音速喷嘴公式推导
1. 气体热力学性质
在工程热力学中，常用的状态参数有六个，即压力p 、体积V 、温度T 、热力学能U 、比焓h 和比熵s .
其中,焓H 是一个组合状态参数
pV U H +=
单位质量物质的焓称为比焓h
m
H h =
熵是一个导出的状态参数,对简单可压缩均匀系,它可以由其它状态参数按下列关系式导出:
0T dV d S p U S ++=⎰
, T
V
p U S d d d +=
单位质量物质的熵称为比熵
d d s T v p u m S s ++=
⎰, T
v
p u m dS ds d d +== 比热容也是物质的重要热力性质之一,它的定义为单位质量的物质在无摩擦内平衡的特定过程中,作单位温度变化的时候所吸收或放出的热量.
气体的比热容,常用的有比定容热容(v c )和比定压热容(p c )
T
q T
q
c v
v v d )(
δδ=
∂=
T
q T
q
c p
p p d )(
δδ=
∂=
比定压热容与比定容热容的比值称为热容比,用γ表示
v
p c c =
γ
对于完全气体,以下等式成立:
RT p ρ=(R 为气体常数), γρc p =(c 为常数), R c p 1
-=
γγ
1
-=
γR
c v , T c h p = 由熵的定义可以看出,只要过程进行时,热力系向外界放出的热量始终等于热产,那么过程就是等熵的.但是,通常所说的定熵过程都是指无摩擦绝热过程. 绝热过程是指热力系在和外界无热量交换的情况下进行的过程. 2. 可压缩流体运动的三种参考状态
(1) 滞止状态
滞止状态,是指流体从某一状态经历一个等熵过程,使其最终流动速度为零时所达到的状态.对于静止流体,它所处的状态就是滞止状态;对于流动的流体,滞止状态可以看成是这样一种假想的无限大的容器中流体的“静止状态”，从这一状态等熵加速，最后流体恰好能达到该流动状态.
按滞止状态的定义,每个流动状态的滞止状态都是惟一确定的,因而,每个流动状态都有惟一的滞止压力、滞止温度、滞止密度、滞止焓等滞止参数. 滞止参数又称为总参数.
作为一种参考状态,滞止状态的概念是与流体实际流动中所发生的过程无关的,在实际流动过程中,沿流动途径可以有热量交换或存在摩擦力等,但沿实际流动的每个截面上,都存在上面定义的滞止状态,这样,滞止状态是每一截面上流动状态的函数,一般而言,滞止状态是沿流动方向变化的量,只有在流体作等熵流动时,滞止参数才是沿整个流动途径不变的量.
滞止状态对应的参数称为滞止参数,在参数相应表达字母的右下角用角标“0”表示,如滞止压力0P 、滞止温度0T 、滞止密度0ρ. （2）临界状态
可压缩流体在流动过程中，其压力、密度、温度和流速等参数都会沿流动方向发生变化.若在某一截面上,流体的流速与该截面上流体介质中的当地声速相等,则称该截面为临界截面,该截面所处的状态称为临界状态,临界状态的参数称为临界参数,用下角标“*”表示，如临界压力*P ，临界温度*T ，临界密度*ρ. (2) 极限速度状态
当可压缩流体作绝热流动时,如果存在一个截面,当流体达到该截面处时,它的比焓值降至0=h ,则流体的速度可达到最大极限值.此时的流速称为极限速度,流体所处的状态称作极限速度状态.极限速度m u 和滞止焓0h 之间有如下关系:
02
max 2
1h u = 或
02h u =.
（4）三种状态参数之间的关系 完全气体的声速公式为
RT a γ=
定义马赫数
RT
v a v M a γ==
即流体质点的运动速度与流体质点当地的声速之比。流场中各点的气体参数不同，马赫数也不同.
一维定常绝能流动的能量方程为
2
22112
v h v h +=+
如果把气流速度1v 绝能的滞止到零,此时所对应的焓值1h 就称为滞止焓,用0h 表示,则
2
2
0v h h +=
对于完全气体还有T c h p =成立,代入上式,有
p
c v T T 22
0+= 其中0T 为滞止温度,T 为静温.
因为R c p 1
-=
γγ,而RT
v M a
γ2
2
=,代入上式,可得 2
02
11a M T T -+=γ (2.1) 同理可以得到其它滞止参数和静参数之间的关系
1
20211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=γγ
γa M p p (2.2)
1
1
20211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=γγρρa M (2.3)
在气体动力学中,有时候用气流速度与临界声速之比代替马赫数更为方便,这个比值λ称
为速度因数,即
*
=
v v λ 速度因数λ和马赫数a M 之间的关系为
2
)1(21a a
M M -++=γγλ 或 2
)1()1(2
λγγλ--+=a M 将上式代入(2.1)、（2.2）、（2.3）可以得到
2
01
11)(λγγλτ+--==
T T （2.4） 1
20111)(-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--==γγ
λγγλπp p （2.5） 1
1
20111)(-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--==
γλγγρρλε （2.6）
