一、计算题(解答写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。本题包含55小题，每题？分，共？分)
1．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是M 的小车A 和B ，两车间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右运动，另有一质量为
0M 的粘性物体，从高处自由下落，正好落
至A 车并与之粘合在一起，在此后的过程中，弹簧获得最大弹性势能为E ，试求A 、B 车开始匀速运动的初速度
0v 的大小．
解析：物体
0M 落到车A 上并与之共同前进，设其共同速度为1v ，
在水平方向动量守恒，有
100)(v M M M v +=
所以 0
01v M M M
v +=
物体0M
与A 、B 车共同压缩弹簧，最后以共同速度前进，设共同速度为2v ，根据动量守
恒有
200)2(2v M M Mv +=
所以
0222v M M M
v +=
当弹簧被压缩至最大而获得弹性势能为E ，根据能量守恒定律有：
()()202102202121221
Mv v M M v M M E ++=++
解得 ()()002
0022M M M M MM E
v ++=
．
2．如图所示，质量为M 的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右的瞬时冲量I ，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求：
(1)木块返回到小车左端时小车的动能． (2)弹簧获得的最大弹性势能．
解：(1)选小车和木块为研究对象．由于m 受到冲量I 之后系统水平方向不受外力作用，系统动量守恒．则v m
M I
)(+=
小车的动能为
222
)(221m M MI Mv E K +=
=. (2)当弹簧具有最大弹性势能时，小车和木块具有共同的速度，即为v ．在此过程中，由
能量守恒得2
2))((21)(2
1m M I
m M W E m I m f P ++++= 当木块返回到小车最左端时，由能量守恒得2
2))((212)(2
1m M I
m M W m I m f +++= 联立得
)(42
m M m MI E P +=
3．如图所示，一平板小车静止在光滑的水平面上，质量均为m 的物体A 、B 分别以2v 和v
的初速度、沿同一直线同时从小车两端相向水平滑上小车．设两物体与小车间的动摩擦因数均为μ，小车质量也为m ，最终物体A 、B 都停在小车上（若A 、B 相碰，碰后一定粘在一起）．求： (1)最终小车的速度大小是多少，方向怎样？
(2）要想使物体A 、B 不相碰，平板车的长度至少为多长？
(3)从物体A 、B 开始滑上平板小车，到两者均相对小车静止，小车位移大小的取值范围是多少？
解：(1)对整体由动量守恒定律得
023+-⋅='mv v m v m ，则
3v
v =
'，方向向右．
(2)由功能关系
得mgL
v m mv v m μ=⋅-+222)3(32121)4(21，则
g v L μ372= (3)①物体A 、B 未相碰撞,B 停止时，A 继续运动，此时小车开始运动．对小车应用动能定理
得
2
)
3(221v m mgs ⋅=μ，则g v s μ92= ②物体B 速度为零时正好与A 相撞，碰后小车开始加速，最终达到共同速度
3v
v =
共．对
小车应用动能定理得
2
)
3(212v m s mg ⋅='⋅μ，则g v s μ362=' 所以小车位移大小的取值范围是
≤≤s g v μ362g v μ92
4．在建筑工地上，我们常常看到工人用重锤将柱桩打入地下的情景．对此，我们可以建立这样一个力学模型：重锤质量为m ，从高H 处自由下落，柱桩质量为M ，重锤打击柱桩的时间极短且不反弹．不计空气阻力，桩与地面间的平均阻力为f 。利用这一模型，有一位同学求出了重锤一次打击柱桩进入地面的深度．
设柱桩进人地面的深度为h ，则对垂锤开始下落到锤与柱桩一起静止这一全过程运用动能定理，得00)(-=-++fh Mgh h H mg ，得出
f g m M mgH
h -+=
)(
(1)你认为该同学的解法是否正确？请说出你的理由．
(2)假设每一次重锤打击柱桩时锤的速度为一定值，要使每一次重锤打击后桩更多地进入地下，为什么要求锤的质量远大于桩的质量？
解：(1)不对，因为在锤与桩碰撞过程中系统动能有损失．
(2)设锤每次打桩的速度都是v ，发生完全非弹性碰撞后的共同速度是v '，则m v = (M+ m)
v '，非弹性碰撞后二者的动能为
)(2)(21222
m M v m m M E K +=
+= 当m>>M 时，碰后二者的动能越趋向于2
21
mv （初动能），即能量在碰撞过程中的损失趋
向于零，故要求m>>M.
根据动能定理得
021
2-=
-mv fs W ，
J fs mv W 521085.921
⨯=+=
。
5．如图所示，平板小车C 静止在光滑的水平面上.现在A 、B 两个小物体（可视为质点），分别从小车C 的两端同时水平地滑上小车.初速度v A =0.6 m/s,v B =0.3 m/s.A 、B 与C 间的动摩擦因数都是μ=0.1.A 、B 、C 的质量都相同.最后A 、B 恰好相遇而未碰撞.
且A 、B 、C 以共同的速度运动.g 取10 m/s2.求：
（1）A 、B 、C 共同运动的速度.
（2）B 物体相对于地向左运动的最大位移. （3）小车的长度. 解：（1）设A 、B 、C 质量都为m ，共同运动速度为v ，以向右为正方向． 动量守恒mv A +m (－v B )=3mv
代入数据得v =0.1 m/s 方向向右
（2）当B 向左运动速度为零时，有向左最大位移．
B
向左运动加速度为a =m mg
μ=μg =1 m/s 2
