等差数列前n项和

求数列前N项和的七种方法一、等差数列求和公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

例如：1，3，5，7，9就是一个等差数列，而2，4，5，8不是等差数列。

等差数列求和公式是:Sn=n(A1+An)/2，其中Sn是前n项和，A1是数列的首项，An是数列的末项，n是项数。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先计算n(A1+An)，n=4，A1=1，An=7、则n(A1+An)=4(1+7)=32，然后除以2得16，即Sn=16二、等差数列前N项和的递推法：递推法是指根据数列的递推关系，通过已知项推导出下一项的方法。

对于等差数列来说，已知首项A1和公差d，就可以通过递推关系An=A1+n-1d推导出后面的项。

然后将这些项相加得到前N项和。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先确定首项A1=1，公差d=2，然后根据递推关系An=A1+n-1d，推导出An=1+n-1*2=2n-1、然后将这些项相加，即可得到前N项和。

三、等差数列前N项和的求和公式：等差数列求和公式是对等差数列进行变形和推导后得到的一种公式。

公式为：Sn=n(A1+An)/2例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先计算n(A1+An)，n=4，A1=1，An=7、则n(A1+An)=4(1+7)=32，然后除以2得16，即Sn=16四、等差数列前N项和的差化累加法：差化累加法是一种对等差数列进行变形求和的方法。

首先通过将待求和的数列进行差化处理，即将数列中的每一项都减去前一项得到新数列，然后将新数列进行累加，最后再加上原数列的首项，即可得到前N项和。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先通过差化处理得到新数列：2，2，2、然后将新数列进行累加得到6，最后再加上原数列的首项1，即可得到前N项和7五、等差数列前N项和的中项相加法：中项相加法是一种对等差数列进行变形求和的方法。

对于一个等差数列，可以将数列的每一项与其对应的倒数第N项相加，得到的和恒定为数列的前N项和。

等差数列的前n项和与公差的关系等差数列是一种常见的数列，它的每一项与前一项之差都相等，这个差值被称为公差。

在研究等差数列时，我们经常需要计算前n项的和。

本文将探讨前n项和与公差之间的关系。

假设我们有一个等差数列的首项为a1，公差为d。

我们可以表示等差数列的第n项为an。

等差数列的前n项和公式在等差数列中，每一项与前一项之差都相等，也就是说：an = a1 + (n-1) * d我们可以利用这个公式计算等差数列的任意一项。

而等差数列的前n项和可以表示为：Sn = (n/2) * (a1 + an)这个公式可以帮助我们计算等差数列的前n项和，只需要知道首项和公差即可。

前n项和与公差的关系通过等差数列的前n项和公式，我们可以看到前n项和与公差之间存在一定的关系。

首先，我们可以观察到公差为0时，等差数列的前n项和就是n倍的首项，即 Sn = n * a1。

这是因为此时等差数列中的每一项都相等，所以前n项和就是n倍的首项。

其次，我们可以看到公差为正数时，等差数列的前n项和随着n的增大而增大。

这是因为每一项都比前一项大公差的值，所以随着n的增大，前n项和也会增大。

反之，当公差为负数时，等差数列的前n项和随着n的增大而减小。

这是因为每一项都比前一项小公差的值，所以随着n的增大，前n项和也会减小。

综上所述，前n项和与公差之间存在一定的关系。

对于公差为0的等差数列，前n项和是n倍的首项；对于正数公差的等差数列，前n项和随着n的增大而增大；对于负数公差的等差数列，前n项和随着n的增大而减小。

希望本文对你理解等差数列的前n项和与公差的关系有所帮助。

等差数列及其前n项和全面总结
一、等差数列
等差数列（Arithmetic Sequence）是一种数学连续结构，表示一列数按固定间隔呈减量或递增量。

它是连续减量或是连续递增量，也就是说，等差数列中每一项减去它前面一项所得的结果都是一样的。

此外，等差数列中每一项可以由连续的的符号
a,a+d,a+2d,...,an,an+1,... 对应，其中a是等差数列的起点，d是等差数列的公差，我们也用an来表示等差数列的终点。

假设等差数列a，a+d，a+2d，...，an是有n个项的等差数列，那么它前n项的和可以表示为：Sn = (2a + (n- 1)d)n/2
Sn 表示等差数列的前n项的和，其中，a是等差数列的起点，d是等差数列的公差，n是终点前一项的系数。

三、等差数列的相关求解方法
1、求等差数列的终结点和公差。

以上方法可以求出等差数列某一项的值。

总之，等差数列是一种特殊的数列连续结构，其关键性性质是可以由起点和公差来确定的。

我们可以用上述方法来求出等差数列的终结点和公差，其前n项和以及它的某一项的值等。

1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。

等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。

2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。

证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。

首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。

等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。

假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。

等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。

证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。

2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。

3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。

S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。

由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。

等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。