量更加分散，而其旁瓣却被压低，幅度A 明显减小。
泄漏使能量分布变得分散，使要求的谱线能量降低（幅值减小）。
为减少泄漏的影响，可以选择性能更好的特殊窗（如汉宁窗等）来代替矩形窗进行加窗处理。
0()x t t =
的周期0T ==，而截断长度12T s =，21T s =，非正周期截取，故出现了“栅栏效应”。
信号本身的频率≈3.16 Hz ，但是频谱图中只在整数点有值，所以原本应该在 3 和 4 之间的
3.16左右的谱线峰值出现在了3 处。
与（1）相比，（2）的频率分辨率降低，两峰值间的点数减少，栅栏效应更为明显。
栅栏效应的主要原因
是没有进行整周期截取。
若进行整周期截取，可以消除栅栏效应。
例如
0s f =，N=16得到：
4. 0()x t t =
对信号加窗（ Hanning Window ）：
12()(1cos )2t w t T
π=- 0t T << 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；
频谱图：
此时0()0.4657cos(358.1027)x t t ω≈+︒
则幅值误差0.465710.5343A ∆=-=-，相位误差58.1027ϕ∆=︒
2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；
频谱图：
此时0()0.4914cos(330.4390)x t t ω≈+︒
则幅值误差0.49171-0.5086A ∆=-=，相位误差30.4390ϕ∆=︒ 分析：加窗之后，主瓣变宽，主瓣能量分散，旁瓣的泄漏有改善。
5. 0()sin(0.99)6
x t t πω=+ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==0.5Hz 。
最高频率c f =0.990f =0.99Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度02T T =，而信号周期为0
10.99T ，非整周期截取，会发生栅栏效应。
由于进行了矩形窗加窗处理，所以存在泄露现象。
频谱图：
此时，0() 1.0049cos(-63.4206)x t t ω≈︒
则幅值误差 1.004910.0049A ∆=-=，相位误差-63.4206ϕ∆=︒
2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32;
取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =32Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N
∆==1Hz 。
最高频率c f =0.990f =0.99Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠
现象。
截断长度0T T =，而信号周期为0
10.99T ，非整周期截取，会发生栅栏效应。
由于进行了矩形窗加窗处理，所以存在泄露现象。
频谱图：
此时，0() 1.0034cos(-67.2006)x t t ω≈︒
则幅值误差 1.003410.0034A ∆=-=，相位误差-67.2006ϕ∆=︒
分析：如果将截取长度取为信号周期的整数倍，如令080.99s f f =⨯，则
频谱图如下，有效的避免了栅栏效应。
二、典型信号（函数）的FFT变换
1.对不同信号比的方波进行fft分析
时域、频域图
结论：由于方波的频率为
1
0.16
2π
≈，故fft变换得到的频谱图主要能量
均集中在0.16附近，根据分辨率的不同，误差也不一样。
由上表可以很直观地观察到，随着占空比的改变，频谱图中频率分布的集中程度在发生改变，总体规律为：占空比越远离50%，谱线能量越集中。
2.用伪随机信号模仿白噪声信号进行FFT分析。
结论：白噪声是伪随机信号生成的，具有随机信号的特征，除0Hz外谱线的幅值均为 0。
三、实际信号的频谱分析
电风扇振动信号的分析
1.高转速
matlab程序：
频谱图：
特征频率为14Hz、41Hz、42Hz、48Hz 2.低转速
matlab程序：
频谱图：
特征频率为10Hz、20Hz、30Hz、48Hz
分析：对比高、低速频谱图及特征频率，可知48Hz为高低速均含有的特征频率，与转速无关，可能为电机振动产生的频率。
其余的三个频率：低转速（10Hz、20Hz、30Hz）与高转速（14Hz、41Hz、42Hz、48Hz）可能是风扇其他结构（可能是传动和执行机构）振动产生的频率，这些振动与转速有关，且转速越大，振动频率越大。
四、总结
这次实验让我对FFT有了更深的了解，快速傅里叶变换是信号处理中非常重要的手段，它能够让我们运用计算机快速地看到时域下看不到的信息，从而对系统作进一步的分析。
同时我也进一步熟练了matlab的使用，学会了用matlab实现信号的FFT分析。
特别是在实际信号的FFT处理当中，我认识到了测试与检测技术课程广泛的应用领域，这对我以后对测试这门课的学习有很强的指导意义，收获颇丰。
