大连理工大学线性代数试卷

姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数与解析几何 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月16日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题4分，共40分）填空题1.已知222222222222kk k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A , 则3(6)(2)k k =+-A . 2. 设1300250000200003--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 则1530021001000210003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 订 3. 设123,,a a a 是一线性无关的向量组，若向量组122313,,k k -++a a a a a a 线性相关， 则k 需满足条件1-1k =或4. 矩阵111022021113-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的行最简形为1-10000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 已知25141001k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 有三个线性无关的特征向量，则=1k 线6. 设1231233,2223p k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b ，方程组=Ax b 无解，则,p k 应满足关系2k p =7. 过点0(1,2,3)P ，且垂直于直线4010x y z y z +++=⎧⎨--=⎩的平面的一般式方程为230x y z -++-=8. 已知二次型10()9000T k f k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x 为正定二次型，则k 需满足条件03k <<9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，设22a i j k =+- ，b i j =+，则a 与b 的夹角为π410. 设[]1234,,,=A a a a a ，123,,a a a 线性无关，且412323=++a a a a ， 则齐次线性方程组=Ax 0的通解为[]1,2,3,1Tk -得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题1.方阵A 是降秩矩阵的充要条件是（ D ）（A ）()()r r <AB B （B ）方程组=Ax b 有无穷多个解 （C ）存在非零矩阵B ，使得≠AB O （D ）存在非零矩阵B ，使得=AB O 2.设,A B 都是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且,,≠≠+=+A E B E AB E A B ， 则必有（ A ）（A ） 0,0-=-=A E B E （B ） 0,0-=-≠A E B E （C ） 0,0-≠-≠A E B E （D ） 0,0-≠-=A E B E 3.设矩阵,,A B P 都是n 阶方阵，若=B AP ，且P 可逆，则（ B ） （A ）矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （B ）矩阵A 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （C ）矩阵P 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵P 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价4.已知123,,ηηη是齐次线性方程组=Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选用（ C ）（A ）122331,,ηηηηηη--- （B ）与123,,ηηη等秩的向量组 （C ）122331,,ηηηηηη+++ （D ）与123,,ηηη等价的向量组5.设对称矩阵111111111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，200000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则A 与B （ B ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似（C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似得 分 三、（8分）已知210120,2,001**⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ABA BA E 求.B解：由2**=+ABA BA E ，得(2),(2)*-=-=A E BA E A E B A A11(2)3-=-B A E A10100102100,(2)100001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A E A E12012103001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦B 得 分 四、（8分）求向量组[][][]1231,1,0,1,3,2,2,4,2,1,2,3,TTT===a a a[]41,0,2,1T=--a 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

大连理工大学硕士生入学考试数学分析试题解答一.从以下8题中选答6题1.证 利用极限的定义,和已知连续的定义来证明因为()[,)f x C a ∈+∞,且存在lim ()x f x A →+∞=,所以根据极限的定义, 0ε∀>,0G ∃>,当x G ∀>,|()|2f x A ε-<,即12,[,)x x G ∀∈+∞,有12|()()|f x f x ε-<又因为当[,1]x a G ∈+时,函数连续,所以在该闭区间一致连续,所以对0ε∀>,01δ∃<<,所以对于1212,[,1],||x x a G x x δ∀∈+-<,都有12|()()|f x f x ε-< 综上所述,知对于整个区间,函数都是一致连续的.█2.证 利用定义和反证法证明,其实第一小题直接利用闭区间连续函数一致连续的定理就可以了1()f x x=,[,1]x δ∈对于0ε∀>,20γδε∃<<,对于1212,[,1],||x x x x δγ∀∈-<的时候, 121221212||11|()()|||x x f x f x x x x x γεδ--=-=<=.从而可见,在闭区间一致收敛.1()f x x=,(0,1]x ∈,反证法:1ε∃=,0δ∀>,对1x δ∃=,2112x δ=+,此时12||x x δ-<, 121211|()()|||2f x f x x x ε-=-=>.由此可见对于此区间函数并非一致收敛. █3.解 不断利用积分判别法和p-级数以及比较收敛法则来讨论（1）当1α>，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑小于一个1p α=>的p-级数，根据比较收敛法则，知该级数收敛.（2） 当1α<，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑大于一个1p α=<的p-级数，该级数发散.（3）当1α=时，根据积分判别法，考虑如下的积分：ln ln (ln )(ln ln )(ln )(ln ln )ln N N N dn d n dnn n n n n n n βγβγβγ+∞+∞+∞==⎰⎰⎰的敛散性,相当于考虑11(ln )n n n βγ∞=∑的敛散性,根据上面的讨论: [1] 1β>该级数收敛. [2] 1β<该级数发散.[3] 1β=,根据上面的讨论,相当于讨论11n nγ∞=∑的敛散性:<1>1γ>该级数收敛. <2>1γ<该级数发散.<3>1γ=该级数发散.█4.证 利用级数收敛和极限的定义以及放缩法来证明,利用p-级数举反例 如果级数1i i x ∞=∑收敛,那么根据定义和Cauchy 收敛法则,取1ε=,N ∃,n N ∀>,1nx<.由于是正项级数,那么2ii i Ni Nxx ∞∞==<∑∑根据比较收敛法则,知命题成立,级数收敛但是,反过来命题不成立,例如211i i n x ∞∞===∑收敛,但是11i i n x ∞∞===∑.█5.证 利用极限的定义证明对于0ε∀>,11[]1δε∃=+,||x δ∀<,即111x N N <<+,其中1||[]N ε>, 此时111|[]1|min{,}1x x N N ε-<=+,从而可知命题成立.█6.证 利用极限的定义证明:对于任意的点0[0,1]x ∈,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,必0δ∃>,当00(,)x x x δδ∀∈-+,111{1,1,,,...,,}22x N N 1∀∉---,那么1||1x N ε≤<+,从而命题成立.█7.证 利用定义证明一致收敛首先,显然函数在整个实数域收敛于0,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,对于n N ∀>,根据基本不等式有:221||||1x x n x nx nε≤=<+,所以,可见命题成立.█8.证 首先如上讨论,知函数序列收敛于0,然后,考虑如下的序列: 111()0112n S n==≠+,利用定理(参见陈纪修老师的《数学分析》)或者反证法,可以得到非一致收敛的结论.█ 一. 以下6题选答4题 9.证 利用反证法如果,所有的点,函数的一阶导数都是0,那么命题得证否则,必然存在某个点,在该点函数的一阶导数不等于0,不妨设为0'()0f x A =>根据题目的已知条件"()0f x ≥,可见,函数的导函数连续而且单调递增,即'()f x A ≥,0x x ∀>.所以, 0x x ∀>,00()()()f x f x A x x -≥-,这显然和题目中的函数上有界矛盾 反之,如果,该点的导数小于0,只需考虑下界即可推出矛盾 综上所述,知函数必为常值函数.命题得证.█10.证 同样利用反证法和极限的定义来证明lim ()x f x A →∞=相当于对于0ε∀>,N ∃,x N ∀>,|()|f x A ε-<假设,存在一个点,0()f x A A δ=+≠,只需取||2δε=,当m 足够大的时候,02m x N >,00(2)()mf x f x =.但是0|(2)|mf x A ε->和题目假设的有所矛盾,从而知命题成立.█11.证 利用定义证明由于积分绝对收敛,不妨假设|()|af x dx M +∞=⎰函数一致连续即对0ε∀>,A ∃,使||()||Aaf x dx M ε-<⎰,uεδ∃=,对12||x x δ∀-<,12|()sin ()sin |AAaaf x ux dx f x ux dx -⎰⎰1212()()2|()cos sin |22A au x x u x x f x dx +-=⎰12()2|()|sin2Aau x x f x dx -<⎰|()|A a A f x dx M δε<<⎰ (1)12|()sin ()sin |2AAf x ux dx f x ux dx ε+∞+∞-≤⎰⎰(2)综合(1)(2)得到12|()sin ()sin |(2)aaf x ux dx f x ux dx M ε+∞+∞-<+⎰⎰由于ε的任意性,知命题成立.█12.证 由于没有函数连续的条件, 所以01[()]'()xf t dt f x x=⎰不一定成立,所以不可以用L ’Hospital 法则，所以还是要回到定义证明由于lim ()x f x λ→∞=，所以根据定义0ε∀>,A ∃,x A ∀>,|()|f x λε-<()()()()()()1()AAxf x dx x A f x dx x A f t dt xx xλελε+--++-<<⎰⎰⎰,由于ε的任意性和夹逼定理,不难证明,命题成立.█13.证 和上一题类似，要利用L ’Hospital 法则的推导过程 01lim()x x f t dt x λ→+∞=⎰即0ε∀>,A ∃,x A ∀>,01|()|xf t dt xλε-<⎰不妨设21x x A ∀>>, 1110()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰2121112120()()()()()()()x x x x f x f t dt x x x f x λελε-+-<<++-⎰ （1）2220()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰（2） 联立(1,2)2121112122()()()()()()()()x x x x f x x x x f x x λελελελε-<-+-≤++-<+12()()f x f x λελε⇒-<≤<+由于ε的任意性不难得到命题成立.█14.解 利用Gauss 定理和换元法来解决问题2222()SVI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰换元：cos sin ,[0,2),[,]x a r y b r r m R R z c m θθθπ=+⎧⎪=+∈∈∈-⎨⎪=+⎩20202232(cos sin )(cos sin )2))()()38()6VRR RR R R RRI a b c m r r rdrd dma b c m r r rd drdm a b c m rdrdm a b c m dr dm a b c m R m dmR a b c R πθθθθθθππππ----=+++++=+++++=+++=+++=+++-+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰█由于时间仓促,没有输入题目,请原谅!。

软1414 叶秀云201492015 上机报告上机作业一Trial>> A=round(5*rand(5))B=round(5*rand(5))C=round(5*rand(5))b=round(5*rand(5,1))A+BA-BA*B+B*Ainv(A)*binv(A)rank(A)det(B)inv(B)rank(B)inv(A*B)rank(A*B)(B')*(A')inv(A*B)inv(B)*inv(A)inv(A)*C*inv(B)A =4 0 1 1 35 1 5 2 01 3 5 5 45 5 2 4 53 545 3B =4 4 4 2 24 0 3 2 22 1 2 4 33 0 54 41 0 0 1 4C =1 2 4 5 43 5 1 3 13 2 3 1 41 3 3 1 11 1 4 1 5b =21132ans =8 4 5 3 59 1 8 4 23 4 7 9 78 5 7 8 94 5 4 6 7 ans =0 -4 -3 -1 11 12 0 -2-1 2 3 1 12 5 -3 0 12 5 4 4 -1 ans =80 53 79 69 7175 54 74 77 7589 51 85 97 102110 77 111 113 12379 41 79 80 80ans =0.4754-0.3197-0.59840.9672-0.0902ans =0.3197 -0.0164 -0.2541 -0.2049 0.3607-0.8443 0.2869 0.1967 0.8361 -0.8115 -0.7213 0.4344 0.4836 0.6803 -1.05741.4262 -0.6885 -0.6721 -1.60662.1475-0.3279 0.1066 0.4016 0.5820 -0.8443 ans =5ans =418.0000ans =-0.0144 0.4354 0.0574 -0.2727 0.01910.2321 -0.2057 0.0718 -0.0909 0.02390.0718 -0.1770 -0.2871 0.3636 -0.0957-0.1100 0.0048 0.4402 -0.0909 -0.18660.0311 -0.1100 -0.1244 0.0909 0.2919 ans =5ans =-0.8088 0.3399 0.3081 0.8553 -1.02110.0586 0.0335 0.0060 -0.0108 -0.04070.9295 -0.4372 -0.4747 -0.9979 1.3348-0.4252 0.2371 0.2279 0.3635 -0.54670.2265 -0.1176 -0.0336 -0.1592 0.1809 ans =5ans =24 40 45 61 5817 25 9 22 1623 43 48 59 6019 40 52 49 5527 35 59 62 60ans =-0.8088 0.3399 0.3081 0.8553 -1.02110.0586 0.0335 0.0060 -0.0108 -0.04070.9295 -0.4372 -0.4747 -0.9979 1.3348-0.4252 0.2371 0.2279 0.3635 -0.54670.2265 -0.1176 -0.0336 -0.1592 0.1809 ans =-0.8088 0.3399 0.3081 0.8553 -1.02110.0586 0.0335 0.0060 -0.0108 -0.04070.9295 -0.4372 -0.4747 -0.9979 1.3348-0.4252 0.2371 0.2279 0.3635 -0.54670.2265 -0.1176 -0.0336 -0.1592 0.1809 ans =-0.0497 -0.5353 -0.0060 0.6289 0.12910.3583 1.0632 0.4029 -1.7332 -0.66080.4518 1.2872 0.8731 -2.1207 -0.6844-0.7394 -2.4091 -1.6491 4.0507 1.62510.2658 0.7208 0.5187 -1.1788 -0.5129 Trial>>上机作业二Trial>> A=rand(4)B=rand(4)C=rand(4)D=rand(4)Z=[A,B;C,D]det(Z)det(A*D-C*B)A=diag([rand rand rand rand])C=diag([rand rand rand rand])Z=[A,B;C,D]det(Z)det(A*D-C*B)A =0.9027 0.3377 0.7803 0.09650.9448 0.9001 0.3897 0.13200.4909 0.3692 0.2417 0.94210.4893 0.1112 0.4039 0.9561B =0.5752 0.8212 0.6491 0.54700.0598 0.0154 0.7317 0.29630.2348 0.0430 0.6477 0.74470.3532 0.1690 0.4509 0.1890C =0.6868 0.7802 0.4868 0.50850.1835 0.0811 0.4359 0.51080.3685 0.9294 0.4468 0.81760.6256 0.7757 0.3063 0.7948D =0.6443 0.3507 0.6225 0.47090.3786 0.9390 0.5870 0.23050.8116 0.8759 0.2077 0.84430.5328 0.5502 0.3012 0.1948Z =0.9027 0.3377 0.7803 0.0965 0.5752 0.8212 0.6491 0.54700.9448 0.9001 0.3897 0.1320 0.0598 0.0154 0.7317 0.29630.4909 0.3692 0.2417 0.9421 0.2348 0.0430 0.6477 0.74470.4893 0.1112 0.4039 0.9561 0.3532 0.1690 0.4509 0.18900.6868 0.7802 0.4868 0.5085 0.6443 0.3507 0.6225 0.47090.1835 0.0811 0.4359 0.5108 0.3786 0.9390 0.5870 0.23050.3685 0.9294 0.4468 0.8176 0.8116 0.8759 0.2077 0.84430.6256 0.7757 0.3063 0.7948 0.5328 0.5502 0.3012 0.1948 ans =-0.0232ans =0.0161A =0.2259 0 0 00 0.1707 0 00 0 0.2277 00 0 0 0.4357C =0.3111 0 0 00 0.9234 0 00 0 0.4302 00 0 0 0.1848Z =0.2259 0 0 0 0.5752 0.8212 0.6491 0.54700 0.1707 0 0 0.0598 0.0154 0.7317 0.29630 0 0.2277 0 0.2348 0.0430 0.6477 0.74470 0 0 0.4357 0.3532 0.1690 0.4509 0.18900.3111 0 0 0 0.6443 0.3507 0.6225 0.47090 0.9234 0 0 0.3786 0.9390 0.5870 0.23050 0 0.4302 0 0.8116 0.8759 0.2077 0.84430 0 0 0.1848 0.5328 0.5502 0.3012 0.1948 ans =7.3868e-04ans =7.3868e-04Trial>>上机作业三N=201492015;a=15;b=49;c=01;d=41;e=21;f=95;g=45;Trial>> h=90;Trial>> A=[a,b,c,d,3,4;1,2,3,4,4,3;12,15,22,17,5,7;e,f,g,h,8,0]; Trial>> B=rref(A)B =1.0000 0 0 0 0.4130 0.95680 1.0000 0 0 -1.7984 -1.49040 0 1.0000 0 -0.3796 -0.37590 0 0 1.0000 2.0806 1.5380N=201492015;a=15;b=49;c=01;d=41;e=21;f=95;g=45;Trial>> h=90;Trial>> A=[a,b,c,d,3,4;1,2,3,4,4,3;12,15,22,17,5,7;e,f,g,h,8,0]; Trial>> B=rref(A)B =1.0000 0 0 0 0.4130 0.95680 1.0000 0 0 -1.7984 -1.49040 0 1.0000 0 -0.3796 -0.37590 0 0 1.0000 2.0806 1.5380上机作业四Trial>> b1=[1,1.9,f,c];Trial>> b2=[1,1.8,f,c];Trial>> A1=[a,b,c,d;0.5,1,1.5,2;12,15,22,17;e,f,g,h];Trial>> A2=[a,b,c,d;0.3,0.6,0.9,1.2;12,15,22,17;e,f,g,h];Trial>> A3=[a,b,c,d;0.1,0.2,0.3,0.4;12,15,22,17;e,f,g,h];Trial>> A4=[a,b,c,d;0.05,0.1,0.15,0.2;12,15,22,17;e,f,g,h];Trial>> x1=A1/b1 x1 =0.02700.01630.23780.5057 Trial>> x2=A2/b1 x2 =0.02700.00980.23780.5057 Trial>> x3=A4/b1 x3 =0.02700.00160.23780.5057 Trial>> x4=A4/b1 x4 =0.02700.00160.23780.5057 Trial>> x5=A1/b2 x5 =0.02650.01630.23760.5046Trial>> x6=A2/b2x6 =0.02650.00980.23760.5046Trial>> x7=A3/b2x7 =0.02650.00330.23760.5046Trial>> x8=A4/b2x8 =0.02650.00160.23760.5046Trial>>上机作业五a1=rand(5,1)a2=rand(5,1)a3=rand(5,1)a4=rand(5,1)a5=rand(5,1)A=[a1,a2,a3,a4,a5]orth(A)a1 =0.90490.97970.43890.11110.2581 a2 =0.40870.59490.26220.60280.7112 a3 =0.22170.11740.29670.31880.4242 a4 =0.50790.08550.26250.80100.0292 a5 =0.92890.73030.48860.57850.2373A =0.9049 0.4087 0.2217 0.5079 0.92890.9797 0.5949 0.1174 0.0855 0.73030.4389 0.2622 0.2967 0.2625 0.48860.1111 0.6028 0.3188 0.8010 0.57850.2581 0.7112 0.4242 0.0292 0.2373 ans =-0.5932 -0.1881 -0.4330 0.1909 -0.6235 -0.5319 -0.5286 0.1934 -0.5094 0.3752 -0.3288 0.0079 -0.0670 0.7395 0.5835 -0.4137 0.8042 -0.1828 -0.3450 0.1723 -0.2931 0.1960 0.8586 0.1953 -0.3167Trial>>上机作业六Trial>> A=rand(5)eig(A)[d,v]=eig(A)x=rand(5,1)eig(x*x')A =0.4588 0.4889 0.9880 0.0987 0.72120.9631 0.6241 0.0377 0.2619 0.10680.5468 0.6791 0.8852 0.3354 0.65380.5211 0.3955 0.9133 0.6797 0.49420.2316 0.3674 0.7962 0.1366 0.7791 ans =2.6238 + 0.0000i0.0391 + 0.2666i0.0391 - 0.2666i0.2420 + 0.0000i0.4829 + 0.0000id =-0.4582 + 0.0000i -0.4322 + 0.1366i -0.4322 - 0.1366i 0.1428 + 0.0000i 0.2020 + 0.0000i-0.3197 + 0.0000i 0.7401 + 0.0000i 0.7401 + 0.0000i -0.6192 + 0.0000i 0.3539 + 0.0000i-0.5143 + 0.0000i -0.0341 - 0.3116i -0.0341 + 0.3116i -0.2603 + 0.0000i -0.0520 + 0.0000i-0.5266 + 0.0000i 0.0473 + 0.2327i 0.0473 - 0.2327i 0.1237 + 0.0000i -0.9110 + 0.0000i-0.3821 + 0.0000i -0.2604 + 0.1558i -0.2604 - 0.1558i 0.7164 + 0.0000i -0.0373 + 0.0000iv =2.6238 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i 0.0391 + 0.2666i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0391 - 0.2666i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.2420 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.4829 + 0.0000i上机作业七A=[1,3/2,0;3/2,-1,1;0,1,1]rref(A)eig(A)B=[1,0,2;0,-1,-2;2,-2,0]rref(B)eig(B)A =1.0000 1.5000 01.5000 -1.0000 1.00000 1.0000 1.0000ans =1 0 00 1 00 0 1ans =-2.06161.00002.0616B =1 0 20 -1 -22 -2 0ans =1 0 20 1 20 0 0ans =-3.0000-0.00003.0000Trial>>上机作业八Trial>> A=[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8]P0=[15;9;6]A =0.7000 0.2000 0.10000.2000 0.7000 0.10000.1000 0.1000 0.8000 P0 =1596Trial>> A*P0ans =12.90009.90007.2000Trial>> A*A*P0ans =11.730010.23008.0400Trial>> A*A*A*A*A*P0ans =10.429910.24249.3277Trial>>。

线 性 代 数 试 题(仅供学习交流，勿用与商业)一、填空题 (共30分, 每空2分)1. 若A 为33⨯型的矩阵且C B A c rr −−→−−−→−⨯+52321, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A C . 2. 设321,,a a a 为一向量组, 且存在数k 使得133221,,a a ka a ka a ++-线性无关, 则k 的取值为.3. 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=130140002A , 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1A . 4. 设四阶方阵的列分块阵为],,,[ ],,,,[321321c a a a B b a a a A ==, 1|| ,2||-==B A , 则=+||B A .5. 设向量组TTa a ]1,1,1[,]1,1,1[21-=-=是向量空间V 的一个基底, 向量b 在该基底下 的坐标向量为T]1,2[, 则=b ; 又基底21,b b 到21,a a 的过渡矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3211,则=1b ,=2b , 向量b 在基底21,b b 下的坐标向量为.6. 设向量组I:s a a a ,,,21 线性相关, 秩是r , II:t b b b ,,,21 线性无关, 且II 可由I 线性表 示, 则r 与t 的关系为; s 与t 的关系为.7. 设b Ax =是n m ⨯型的非齐次方程组, 1)(-=n A r , 21,u u 是该方程组的两个不 同的已知解, 则其通解为.8. 若二次型232221321)()(2),,(x x x x x x x f +++-=, 则其规范形=),,(321y y y g.9. 若方阵A 满足O E A A =-+62, 则A 的特征值可能的取值为.10. 设2是三阶方阵A 的一个特征值, 且1)2(=+A E r , 则=+||A E .二、判断题: 正确的在题后的括号中填写“对”,错误的填写“错”(共10分,每题1分) 1. 设B A ,都是n 阶非零方阵，若AC AB =，则C B =.（ ） 2. 设B A ,是方阵，O AB =，则B A ,至少有一个不可逆. （ ）3. 设可逆变换Px y =将二次型Ax x T化为二次型By y T ，则B A ,相合. （ ） 4. 若方阵A 的特征值都为零, 则O A =. ( )5. 若矩阵A 的秩为r , 则A 中所有r 阶子阵都非奇异. ( )6. 若矩阵A 满足E AA A A TT==, 则A 为正交矩阵. ( ) 7. 如果A 为负定矩阵, 则,0)(<A tr 且0||<A . ( ) 8. 若A 为实对称矩阵, 则O A O A =⇔=2. ( )9. 设实矩阵A 的列向量组是标准正交向量组, 则A 为正交矩阵. ( )10. 若向量组s a a ,,1 中任意1-s 个向量都线性无关, 则s a a ,,1 也不一定线性无关.( )三、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111012A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311211C ，并且C B AB =-，求矩阵B ． 四、（10分） 1. 化简()[]TT TTBA A BA AB A B112)(--+++.2. 当k 满足什么条件时, 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10010000200kk kk k 为正定矩阵. 五、（10分）求向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20211a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=83742a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23113a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11004a 的秩, 一个极大无关组, 并用所求极大无关组线性表示其余向量.六、（10分）k 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.七、（10分）求正交变换Qy x =将二次型32232221321433),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形, 写出相应的标准形, 并求该二次型的正、负惯性指数. 八、（共10分） 1．设s a a a ,,,21 是n 元向量组, P 是秩为n 的n n ⨯型矩阵, 令i i Pa b = (s i ,,1 =),证明s a a a ,,,21 与s b b b ,,,21 的秩相等.2．设A 是n 阶实对称阵，若存在n 元实向量y x ,使得0>Ax x T,0<Ay y T , 证明：存在非零的n 元实向量z 使得0=Az z T.。

大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)设a 、P 均为n 维列向量：a 'P =2,则A = E +aP '可逆,A" = E -^aP '3飞"2 +5+川+5h=^1 +口3 +)丨|+5P r =% + t||+^r _1 P r +=«1+«2+H|+«rX S ,川，P r, P r 十线性相关.5.设A 是n 阶矩阵，秩A = r ，非齐次线性方程组 Ax = P 有解，则Ax = P 的解向量组的秩为n —r +1.6.设a 、b 均为实数，二次型f(X 1,X 2，小,X n ) =(ax 1 +bx 2)2 +(ax 2 +bx 3)2+'" + (aX n4 + bX n )2 +(aX n +以)2a 、b 满足条件a n+(—1)n^b nH0时，f 为正定二次型.7.设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中了10 ©2/则V 的一组基是E,A,A 2.取定V 的一个非零向量a ,则V = L(a)的全部线性变换形女口1. 设f(X)是有理数域上的不可约多项式 ,Ot 为f(X)在复数域内的一个根，Ot 的重数为1 2.n 阶行列式1 II I1 3II I1II III I II1IIIn+1n1 =[1+送 1]n!.k4k3. 4. 设向量组％,(/2,|||,%线性无关，8.设V 是数域P维线性空间，写出V 上的所有线性变换f a : x a T a(x a),其中a是P中任一取定的数■9.正交矩阵的实特征值为±1.10.设G为群，H、N分别是G的子群，H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,令a H c N ,则元素a的阶为_1：二、(10分)设f(x),g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P上，若f3(x)|g3(x).则f(x)|g(x).参考解答：若f (x), g(x)中有一个是零多项式或零次多项式，则结论显然成立.下设戲(X)A O,0(X) A O,且g(x^a^ri(x)p2r2(x^|p s rs(x)是g(x)的标准分解式，其中p i(x), P2(X),IH, p s(x)是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式，「1,「2,111,1都是正整数.任取f (x)的一个不可约因式q(x),由于q(x)| f(x), f(x)| f3(x), f3(x)|g3(x)3利用多项式整除的传递性，得q(x)|g (x).由于q(x)是不可约多项式，故q(x)|g(x),进一步可知,q(x) =cp i(x),对某个1兰i兰s及c忘P.于是我们可以设f(X)= bp,1(X)pJWlll P s ts(x),其中t1,t2,HI,t s是非负整数.从f 3(x) |g3(x)知，存在多项式h(x卢P[x],使得3 3g(X)= f (X) | h(x),即a3 P13r1(x) P23r2(x) 111P s3rs(x) =b3pi3t1(x) P23t2(x)HI P s3ts(x)h(x).由此推出3r i >3t i ,即r i >t i , ^1,2j|l,s.因此g(x)=bpi t1(x) P2t2(X)川p s ts(X)*7 p/ T (x) P2r2主(x)liI P s rs」s (x)b= f(x) €口心&) P s r H(X)b由多项式整除的定义知，f(x)|g(x).2 k三、(15分)设A为n级矩阵,且秩A=秩A ,证明：对任意自然数k ,有秩A =秩A.参考解答：对k作数学归纳法.当k =1,2时结论显然成立.假设k -1时结论成立，即rank A =rank A k丄.令V ={X€=0}, i =1,2,m那么显然有V i匸V2匸从rank A =rank A k-知. k 1dim V, = n-rankA = n — rank A =dim V k』于是V i=V k」.任取X。

姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月6日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题3分，共30分）填空题 1. 设A 为三阶方阵，将A 的第1行与第2行对调得到B ，再将B 的第1行的k 倍加到第3行得到C ．若P 是满足=PA C 的唯一矩阵，则⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 2.设A 为三阶方阵，3=A ，则12-*=A O OA ．3.设[][]1212,,,,,==A αγγB βγγ为三阶方阵，12,,,αβγγ都是三元列向量，2,1==A B ，订 则+=A B4.设111111111111k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，()3r =A ，则k ＝ 5.设向量组123,,a a a 线性无关，则向量组122313,,2m k ++-a a a a a a 也线性无关的条件是m 和k 满足线 6. 二次型22212312313(,,)4f x x x x x x x x =+++的正惯性指数为 ，负惯性指数为 ．7.已知向量组123,,a a a 为向量空间V 的一个基，则从基123,,a a a 到基122313,2,3+++a a a a a a 的过度矩阵为⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦8. 设A 为6阶方阵，0=A ，*≠A O ，则()r =A9. 设A 为三阶方阵，A 的各行元素之和都为2，113100001131-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，则=A10.设A 为三阶方阵，23,()2r ==A A A ，则A 的相似标准形为得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题１.设A 和B 都为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则下列选项中正确的是（ ） （Ａ）222()=AB A B （Ｂ）22()2+=++A E A A E（Ｃ）若2=A A ，则=A E 或.=A O （Ｄ）+=+A B A B２.设A 和B 为同阶可逆阵，则下列选项中错误的是（ ）（A ）111(2)2--=A A （B ）()***=AB B A （C ）()()T T**=A A （D ）***⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A O A O OB O B 3. 设向量组12,,,r a a a 能由向量组12,,,s b b b 线性表示，则（ ）正确。

习题2-11. =6.32A 2. 用行列式的定义计算下面的行列式.(1)35;(2)256;(3)8;(4)29.−−思考题 2-21.若对方阵A 进行一次对调变换得到,则B =−A B ；若对方阵A 进行一次倍乘变换（假设第i 行或第i 列乘以数）得到,则k B k =B A ；若对方阵A 进行一次倍加变换得到,则B .=A B2.0.=A3.(1)不正确。

例如，设则 1112111221222122,,a a b b a a b b ⎡⎤⎡==⎢⎥⎢⎣⎦⎣A B ⎤⎥⎦1111121211121211121221212222212222212222a b a b a a b b a b a b a b a a b b a b +++++==+++++A B111211121112111211121112212221222122212221222122a a ab b a b b a b b aa a ab b a b b a b b a =+++=+++A B（2）不正确。

设A 的阶数为，则n (1)n−=−A A （3）不正确。

例如，设，则1200⎡⎤=⎢⎣⎦A ⎥0,=A 但.≠A O 4. ,,1,(),()1i j i i j k k k =−==E E E5. 性质2-2讲的是方阵A 的第行（列）的数与第i 行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于i A 的行列式；性质2-7讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.习题2-21. 2111231123123det()3,,39,,9,,18.c c a a a a a a a a a a a −=+−=−+=−=−A 2. 131223123233122312312323,2,3,,3,,3,,c c c c c c −+−−++=−===a a a a a a a a a a a a a a a a 63.321123211321212311223,,,,,,,,,,,,,,,n m +=+=−+=−a a a b b a a a b a a a b a a a b a a b a4.证：（1）将第2列和第3列都加到第1列，得0000a b b c c a b c c ab c c a a b c a a b c a a b b ca b b c−−−−−−−−=−−=−−−−−. （2）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++ 1111111111111111122222222222222222333333333333333332a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c ++=+++=+=++ （3）设A 的阶数为，则为奇数.由n n A 是反称矩阵,得T=−A A .两边取行列式，得 ,(1),Tn=−=−=−,A A A A A A 故0.=A 5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得2111121211221212222221122n n n n n n n n nn na b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b11112212112222121122n n n nn n n nn a b a b a b a ba b a b b b b a b a b a b =n1112121222222222121212n nnn n n nna a a a a ab b bb b bc a a a ==6．（1）解：先按行提公因式，在按列提公因式，得1111114111ab ac ae bd cd de abcdef abcdef bfcfef −−−=−=−−(2)103100204310043141992003951200510012520301300600130013=−−=−−=提高题2-21.,,,,,,+=++++=+−++A B ξηαββγαγξηαγβγαγ,,,,,,22,,,=+−++=+−+=+ξηαγβγαγξηαγβγγξηαβγ2(,,,,,,)2()6=+=+ξαβγηαβγA B =2.1231231231232323,24,36,3,25=++++++=++++B a a a a a a a a a a a a a a a a 1232331223123,3,,,,,=+++−=−+=−=−a a a a a a a a a a a a a 103.根据性质2-7，得41424344414243441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅=4.(1).132343(1)(1)52(1)301(1)415D +++=−⋅−+⋅−++⋅−=− (2) 1424449(1)(1)52(1)01(1)40,2a a +++−⋅−+⋅−++⋅−==−.5.（1）对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2-7，得212223242521222324254()3()4,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得.2122232A A A ++=−（2）对第2行和第4行分别应用性质2-7，得313233343531323334354()3()0,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩解得=0.313233A A A ++思考题 2-31.表示第二行先乘以2，再用第二行减去第一行，22r r −12122323112012r r −=.2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行列式进行初等变换时，关心的是最后的数值；对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数，对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。

思考题1-11. 不成立。

因为()222A ,+=+++B A AB BA B AB 不一定等于. BA 2. 成立。

因为22(),A +=+++E A AE EA E =AE EA . 3. 成立。

因为22()(),+−=−+−=−A E A E A AE EA E A E2()()−+=−A E A E A E .4. 不成立。

因为矩阵的乘法不满足消去律，由22()=2AB A B ，得不出=AB BA .5. 不成立。

反例，。

1111⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦A 6. 不成立。

反例，。

1000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 7. 不成立。

反例，。

1001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A 8. 成立。

因为,()().Tk TT k===kA A A A A9. 不成立。

因为,()()()(1),Tk TT kkk=−==−=−kA A A A A A 结论与的奇偶性有关。

k 10. 成立。

由对称阵的定义可知结论成立。

习题1-11. 2.111100−⎡⎤=⎢⎣⎦X ⎥1,2x y ==3.正确，依次为5BA ABC ABABC 、、5×矩阵、41×矩阵、41×矩阵。

4.（1）；（2）；（3）3-3-5-7915⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎥10530100⎡⎤⎢⎥−⎣⎦32659110-4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）1432321211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）;222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x +++++（6）；（7） 157063004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦050505050−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.（1），在矩阵111112221222331332k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的左边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各行；（2），在矩阵111212313121222323k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 的右边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各列。

大连理工大学2004年硕士研究生入学考试《高等代数》试题一、填空题（每小题4分）1．设()(),f x g x 是有理系数多项式，且()(),f x g x 在复数域内无公共根，则()(),f x g x 在有理数域上的最大公因式是=＿＿．2．n 阶行列式111211212111n n n D n --==- ＿＿．3．设α是3维列向量，Tα是α的转置矩阵，若111111111T αα-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则T αα=＿＿．4．设向量组123,,ααα线性无关，向量组123,,βββ可由向量组123,,ααα线性表示：11232123313423βαααβαααβαα=++=+-=- 则123,,βββ线性＿＿．5．设A 是n 阶矩阵，如果()1r A n =-，且代数余子式110A ≠，则齐次线性方程组0AX =的通解是＿＿．6．已知00110100A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则x =＿＿．7．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中有m 个0，t 个正实数，则A 的秩，正惯性指数，负惯性指数及符号差分别是＿＿．8．设P 是数域，33P⨯表示P 上的所有33⨯矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，33P ⨯是P 上的线性空间，令{}33|0V A P TrA ⨯=∈=，则V 的维数=＿＿，V 的一组基为＿＿．9．设12,,,n e e e 和12,,,n f f f 是线性空间V 的两组基，且12,,,n e e e 到12,,,nf f f的过渡矩阵是P ，若σ是V 上的线性变换，且(),1,2,,i i e f i n σ== ，则σ在12,,,n f f f 下的矩阵是＿＿．10．已知3维欧氏空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为＿＿．二、（24分）设,R Q 分别表示实数域和有理数域，()()[],f x g x Q x ∈．证明： ⑴若在[]R x 中有()()|g x f x ，则在[]Q x 中也有()()|g x f x ． ⑵()f x 与()g x 在[]Q x 中互素，当且仅当()f x 与()g x 在[]R x 互素． ⑶设()f x 是[]Q x 中的不可约多项式，则()f x 的根都是单根．三、（10分）设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在秩为n r -的n 阶方阵B ，使得0AB =．四、（10分）设A 是n 阶方阵，证明：存在一可逆矩阵B 及一幂等矩阵C ，使A BC =． 五、（20分）设V 是4维欧氏空间，A 是V 的一个正交变换．若A 没有实特征值，求证：A 可分解为两个正交的2维A 不变子空间的直和．六、（10分）设A 满足20A =，确定A 的Jordan 标准型．七、（20分）设J 时表示元素全为1的级矩阵，设()f x ax b =+是实系数多项式，令()A f J =．⑴求J 的全部特征值和特征向量， ⑵求A 的所有特征子空间．八、（16分）设V 是实数域上n 维线性空间，f 为V 上的正定对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间，(){}|,0,W c f c b b ==是U 中任意向量．证明：⑴W 是V 的子空间， ⑵V 是U 和W 的直和．大连理工大学2004年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答一、填空题1．1．可参照第二大题． 2．()1nn --．3．3．易得111α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．4．无关．1214100113≠--．5．100k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，解空间的维数为1，而110A ≠，可得．6．0．可得特征值123,1,1λλλ==-，当1λ=时，有两个线性无关的向量（0x =）时，才有三个线性无关的特征向量． 7．,,,2n m t n m t t n m ----+．8．9，()ij E i j ≠与1010001,0,1000101⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 9．P ．()()11,,,,n n e e e e P σ= ，而()()11,,,,n n f f e e P = ，从而1A P PP P -==．10．5．二、证⑴．在[]R x 中有()()|g x f x ，则有()()()()[],f x g x h x h x R x =∈． 不妨设()()()0,,,,,n n niii i i i i i i i i i f x a x g x b x h x c x a b Q c R ======∈∈∑∑∑，对i c 用数学归纳法． 显然000a b c =，有0c Q ∈，同样10110a b c b c =+，显然有1c Q ∈．不妨设01,,k c c Q -∈ ，则0110k k k k a c b c b c b -=+++ ，显然k c Q ∈． 从而()[]h x Q x ∈，也即在[]Q x 中也有()()|g x f x ．⑵．()f x 与()g x 在[]Q x 中互素，则存在()()[],u x v x Q x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=，另一方面，也有()()[],u x v x R x ∈，从而有()f x 与()g x 在[]R x 互素．⑶．假定()f x 有一根0x ，0x R ∈不是单根，不妨设为k 重根，则，()0kx x -是()f x 的因式，则()()()()10,k f x f x x x -'=-．另一方面，在[]Q x 有()()(),1f x f x '=，根据2可知在[]R x 也有()()(),1f x f x '=，但这与上面的结论矛盾，从而，0x 是单根．当()f x 有多个重根时，同样根据上面的推导，得出矛盾． 综上，()f x 的根都是单根．■三、证考虑齐次线性方程组0AX =的解空间，由A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，故解空间是由n r -维，不妨设0AX =的基础解系为1,n r αα- ，再取 ()100n rB αα-= ．则B 为秩为n r -的n 阶方阵B ，且有0AB =．■ 四、证不妨设()r A r =，则存在可逆矩阵,P Q ，满足000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭显然有1000rEA PQ Q Q -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令10,00rE B PQ C Q Q -⎛⎫==⎪⎝⎭． 则A BC =，且,B C 满足题目要求．■五、证设1234,,,εεεε为V 的一组标准正交基，线性变换A 在这组基下的矩阵为A ．设x yi +是n 维复向量空间nC 中A 对应特征值1u vi λ=+的一个特征向量，,n x y R ∈，即()()()A x yi u vi x yi +=++．比较实虚部得Ax ux vy Ay vx uy=-=+．设,y x αβ==，则A u v A v u ααββαβ=+=-+．显然，,αβ线性无关，否则，有A u kv kA v ku αααααα=+=-+可得，2u 也为A 的特征值，矛盾．令()1,V L αβ=，显然，1V 是A 的不变子空间，且1dim 2V =．从而有正交分解，11V V V ⊥=⊕，1V ⊥也是不变子空间．■六、解设A 的Jordan 标准型为11,1i i i r i J J J J λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即存在可逆矩阵Q ，满足1QAQ J -=．由于20A =，故()221210J QAQQA Q --===，从而，21,2,,i J i r = =0，，亦即2220112i i i i λλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 从而0i λ=，且0010i J ⎛⎫=⎪⎝⎭， 故A 的Jordan 标准型为100,10i r J J J J ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．■七、解⑴显然1111J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而()11111n E J n λλλλλ----==---，即J 的特征值为n ，0， 又由()11011n nE J P P n --⎛⎫ ⎪-== ⎪ ⎪--⎝⎭， 解得一个特征向量111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 同样对应于0λ=有特征向量，23111001,,,001100n P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⑵由题意，a b a A a a b +⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，易得A 的特征值为,an b b +．对应于1an b λ=+的特征向量111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，对应于2b λ=有特征向量，23111001,,,001100n P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．这样，A 的所有特征子空间为()()1212,,,n V L P V L P P λλ== ．■八、证⑴显然0W ∈,且任取12,,,W U k R ααβ∈∈∈，有()()()()()121211,,,0,,0f f f f k kf ααβαβαβαβαβ+=+===从而121,W k W ααα+∈∈，即W 是V 的子空间．⑵V 上定义二元函数()(),,fαβαβ=因为f 为V 上正定的对称双线性函数，故(),αβ为V 上的内积，对此内积，V 构成欧氏空间．又V 的子空间U ，存在唯一的正交补(){}(){}|,0,|,0,U V U V f U Wααββααββ⊥=∈=∈=∈=∈=即V U W =⊕．■。

大连大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一. 填空题（每小题3分，共15分）1．设A 为3阶矩阵，且3=A ，则113A -=_________； 2．若12, αα是齐次线性方程组0=Ax 的解向量，则12(25)αα-=A ________；3．若向量组1(1, 1, 1)T α=，2(3, , 0)T t α=，3(1, 3, 0)T α=的秩是2，则t =________；4．设2是矩阵A 的一个特征值，则矩阵22++A A E 有一个特征值等于_________；5．二次型2212312121323(, , )222f x x x x x x x x x x x =++++的矩阵是_________. 二．单选题（每小题3分，共15分）1．设A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论正确的是_________；)A A A *= )B 1A A *-= )C 2-*=n A A)D 1-*=n A A 2．设n 阶方阵A 满足250--=A A E ，则必有_________；)A 5=A E )B 5=-A E )C A 可逆 )D A E -不可逆3．设A 为n 阶方阵，且()1R A n =-，12, αα是线性方程组=Ax b 的两个不同的解向量，则的通解是=Ax b _________；)A 12()αα-k )B 12()αα+k )C 121()ααα-+k )D 122()ααα++k4．设A 为4阶可逆矩阵，4维列向量1234, , , αααα线性无关，则向量组1A α，2A α，3A α， 4A α的秩是_________；)A 4 )B 2 )C 3 )D 15．已知3阶矩阵A 的特征值为1、3、4，则下列矩阵中是可逆矩阵的是_________.)A A E - )B 2A E - )C 3A E - )D 4A E -三．计算题（每小题8分，共24分）1．计算行列式 1122331001100110011--=----b b b D b b b ；2．设A 为3阶矩阵，且5=A ，计算111()32-*-A A ；3．设矩阵221252123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 且2=+AB A B ，求矩阵B . 四．解答题（第1小题1分，第2小题15分，共25分）1．向量组A ：11315α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21213α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，32103α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，42641α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，51116α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求向量组A 的秩和一个最大无关组；2．当λ为何值时，方程组1231231232124551λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩x x x x x x x x x 无解、有唯一解或无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解.五．综合题（15分）设矩阵122244244-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，求一个正交矩阵P ，使1P -A P 为对角矩阵. 六．证明题（6分）设A 是3阶矩阵，1123(0), , αααα≠ 是3维列向量，且满足11αα=A ，212A ααα=+，323A ααα=+，试证明：向量组123, , ααα线性无关.。

2013大连理工大学数学科学学院复试笔试B卷试题（回忆版）实变泛函（60，每题15分）1. 假定()m E <∞,,n n f g 是定义在E 上的函数列，分别依测度收敛于f,g.证n n f g 依测度收敛于fg 。

2. 叙述控制收敛定理，并利用该定理证明22221lim0(1)n x n n x dx e x ∞→∞=+?3. (1)叙述Banach 空间定义。

(2)[,]f C a b ∈,证明[,]||||max |()|x a b f f x ∈=是范数，并证明[,]C a b 在此范数下成为Banach 空间。

(3)证明|||||()|ba f f x dx =?是范数但[,]C ab 在此范数下不是Banach 空间。

4.设1[0,1],{[0,1]:(0)0}X C Y f C f ==∈=定义算子A ：X Y →如下0()(),tAf t f s ds f X =∈?，证明算子A 是有界线性算子，并且可逆，但1A -无界。

概率（20，每题4分）1. 随机变量X 服从参数为θ的指数分布，(4),01P x a a >=<<则(9|5)P x x >>=____ 2. 已知随机变量X 服从2(1,)N σ且(0),01P x a a <=<<，则(12)P x <<=___________3. 2212(2,),(3,)X N Y N σσ ，X 与Y 独立，则(10)P X Y -+>=___________4. 设X 服从n ，p 二项分布，则x E λ=____________5. 1{}n n x ∞=为一列相互独立的随机变量，且都服从参数为1的泊松分布，则1lim ()ni n i P X n →∞=<=∑____________ 近世代数（20，每题10分）一、1.已知{(1),(12)}H =是对称群3S 的子群，则H 在3S 中的中心化子为____________2.对称群3S 中{(12),(123)}生成的子群为____________3.若剩余类环{;;}n Z +?是整环，则n 满足____________4.剩余类子群8{;}Z +中元素4的阶为____________5.{0,4}H =是8{;}Z +的子群，商群8/Z H 的阶为____________二、设H 是群G 的子群，试证明对任意g G ∈，11{|}gHg ghgh H --=∈是G 的子群。