勾股定理逆定理及应用
一、基础知识点
知识点1 逆命题与逆定理
1）命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题
2）互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题
3）逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理
例1.指出下列命题的题设和结论，写出其逆命题，并判断逆命题是否为真命题。
（1）两直线平行，同位角相等；（2）等边对等角；
（3）如果ab=0，那么a=0且b=0；（4）如果a2=b2，那么a=b；
（5）轴对称图形是等腰三角形。
知识点2 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形
例1.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC是() A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形知识点3 勾股数
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；
注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。
二、典型题型
题型1 勾股定理逆定理的实际应用
例1.某住在小区有一块草坪如图，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，求这块草坪的面积。
题型2 利用勾股定理逆定理证垂直
例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4√5，CD=8.
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积。
题型3 运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
例1. 判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形。
题型4 网络作图
例1.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D
中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 三、难点题型勾股定理的综合
例1.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面积。
四、课堂练习
1、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
2. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为AD 上的一点，且AN=AD ，试猜测△CMN 是什么三角形，请证明你的结论．
勾股定理逆定理及应用作业
一、选择题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6
B ．2，3，4
C
，4 D ．1
2．三角形的三边长a ，b ，c 满足关系式（a+2b ﹣60）2+|b ﹣
，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
3．下列是勾股数的有
( )
c b a ,,c h 222,,c b a c b a ,,h b a h c ,,++h
b a 1
,1,
1
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；
④ 13、14、15；71017
、、⑥ 11 、60 、61
A．6组B．5组C．4组D．3组
4．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C
恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）
A．
10
B
．
10
C．
10
D．5
5．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm, BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，
则四边形ABCD的面积为（）
A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．72cm2
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
7．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、
BC边上均速移动，它们的速度分别为V
p
=2cm/s，V
Q
=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发
沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，
（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（本题可根据需要，自己画图并解答）
