2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)

上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507. 10108.9. 110. 1}-11. (3--- 12.1288二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B 三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB=，则B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y+= （2）(2,3] （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. （3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可.【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AMAN y y k k x x --++--()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k --+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠.【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. 故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N-=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥，()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一.填空题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|＞2}，则∁U A＝．2．若函数f（x）＝（x﹣4）2+4，（x≥5），则f﹣1（5）＝．3．＝．4．已知数列{a n}为等差数列，且a1＝1，a9＝﹣25，则a5＝．5．设函数f（x）＝x2﹣4mx+1在（0，2]上是减函数，则实数m的取值范围是．6．已知a2+b2＝2，则a+b的取值范围是．7．若函数f（x）＝2sin x﹣sin2x在区间[0，a]上的零点个数为3个，则实数a的取值范围是．8．已知两变量x，y之间的关系为lg（y﹣x）＝lgy﹣lgx，则以x的自变量的函数y的最小值为．9．已知f（x）＝a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）＝x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．10．设函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（ω＞0，A＞0），x∈[0，2π]．若f（x）恰有4个零点，则下述结论中：①f（x0）≥f（x）恒成立，则x0的值有且仅有2个；②存在ω＞0，使得f（x）在[0，]上单调递增；③方程f（x）＝A一定有4个实数根．其中真命题的序号为．11．函数f（x）＝，﹣≤x≤的图像绕着原点旋转弧度θ（0≤θ≤π），若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为．12．对任意闭区间I，用M1表示函数y＝sin x在I上的最大值，若有且仅有一个正数a使得M[a，2a]＝kM[a，2a]成立，则实数k的取值范围是．二、选择题（共6小题）.13．下列各组不等式中，解集完全相同的是（）A．与x2＜x+6B．＜0与（x﹣2）（x+1）＜0C．＞0与x+2＞0D．与x﹣3＞2x+114．设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（）A．M∩P＝∅B．M中至多有一个元素不属于PC．P中有不属于M的元素D．M中有不属于P的元素16．单调递增的数列{a n}中共有N项，且对任意i，j，k（1≤i＜j＜k≤N），a i+a j、a j+a k和a k+a i中至少有一个是{a n}中的项，则N的最大值为（）A．9B．8C．7D．6三、解答题17．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝，AA1＝．（1）求异面直线AB1与BC1所成角的大小；（2）求点C到平面ABD1的距离．18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（cos B﹣2cos A）＝（2a﹣b）cos C．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cos C＝，c＝2，求△ABC的面积．19．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p与日产量x（万枚）间的关系为：p＝，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元．（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率＝×100%）．20．已知双曲线C：＝1过点M（3，），且右焦点为F（2，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若＝m，＝n，求证：m+n为定值．（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证：三角形QAB的面积S△QAB＞．21．若实数列{a n}满足条件a n+a n+2≥2a n+1，n＝1，2，…，则称{a n}是一个“凸数列”．（1）判断数列a n＝﹣n2+n和b n＝（）n是否为“凸数列”？（2）若{a n}是一个“凸数列”，证明：对正整数k，m，n，当1≤k＜m＜n时，有．（3）若{a n}是一个“凸数列”，证明：对1≤i≤n，有a i+1≤（1﹣）a1+a n+1．参考答案一.填空题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|＞2}，则∁U A＝{x|﹣1≤x≤3}．解：∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|＞2}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤3}．故答案为：{x|﹣1≤x≤3}．2．若函数f（x）＝（x﹣4）2+4，（x≥5），则f﹣1（5）＝5．解：∵函数f（x）＝（x﹣4）2+4，（x≥5），故（x﹣4）2+4＝5⇒x＝5，∴f﹣1（5）＝5，故答案为：5．3．＝．解：∵＝，∴＝＝．故答案为：．4．已知数列{a n}为等差数列，且a1＝1，a9＝﹣25，则a5＝﹣12．解：∵数列{a n}为等差数列，且a1＝1，a9＝﹣25，∴a9＝1+8d＝﹣25，解得d＝﹣，∴a5＝1+4×（﹣）＝﹣12．故答案为：﹣12．5．设函数f（x）＝x2﹣4mx+1在（0，2]上是减函数，则实数m的取值范围是m≥1．解：函数f（x）的对称轴为x＝﹣＝2m，且开口向上，∵函数f（x）在（0，2]上是减函数，∴（0，2]在对称轴的左侧，∴2m≥2，∴m≥1．故答案为：m≥1．6．已知a2+b2＝2，则a+b的取值范围是[﹣2，2]．解：因为a2+b2＝2，所以，即|a+b|≤2，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以a+b的取值范围为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．7．若函数f（x）＝2sin x﹣sin2x在区间[0，a]上的零点个数为3个，则实数a的取值范围是{a|2π≤a＜3π}．解：令f（x）＝2sin x﹣sin2x＝0，得2sin x﹣2sin x cos x＝0，即sin x（1﹣cos x）＝0，故当x∈[0，+∞）时，零点分别为0，π，2π，3π，…，所以2π≤a＜3π．故答案为：{a|2π≤a＜3π}．8．已知两变量x，y之间的关系为lg（y﹣x）＝lgy﹣lgx，则以x的自变量的函数y的最小值为4．解：∵lg（y﹣x）＝lgy﹣lgx，∴，∴（x﹣1）y＝x2，显然x≠1，y＝＞0，故x＞1．∴y＝＝＝x﹣1++2≥4（当且仅当x﹣1＝，即x＝2时取“＝”），∴y≥4．故答案为：4．9．已知f（x）＝a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）＝x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．解：f（x）＝a x﹣b，g（x）＝x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b＝0，x+1＝0，故得ab＝1．那么：＝4，当且仅当a＝，b＝2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．设函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（ω＞0，A＞0），x∈[0，2π]．若f（x）恰有4个零点，则下述结论中：①f（x0）≥f（x）恒成立，则x0的值有且仅有2个；②存在ω＞0，使得f（x）在[0，]上单调递增；③方程f（x）＝A一定有4个实数根．其中真命题的序号为①②③．解：作函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（ω＞0，A＞0）的草图如图所示，因为f（x）恰有4个零点，所以，解得；对于①，f（x0）≥f（x）恒成立，则f（x0）为f（x）在[0，2π]上的最大值，结合图象知x0的值有且仅有2个，所以①对；对于②，要使得f（x）在[0，]上单调递增，只要，即，所以存在，所以②对；对于③，由函数图象知，函数f（x）与y＝A有四个交点，所以方程f（x）＝A一定有4个实数根．所以③对．故答案为：①②③．11．函数f（x）＝，﹣≤x≤的图像绕着原点旋转弧度θ（0≤θ≤π），若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为[0，]∪[，π]．解：画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，如图1所示：圆弧所在圆的方程为x2+y2＝1，A（﹣，），B（，），在图象绕原点旋转的过程中，当点B从图1的位置旋转到（1，0）点时，根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2 所示：此时绕着原点旋转弧度为0≤θ≤．若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在x轴下方，点A在x轴上方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：此时转过的角度为＜θ＜，不满足题意；若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在x轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：此时转过的角度为≤θ≤π；综上知，θ的可取值集合为[0，]∪[，π]．12．对任意闭区间I，用M1表示函数y＝sin x在I上的最大值，若有且仅有一个正数a使得M[a，2a]＝kM[a，2a]成立，则实数k的取值范围是（，1）．解：①当a∈[0，]时，2a∈[0，]，∴M[0，a]＝sin a，M[a，2a]＝sin2a，由M[0，a]＝kM[a，2a]，得sin a＝k sin2a，∴k＝②当a∈[，]时，2a∈[，π]，∴M[0，a]＝sin a，M[a，2a]＝1，由M[0，a]＝kM[a，2a]，得k＝sin a③当a∈[，π]时，2a∈[π，2π]，∴M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin a，由M[0，a]＝kM[a，2a]，得1＝k sin a，∴k＝，④当a∈[π，]时，2a∈[2π，]，∴M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin2a，由M[0，a]＝kM[a，2a]，得1＝k sin2a，∴k＝，⑤当a∈[，+∞）时，2a∈[，3π），∴M[0，a]＝1，M[a，2a]＝1，由M[0，a]＝kM[a，2a]，得k＝1，∴k＝．做出函数的图象如右：得k的取值范围为（，1）．二、选择题13．下列各组不等式中，解集完全相同的是（）A．与x2＜x+6B．＜0与（x﹣2）（x+1）＜0C．＞0与x+2＞0D．与x﹣3＞2x+1解：∵＜，等价于＜0，∴x＜﹣2，或﹣1＜x＜3．而由x2＜x+6，求得﹣2＜x＜3，故A错误；∵＜0，等价于（2x﹣1）（x+1）＞0且x≠0，等价于x＜﹣1，或x＞．而（x﹣2）（x+1）＜0的解集为（﹣1，2），故B错误；∵＞0，等价于x＞﹣2 且x≠1，故C错误；∵x2﹣x+1＝+＞0恒成立，故＞，等价于x﹣3＞2x+1，故D 正确，故选：D．14．设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：数列﹣3，﹣2，﹣1，0……是递增数列，但{S n}不是递增数列，即充分性不成立，数列1，1，1，……，满足{S n}是递增数列，但数列1，1，1，……，不是递增数列，即必要性不成立，则“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．15．已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（）A．M∩P＝∅B．M中至多有一个元素不属于PC．P中有不属于M的元素D．M中有不属于P的元素解：因为命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，所以命题的否定为真命题，而命题的否定为：“M中的元素不都是P中的元素”，即“M中的元素由不属于P中的元素”，所以D正确，M∩P不确定是否由交集，所以A不正确；M中至少有一个元素不属于P，所以B不正确；P中不确定是否不属于M的元素，所以C不正确；故选：D．16．单调递增的数列{a n}中共有N项，且对任意i，j，k（1≤i＜j＜k≤N），a i+a j、a j+a k和a k+a i中至少有一个是{a n}中的项，则N的最大值为（）A．9B．8C．7D．6解：法一：假设0＜a＜b＜c＜d是{a n}中大于0的最大的4项，对于b，c，d来说，因为b+d＞d，c+d＞d，所以b+d和c+d都不是{a n}中的项，又由题意得b+c，b+d和c+d中至少有一个是{a n}中的项，所以b+c是{a n}中的项，且b+c＞c，所以b+c＝d，对于a，c，d来说，因为a+d＞d，c+d＞d，所以a+d和c+d都不是{a n}中的项，又由题意得b+c，b+d和c+d中至少有一个是{a n}中的项，所以a+c是{a n}中的项，且a+c＞c，所以a+c＝d，所以a＝d，矛盾，所以{a n}中大于0的最多有3项，同理，{a n}中小于0的最多有3项，加上0，故N的最大值为7．此时存在数列{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3满足题意，法二：假设存在三项a m，a N﹣1，a N为正，则a N﹣1+a N，a m+a N都不是{a n}中的项，所以a m+a N﹣1是{a n}中的项，且a m+a N﹣1＞a N﹣1，所以a m＝a N﹣a N﹣1，所以数列{a n}中最多有3个正项，同理数列{a n}中最多有3个负项，加上0，故N的最大值为7，此时存在数列{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3满足题意，故选：C．三、解答题17．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝，AA1＝．（1）求异面直线AB1与BC1所成角的大小；（2）求点C到平面ABD1的距离．解：（1）如图，连接AD1，由AB∥C1D1，AB＝C1D1，得四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AB1为异面直线AB1与BC1所成角，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB＝，BC＝，AA1＝，得，，，∴cos∠D1AB1＝，∴，即异面直线AB1与BC1所成角的大小为；（2）设点C到平面ABD1的距离为h，由，得，可得h＝．即点C到平面ABD1的距离为．18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（cos B﹣2cos A）＝（2a﹣b）cos C．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cos C＝，c＝2，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（cos B﹣2cos A）＝（2a ﹣b）cos C，则由正弦定理可得：sin C cos B﹣2sin C cos A＝2sin A cos C﹣sin B cos C，整理得：2sin（A+C）＝sin（B+C），即2sin B＝sin A，由正弦定理得：＝＝2．（Ⅱ）因为，c＝2，且＝2，由余弦定理cos C＝，可得：＝，解得：b＝，a＝2b＝2，则：S△ABC＝ab sin C＝＝．19．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p与日产量x（万枚）间的关系为：p＝，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元．（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率＝×100%）．解：（1）当x＞4时，y＝，当0＜x≤4时，p＝，所以y＝（1﹣）×x×30﹣＝，∴，（2）由（1）知，当x＞4时，日盈利为0元，当0＜x≤4时，y＝＝15×[15﹣2（6﹣x）﹣]≤15×（15﹣2）＝45（万元），当且仅当2×（6﹣x）＝，即x＝3时取等号，所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚．20．已知双曲线C：＝1过点M（3，），且右焦点为F（2，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若＝m，＝n，求证：m+n为定值．（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证：三角形QAB的面积S△QAB＞．解：（1）由题意可得，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得直线l的斜率存在，所以直线l：y＝k（x﹣2），所以P（0，﹣2k），联立整理可得：（3k2﹣1）x2﹣12k2x+12k2+3＝0，x1+x2＝，x1x2＝，因为＝m，＝n，得x1＝m（2﹣x1），x2＝n（2﹣x2），所以m+n＝+＝＝＝＝6，所以可证：m+n为定值6；（3）由（2）可得Q（0，2k），S△QAB＝|S△QPB﹣S△QPA|＝|PQ|•|x1﹣x2|＝2|k|•|x1﹣x2|，所以S QAB2＝4k2[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝4k2•[﹣4]＝4k2•＝48k2•，直线与双曲线在右支有两个交点，所以x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，所以3k2＞1，设t＝3k2﹣1＞0，S△QAB2＝48•＝•（++1）＝•[（+）2﹣3，因为＞0，所以S△QAB2＞•﹣3＝，所以可证：三角形QAB的面积S△QAB＞≈2.31＞．21．若实数列{a n}满足条件a n+a n+2≥2a n+1，n＝1，2，…，则称{a n}是一个“凸数列”．（1）判断数列a n＝﹣n2+n和b n＝（）n是否为“凸数列”？（2）若{a n}是一个“凸数列”，证明：对正整数k，m，n，当1≤k＜m＜n时，有．（3）若{a n}是一个“凸数列”，证明：对1≤i≤n，有a i+1≤（1﹣）a1+a n+1．解：（1）因为a n+a n+2﹣2a n+1＝﹣n2+n﹣（n+2）2+（n+2）+2（n+1）2﹣2（n+1）＝﹣2＜0，所以{a n}不是“凸数列”；又b n+b n+2﹣2b+1＝（）n+（）n+2﹣2•（）n+1＝（）n（1+﹣3）＝•（）n＞0，所以{b n}是“凸数列”；（2）证明：由题意可得a k﹣1+a k+1≥2a k（k＝2，3，…），所以a k+1﹣a k≥a k﹣a k﹣1，而a n﹣a m＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a m+1﹣a m）≥（n﹣m）（a m+1﹣a m），所以≥a m+1﹣a m；又a m﹣a k＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a k+1﹣a k）≤（m﹣k）（a m﹣a m+1），所以≤a m﹣a m﹣1；则有；（3）证明：①当i＝1时，a i+1≤（1﹣）a1+a n+1，即a2≤（1﹣）a1+a n+1；②当n＝i时，a i+1≤（1﹣）a1+a n+1，即a n+1≤a n+1，显然成立；③当1＜i＜n时，由（2）可得≥，所以ia n+1﹣ia i+1≥（n﹣i）a i+1﹣（n﹣i）a1，所以ia i+1≤ia n+1+（n﹣i）a1，故a i+1≤（1﹣）a1+a n+1，成立，综上可得，对1≤i≤n，有a i+1≤（1﹣）a1+a n+1．。

2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log 2x≥0}，B={x|2x -4＞0}，则A∩ B =___ ．2.（填空题，3分）若1，a ，2x ，b ，25成等比数列，则实数x 的值是 ___ ．3.（填空题，3分）已知函数 f (x )={x 2−ax ，−2022≤x ≤0bx 2+cx ，0≤x ≤d 是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x 的图像向左平行移动 π6 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的 12 （纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n }的前和为S n ，若a 1=2，S 5=S 12，且S m =0，则m=___ ．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ．7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．8.（填空题，3分）已知△ABC 中的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+2b=3，a 2≤bc ，且 √3 cosA （bcosA+acosB ）-csinA=0．则△ABC 的面积是 ___ ．9.（填空题，3分）已知函数f （x ）=sinωx+acosωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f （x ）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x−3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．11.（填空题，3分）设ave{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的平均数，max{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，M=max{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，若M=3|A-1|，则x 的取值范围是___ ．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120 140 190 160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.m1B.m2C.m3D.m414.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14，则（）A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-115.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值3；② f（a，b，c）有最大值是3．（）2A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f（x）的最小值为M，若正实数a，b，c满足a+2b+3c=M，求3a +2b+1c的最小值；（3）若数列{a n}满足a1=a（a≤-2或a≥0，a为常数），3a n+1=f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的前项和S n．2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log2x≥0}，B={x|2x-4＞0}，则A∩ B =___ ．【正确答案】：[1]{x|1≤x≤2}【解析】：求出集合A，B，从而求出B，由此能求出A∩ B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x≥0}={x|x≥1}，B={x|2x-4＞0}={x|x＞2}，∴ B={x|x≤2}，∴A∩ B={x|1≤x≤2}．故答案为：{x|1≤x≤2}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，3分）若1，a，2x，b，25成等比数列，则实数x的值是 ___ ．【正确答案】：[1]log25【解析】：根据题意可得（2x）2=1×25=25，从而即可求出x的值．【解答】：解：∵1，a，2x，b，25成等比数列，∴（2x）2=1×25=25，又2x＞0，则2x=5，∴x=log25．故答案为：log25．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，3分）已知函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．【正确答案】：[1]2021【解析】：由奇函数的定义和定义域关于原点对称，结合分段函数的解析式，可得a，b，c，d，可得所求和．【解答】：解：函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，可得定义域关于原点对称，则d=2022，由-2022≤x≤0，f（x）=x2-ax，设0≤x≤2022，则-2022≤-x≤0，f（-x）=x2+ax，由f（x）为奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-x2-ax，即有当0≤x≤2022时，f（x）=-x2-ax，又当0≤x≤2022时，f（x）=bx2+cx，所以b=-1，c=-a，则a+b+c+d=a-1-a+2022=2021，故答案为：2021．【点评】：本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．【正确答案】：[1]y=sin（4x+ π3）【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答】：解：将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到y=sin（2x+ π3）的图像，再把所得图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式为y=sin（4x+ π3），故答案为：y=sin（4x+ π3）．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属于基础题．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n}的前和为S n，若a1=2，S5=S12，且S m=0，则m=___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5=S 12可得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0，结合a 1=2即可求出d=- 14 ，进一步利用S m =2m+ m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m=0求出m 的值即可．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5=S 12，得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0， 又a 1=2，所以d=- 14 ， 所以S m =2m+m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m ， 令S m =0，得m 2-17m=0，解得m=17，或m=0（舍去）． 故答案为：17．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，-2）∪（1，+∞）【解析】：根据不等式的性质求出 n m =1， n p =- 12 ，代入f （x ），结合对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2）， 所以m ＜0，并且-1，2是mx 2-nx+p=0的两个根，由韦达定理知 pm =-2＜0， ∴p ＞0， n m =1，∴ n p =- 12， ∴ f (x )=log 2nx−p nx−m =log 2（ p m • np x−1n m x−1）=log 2（ −12x−1x−1 ×（- 12 ）），由- 12 • −12x−1x−1＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（1，+∞）， 故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及不等式问题，是基础题． 7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：y= f(x)x的几何意义为动点到原点的斜率，利用数形结合进行判断即可．【解答】：解：y= f(x)x 的几何意义为动点到原点的斜率，满足f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n的几何意义为到原点斜率相同点的个数，由图象知在① ③ ⑤ 位置有两个点的斜率相同，此时n=2，在② ④ 位置有三个点的斜率相同，此时n=3，在③ 位置有四个点的斜率相同，此时n=4，即n的取值集合是{2，3，4}，故答案为：{2，3，4}【点评】：本题主要考查直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．8.（填空题，3分）已知△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+2b=3，a2≤bc，且√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0．则△ABC的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] √34【解析】：由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA的值，结合范围A∈（0，π），可得A= π3，由余弦定理，基本不等式可得a2≥bc，结合已知可求a2=bc，结合已知可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：因为√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0，由正弦定理可得√3 cosA（sinBcosA+sinAcosB）-sinCsinA=0，可得：√3 cosAsin（A+B）-sinCsinA=0，即√3 cosAsinC-sinCsinA=0，因为sinC≠0，所以√3 cosA-sinA=0，即tanA= √3，因为A∈（0，π），所以A= π3，由余弦定理可得a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，又a2≤bc，所以a2=bc，b=c，可得a=b=c，又a+2b=3，可得a=b=c=1，可得△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12×1×1×√32= √34．故答案为：√34．【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f（x）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 1318，+∞）【解析】：将函数恒等变形，可得函数的最大值，可得a的值，由x的范围，求出ωx+ π3的范围，再由在区间上取两次最大值，可得ω的范围．【解答】：解：因为a＞0，函数f（x）=sinωx+acosωx= √1+a2 sin（ωx+φ），因为函数的最大值为2，则√1+a2 =2，解得a= √3，所以f（x）=2sin（ωx+ π3），因为x∈[0，3]，则ωx+ π3∈[ π3，3ω+ π3]，函数f（x）至少取得两次最大值，则3ω+ π3≥ 52π，解得：ω≥ 1318，故答案为：[ 1318 ，+∞）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变形的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x −3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][4，5）【解析】：通过f （x ）的单调性，画出f （x ）的图象和直线y=a ，考虑四个交点的情况，得到x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3x 4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．【解答】：解：当x ＞0时，f （x ）=x+ 4x -3≥2 √x •4x -3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f （x ）=e (x+1)2 ，x≤0，x ＜-1时，f （x ）递减；-1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e (x 1+1)2 =e (x 2+1)2 =x 3+ 4x 3 -3=x 4+ 4x 4 -3， 即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3-x 4= 4x 4 - 4x 3 =4(x 3−x 4)x 3•x 4， 可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4-2x 2-x 22=-（x 2+1）2+5，在-1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故答案为：[4，5）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）设ave{a，b，c}表示实数a，b，c的平均数，max{a，b，c}表示实数a，b，c的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x，12x+1}，M=max{- 12x+2，x，12x+1}，若M=3|A-1|，则x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{x|x=-4或x≥2}【解析】：由已知中max{a，b，c}表示a，b，c三个实数中的最大数，若M=3|A-1|=|x|，M 是一个分段函数，所以要对x的取值进行讨论，从而求出满足条件的x范围．【解答】：解：由题意易得A= 13x+1，故3|A-1|=|x|= {−x，x＜0x，x≥0，∵M=3|A-1|，∴当x＜0时，-x= −12x+2，得x=-4；当0≤x＜1时，x= −12x+2，得x= 43，舍去；当1≤x＜2时，x= 12x+1，得x=2，舍去；当x≥2时，x=x，恒成立，综上所述，x=-4或x≥2．故答案为：{x|x=-4或x≥2}．【点评】：点评：本题考查的知识点是分段函数的最值，运用了分类讨论思想和数形结合思想，结合函数的图象会更好理解．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．【正确答案】：[1]111【解析】：根据题意，归纳可得使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，由此可得1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，利用验证法分析可得答案．【解答】：解：根据题意，a n表示与√n最接近的整数，n=1，2时，a n=1；n=3，4，5，6时，a n=2；n=7，8，…，12时，a n=3；n=13，14，…，20时，a n=4；…………故使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，故有1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，若1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20，验证可得：n的最小取值为2+4+6+⋅⋅⋅+20+1=111，故答案为：111．【点评】：本题考查数列的求和，涉及数列的表示方法，属于中档题．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3A.m1B.m2C.m3D.m4【正确答案】：B【解析】：分别比较有相同安全出口的编号的时间，得到各个安全出口的疏散乘客的快慢，再比较即可．【解答】：解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，故选：B．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．，则（）14.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-1【正确答案】：D【解析】：由对数，指数的运算化简可得0＜c＜0.4＜b＜1＜a，从而依次对四个选项判断即可．【解答】：解：∵ 3−a=14，即3a=4，∴a＞1，∵ 0＜log0.4b=14＜1，∴0.4＜b＜1，∵ c23=14，∴ c=18，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴c a＜b a，log c a＞log b a，log a b＜0＜log b c，∴A，B，C项错误；∵a-1＞0，c-1＜0，∴0＜c a-1＜1＜b c-1，D项正确．故选：D．【点评】：本题考查指数、对数，幂的大小比较，同时考查了对数函数、指数函数的性质应用，属于基础题．15.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长【正确答案】：C【解析】：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}的基本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．【解答】：解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15，a13=135，则d=10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，其中b1=135，b13=15，则d'=-10，故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7=b1+6d'=135-60=75，因为秋分的晷长为a7，所以a7=a1+6d=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11=a1+10d=15+100=115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4=a1+3d=15+30=45，b4=b1+3d'=135-30=105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选：C．【点评】：本题考查了数列知识的应用，解题的关键是看懂题意，构造等差数列，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值32；② f（a，b，c）有最大值是3．（）A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错【正确答案】：A【解析】：（1）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角形两边之和大于第三边，即可求解．【解答】：解：① 令x=b+c，y=a+c，z=a+b，x＞0，y＞0，z＞0，则a= −x+y+z2，b= x−y+z2，c= x+y−z2，故ab+c +ba+c+ca+b= −x+y+z2x +x−y+z2y+ x+y−z2z= y2x +x2y+z2x+x2z+z2y+y2z−32≥ 2√y2x•x2y+ 2√z2x•x2z+ 2√z2y•y2z−32=32，当且仅当{y2x =x2yz 2x =x2zz 2y =y2z，即x=y=z，即a=b=c时，等号成立，故① 正确，② 由三角形两边之和大于第三边可知，0＜a＜b+c，故ab+c ＜1，同理可得ba+c＜1，ca+b＜1，故f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b＜3，故② 错误．故选：A．【点评】：本题主要考查函数最值，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，周期为2，t秒钟后，旋转角为ωt，求出点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，进而即可求解．【解答】：解：（1）由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为ωt= 2πTt=πt，则此时点P的横坐标为x=2cos（πt+ π6），所以点P到直线l的距离为f（t）=3-2cos（πt+ π6），t≥0．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，可得P旋转了πt= 2π3+2kπ，k∈N，或πt= 4π3+2kπ，k∈N，解得t= 23 +2k，k∈N，或t= 43+2k，k∈N．【点评】：本题考查已知三角函数模型的应用问题，关键是搞清旋转角，理解三角函数的定义．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明MN方向向量与平面PAD的法向量数量积为零；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，再解三角方程求解．【解答】：（1）证明：由题意知AB、AD、AP两两垂直，建系如图，平面PAD的法向量是m⃗⃗ =（1，0，0），设P（0，0，2h），M（32，0，0），N（32，2，h），MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h），因为MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • m⃗⃗ =0，MN⊄平面PAD，所以MN || 平面PAD ．（2）解：由（1）知 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h ）， 平面ABCD 的法向量为 n ⃗ =（0，0，1），又因为直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°， 所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = ℎ√4+ℎ2•1=sin45°= √22 ， 解得h=2， MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，2）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，4）， 令 k⃗ =（1，-1，0）， 因为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， AP⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， 所以 k⃗ 是平面PAC 的法向量， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角正弦值为 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •k ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|k⃗ | = 22√2•√2 = 12 ， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角的大小为30°．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n （n+1）．即可得到平均每天费用y1= 1n[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+ 1)+100]+1500×0.95．利用导数研究其单调性，即可得出其最小值．【解答】：解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．则平均每天费用y1= 1n [n(n+1)+100]+1500 n= n+100n+1501≥1521．当且仅当n=10时取等号．∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+1)+100]+1500×0.95= m+100m+1426（m∈[20，+∞））．令f（m）= m+100m(m∈[20，+∞))．则f′(m)=1−100m2=m2−100m2＞0，故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．∴食堂可接受此优惠条件．【点评】：正确审清题意，利用等差数列的前n项和公式得出表达式，熟练掌握基本不等式求最值和利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，由椭圆的性质求得a=|BF1|+|BF2|2，b，可得椭圆的方程；（2）① 存在，设椭圆上的点P（x0，y0），直接计算|PF2|d，即可探索出存在m；② 由（1）得椭圆的方程为x216+y29=1，设椭圆上的点P（x0，y0），有k1=y0x0+2，k2=y0 x0−2，证明椭圆x216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，再由右光学性质得直线PQ⊥l，由此可求得定值．【解答】：解：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，则|F2B|=√|F1F2|2+|BF1|2=√42+32=5，由椭圆的性质：|BF1|+|BF2|=2a，所以a=|BF1|+|BF2|2=12(3+5)=4，b=√a2−c2=√42−22=2√3，所以椭圆的方程为x 216+y212=1．（2）由椭圆的方程为x 216+y212=1，则F1（-2，0），F2（2，0）．① 存在直线x=8，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值．设椭圆上的点P（x0，y0），则|PF2|=√(x0−2)2+y2，P到直线x=m的距离d=|m-x0|，所以|PF2|d =√(x0−2)2+y02|m−x0|=√(x0−2)2+12−34x02(m−x0)2=√14(x0−8)2(m−x0)2，所以，当m=8时，|PF2|d =12（定值）．即存在m=8，使得P到F2和P到直线x=8的距离之比为定值12．② 设椭圆上的点P（x0，y0），则k1=y0x0+2，k2=y0x0−2，又椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，证明如下：对于椭圆x 216+y212=1，当y＞0，y=√12−3x 24，则y′=4√12−3x24所以椭圆x 216+y212=1在P（x0，y0）处的切线方程为y−y0=04√12−024x−x0)，又由x0216+y0212=1，可以整理切线方程为：y−y0=04√y02x−x0)=−3x04y0(x−x0)，即切线方程为4y0（y-y0）=-3x0（x-x0），即3x0x+4y0y=4y02+3x02=48，也即x0x16+ y0y12=1．所以椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，同理可证：当y＜0，椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，综述：椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，所以在点P（x0，y0）处的切线l的斜率为−3x04y0，又由光学性质可知：直线PQ⊥l，所以−3x04y0⋅k=−1，则k=4y03x0．所以kk1=4y03x0⋅x0+2y0=4(x0+2)3x0，k k2=4y03x0⋅x0−2y0=4(x0−2)3x0，那么kk1+kk2=4(x0+2)3x0+4(x0−2)3x0=83．【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中的探索性问题等知识，属于中等题．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f （x ）的最小值为M ，若正实数a ，b ，c 满足a+2b+3c=M ，求 3a +2b +1c 的最小值；（3）若数列{a n }满足a 1=a （a≤-2或a≥0，a 为常数），3a n+1=f （a n ）（n∈N *），求数列{a n }的前项和S n ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用绝对值不等式的解法求出结果； （2）利用基本不等式的应用求出最小值；（3）利用分类讨论思想的应用和数列的递推关系式和数列的通项公式的求法和数列的求和的应用求出结果．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|． 所以：|2x+4|+|x-2|＞7， 令2x+4=0，解得x=-2， 令x-2=0，解得x=2，故当x ＜-2时，-2x-4+2-x ＞7，整理得-3x ＞9，故x ＜-3；所以x ＜-3． 当-2≤x≤2时，2x+4+2-x ＞7，整理得x ＞1，故1＜x≤2， 当x ＞2时，2x+4+x-2＞7，整理得：3x ＞5，即 x ＞53 ，故x ＞2． 故不等式的解集为：{x|x ＜-3或x ＞1}．（2）由于函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|= {−3x −2(x ＜−2)x +6(−2≤x ≤2)3x +2(x ＞2) ，故函数f （x ）的最小值为4． 即M=4，由于a+2b+3c=4， 所以(a+2b+3c )4•(3a +2b +1c ) = 14(10+2a b+ac +6b a+2b c+9c a+6cb) ≥4+2√3 ，当且仅当a= √3b=3c 时等号成立，故函数的最小值为 4+2√3 ． （3） ① 当a≤-2时，3a 2=f （a 1）=-3a-2， 解得 a 2=−a −23 ＜-2，3a3=f（a2）=-3a2-2，解得a3=a；同理a4=−a−23，a5=a，........，所以a n+a n+1=−23；当n为偶数时，S n=（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a n-1+a n）= −23×n2=−n3；当n为奇数时，S n=a1+（a2+a3）+...+（a n-1+a n）= a−23×n−12=a−n−13；故S n={−n3(n为偶数)a−n−13(n为奇数)．② 当0≤a＜2时，3a2=f（a1）=a+6，解得a2=a3+2＞2；所以3a3=f（a2）=3a2+2，解得a3=a3+83＞2，故当n≥2时，a n+1−a n=23，所以当n≥2时，数列{a n}是以23为公差，a3+2为首项的等差数列；当n=1时，a1=S1=a，所以S n=a+(23+a)(n−1)+(n−1)(n−2)2×23=a+(n−1)(n+4+a)3；所以S n={a(n=1)a+(n−1)(n+4+a)3(n≥2)．③ 当a≥2时，由于3a n+1=f（a n），整理得a n+1−a n=23（常数），数列{a n}是以23为公差，以a为首项的等差数列；所以S n=na+n(n−1)2×23=n(n+3a−1)3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，基本不等式，绝对值不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。

高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(22，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12，2），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x >时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8， 所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a 中，11a =，1221332?32(2)n n n n n a a n ----=-+≥，n S 是数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n m n S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 .【答案】1或2或4 【解析】 试题分析：由1221332?32(2)n n n n n a a n ----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n n n n a a n ------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS ⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M，N是抛物线2y x=上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为12-，则（）A. ||||42OM ON+≥ B. O到直线MN的距离不大于2 C. 直线MN过抛物线2y x=的焦点 D. MN为直径的圆的面积大于4π【答案】B【解析】【分析】根据题意，M，N可看作直线MN与抛物线的交点,对直线MN进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M，N的坐标，可以求得M，N的坐标及直线MN的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN过定点()2,0，结合选项得出答案.【详解】当直线MN的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得2112y-=-，即22y=，∴MN的直线方程为2x=；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m=+，联立2y kx my x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m-+=．设()1122(),,M x y N x y，，则，∴121212OM ONy y kk kx x m==-⋅=，即2m k=-．∴直线方程为()22y kx k k x=-=-．则直线MN过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：t x a=t OD a =5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

七宝中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一. 填空题的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，{1}，{2021}，{0,1}，{0,2021}，{1,2021}，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】此题主要考察集合的真子集及其个数，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.，，，那么图中阴影局部所表示的集合是________〔用区间表示〕【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影局部所表示的集合.【详解】由题得M={x|x>2或者x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，所以.所以阴影局部所表示的集合为[0,2].故答案为：【点睛】此题主要考察韦恩图和集合的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.3.命题“假设实数、满足，那么或者〞是________命题〔填“真〞或者“假〞〕【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3那么a+b＞5〞的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3那么a+b＞5〞，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】〔1〕此题主要考察原命题及其逆否命题，考察命题真假性的判断，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性一样，原命题的逆命题和否命题的真假性一样.所以，假如某些命题〔特别是含有否认概念的命题〕的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.，那么在本场考试时间是是内，该时针扫过的面积是________【答案】【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解.【详解】由题得该时针扫过的面积为故答案为：【点睛】此题主要考察扇形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.是奇函数，那么实数的值是________【答案】【解析】【分析】化简f(-x)+f(x)=0即得a=±1，再检验得a=-1.【详解】由题得，所以所以，经检验a=1不符合题意，所以舍去，故答案为：-1【点睛】此题主要考察奇函数的性质和对数的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.在上单调递增，那么实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】先对函数求导得在〔1,2〕上恒成立，再别离参数求出a的范围.【详解】由题得在〔1,2〕上恒成立，所以.故答案为：【点睛】(1)此题主要考察利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数≥0 .△中，角、、所对的边分别为、、，假设，，，那么△的面积为________ 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】∵a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．∴S△ABC===．故答案为：．【点睛】此题主要考察了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能与计算才能．，那么的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函数是定义域在上的增函数，所以,解不等式即得解.【详解】由于函数是定义域在上的增函数，所以故答案为：【点睛】(1)此题主要考察幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原那么〞，此题不要漏了3x-1≥0.的不等式在上恒成立，那么正实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或者2x-a＜x-1，所以a＜3x-1或者a＞x+1在[0,1]上恒成立，所以a<-1或者a>2,因为a>0,综合得a>2.故答案为：a>2【点睛】此题主要考察绝对值不等式的恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.，函数的图像经过点、，假设，那么________【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f〔x〕=的图象经过点P〔p，〕，Q〔q，〕．那么：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a＞0，故：a=4．故答案为：4【点睛】此题主要考察函数的性质和指数幂的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.，假设，那么的最大值是________【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g〔x〕是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以==，所以的最大值为.故答案为：【点睛】〔1〕此题主要考察函数的奇偶性和单调性，考察函数的图像和性质，考察三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)此题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.，假如函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC〔不能取到〕之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】〔1〕此题主要考察函数的图像和性质，考察求函数的解析式，考察函数的零点问题，意在考察学生读这些知识的掌握程度和数形结合分析推理才能.〔2〕解答此题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.二. 选择题13.“函数存在反函数〞是“函数在上为增函数〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

2020-2021学年上海市闵行区七校高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m ⊥α”是“m ⊥a ，且m ⊥b ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 下列说法正确的是( ) A. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题是“若x 2=1，则x ≠1”B. “x =−1 ”是“x 2−x −2=0”的必要不充分条件C. 命题“x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题是真命题D. “tanx =1”是“”的充分不必要条件 3. 设偶函数在上是增函数，则与的 大小关系是( ) A.B. C.D. 不能确定 4. 若函数的图象与函数的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边与单位圆交点的横坐标是−12，则tan(α+π4)等于______． 6. 如果对于函数f(x)定义域内任意的x ，都有f(x)≥M(M 为常数)，称M 为f(x)的下界，下界M 中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 ．①f(x)=sinx ；②f(x)=lgx ；③f(x)=e x ；④f(x)={1,x >00,x =0−1,x <0．7.若函数f(x)=a x+1(a>0,a≠0)的图象恒过(−1,1)点，则反函数的图象恒过点______ ．8.已知(x+1)2014=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a2014(x−1)2014，则a0+a1+a2+⋯a2014=______ ．9.sin3840°=______．10.在△ABC中，CB=2，AC=2√3，A=30°，则AB边上的中线长为______．11.函数f(x)=cos(2x+θ)+√3sin(2x+θ)是偶函数，则θ=______ ．12.已知全集U={x||x|<2}，集合P={x|log2x<1}，则∁U P=______．13.函数f(x)=x2−2x+4的定义域[−1,t]上的值域为[3,7]，则t的取值范围为______．14.甲，乙，丙，丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有______种排法．15.已知函数y=4+log a(2x+3)(a>0,a≠1)的图象必经过定点P，则点P坐标是______．16.若函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的反函数图象过点(2,1)，则a的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数f(x)=ax2+(b−8)x−a−ab，当x∈(−3,2)时，f(x)>0，当x∈(−∞,−3)∪(2,+∞)时，f(x)<0．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；(3)当x>−1时，求y=f(x)−21x+1的最大值．18.已知函数f(x)=log12|sin(x−π4)|.(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)判定f(x)的奇偶性，并求出它的单调区间．19.如图是修建公路时在小山坡边切去的1个几何体．已知每隔10m的直截面面积(单位：m2)分别为3.4，5.6，6.3，4.8，3.5，试计算大约需移动的土方数．20.已知(I)当时，求在上的最值；(II)若函数在区间上不单调.求实数的取值范围．21. 设函数(1)判断的奇偶性(2)用定义法证明在上单调递增【答案与解析】1.答案：A解析：解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，则“直线m⊥α”能推出“m⊥a，且m⊥b”，是充分条件，反之“m⊥a，且m⊥b”，则“直线m⊥α或m⊂α″，不是必要条件，故选：A．根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．本题考查了据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件，是一道常规题．2.答案：C解析：本题考查四种命题的关系与真假判断，充分条件与必要条件，属于中档题．根据相关的概念逐项进行判断即可．解：对于选项A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”；对于选项B，若x=−1，则x2−x−2=0成立；若x2−x−2=0，则x=−1不一定成立，故x=−1是x2−x−2=0的充分不必要条件；对于选项C，原命题“x=y，则sinx=siny”是真命题，故它的逆否命题也是真命题；对于选项D，若tanx=1，则不一定成立；若，则tanx=1成立，故“tanx=1”是“”的必要不充分条件．故选C．3.答案：B解析：试题分析：易知在单调递减，在单调递增。

七宝中学高三期中数学试卷一.填空题1.已知集合{|||2}A x x =≤，5{|0}1x B x x +=≤-，则A B = 2.已知12cos 5sin cos()A θθθϕ-=+(0)A >，则tan ϕ=3.已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=4.若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是5.已知函数()31x f x =-，2()21g x x x =--，若存在实数a 、b ，使得()()f a f b =，则b 的取值范围是6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(2)()f m f m ->，则实数m 的范围是7.已知θ为锐角，且1cos()45πθ+=，则cos θ=8.已知0a >，0b >且1a b +=，则22(2)(2)a b +++的最小值是9.已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，则(2018)f =10.若函数()|1||2|6|3|f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是11.已知()2sin()f x x ω=(0)ω>在2[,43ππ-上单调递增，则ω的取值范围是12.若定义在[,]m m -(0)m >上的函数42()cos 1x x a f x x x a ⋅+=++(0,1)a a >≠的最大值和最小值分别是M 、N ，则M N +=13.在某一个圆中，长度为2、3、4的平行弦分别对应于圆心角α、β、αβ+，其中αβπ+<，则这个圆的半径是14.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是二.选择题15.函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（）A.4π B.2πC.πD.2π16.已知()y f x =是周期为2π的函数，当[0,2)x π∈时，()sin2x f x =，则1()2f x =的解集为（）A.{|2,}3x x k k Z ππ=+∈ B.5{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C.{|2(1),}3k x x k k Z ππ=+-∈ D.{|2,}3x x k k Z ππ=±∈17.“1132x <<”是“不等式|1|1x -<成立”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要18.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论中正确的是（）①对一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈，使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =；A.①②B.①③C.②③D.①②③三.解答题19.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=；（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅= ，且b =，求a c +的值；20.已知函数()x f x ax b =+，,a b R ∈，0a ≠，0b ≠，1(1)2f =，且方程()f x x =有且仅有一个实数解；（1）求a 、b 的值；（2）当11(,]42x ∈时，不等式(1)()()1x f x m m x +⋅>--恒成立，求实数m 的范围；21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移0.5π个单位长度后得到函数()g x 的图像；（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）当1a ≥，求实数a 与正整数n ，使()()()F x f x ag x =+在(0,)n π恰有2019个零点；22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a a =()a R ∈，13,32,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩，*n N ∈；（1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；（2）若5a =，求2016S ；（3）若321m a =-*()m N ∈，求42m S +的值；23.已知函数2()5b f x ax x=++(,)a b R ∈满足(1)(1)14f f +-=；（1）求a 的值，并对常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）若()f x在区间(,-∞上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立；参考答案一.填空题1.[2,1)- 2.512 3.14- 4.(1,2] 5.(,0)(2,)-∞+∞ 6.(2,1)-7.43210+8.2529.010.[5,)+∞11.304ω<≤12.613.8151514.5(,3][,)2-∞-+∞ 二.选择题15.C16.D 17.A 18.D三.解答题19.（1）1cos 3B =；（2）a c +=；20.（1）1a =，1b =；（2）5(1,4-；21.（1）()cos 2f x x =，()sin g x x =；（2）1a =，1346n =；22.（1）略；（2）4708；（3）13921221m m -⋅--；23.（1）2a =；当0b =时，为偶函数；当0b ≠时，为非奇非偶函数；（2）2-；（3）1(,1)4q ∈，3251q q=-，32n a n =-；。

2021届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）一、填空题 1.函数()2f x x =+的定义域是__________.【答案】[2,)-+∞ 【解析】试题分析：要使()2f x x =+有意义，则，即，即该函数的定义域为[2,)-+∞；故填[2,)-+∞．考点：函数的定义域．2.方程lg(23)2lg x x +=的解为________. 【答案】{}3 【解析】 【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解. 【详解】解:解方程lg(23)2lg x x +=,可得2lg(23)lg x x +=,所以2230023x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+=⎩, 解得32013x x x x ⎧>-⎪⎪>⎨⎪=-=⎪⎩或,即3x =,故答案为: {}3.【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．【答案】6π【解析】【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB , 所以直线11A C ⊥平面11BB D D ,所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于MBC 1∠, 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ， 所以122aMC =，12BC a ， 所以1111sin 2MC MBC BC ∠==, 所以16MBC π∠=【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。

4.已知角α的终边经过点(1,2)P - (始边为x 轴正半轴)，则sin 2α=________.【答案】45- 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得：25sin α=5cos α=，由正弦的二倍角公式可得：sin 22sin cos ααα=，再代入运算即可. 【详解】解：因为角α的终边经过点(1,2)P -，由三角函数的定义可得sin 5α==，cos 5α==-则4sin 22sin cos 2(5ααα==⨯⨯=-， 故答案为：45-. 【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题. 5.在101()x x-的展开式中，常数项等于_______.（结果用数值表示） 【答案】252- 【解析】 【分析】先求出二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，再令1020r -=，求解代入运算即可.【详解】解：由二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101()(1)r rr r r rr T C x C x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，即在101()x x-的展开式中，常数项等于5510109876(1)25254321C ⨯⨯⨯⨯-=-=-⨯⨯⨯⨯，故答案为：252-.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题. 6.若0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值为______． 【答案】18【解析】【详解】根据题意，由于0,0x y >>，且21x y +=， 那么可知1＝2x ＋y, ∴xy ≤18, 因此答案为18. 考点：均值不等式运用点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。

1七宝中学2024学年第一学期高三年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数y =的定义域为 ．2．计算(4log = ．3．已知a 足1与9的等比中项，则正实数a = ．4．在4(x 的展开式中，2x 的系数为 （用数字作答）． 5．在复平面内，复数2ii−对应的点位于第 象限． 6．已知142sin π⎛⎫θ+= ⎪⎝⎭，则4cos π⎛⎫θ−= ⎪⎝⎭ ．7．已知集合{}22|,,A a a x y x y N ==+∈，其中x ，y 可以相同，用列举法表示集合A 中最小的4个元素所构成的集合为 ．8．已知()f x '定函数()f x 的导函数，若函数()f x y e '=的图象大致如图所示，则()f x 的极大值点为 （从a ，b ，c ，d 中选择作答）．（第8题） （第10题）9．已知函数()22cos 2xf x x =+在ABC 中，()()f A f B =，且a b ≠，则C ∠= ．10．如图，线段AD ，BC 相交于O ，且AB ，AD ，BC ，CD 长度构成集合{}1,3,5,x ，90ABO DCQ ∠=∠=︒，则x 的取值个数为 ．211．拋物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是拋物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是 ． 12．平面上到两个定点距离之比为常数(0,1)λλ>λ≠的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请些试解决如下问题：已知a ，b ，c 满足1a c ==，2b =，1a b ⋅=则1122c a c b ++−的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知a 是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）. A ．1a a > B ．2211a a a a +≥+C ．12a a+>D14．已知直线1:10l x y −−=，动直线()()2:10l k x ky k k R +−+=∈，则下列结论正确的为（ ）.A ．不存在k ，使得2l 的倾料角为2πB ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直C ．存在k ，使得1l 与2l 重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）. A ．5B ．6C ．7D ．816．若3n ≥，有限数列1a ，2a ，…，n a 的前k 项和为h S ，且1k k S S +>对一切11k n ≤≤−都成立．给出下列两个命题：①存在3n ≥，使得2a ，2a ，…，n a 是等差数列：②对于任意的3n ≥，1a ，2a ，…，n a 都不是等比数列．则（ ）.A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题3三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，1111ABQD A B C D −为正方体，动点P 在对角线1BD 上（不包含端点），记11D P D B=λ．（1）求证：1AP B C ⊥；（2）若异面直线AP 与11D B 所成角为3π，求λ的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知点()1,1A ，()1,1B −，)Cθθ，O 是坐标原点．（1）若2BC BA −=，求sin 2θ的值；（2）若实数m ，n 满足mOA nOB OC +=，0,2π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，求22(3)m n ++的最大值．419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满8分）英语学习中学生喜爱用背单词“神器”提升自己的英文水平．为了解上海中学生和大学生对背单词"神器"的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的侤率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s ．写出21s ，22s ，23s 的大小关系．（结论不要求证明）520．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分） 在平面直角坐标系中，1F ，2F 分别是椭圆22143x y +=的左右焦点，设不经过1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ． （1）求该椭圆的离心率；（2）若直线l 经过坐标原点，求2F AB 面积的最大值；（3）如果直线1AF ，l ，1BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若斜率为k 的两条平行直线1l ，2l ，曲线():C y f x =满足以立两条性质：（Ⅰ）1l ，2l 分别与曲线C 至少有两个切点；（Ⅱ）曲线C 上的所有点都在1l ，2l 之间或两条直线上．则称直线1l ，2l 为曲线C 的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为()d k ．已知曲线():sin C f x mx n x =+．（1）判断0m =，1n =时，曲线C 是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若1m =，1n =−，试问：1:1l y x =+和2:1l y x =−是否是函数()y f x =的一对“双夹线”？若是，求此时()d k 的值；若不是，诮说明理由．（3）对于任意的正实数m ，n 函数()y f x =是否都存在“双夹线”？若是，求()d k 的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．7参考答案一、填空题 1.()1,+∞; 2.34; 3.3; 4.18; 5.三; 6.12; 7.{}0,1,2,4; 8.a ; 9.3π; 10.4； 11.112. 11．拋物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是拋物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是 ． 【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得2AF BFMN +=.在AFB ∆中,由余弦定理得22223AB AF BF AF BF cos π=+−⋅ ()()222223322AF BF AF BFAF BF AF BF AF BFMN =+−⋅⎛⎫⎛⎫+++−= ⎪ ⎪⎭⎭=⎝⎝…当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.12．平面上到两个定点距离之比为常数(0,1)λλ>λ≠的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请些试解决如下问题：已知a ，b ，c 满足1a c ==，2b =，1a b ⋅=则1122c a c b ++−的取值范围为．【答案】【解析】1,2,1,,a b a b a b ==⋅=∴的夹角为3π如图不妨设()(10,13a OA ,b OB ,====,()c OC cos ,sin ==αα 直线BC 与单位圆相切得点()20E ,−,81113113,1222EC c a c a EC⎛⎫=+=++−=∴+= ⎪ 则()1113222ca cb EC BC BE ++−=+≥=当且仅当,,B C E 三点共线时等号成立.又11522c a c b cos ++−=++12=…==当2,,2,623k k Zk πππ−α=+π∈α=−−π即k Z ∈时，等号成立. 综上所述,则1122c a c b ++−的取值范围为 二、选择题13.B 14.D 15.B 16.C15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）. A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】求学生人数的最大值先假设人数大于6,设7个人:ABCDEFG , 每相邻的3人取成一组，则有,,,ABC BCD CDE DEF ，EFG ，共5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生,所以这5组的男生人数之和是大于等于10, 每相邻的5人取成一组,则有,ABCDE BCDEF ,,3CDEFG 组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3组的男生人数之和是小于等于9, 两者显然矛盾，故人数不可能大于6;9当人数为6时,用1表示男生,0表示女生,则可以101101,符合题意,故选：B. 三．解答题17.（1）证明略 （2）4518.（1）12−（2）1619.（1）320 （2）()34E X = （3）222231S S S <<20．（1）12（2（3）⎢⎣21．（1）存在（2）是，()d k = （3）是，())0d k n =>。

2021届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）一、填空题 1.函数()2f x x =+的定义域是__________.【答案】[2,)-+∞ 【解析】试题分析：要使()2f x x =+有意义，则，即，即该函数的定义域为[2,)-+∞；故填[2,)-+∞．考点：函数的定义域．2.方程lg(23)2lg x x +=的解为________. 【答案】{}3 【解析】 【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解. 【详解】解:解方程lg(23)2lg x x +=,可得2lg(23)lg x x +=,所以2230023x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+=⎩, 解得32013x x x x ⎧>-⎪⎪>⎨⎪=-=⎪⎩或,即3x =,故答案为: {}3.【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．【答案】6π【解析】【详解】正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C交11B D于点M，连接MB，由题可得：11A C⊥11B D，11A C⊥1BB,所以直线11A C⊥平面11BB D D,所以直线1BC与平面11BB D D所成的角等于MBC1∠,设正方体1111ABCD A B C D-的边长为a，所以122aMC=，12BC a，所以1111sin2MCMBCBC∠==,所以16MBCπ∠=【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。

4.已知角α的终边经过点(1,2)P- (始边为x轴正半轴)，则sin2α=________. 【答案】45-【解析】【分析】由三角函数的定义可得：25sinα=5cosα=，由正弦的二倍角公式可得：sin22sin cosααα=，再代入运算即可.【详解】解：因为角α的终边经过点(1,2)P-，由三角函数的定义可得sin 5α==，cos 5α==-则4sin 22sin cos 2(5ααα==⨯⨯=-， 故答案为：45-. 【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题. 5.在101()x x-的展开式中，常数项等于_______.（结果用数值表示） 【答案】252- 【解析】 【分析】先求出二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，再令1020r -=，求解代入运算即可.【详解】解：由二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，即在101()x x-的展开式中，常数项等于5510109876(1)25254321C ⨯⨯⨯⨯-=-=-⨯⨯⨯⨯，故答案为：252-.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题. 6.若0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值为______． 【答案】18【解析】【详解】根据题意，由于0,0x y >>，且21x y +=， 那么可知1＝2x ＋y , ∴xy ≤18, 因此答案为18. 考点：均值不等式运用点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。

七宝中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一. 填空题2{|20}A x x x a =-+=，假设3A ∈，那么集合A 可用列举法表示为________【答案】{3,1}- 【解析】 【分析】将3代入220x x a -+=求出参数a ，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 【详解】3A ∈，将3代入220x x a -+=可得：960a -+=，3a =-，原方程为：2230x x --=，解得123,1x x ==-，故集合{1,3}A =- 故答案为：{3,1}-【点睛】此题考察元素与集合的关系，列举法表示集合，属于根底题x 的不等式2420x x -++>的解集为________【答案】(6,7)- 【解析】 【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进展求解即可【详解】()()()224204207606,7x x x x x x x -++>⇔--<⇔-+<⇒∈-故答案为：(6,7)-【点睛】此题考察一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间〞原那么，属于根底题21()(1)mf x m x +=-是幂函数，那么(2)f -=________【答案】-32 【解析】 【分析】根据幂函数的根本形式进展求解即可 【详解】21()(1)mf x m x +=-是幂函数，∴11m -=，52,()m f x x ==，那么()5(2)232f -=-=-故答案为：-32【点睛】此题考察幂函数的根本形式，详细函数值的求法，幂函数根本形式为：()af x x =，x 前面的系数必须为1，属于根底题4.(,)2παπ∈，1sin 3α=，那么tan2α=________【答案】7-【解析】 【分析】根据同角三角函数先求出tan α，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2παπ∈，∴由1sin tan 34αα=⇒=-，22tan tan 21tan ααα==-故答案为：7-【点睛】此题考察同角三角函数根本求法，正切角的二倍角公式，属于根底题sin (3sin 4cos )1y x x x =++〔x ∈R 〕的最大值为M ，最小正周期为T ，那么有序数对(,)M T 为_____【答案】(5,)π【解析】 【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 【详解】()21cos255sin (3sin 4cos )1=3sin 4sin cos 132sin 2+1=sin 2222x y x x x x x x x x ϕ-=++++=⋅+-+当()sin 2=1x ϕ-时，max 5y M ==，22T ππ==，故有序数对为(5,)π 故答案为：(5,)π【点睛】此题考察三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin ,cos 22αααα-==应强化记忆，属于根底题 {}n a 中，假设519a =，935a =，那么10a =________【答案】39 【解析】 【分析】先由95a a -求得公差，再求10a 即可 【详解】数列是等差数列，∴9535194a a d -=-=，4d =，10935439a a d =+=+=故答案为：39【点睛】此题考察等差数列根本量的求解，属于根底题231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，那么实数m 的取值范围是________ 【答案】(2,5] 【解析】 【分析】分类讨论，先由1x ≤求出3x 的取值范围，再结合1x >时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当1x ≤时，1333x ≤=，()(]0,3f x ∈；当1x >时，()22x m f x -=+是减函数，()(),2f x m ∈-∞-，要满足()(,3]f x ∞∈-，此时应满足(]20,3m -∈ ，即(2,5]m ∈ 故答案为：(2,5]【点睛】此题考察根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，那么()f x 在R 上的零点个数为________个. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出0x >时2()lg(33)0f x x x =-+=的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 【详解】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x ==根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5【点睛】此题考察奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于根底题2{|(8)(1)0,}A x mx m x x Z =--->∈中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是_____【答案】[4,2]-- 【解析】 【分析】对m 进展分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m 所满足的条件即可【详解】①当0m =时，集合{}1A x Z x =∈<当0m ≠时，令2880mx m x m m--=⇒=+，101x x -=⇒=②当0m >时，8m m +≥81A x Z x x m m ⎧⎫=∈<>+⎨⎬⎩⎭或③当0m <时，8m m +≤-81A x Z m x m ⎧⎫=∈+<<⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，[)6,5---，根据对勾函数性质，当且仅当()80,m m m m=<=-A 元素个数最少，需满足865m m -≤+<-，化简得22680580m m m m ⎧++≤⎨++>⎩，即[]4,2m ∈--故答案为：[4,2]--【点睛】此题考察集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题 ()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，那么当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________【答案】3()log (24037)f x x =- 【解析】 【分析】根据2T =，需将[2019,2020]x ∈进展区间转化，2020[1,0]x -∈-，结合偶函数，求出()f x 在[]1,0x ∈-的表达式，即可求解【详解】由题可知2T =，当[2019,2020]x ∈，()()2020f x f x =-，令2020[1,0]t x =-∈-； 当[]1,0t ∈-时，[]0,1t -∈，那么3()log (32)f t t -=+，又函数为偶函数， 故()3()log (32)f t f t t -==+，将2020t x =-代入可得()()()()33log 322020log 24037f t x x =+-=-，即()()3log 24037f x x =-故答案为：()()3log 24037f x x =-【点睛】此题考察周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或者对称区间，再进一步求解{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n N ∈，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中抽出一项〔不是1a 也不是m a 〕，余下各项的算术平均数为40，那么抽出的是第________项 【答案】6 【解析】 【分析】 由(73)2n n n S +=可先算出n a ，先令40n a =，算出n ，再结合等差数列的性质进一步判断 【详解】由(73)2n n n S +=得()()()-1-17-132n n n S +=，172(2),n n nS S a n n --==-≥〔验证当1n =时也符合〕故72n a n =-，令72=40n a n =-，得6n =，即640a =，根据等差数列的性质，6111210572a a a a a a a =+=+==+，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611S a =得算数平均数为640a =，那么11m =，抽出的是数列的第6项故答案为：6【点睛】此题考察等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，(),,,m n p q m n p q a a a a m n p q N ++=+⇒+=+∈，属于根底题()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，那么(1)(2020)f f +的最大值是______【答案】4 【解析】可将x 换为1x +，得出22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，可得()g x 周期为2，()()(1)(2020)10g g g g +=+ ，再结合根本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，①将x 换为1x +，得出22(2)(2)(1)(1)4f x f x f x f x +-+++-+=，② 由②-①得：22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，那么()g x 周期为2，所以()(2020)0g g =令0x =，得22(1)(1)+(0)(0)=4f f f f -- 即()()()()222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4g g g g f f f f f f f f ++---+，()22(2020)+(1)4(2020)1f f f f =++令()()2020,1a f b f ==，那么224a b a b +=++，由()()()()22222222a b a b a b a b ++≥+⇒+≥即()242a b a b +++≥，化简得()()420a b a b +-++≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，[]2,4a b +∈-故()()20201a b f f +=+的最大值为4， 故答案为：4【点睛】此题考察复合函数周期性的推导，根本不等式求最值，推理运算才能，属于中档题 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项〞是“2x =〞的〔 〕 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项〞化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可 【详解】由“x 是1和4的等比中项〞可得242x x =⇒=±，显然在命题“假设x 是1和4的等比中项，那么2x =〞中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 应选：B【点睛】此题考察等比中性性质，必要不充分条件，属于根底题14.假设△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，那么△ABC 〔 〕 A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形C. 一定是直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形大边对大角原那么和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原那么确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-< 可判断C 为钝角 应选：A【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于根底题 ()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，那么不等式1|(3)|2x f -<的解集为〔 〕 A. (0,1) B. (1,3) C. (1,1)- D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 给出的两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 【详解】由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数， 那么1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，那么1()f x -过()()1,2,3,2- 那么11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 应选：A【点睛】此题考察原函数与反函数的性质，原函数假设单调，那么原函数与反函数单调性一样，原函数定义域〔值域〕与反函数值域〔定义域〕一样，属于中档题16.如图，△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，那么MN 的最大值为〔 〕A.6kB.8k C.9k D.12k 【答案】B 【解析】 【分析】可设BC x =，MN y =，由AMNABC ∆∆和切线长定理可代换出x 与y 的关系，最终将y 代换成关于x 的二次函数，再求最值即可【详解】设BC x =，MN y =，,,D E F 分别为三个边的切点，那么,,,BE BD CF CD ME MG NF NG ====那么AMN ∆周长为2AE AF k x +=-2==AMN MN k x y ABC BC k x ∆-=∆周长周长，那么()22248x k x k ky x k k -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当4k x =时，y 有最大值8k应选：B【点睛】此题考察三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π3()y g x =的图像.〔1〕当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；〔2〕锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设3()f A =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】〔1〕[0,12+；〔2【解析】【分析】〔1〕现根据平移法那么求得()g x ，再求()g x 值域即可；〔2〕由()f A =求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】〔1〕sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin 2f x x =；然后向左平移6π个单位，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 20,2213g x x π⎡⎛⎫=+++⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦〔2〕sin ()23A f A A π==⇒=或者23π〔由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π〕， 1sin 2ABC S bc A ∆=，①()222222cos 22b c bc a b c aA bcbc+--+-==，②又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,那么ABC S ∆ 【点睛】此题考察三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法那么，正弦定理余弦定理结合求面积，属于根底题()2x f x k =+〔k 为常数〕，(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.〔1〕务实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；〔2〕将1()y fx -=按向量(2,0)a =平移，得到函数()y g x =的图像，假设不等式1()f x g m --≤有解，试务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕2k =-，12()log (2)f x x -=+；〔2〕32m ≥. 【解析】 【分析】〔1〕由原函数与反函数的对应关系知()2,k -过原函数，代入()2x f x k =+即可求得k 值，进一步求得1()y fx -=的解析式〔2〕先根据向量平移法那么求得()g x ，原式1()f x g m --≤有解可转化为22log (2)log x m +-≤有解，再由根本不等式求解即可【详解】〔1〕由题知，反函数过(,2)A k -，那么原函数过()2,k -，2(2)22f k k k =+=-⇒=-，那么()22xf x =-，由()22222log 2x x y y x y =-⇒=+⇒=+，即12()log (2)f x x -=+〔2〕12()log (2)f x x -=+按向量(2,0)a =平移得2()log g x x =，那么1()f x g m --≤有解⇔22log (2)log x m +-()0x >有解，即2222log (2)log log log x +-==≥1x =时等号取到〕，223log log 2≥=，要使1()fx g m --≤有解，那么32m ≥【点睛】此题主要考察原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，根本不等式求最值，属于中档题19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开场第一个月就到达1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的本钱与月份的平方成正比，第4个月本钱为8000元，但第11个月起每月本钱固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++〔0a ≠〕或者()x f x km n =+〔0k ≠，0m >，1m ≠〕来模拟销量下降期间的月销量. 〔1〕请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；〔2〕前20个月内，该网店获得的月利润的最高纪录是多少，出如今哪个月？ 【答案】〔1〕()x f x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11xx x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，；〔2〕24万，第10个月 【解析】 【分析】〔1〕分别采用待定系数法，算出2()f x ax bx c =++和()x f x km n =+表达式，再检验18x =时是否符合题设即可〔2〕列出利润()w x 关于x 的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解【详解】〔1〕假设从第11个月开场，月销量符合2()f x ax bx c =++的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1211113114412927169137189a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩，22()1789f x x x =+-，对称轴为272x =，当14x ≥时，不符合题意，故此模型舍去； 假设从第11个月开场，月销量符合()x f x km n =+的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1411121321319275k km n km n m km n n ⎧=⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩，1425()x f x -=+，当17x =时，14174125)8(17f -+==，141886(181)125f -+==，()()1817f f <， 故()x f x km n =+更合理，此时1425()x f x -=+，11x ≥；由题知前10个月符合一次函数模型，设() 1.5f x x b =+，将()1,1代入，解得0.5b =，那么() 1.50.5f x x =+，110x ≤≤，故 141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，〔2〕设前10个月本钱〔万元〕与月份的关系为()2h x nx =，将()4,0.8代入解得120n =，那么()220x h x =，前10个月利润可表示为()()()()()22121.50.530442020x w x f x h x x x =-=--=--+，当10x =时取到最大值，()max 24w x =；当11x ≥时，1425()x f x -=+单调递减，第11个月利润有最大值， ()max =132323w x ⨯-=；故月利润最高记录为24万元，出如今第10个月.【点睛】此题考察函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算才能，属于中档题20.{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+，219b =，249T =. 〔1〕求公差d 的值；〔2〕假设对任意的*n N ∈，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围； 〔3〕假设11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由.【答案】〔1〕1d =；〔2〕[7,6]--；〔3〕无解，理由见解析 【解析】【分析】〔1〕由4224S S =+化简即可求得；〔2〕由〔1〕0d >，7n S S ≥可知，780,0a a ≤≥，再解1a 范围即可；〔3〕由219b =，249T =可求得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得11=123n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同时11a =可求得()12n n n S +=，设2()12n n f n S T =--，可证2()12n nf n S T =--单调递增，通过对n 赋值可判断不存在n 值，使2202012n nS T -=-有解【详解】〔1〕()4211432442242S S a d a d ⨯=+⇔+=++，化简得1d = 〔2〕10d =>，7n S S ≥，780,0a a ∴≤≥，即11160[7,6]70a d a a d +≤⎧⇒∈--⎨+≥⎩ 〔3〕等比数列满足219b =，249T =，即1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1113311=112313nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎝⎭∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11a =，那么()()()1111222n n n d n n n n S na n --+=+=+= 2223121112123nnnT ==⋅-⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，假设2()12n n f n S T =--，即()1()232n n n f n +=⋅- ()()112(1)232n n n f n ++++=⋅-，()()()1121(1)()2323431022n n n n n n n f n f n n ++++⎡⎤+-=⋅--⋅-=⋅-->⎢⎥⎣⎦，n N +∈，那么()1()232n n n f n +=⋅-为单调递增函数，()6671(6)23=14372f ⨯+=⨯-， ()7771(7)23=43462f ⨯+=⨯-，即(6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使2202012n nS T -=-有解【点睛】此题考察等差数列、等比数列根本量的求解，前n 项和公式，函数的单调性，逻辑推理才能，属于中档题21.012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. 〔1〕求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； 〔2〕试判断当1n =时〔或者2时〕，是否存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立，假设存在，写出对应0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕，假设不存在，说明理由； 〔3〕求所有能使()*式成立的i a 〔0i n ≤≤〕所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅. 【答案】〔1〕1[,1)2；〔2〕不存在，理由见解析；〔3〕(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】 【分析】〔1〕先判断1()1f x x=-的单调性，再根据定义域进一步求值域； 〔2〕由题干和〔1〕知，2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，结合()*式判断可确定不存在；〔3〕可通过试值法，先确定32a =，再通过试值法进一步确定23a =，最终锁定101121+66a a =>， 那么136a <<，分别讨论14a =和15a =进一步确定0a 即可 【详解】〔1〕设122x x ≤<，221()1f x x =-，111()1f x x =-，()()21211212110x x f x f x x x x x --=-=> 故1()1f x x=-在[2,)x ∈+∞上单增，()()min 112122f x f ==-=，当x →+∞时，1()11f x x=-→，那么()1[,1)2f x ∈〔2〕由〔1〕知，设()11n nf a a =-为单调递增函数，那么2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，当1n =时，101111a a -<-，所以()*式不成立； 当2n =时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，210111(1)(1)2(1)a a a -+-<-，()*式也不成立，故当1n =时〔或者2时〕，不存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立 〔3〕由()111,12n n f a a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得，123011111(1)(1)(1)(1)2(1)22n n a a a a a <-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，即4n <，又由〔2〕可知，1,2n n ==()*式不成立，故要使()*式成立，只能取3n =，当3n =时12301111(1)(1)(1)2(1)a a a a -+-+-=-，即012321111a a a a +=++，由题012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>， 假设33a =，否那么原式为右边至多为1111345++<，()*式不成立那么32a =，同理23a =，否那么原式右边至多为1111245++<，因此可得012111132a a +=++，化简得101121+66a a =>，所以136a <<，当14a =时0=24a ；当15a =时，0=60a综上所述，012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅的所有可能解为：()24,4,3,2或者()60,5,3,2【点睛】此题考察函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解详细数值，对于逻辑推理才能有较高要求，属于难题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

2022-2023 年七宝中学高三上期中一、填空题1.函数()3cos 21f x x =+最小值为_______________.2.函数()f x =_______________. 3.若{}222A y y x x ==−+，且a A ∈，则12a +的取值范围是______. 4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________5.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52−，则实数a 的值为________.6.函数lgsin y x =的单调递增区间是___________7.函数()cos f x x ω=()0,Z x ω>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为 __．8.设()cos 2cx f x ax bx =++（x R ∈），,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n ∈N ），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a 、b 、c 的值__________．（答案不唯一，一组即可）9.已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：2221x y a−=（a ＞0）的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 __．10.已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .11.已知数列{}n a 满足2*11()n n n a a a n N +=−+∈，设12111n n S a a a =++，且10910231a S a −=−，则数列{}n a 的首项1a 的值为______．12.若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x x a x e x a−+−>恒成立，则a 范围__________． 二、选择题13.已知数据1x ,2x ,3x ，n x ⋅⋅⋅是上海普通职n (3n ≥，n N *∈)个人年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确（ ）A .年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变14.将函数sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x 轴向右平移6π个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（） A .,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C . 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D .,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭15.双曲线2213x y −=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像,则α的角度可以为（ ）A .30°B .45°C .60°D .90°16.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=−，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨−−<⎪⎩，则方程()()0g x g x −−=实数根的个数为（）A .2024B .2025C .2026D .2027三、解答题17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.（1）设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；（2）设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小.18. 了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间[)1000,1500内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；19.设函数()()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为4π，且()f x 为偶函数.（1）求ω和ϕ的值；（2）在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若()2cos cos −=a c B b C ，求()()22fA f C +的取值范围. 20.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n na b 表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21.令()()(){}()()()()()()(),max ,R ,f x f x g x H x f x g x x g x f x g x ⎧≥⎪==∈⎨<⎪⎩. （1）若()212f x x =−，()22g x x x =−，试写出()H x 的解析式并求()H x 的最小值； （2）已知()f x 是严格增函数，()g x 是周期函数，()h x 是严格减函数，x ∈R ，求证：()()(){}max ,G x H x h x =是严格增函数的充要条件：对任意的x ∈R ，()()f x g x ≥，()()f x h x ≥.参考答案一、填空题1.2−2. (]3,1−3. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4. 185. 12−6. π2π,2π2k k k Z7. 29π或29π8.1,0,1a b c ===9. [)1,+∞10. [)2,1−−11.3212.[)1,+∞二、选择题13.B 14. D 15. C 16. D三、解答题17.（1）42π+（2）6π18.（1）0.1（2）平均数为2400，中位数为240019.（1）1,22πωϕ== （2）5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦20.（1）4540001,1600154n n n n a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯−=⨯−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）至少经过5年21.（1）()22212,3112,132,1x x x H x x x x x x ⎧−<−⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪−>⎪⎪⎩，()H x 的最小值为1−（2）证明略。

2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 函数的定义域为 __________ ．(★★) 2. 计算 ______ ．(★★) 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数 ______ ．(★) 4. 在的展开式中，的系数为 ______ （用数字作答）．(★) 5. 在复平面内，复数对应的点位于第 ______ 象限.(★★) 6. 已知，则 ______ ．(★) 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ______ ．(★★★) 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为 ______ （从中选择作答）．(★★★) 9. 已知函数．在中，，且，则 ______ ．(★★★) 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ______ ．(★★★) 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ______ ．(★★★★) 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ______ ．二、单选题(★★★) 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都不垂直C．存在，使得与重合D．对任意的，与都有公共点(★★★★) 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A．B．C．D．(★★★★) 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题三、解答题(★★★) 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．(1)求证：；(2)若异面直线与所成角为，求的值．(★★★) 18. 已知点、、，是坐标原点.（1）若，求的值；（2）若实数、满足，，求的最大值.(★★★) 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）(★★★★) 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．(1)求该椭圆的离心率；(2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值；(3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．(★★★) 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.。