含参数的一元二次不等式的分类讨论

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

分类讨论参数，解含参数的二次不等式
在解含参数的一元二次不等式时，需要对参数进行分类讨论。

虽然分类的方法很多，但一般从以下三个方面着手：（1）若二次项的系数含有参数，则不等式的类型未定，需对的符号分类讨论，即a〉0，a=0，a&lt;0;（2）若判别式△=b2-4ac 中含有参数，则不等式所对应的二次函数与x轴的位置未定，须对判别式△的符号分类，即分△〉0，△=0，△&lt;0;（3）若不等式对应方程的根x1，x2中含有参数，则x1，x2大小关系未定，须按x1，x2的大小来分类，即x1〉x2分，x1=x2，x11+a。

②当a=0时，原不等式的解集为x丨x≠1。

③当a1-a。

例2：解关于的不等式：2x2+ax+1>0
分析：由于△=a2-8中含有参数a，△的符号受a影响，所以须a按分类讨论。

即对a与2和-2的大小关系展开分类讨论。

解：①a2时，△>0，方程2x2+ax+1=0当的两根为，x1=，x2=，
所以原不等式的解集为x丨x0：
分析：因为x2的系数含有参数，所以该不等式的类型及不等式为二次时所对应的抛物线的开口方向均未定，需对a与0的关系进行讨论：当a≠0时，原不等式对应的方程为ax2+（1-a）x-1=0，其两根为x1=，x2=1。

因两根中含有参数，其大小关系不能确定，由x2-x1=知，需对a与0、-1的大小关系进行讨论。

解：①当a=0时，原不等式变形为x-1>0，所以不等式的解集为x丨x>1。

②当a>0时，-1;③-11，所以原不等式的解集为x丨x0的解集为Φ。

⑤当a<-1时，0<-<1，所以原不等式的解集为x丨-<x<1。

含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或（其中均为常数，）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根的大小，确定参数讨论的界限，进而解出的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可解出的取值范围.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .2、对应方程（其中均为常数，）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式确定参数讨论的界限，解出的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析：对应方程不能进行因式分解，此时根据判别式确定参数讨论的界限，求出的取值范围.解：原不等式对应方程的判别式为（1）当，时，的两根为或，不等式的解集为 .（2）当，时，的根为，不等式的解集为 .1.当，时, 不等式的解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

含参数二次不等式的“分类讨论”解含参数的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，通常要分类讨论．其步骤是考虑三个方面：①a ，它影响到解集的最后形式；②△，影响到不等式所对应的方程是否有解；③两根x 1，x 2的大小，影响到解集最后的次序．下面举例说明．一、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；方程一定有根例1解不等式06522>+-a ax x ，0≠a 分析此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==，(1)当0a >时，即23a a <，解集为{}a x a x x 23|<>或；(2)当0<a 时，即23a a >，解集为{}|23x x a x a ><或例2解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.由(1+a)-(1﹣a)=2a，得①当a >0时，1+a >1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a 或x≤1-a}.②当a=0时，1+a =1-a，∴原不等式的解集为全体实数R.③当a <0时，1-a >1+a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a 或x≤1+a}.例3解不等式x 2－(a ＋1a )x ＋1＜0(a ≠0)．分析：此不等式可化为(x －a )(x －1a)＜0，故对应的方程必有两解，所以只要讨论两根的大小即可．解：原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，令a ＝1a ，可得a ＝±1．⑴当a ＜1a ，即a ＜－1或0＜a ＜1时，故原不等式的解集为{x |a ＜x ＜1a }．⑵当a ＝1a ，即a ＝－1或a ＝1时，故原不等式的解集为∅．⑶当a ＞1a ，即－1＜a ＜0或a ＞1时，故原不等式的解集为{x |1a＜x ＜a }．二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；方程根的情况不确定例3解不等式042>++ax x 分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

含参不等式讨论（1）一元一次不等式分类讨论1已知关于x 的不等式k(x-2)>x+6，①解这个不等式，②若1不是这个不等式的解，0是这个不等式的解， 求k 的范围课堂练习11关于x 的一元一次不等式2-kx ＞k 的解是x ＞2，求k 的值？2关于x 的一元一次不等式3x -2＜k 的正整数解是1，2，3，则求k 的取值范围？3解关于x 的不等式①k(x-2)＞2x-4 ② (m 2－4)x ＜m ＋2 ③ (m-1)x<n（2）一元二次不等式分类讨论1解关于x 的不等式（1）x 2－2ax －3a 2<0(a <0)． （2）x 2-5ax+6a 2〈0 （3） 2(2)20x a x a -++<.2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.3解关于x 的不等式x －a x －a 2<04解关于x 的不等式x 2+ax+4>05已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.课堂练习21解关于x 的不等式:①x 2-(2a+1)x+a(a+1)<0. ②223()0x a a x a -++>2设a 是任意实数,解关于x 的不等式:(a+3)x 2+2ax+a-3>0.3已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)若对所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．课后练习1关于x 的不等式(2a －b)x+a －5b>0的解集是)710,(-∞，则关于x 的不等式ax>b 的解集是（ ） A ．),53(+∞ B ．)53,(-∞ C ．),53(+∞- D ．)53,(--∞ 2已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为________． 4函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示．（1）方程0)(=x f 的解集是__________________________； （2）不等式0)(<x f 的解集是________________________；（3）不等式0)(>x f 的解集是________________________．5解下列不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<->+<--②①)1)(3(20322m x m x x x6解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．7设a R ∈，函数22()2.f x x ax a =--，若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

我们知道，解一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)，需先令ax 2+bx +c =0(a >0)，并根据方程的判别式判断根的个数，再通过分解因式或利用求根公式求得方程的根，最后根据“同大取大，同小取小，大大小小没有解，大小小大取中间”的口诀求得不等式的解集.由于参数的值无法确定，所以含有参数的一元二次不等式问题通常较为复杂，往往需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类讨论，最重要的是，对含参一元二次不等式对应方程的根（实数根）的大小、判别式与0的大小关系、二次项系数的符号进行分类讨论，这是用分类讨论思想解含参一元二次不等式需注意的几个要点.一、注意讨论方程的根的大小含参一元二次不等式所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根的大小关系随着参数的变化而变化，且对不等式解集的影响较大.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx+c =0(a >0)有两个根，且能够进行因式分解，则需先通过因式分解，求得方程的两个根x 1、x 2，然后运用分类讨论思想，分三种情况x 1>x 2、x 1=x 2、x 1<x 2进行分类讨论.若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}；若x 1=x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{}x |x ≠-b 2a；若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}.例1.解不等式ax 2-()a -1x -1<0()a <0.解：原不等式等价于æèöøx +1a ()x -1>0，则方程æèöøx +1a ()x -1=0的根分别为x 1=-1a ，x 2=1，①当x 1=-1a>x 2=1时，可得-1<a <0,不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；②当x 1=x 2=1时，可得a =-1，不等式的解集为{}|x x ≠-1；③当x 1=-1a<x 2=1时，可得a <-1，不等式的解集为{}|x x >1或x <-1a；综上可知，当-1<a <0时，不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；当a =-1时，不等式的解集为{}|x x ≠-1；当a <-1时，不等式的解集为{|x x >1或}x <-1a.该一元二次不等式中含有参数，且容易分解因式，求得方程的两个根，但无法确定两个根的大小，所以要运用分类讨论思想对两根的大小进行讨论.在进行讨论时，需根据参数a 的取值范围，来确定不等式的解集.二、注意讨论方程的判别式与0的大小关系含参一元二次不等式所对应方程ax 2+bx +c =0(a >0)的判别式能决定方程的根的个数，这就直接影响着一元二次不等式的解集的形式.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)不能进行因式分解，则需先求得方程的判别式Δ＝b 2-4ac ，然后分为三种情况：Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论.一般地，若△>0，则方程有2个相异实根x 1、x 2(x 1<x 2)，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}；若△=0，则方程有1个实数根x 1=x 2，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x ≠x 1}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅；若△<0，则方程没有实根，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为R ，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅.我们可结合函数的y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象来进行讨论，这样能有效提升解题的效率.例2.已知集合A ={}|x x 2+3k 2≥2k ()2x -1，B ={}|x x2-k ()2x -1+k 2≥0，且A ⊆B ，试求k 的取值范围.用分类讨论思想解含参一元二次不等式薛明美42解：由题意可知A ={}|x []x -()3k -1[]x -()k +1≥0，则方程[]x -()3k -1[]x -()k +1=0有两个根x 1=3k-1，x 2=k +1，①当x 1<x 2时，可得k >1，此时集合A ={|x x ≥3k -1或x ≤k +1}，②当x 1=x 2时，可得k =1，此时集合A ={}|x x ∈R ，③当x 1>x 2时，可得k <1，此时集合A ={|x x ≥k +1或x ≤3k -1}，令x 2-k ()2x -1+k 2=0，则Δ=4k 2-4()k 2+k =-4k ，①当Δ<0时，可得k >0，此时集合B ={}|x x ∈R ；②当Δ=0时，可得k =0，此时集合B ={}|x x ∈R ；③当Δ>0时，可得k <0，此时集合B ={|x x ≤k --k 或x ≥k +-k }；当k ≥0时，集合B ={}|x x ∈R ，此时A ⊆B ；当k <0时，集合B ={}|x x ≤k --k 或x ≥k +-k ，要使A ⊆B ，则需使ìíî3k -1≤k --k ，k +1≥k +-k ，解不等式组可得k ≥-1，综上，满足A ⊆B 的k 取值范围为[)-1,0或[)0,+∞.问题中的两个集合都是含参一元二次不等式的解集.由于集合A 中的含参不等式能够进行因式分解，而集合B 中的含参不等式不能进行因式分解，所以需先求得集合B 中的含参不等式所对应方程的判别式，对Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论，分别求得三种情形下不等式的解集，然后建立满足A ⊆B 的新不等式，求得k 取值范围，最后综合所求的结果即可.例3.设不等式x 2-2ax +a +2≤0解集为M ，若M ⊆[]1,4，则实数a 取值范围为____.解：设f ()x =x 2-2ax +a +2，可得Δ=()-2a 2-4()a +2=4()a 2-a -2，①当Δ<0时，可得-1<a <2，M =∅⊆[]1,4；②当Δ=0时，可得a =-1或a =2，当a =-1时，可得M ={}-1⊄[]1,4，不符合题意舍去，当a =2时，可得M ={}2⊆[]1,4，符合题意，③当Δ>0时，可得a <-1或a >2，令f ()x =0的根为x 1，x 2()x 1<x 2，且M ⊆[]x 1,x 2，M ⊆[]1,4，可知1≤x 1＜x 2≤4，可得ìíîïïïïf ()1≥0，f ()4≥0，Δ>0，1<--2a 2<4，解得2<x ≤187，综上可知，实数a 取值范围为æèùû-1,187.该含参一元二次不等式不能进行因式分解，所以需先求得不等式所对应的方程的判别式，分Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论，然后在每种情形下，根据已知的解集列出不等式组，求出参数a 取值范围.三、注意讨论方程二次项系数的符号我们知道不等式与函数的关系紧密，一元二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数决定了抛物线的开口方向，而抛物线的开口方向直接影响着一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0的解集.因此在解含参一元二次不等式要注意讨论二次项系数的符号，当二次项的系数a >0时需按下表分如下几种情况讨论：判别式Δ=b 2-4ac一元二次函数y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集△>0{x |x <x 1或x >x 2}{x |x 1<x <x 2}△=0{}x |||x ≠-b 2a∅△<0R∅43含参函数问题通常较为复杂，尤其在遇到含有多个参数的函数问题时，很多同学不知如何下手.解答含有多个参数的函数问题，关键在于合理处理参数，将问题简化为只含有一个参数或没有参数的函数问题.下面介绍三种解答含有多个参数的函数问题的方法.一、分离变量法当函数问题中出现多个参数时，可通过恒等变形，将其中一个已知取值范围的参数从函数式或不等式中分离出来，将问题转化成只含一个参数或没有参数的函数最值问题来求解.例1.已知当θ∈R 时，不等式a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4恒成立，求实数a 的取值范围.解：由a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4可得4sin θ+cos2θ<5a -4-a +5，要使上式恒成立，只需使5a -4-a +5大于4sin θ+cos2θ的最大值，设f (θ)=4sin θ+cos2θ，化简得f (θ)=-2sin 2θ+4sin θ+1=-2(sin θ-1)2+3≤3，可得5a -4-a +5>3，即5a -4>a -2，上式等价于ìíîïïa -2≥0，5a -4≥0，5a -4>(a -2)2，或{a -2<0，5a -4≥0，解得45≤a <8.该函数不等式中含有两个参数a 及θ，其中θ的取值范围已知，另一参数a 的范围即为所求，故可考虑运用参数分离法，将θ从不等式中分离出来；再将不含有θ的式子构造成关于a 的函数式，利用正弦函数和二次函数的有界性求得函数的最值，即可建立关于a 的新不等式，求得a 的取值范围.例2.设正数f ()x =e 2x 2+1x ,g ()x =e 2x e x ，对任意x 1,x 2∈()0,+∞，不等式g ()x 1k ≤f ()x 2k +1恒成立，求正数k 的取值范围.解：由g ()x 1k ≤f ()x 2k +1可得g ()x 1≤kf ()x 2k +1，所以kf ()x 2k +1≥[]g ()x 1max ，钱桂红。

复习引入：一元一次的分类讨论：2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、含参数的一元二次不等式——分类讨论1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212,,x x x x x x >=<三种情况．2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式∆的正负分类，即分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，结合图像法求解。

3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况．1.2(1)0x a x a -++< 2.22560x ax a -+> 3.223()0x a a x a -++> 4.2(1)0x a x a -++< 5.2(2)20x a x a +--< 6.21()10 x a x a -++< 7.22210 x x a -+-≥1.2210x mx m -++> 2.220x kx k +-≤ 3.240x ax ++> 4.2(2)0x a x a +-+>2560()x ax ax a a R -+>∈解关于的不等式1.2210ax x ++< 2.210.ax ax +-< 3.220ax x a -+<1.21)10ax a x -++<（ 2.21)10ax a x +-->（ 3.22(1)40 mx m x -++< 4.2(32)60 ax a x -++< 5.22(1)40 ax a x -++<综合提高题1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ⊆，求a 的范围2. 集合{}(){}22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ⊆，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ⊆，求a 的范围4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ⊆，求a 的范围含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1.220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2.220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3.210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4.()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围5.2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 6.210ax ax -+>恒成立，求a 范围 7.23208kx kx ++<恒成立，求k 范围 8.22(2)0ax ax a +-+<恒成立，求k 范围 9. 2(3)10mx m x -+-<恒成立，求m 范围10. 2(2)(2)10a x a x -+-+≥恒成立，求a 范围11. 2(2)2(2)-40a x a x -+-<恒成立，求a 范围12. 22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，求a 范围13. 22(1)(1)10t x t x -+-->恒成立，求t 范围14. 22(23)(3)10m m x m x -----<恒成立，求m 范围15. 2(1)1mx m x m x m --+-函数的图像在轴下方，求实数的取值范围。

高中数学：含参数的不等式的分类讨论求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类考试中的重点和难点。

分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。

本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。

一、含参数的一元二次不等式的讨论策略例1 解关于x的不等式。

分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。

需要的话还要对根的大小进行比较。

含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。

解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。

（2）当a>0时，方程，△=4－4a。

①若△>0，即0<a<1< span="">时，方程的两个解为，，。

</a<1<>所以原不等式的解集为。

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。

③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。

④当a<0时，一定有△>0，方程两个解为，，且。

原不等式的解集为。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。

（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。

（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2 解关于x的不等式。

错解：。

当时，解得。

当时，解得。

剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：练 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x练 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122.三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x练 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a四、分式含参不等式；例4 解关于ｘ的不等式)1(12)1(≠>--a x x a 分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.解:原不等式等价于02)2()1(>----x a x a ∵1≠a ∴等价于： ()02121>-⎪⎭⎫ ⎝⎛----x a a x a （*）a>１时，（*）式等价于212----x a a x >0∵11112--=--a a a <１∴x <12--a a 或x >２ a<１时，（*）式等价于212----x a a x <0由２－12--a a ＝1-a a 知： 当0<a<１时，12--a a >２，∴２<x <12--a a ； 当a<0时，12--a a <２，∴12--a a <x <２； 当a ＝0时，当12--a a ＝２，∴x ∈φ 综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（12--a a ，2）；当a ＝0时，原不等式的解集为φ；当0<a<１时，原不等式的解集为（2，12--a a ）；当a>１时，原不等式的解集为（－∞，12--a a ）∪（2，＋∞）。

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分类讨论含参数的一元二次不等式
作者：罗玉华
来源：《读与写·教师版》2018年第05期
摘要：含參数的一元二次不等式的解法是学生学习的一个难点，本文将按解法分类解析含参数的一元二次不等式，以便学生快速掌握参数的一元二次不等式的解法。

关键词；含参数的一元二次不等式；分类讨论；解不等式；参数
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）05-0166-01
在近年高考中，虽然没有出现专门考查含参数的一元二次不等式的题，但是出现很多与导数、圆锥曲线等相结合考查的题目，这是高考中的一个重难点。

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，充分体现了分类讨论的思想，那么如何分类讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：。