36初中数学九年级全册 弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高)

24．1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 认识圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D )A BC D2．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°. 4．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD 的度数为60°.知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系5．下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中正确命题有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是(C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°7．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B )A ．AB>CDB ．AB ＝CDC ．AB<CD D ．不能确定8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D )①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空：(1)若AC ＝BC ，则AC ︵＝BC ︵，∠AOC ＝∠BOC ； (2)若AC ︵＝BC ︵，则AC ＝BC ，∠AOC ＝∠BOC ； (3)若∠AOC ＝∠BOC ，则AC ︵＝BC ︵，AC ＝BC ．10．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，求证：BE ＝CE.证明：∵∠BOE ＝∠AOD ， ∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE.02 中档题11．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC ⊥AB ，OF ⊥DE ，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵；③OF ＝OC ；④AC ＝EF.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ； ③AE ＝BF ； ④ME ＝2AE.其中正确结论的序号是①②③．13．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由如下：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点， ∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE. ∵C 是AB ︵的中点， ∴AC ︵＝BC ︵. ∴∠AOC ＝∠BOC. 又∵OC ＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )． ∴CD ＝CE.14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°.(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由： ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵AC ︵＝CD ︵，∴OC ⊥AD. ∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC ∥BD.03 综合题15．如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠GAE ＝∠B ， ∠EAF ＝∠AFB. 又∵AB ＝AF ， ∴∠B ＝∠AFB.∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.。

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2015•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD 外接圆的直径为2a ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴. 4.【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A.5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8．【答案】C；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-， 即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°，∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBDA B CDEFO 12345HA BCD EFO 12H∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】(1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵∠BON＝60°，∴∠1+∠2＝60°．∵∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，∴△BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习 ：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

24.3-24.4 弧、弦、圆心角 圆周角考点一：弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做__圆心角_.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等_，所对的弦也_相等_.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.考点四：圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___一半____.（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的__一半___.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____直角________，90°的圆周角所对的弦是____直径___________.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____圆内接多边形 ________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的____对角互补__________.题型一：弧、弦、圆心角关系求解1．（2022·全国·九年级）如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（ ）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学三模）如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上且AC BC =．AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若3AO =CE 的长为（ ）A．1 B．32C．31-D．232-3．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O 上的两点，且AD DC CB==，则四边形ABCD的周长等于（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm题型二：：弧、弦、圆心角关系求证4．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①AB=CD；②OM=ON；③P A=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·山东德州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②AM BN=；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝12AB；④若M为AN的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB ⊥CD 于E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝25°，下列结论中正确的有（ ）①CE ＝OE ；②∠C ＝40°；③ACD ＝ADC ；④AD ＝2OEA ．①④B ．②③C ．②③④D ．①②③④题型三：求圆弧的度数问题7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB ，CD 是O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P ∠=︒，80AOC ∠=︒，则BD 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°8．（2011·河南·中考模拟）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C= 45º，AB=4，则⊙O 的半径为【 】A ．2B ．4C ．2D ．9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，有一圆O 通过A 、B 、C 三点，且AD 与圆O 相切于A 点．若=58B ∠︒，则BC 的度数为何？（ ）A ．116B ．120C ．122D ．128题型四：圆周角定理10．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴．其中正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，等腰ABC 内接于O ，其中AB BC =，下列结论不一定成立的是（ ）A ．12∠=∠B ．24∠∠=C ．21AOB ∠=∠D ．41AOC ∠=∠12．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠CDB =26°，则∠AOC 的度数（ ）A ．108°B ．154°C ．118°D ．128°题型五：等（同）弧所对圆周角问题13．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，∠CAB =24° ，则∠ADC 的度数为（ ）A ．124°B ．114°C ．116°D ．126°14．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，CD 是O 的直径，O 上的两点A ，B 分别在直径CD 的两侧，且78ABC ∠=︒，则AOD ∠的度数为（ ）A ．12︒B ．22︒C ．24︒D ．44︒15．（2022·四川广元·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°题型六：90°所对的圆周角是直径问题16．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、BC 是⊙O 的弦，若∠A ＝30°，则∠B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点P 在矩形的内部，连接P A ，PB ，PC ，若∠PBC ＝∠P AB ，则PC 的最小值是（ ）A．6 B．73﹣3 C．213﹣4 D．413﹣418．（2021·山西实验中学模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D 为AC的中点，则∠DAC的度数是（）A．36°B．44°C．52°D．55°题型七：圆内接多边形问题19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC ＝75°，则∠C的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°20．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．90°21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A．3B．2 C．23D．4题型八：圆心角、圆周角的综合问题22．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．(1)如图1，若AD为120°，BC为50°，求∠E的度数；(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．23．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，点F是CD延⊥于点E．长线上的一点，且AD平分BDF∠，AE CD(1)求证：AB AC =．(2)若18BD =，2DE =，求CD 的长．24．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ⊥AC ，OD 与AC 交于点E ．(1)若∠CAB ＝20°，求∠CAD 的度数；(2)若AB ＝8，AC ＝6，求DE 的长．一、单选题25．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等26．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB 的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A．25 B．253C．2534D．253227．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，2BC AC=，弦CD AB⊥于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°28．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．30．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，AB 是O 的直径，弦AD 平分BAC ∠，过点D 分别作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，O 与AC 交于点G ．(1)求证：EG BF =；(2)若O 的半径6r =，2BF =，求AG 长．一：选择题31．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，30CDB ∠=︒，⊙O 的半径为2，则弦CD 的长为（ ）A ．3B ．32C ．23D ．9 32．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图，在O 中，已知直径AB 垂直弦CD ，70BOD ∠=︒，那么BAC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．25︒33．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB 是直径，点C ，D 在半圆AB 上，若40BAC ∠=︒，则ADC ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒34．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OC ．若∠ABC=70°，则∠OCA 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°35．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）在圆内接四边形ABCD 中，∠BAD 、∠ADC 的角平分线交于点E ，过E 作直线MN 平行于BC ，与AB 、CD 交于M 、N ，则总有MN ＝( )A ．BM +DNB ．AM +CNC ．BM +CND ．AM +DN36．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，6AC BC ==，点D ，E 分别在AC 和BC 上，2CD =，若以DE 为直径的⊙O 交AB 的中点F ，则⊙O 的直径是（ ）A ．23B ．2C ．25D ．5二、填空题37．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，其中AB 是直径，点C 是弧DB 的中点，若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数=______．38．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则∠B 的度数为______．39．（2022·安徽淮南·一模）如图，在扇形BOC 中，60BOC ∠=︒，OD 平分BOC ∠交弧BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点，若2OB =，则CE DE +长的最小值为______．40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．41．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠C ＝45°，半径OB 的长为3，则AB 的长为_____．42．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在O 中、三条劣弧AB 、BC 、CD 的长都相等，弦AC 与BD 相交于点E ，弦BA 与CD 的延长线相交于点F ，且40F ∠=︒，则AED ∠的度数为________．43．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，点N 是线段BC 的中点，点E ，G 分别为射线DA ，线段AB 上的动点，CE 交以DE 为直径的圆于点M ，则GM +GN 的最小值为_____．三、解答题44．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，AD为O的直径，BAD CAD∠=∠，连接BC．点E在O上，=AB BE，求证：∠；(1)BC平分ACE∥．(2)AB CE45．（2022·浙江·金华市第四中学九年级）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为AC的中点，OD与AC交于点E．OD BC(1)证明：∥(2)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(3)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．46．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O 的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．47．（2022·全国·九年级）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．(1)求证：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝13OG的长．48．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）问题提出(1)如图1，A、B为⊙O外的两点，请在⊙O上画出所有使得AC＋BC的值最小的C点．问题探究(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC＋CD的值；问题解决(3)如图3，某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、CD和圆弧AD周成，计划在圆弧AD段用花来布置成标志性造型，AB和CD段栽种观赏性树木，BC临湖．已知点E为BC上一点，BE＝CE＝6，AD长为4 ，且AD 上任意一点F，满足∠BFE＝30°，为了降低成本，现计划使得AB＋CD最小，求AB＋CD的最小值．49．（2022·全国·九年级）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A 为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．1．C【分析】先求出∠COB 的度数，由圆周角定理求出∠BAC 的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD =45°，即可得到答案．【详解】解：∵∠COD =126°，∴∠COB =54°， ∴1=272BAC COB =︒∠∠， ∵BD 是圆O 的直径，∴∠BAD =90°，∵AB AD =，∴AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =45°，∴∠AGB =180°-∠BAG -∠ABG =108°，故选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．2．C【分析】先由AC BC =得出90,AOC BOC ∠=∠=︒再利用∠DAB ＝30°通过解直角三角形AOE 求出OE 的长即可得到CE 的长．【详解】解：∵AC BC =∴90,AOC BOC ∠=∠=︒又∵∠DAB ＝30°∴2AE OE =由勾股定理得，222AO OE AE += ∴222(3)(2)OE OE +=∴1OE =(负值舍去) ∴31CE CO OE ===故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．3．B【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由AD DC CB==可得===2cm，于是可以求出结果．AD DC CB【详解】解：如图,连接OD、OC．==，∵AD DC CB∴∠AOD=∠DOC=∠COB，AD DC CB==；∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；OA=OD，∴△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，∴AD=OD=OA=2cm；==，AD DC CB∴AD=CD=BC=OA=2cm；∴四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=5210⨯=cm;故选：B．【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．4．D【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴AB=CD，故①正确；∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AM =MB ，CN =ND ，∴BM =DN ，∵OB =OD ，∴Rt △OMB ≌Rt △OND ，∴OM =ON ，故②正确；∵OP =OP ，∴Rt △OPM ≌Rt △OPN ，∴PM =PN ，∠OPB =∠OPD ，故④正确；∵AM =CN ，∴P A =PC ，故③正确，综上，四个选项都正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．5．B【分析】连接OM ，ON ，BN ，先证明四边形CMND 是矩形，得到CM =DN ，然后证明Rt △OCM ≌Rt △ODN 得到OC =OD ，∠COM =∠DON ，即可判断①②；当四边形MCDN 是正方形时，MC =CD ，则CM =2OC ，OM ==，2AB OM ===，即可判断③；若M 是AN 的中点，可得∠AOM =∠MON =∠BON =60°，则△ONB 是等边三角形，即可判断④．【详解】解：如图所示，连接OM ，ON ，BN ，∵MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，∴∠OCM =∠ODN =90°，∵MN ∥AB ，∴∠CMN +∠MCD =180°，∴∠CMN =90°，∴四边形CMND 是矩形，∴CM =DN ，又∵OM =ON ，∴Rt △OCM ≌Rt △ODN （HL ），∴OC =OD ，∠COM =∠DON ，∴OA -OC =OB -OD 即AC =BD ，AM BN = ，故①②正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，∵OC=OD，∴CM=2OC，∴225OM OC CM OC=+=，∴2255===，故③错误；AB OM OC MN若M是AN的中点，∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=BD，故④正确，故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．6．B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，BC BD=，ACB ADB=，∴∠BOC=2∠A=40°，ACB BC ADB BC+=+，即ADC ADC=，故③正确；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正确；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①错误；作OP∥CD，交AD于P，∵AB ⊥CD ，∴AE ＜AD ，∠AOP=90°，∴OA ＜PA ，OE ＜PD ，∴PA+PD ＞OA+OE∵OE ＜OA ，∴AD ＞2OE ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解100OAC OCA ∠+∠=︒，再求解50PAO PCO ∠+∠=︒，从而可得260BOA COD ∠+∠=︒，再利用周角的含义可得3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵80AOC ∠=︒，∴100OAC OCA ∠+∠=︒，∵30P ∠=︒，∴50PAO PCO ∠+∠=︒，∵OA OB =，OC OD =，∴OBA OAB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，∴50OBA ODC ∠+∠=︒，∴260BOA COD ∠+∠=︒，∴3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒．∴BD 的度数20°．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．8．A【详解】解：连接OA，OB∵∠C=45°∴∠AOB=90°又∵OA=OB，AB=4∴OA=．故选A．9．D【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和//AD BC求得AM垂直平分BC，进而得到BAC∠的度数，根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，AD与圆O相切于A点，∴⊥，MA ADAD BC，//AM BC∴⊥，∴＝，BM MC∴垂直平分BC，AMAB AC∴＝，＝＝，∴∠∠︒58ACB B＝＝，∴∠︒-⨯︒︒BAC18025864BC的度数为128︒，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出BC所对的圆周角．10．A【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可．【详解】解：①平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；综上所述，正确的说法有1个；故选：A．【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键．11．C【分析】根据等腰三角形的性质可判断A，根据全等三角形的判定与性质可判断B，根据圆周角定理可判断C和D．【详解】解：A．∵OB=OC，∴∠1=∠2，故A正确；B．∵AB=BC，AO=CO，BO=BO，∴△AOB≌△COB，∴∠1=∠4，∠2=∠ABO，∴∠1=∠4=∠2=∠ABO，故B正确；C．∵∠AOB=2∠ACB=2∠1+2∠ACO，故C错误；D．∵∠AOC=2∠ABC=2∠2+2∠ABO=4∠2，∠1=∠2，∴∠AOC=4∠1，故D正确．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．12．D【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=52°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．【详解】解：∵∠BOC和∠CDB都对BC，∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°，∴∠AOC=180°-∠BOC=128°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．B【分析】连接BD ，先根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠BDC ＝∠CAB ＝24°，即可得到∠ADC 的度数．【详解】解：连接BD ，如图：∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠CAB ＝∠BDC ＝24°，∴∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADB ＝24°+90°＝114°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14．C【分析】连接BD ，由直径所对的圆周角等于90度可得90CBD ∠=︒，进而可知ABD ∠，再由圆周角定理即可求解．【详解】解：如图；连接BD ，∵ CD 是O 的直径，90CBD ∴∠=︒，∵78ABC ∠=︒，∴907812∠=∠-∠=︒-︒=︒ABD CBD ABC ，AD AD =，∴224∠=∠=︒AOD ABD ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．15．B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到DC BC =，再利用圆周角定理得到∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．【详解】解：∵BC＝CD，∴DC BC=，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是AD，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，∴∠=∠+∠=︒，72BAD BAC DAC∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．16．D【分析】根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB=90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．17．C【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，∵∠PBC＝∠P AB，∴∠PBA+∠P AB=90°，即∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，∵四边形ABCD 是矩形，AB =8，BC =6，∴OB =OP =12AB =4， 由勾股定理得CO 222246213OB BC +=+=PC =2134故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．18．A【分析】根据圆周角定理得到∠BAC ＝90°，求出∠B ，根据圆内接四边形的性质求出∠D ＝108°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．【详解】解：∵BC 为圆O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∴9072B ACB ︒∠=-∠=︒∵四边形ABCD 为圆O 内接四边形，∴180B D ∠∠=︒＋，∴18072108D ∠=︒-︒=︒因为D 为弧AC 中点，∴AD CD =∴AD ＝CD ．∴DAC DCA ∠=∠． ∴180108362DAC ︒-︒∠=︒＝ 故选：A【点睛】本题考查的是圆内接四边形的对角互补，弧、弦、角关系，以及直径对的圆周角是直角等相关知识点，根据题意找出相关的角度关系是解题关键．19．D【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可．【详解】解：∵AB＝AD＝CD，∴BA DA DC==，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选D．【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键．20．A【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．【详解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，∴∠ABC＝70°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°．故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．22．(1)∠E＝35°(2)见解析【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.（1）连接AC，∵AD为120°，BC为50°，∴1120602ACD∠=⨯︒=︒，150252BAC∠=⨯︒=︒，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；（2）证明：连接AC、BD，∵BC BC =，∴∠A ＝∠D ，在△ACE 和△DBE 中，A D AE DE E E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．23．(1)见解析(2)14【分析】（1）由同弧所对圆周角相等得出∠ACB =∠ADB ．根据四边形的外接圆性质，可以得∠ADF =∠ABC ．利用AD 平分∠BDF ，可以得到∠ADF =∠ADB ，从而得出∠ABC =∠ACB ，即证明AB =AC ；（2）过A 作BD 的垂线于点G ，构造两个全等三角形△AED ≅△AGD 和△AGB ≅△ACE ，得出GD =ED ，BG =CE ，即可求得CD 长．（1）∵ AD 平分∠BDF ，∴∠ADF =∠ADB ．∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ADF =∠ABC ，∵∠ACB =∠ADB ，∴∠ABC =∠ACB ，∴ AB =AC ．（2）如图，过点A作AG⊥BD于点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°．又∵AD=AD，∴△AED≌△AGD(HL)，∴GD=ED=2．在Rt△AEC和Rt△AGB中，AE AG AB AC=⎧⎨=⎩，∴△AEC≌△AGB(HL)，∴BG=CE．∵BD=18，∴BG=BD-GD=18-2=16，∴CE=BG=16，∴CD=CE-DE=16-2=14．【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．24．(1)∠CAD=35°；(2)DE7【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，进一步计算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AE=EC，再根据三角形中位线定理求出OE，结合图形进一步计算即可求解．（1）解：∵OD⊥AC，∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，∵OA=OD，∴∠OAD =180702︒-︒=55°， ∴∠CAD =55°-20°=35°；（2）解：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C =90°，∵AB =8，AC =6，∴BC ==∵OD ⊥AC ，∴AE =EC ，∵OA =OB=OD =4，∴OE =12BC ，∴DE【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用勾股定理是解题的关键．25．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．26．D【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC =∠BOC =60°，易得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，即可解决问题．【详解】解：连OC ，如图，∵C 是AB 的中点，∠AOB =120°，∴∠AOC =∠BOC =60°，又∵OA =OC =OB ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形，∴S 四边形AOBC =2132525322⨯⨯= 故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．27．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB =90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC =30°，∠CAB =60°，由直角三角形的性质可求∠CAH =∠ACE =30°，即可求解．【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠ABC +∠CAB =90°，∵2BC AC =，∴∠CAB =2∠ABC ，∴∠ABC =30°，∠CAB =60°，∵CD ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠ACE =30°，∵点H 是AG 的中点，∠ACB =90°，∴AH =CH =HG ，∴∠CAH =∠ACE =30°，∵∠CAF =∠CBF ，∴∠CBF =30°，【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．28．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．【详解】解：∵AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，∴BD=BE，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=13×180°=60°，∴①错误；∠CED=12∠COD=12×60°=30°=12∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵BE的度数是60°，∴AE的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，∴∠D=12×120°=60°，∠CFD=12×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M 的位置是解此题的关键．【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：AB CD =，C ABD ∴=，AB AC CD AC ∴-=-，即AD BC =，B D ∴∠=∠，BE DE ∴=；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．30．(1)见详解(2)AG = 8．【分析】（1）连接BD ，GD ，证明DEG DFB ≌，即可得到结论；（2）先证明DEA DFA ≌，可得AE =AF ，结合EG ＝BF =2，即可得到答案．（1）解：连接BD ，GD ，∵弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC 、DF ⊥AB ，∴DE =DF ，∠DEG =∠DFB =90°，∵∠GAD =∠F AD ，∴=GD DB ，∴DG =DB ，在Rt △DEG 和Rt △DFB 中，==DE DF DG DB ⎧⎨⎩， ∴DEG DFB ≌（HL ），∴EG ＝BF ；（2）解：∵∠GAD =∠F AD ，∠DEG =∠DFB =90°，AD =AD ，∴DEA DFA ≌（AAS ），∴AE =AF ，∵⊙O 的半径r ＝6，BF ＝2，∴AE =AF =2×6-2=10，∵EG ＝BF =2，∴AG =AE -EG =10-2=8．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，圆周角与弧，弧与弦关系，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形的性质是解题的关键．31．C【分析】先根据圆周角定理得到∠COB =60°，再根据垂径定理得到CE =DE ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE ，从而得到CD 的长．【详解】解：∵30CDB ∠=︒，∴∠BOC =60°，∵CD AB ⊥，∴CD =2CE ，∠CEO =90°，∴∠OCE =30°，∴OC =2OE ，∵⊙O 的半径为2，即OC =2，∴OE =1， ∴223CE OC OE ，∴2CD CE ==故选：C【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，勾股定理．32．C【分析】连接OC ，由等腰三角形的“三线合一”可得70COB BOD ∠=∠=︒，从而利用圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OC ，直径AB 垂直弦CD ，70BOD ∠=︒，OC =OD ，70COB BOD ∴∠=∠=︒， 11703522BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．33．C【分析】连接BC ，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B 的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：连接BC ，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，40BAC ∠=︒，9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒，四边形ABCD 是圆的内接四边形，180ADC B ∴∠+∠=︒，18050130ADC ∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC 并运用这两个性质是解题的关键．34．A【分析】先根据等腰三角形性质得∠OCA =∠OAC ，GMF 由圆周角定理求得∠AOC =140°，然后利用三角形内角和求解即可．【详解】解：∵OA =OC ，。

2022年人教版初中数学9年级上册《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为().A.米B.米C.米D.米4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是()．A．外离B．外切C．相切D．内含5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为()．A．12B．10C．4D．15第3题图第5题图第6题图第7题图6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为()．A．(2，-1)B．(2，2)C．(2，1)D．(3，1)7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于()．A．55°B．90°C．110°D．120°8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是()．A．60°B．90°C．120°D．180°二、填空题9．如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).10．已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.11．如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.第9题图第11题图第12题图第15题图12．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.13．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10cm，那么⊙O的半径为________．14．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且32CD R=，则AC的长为________．15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝________．16.（2020•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．三、解答题17．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BED C∠=∠．试判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；CA O BE D18．在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。

专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等． ①直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴． ①平分弦的直径垂直于这条弦．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知①ABC 内接于①O ，若①AOB =120°，则①C 的度数是( ) A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为①O 的直径，弦CD ①AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若①A ＝20°，则①COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，①ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则①ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A．2B C．2D．66．如图，已知O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是AOB∠，COD∠∠，若AOB AB=，则弦CD的长为（）与COD∠互补，弦8A．6B．8C．D．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解⊥于点7．如图，在以AB为直径的①O中，点C为圆上的一点，2=，弦CD ABBC ACE，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°8．如图，在①O中，AB是①O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB 的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①①BOE=30°；①①DOB=2①CED；①DM①CE；①CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，①O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ①AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．AC AD AB +=，AE AF AB += B ．AC AD AB +=，AE AF AB +≠ C ．AC AD AB +≠，AE AF AB +=D ．AC AD AB +≠，AE AF AB +≠11．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，①BAC 、①ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上 12．如图，AB 、CD 分别是①O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且①CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ①BD B ．①CBA ＝31°C ．AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在①O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是AB 上一点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ⊥于点E ，对于下列说法：①圆上AbB 是优弧；①圆上AbD 是优弧；①线段AC 是弦；①CAD ∠和ADF ∠都是圆周角；①COA ∠是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD =EB ，CD①AB ，EF①AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的①O 中，弦AC=2，弦AD ＝①AOD ＝________，①COD ＝_________．18．如图，AB 是O 的直径，弦,CD AB ⊥连接CO 并延长交O 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE ∠=︒则DFE ∠的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则①B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，①B ＝116°，则①D 的度数为______度．21．如图，①O 的直径AB 过CD 的中点A ，若①C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AEBE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）①BOD；①①CED＝12①DM①CE；①CM+DM的最小值为4；①设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是①O的直径，CD是弦，若①ABC＝63°，则①D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是①O的一条弦，OD①AB，垂足为C，交①O于点D，点E在①O上．（1）若①AOD=52°，求①DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求①O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1，四边形ABCD内接于O．⋅+⋅=⋅．求证：AB DC AD BC AC BD∠=∠交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD①AD AD =，①ABE ACD ∠=∠．（依据） ①ABE ACD ∽△△．①AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …①ABC AED ∽△△． ①AC BCAD ED=．①AD BC AC ED ⋅=⋅． ①AB DC AC BE ⋅=⋅，①()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ①AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全证明过程；(3)如图3，O 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在①O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是BD 上的一点，且BF BC =，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．(1)求证：DE＝DF；(2)若①O的半径为8，①BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题①错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题①错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题①错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，①C=12①AOB=60°；①当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的①C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出①COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出①DOB=①COB，最后即可得出答案.解：①①A=20°，①①COB=2①A=40°，①CD①AB，OC=OD，①①DOB=①COB=40°，①①COD=①DOB+①COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求①ABC＝①ACB＝65°，①BAC ＝50°，由圆周角定理可求①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，可求①AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，①AB＝AC，①ACB＝65°，①①ABC＝①ACB＝65°，①①BAC＝50°，①①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，①点C是弧BD的中点，①BC CD，①①BOC＝①COD＝100°，①①AOD＝30°，①①AOD＝2①ACD，①①ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得①AOB、①COE、①BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，①90∠=︒，C是AB的中点，AOB①①COE=45°，①//∠=︒，AOBCD OA，90①CE①OB，①①OCE=①COE=45°，==6①BE=OB－OE=6-，①OA=OB，90AOB∠=︒，①①ABO=45°，①①BDE=①ABO=45°，①EB=ED=6--=．①CD=CE－DE=(66故选：D．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO交①O于点E，连接BE，由①AOB+①BOE=①AOB+①COD知①BOE=①COD，据此可得BE=CD，在Rt①ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交①O于点E，连接BE，则①AOB+①BOE=180°，又①①AOB+①COD=180°，①①BOE=①COD，①BE=CD，①AE为①O的直径，则AE=10，①①ABE=90°，；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求①ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求①ABC=30°，①CAB=60°，由直角三角形的性质可求①CAH=①ACE=30°，即可求解．解：①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC+①CAB=90°，①2=，BC AC①①CAB=2①ABC，①①ABC=30°，①CAB=60°，①CD①AB，①①AEC=90°，①①ACE=30°，①点H是AG的中点，①ACB=90°，①AH=CH=HG，①①CAH=①ACE=30°，①①CAF=①CBF，①①CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出①CAB 的度数是本题的关键．8．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出①DOB=①COD=①BOE=60°，求出①CED，即可判断①①；根据圆周角定理求出当M和A重合时①MDE=60°即可判断①；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断①．解：①AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，①BD=BE，①①DOB=①BOE=①COD=13×180°=60°，①①错误；①CED=12①COD=12×60°=30°=12①DOB，即①DOB=2①CED；①①正确；①BE的度数是60°，①AE的度数是120°，①只有当M和A重合时，①MDE=60°，①①CED=30°，①只有M和A重合时，DM①CE，①①错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，①AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，①①D=12×120°=60°，①CFD=12×60°=30°，①①FCD=180°-60°-30°=90°，①DF是①O的直径，即DF=AB=10，①CM+DM的最小值是10，①①正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，①将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，①OC23=r＝6（cm），OC①AB，①AC＝CB=cm），①AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得AC BD =，AC AD AB +=，再求解19,BF可得AE BF ≠， AE AF AB +≠，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD ∴∠=︒=，6AC =，AC BD ∴=，∴AC BD =，∴AC AD AB +=，AB 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF ∴∠=︒=5AE =，∴AE BF ≠，∴AE AF AB +≠，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出①MAB +①MBA =60°，推出①AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，利用全等三角形的性质证明BD =BT ，可判断C ；无法判断M 与①ABC 互补，可判断D．解：如图，①①ACB=60°，①①CAB+①CBA=120°，①AD，BE分别是①CAB，①CBA的角平分线，①①MAB+①MBA=12（①CAB+①CBA）=60°，①①AMB=180°-（①MAB+①MBA）=120°，故A符合题意，①①EMD=①AMB=120°，①①EMD+①ECD=180°，①C，E，M，D四点共圆，①①MCE=①MCD，① EM DM，①EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在①AME和①AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，①①AME①①AMT（SAS），①①AME=①AMT=60°，EM=MT，①①BMD=①BMT=60°，MT=MD，在①BMD和①BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，①①BMD①①BMT，①BD=BT，①AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，①M，M'关于AC对称，①M=①AMC，①11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12①ABC，①M与①ABC不一定互补，①点M'不一定在①ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据CDE CDB∠≠∠判断D选项．解：①AB、CD分别是①O的直径，90CBD∴∠=︒，①CB①BD，故A选项正确，如图，连接BE，DE AB∥，且①CDE＝62°，62BOD CDE∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒， OC OB =，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒，CDE CDB ∴∠≠∠，∴BD ≠DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出①DOC +①COE ＝90°，则可判断①ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD 则OM ＝12DE 由C 点在弧DE 上，则0≤①COM ＜45°，根据三角形的性质，①COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，①AB 为直径，①①AOC+①BOC＝180°，①D、E分别是AC、BC的中点，①①AOD＝①COD，①COE＝①BOE，①①DOC+①COE＝1（①AOC+①BOC）＝90°，2①①ODE为等腰直角三角形，OD①DE①M是弦DE的中点，DE①OM＝12①C点在弧DE上，①0≤①COM＜45°，①OMC中，OM，OC的长度确定，①①COM越大，CM越长，①O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；①CM≥1﹣，2当C点在A点或B点时，CM①CM的取值范围是1≤CM．【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①①①①【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：AbB ，AbD 都是大于半圆的弧，故①①正确，,A C 在圆上，则线段AC 是弦；故①正确；,,C A D 都在圆上，∴CAD ∠是圆周角而F 点不在圆上，则ADF ∠不是圆周角故①不正确；O 是圆心，,C A 在圆上∴COA ∠是圆心角故①正确故正确的有：①①①①故答案为：①①①①【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x【分析】连接OD ，OE ，因为AD =EB ，根据等弧所对的圆心角相等可得①DOC=①EOF ，因为CD①AB ，EF①AB ，所以①DCO=①EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt①DOC①Rt①EOF ，所以CO=OF=12，在Rt①DOC 中，，所以，，BC=AB -，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ． 解：连接OE ，OD ，①AD =EB ，①①DOC=①EOF ，①CD①AB ，EF①AB ，①①DCO=①EFO=90°，又①DO=EO ，①Rt①DOC①Rt①EOF ， ①CO=OF=12，①在Rt①DOC 中，，AC=AO -，BC=AB - =，①以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在①AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出①AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出①COD 的度数．解：如图，在①AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，①222OA OD AD +=，∴①AOD =90°；连接OC ，∵OA ＝OC ＝AC =2，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°．∴∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝60°+90°＝150°或∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93【分析】根据圆周角定理的推论，得①DCE=32°，由CD AB⊥结合三角形外角的性质，得①BOC 的度数，从而得①BDC的度数，进而即可求解．解：①①DCE和①DBE是同弧所对的圆周角，①①DCE=①DBE=32°，①CD AB⊥，①①BOC=90°+①DCE=90°+32°=122°，①①BDC=12①BOC=12×122°=61°，①DFE∠=①DCE+①BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出①ODC=①AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出①ODA=①OAD=12（180°-①AOD）=57.5°，求出①ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出①B+①ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，①①AOD=68°，AO①DC，①①ODC=①AOD=65°，①①AOD=65°，OA=OD，①①ODA=①OAD=1（180°-①AOD）=57.5°，2①①ADC=①ODA+①ODC=57.5°+65°=122.5°，①四边形ABCD是①O的内接四边形，①①B+①ADC=180°，①①B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出①ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明①ADC=①ADE，再利用圆内接四边形的性质求出①ADC即可解决问题．解：连接AD．①AC AE，①①ADC=①ADE，①①B+①ADC=180°，①①ADC=180°-116°=64°，①①CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出①DCA=①DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：①①O的直径AB过CD的中点A，①AC＝AD，①DE＝EC，①AB是①O的直径，①①BED＝①CEA＝90°，①①C＝30°，①①DCA＝①DBA＝30°，设DE＝EC＝x，①①C＝30°，①AE，①①DBA＝30°，①BE，①AEBE13；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①①【分析】①由BD CD =，可得①COD =①BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；①由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ①CE 不一定成立，可得结论；①由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；①过点C 作CN ①AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①BD CD =，COD BOD ∴∠=∠，12CED COD ∠=∠， 12CED BOD ∴∠=∠，故①正确； ①点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，∴DM ①CE 不一定成立，故①错误；①BD CD AC ==，60BOE AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=∴︒，①CED =30°，∴DE ①AB ，∴点D 和点E 关于AB 对称，∴CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，AB =4，∴CE =AB =4，故①正确；①连接AC ，BD CD AC ==，∴①COA =60°，则①AOC 为等边三角形，边长为2，过点C 作CN ①AO 于N ，则sin 602CN OC =⋅︒==，在①COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x ∴=⋅==△，故①错误； 综上，①①正确，故答案为：①①．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 24．27°【分析】根据题意易得①ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解． 解：①AB 是①O 的直径，①①ACB ＝90°，①①A ＝90°﹣①ABC ＝90°﹣63°＝27°，①①D ＝①A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）53π 试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n rπ计算即可．解：（1）如图所示：（2）①①AOB=120°，①BOC=90°，①①AOC=150°，故S扇形AOC=2150253603ππ⨯⨯=．26．（1）26；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD①AB，根据垂径定理，推导得①AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD①AB，通过勾股定理即可计算得①O的半径．解：（1）连接OB①⊥OD AB①AD BD=①52AOC BOD∠=∠=①12DEB BOD ∠=∠①26DEB∠=（2）①⊥OD AB①112412 22AC AB==⨯=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO 中，()222128x x =+-①13x =①O 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD ∠=∠；（2）由BAE CAD ∠=∠可得BAC EAD ∠=∠，再由ACB ADE ∠=∠可得ABC AED ∽△△； （3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得AB BC CD DE BA ====，进而BE AD BD ==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅解方程即可；(1)解：①同弧所对的圆周角相等，AD AD =，①ABE ACD ∠=∠；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：①BAE CAD ∠=∠，①BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，①BAC EAD ∠=∠，①AB AB =，①ACB ADE ∠=∠；(3)解：如图，连接AD ，BE ，①2AB BC CD DE EA =====，①AB BC CD DE BA ====，①AB AE AE ED CD CB +=+=+，①BE AD BD ==，①BE =AD =BD ，①四边形ABDE 是O 的内接四边形，①AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅，①2AB DE EA ===，①2222BD BD ⨯+=，解得：1BD =或1BD =，①对角线BD 1；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ⊥得，90AME DMB ∠=∠=︒，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF ∠=∠，DBA DFA ∠=∠，根据等角的余角相等可得AEM DBM ∠=∠，进而可得DFA DEF ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据①BAF ＝22.5°，证明COF 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)BF BC =，BDC BAF ∴∠=∠，AB CD ⊥，90AME DMB ∴∠=∠=︒，90,90BAF AEM CDB DBM ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，AEM DBM ∴∠=∠，AD AD =，DBA DFA ∴∠=∠，AEM DEN ∠=∠，DFA DEF ∴∠=∠，DE DF ∴=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，BF BC =，22.5CDB BDF BAF ∠=∠=∠=∴︒， 45CDF CDB BDF ∴∠=∠+∠=︒， CF CF =，290COF CDF ∴∠=∠=︒，在Rt COF △中，CF == 由（1）得，DE DF =，DEF ∴是等腰三角形， CDB BDF ∠=∠，EN FN ∴=，N ∴是EF 的中点，BF BC =，BAF BAC ∴∠=∠，AB CD ⊥，AM EC ∴⊥，EM MC ∴= ，∴12MN CF == 【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。

专题24.12 圆周角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心2．如图，四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 在圆上，且边CD 与该圆交于点E ，AC ，BE 交于点F.下列角中，弧AE 所对的圆周角是( )A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC3．如图，菱形OABC 的顶点A 、B 、C 在圆O 上，且，若点P 是圆周上60OAB ∠=︒任意一点且不与A 、B 、C 重合，则∠APC 的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°4．如图，内接于，AD 是的直径，若，则的度数是ABC A O A O A 20B ∠=︒CAD ∠（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°5．如图，是的外接圆，，于点D ，O A ABC A 60B ∠=︒OD AC ⊥OD =的直径为（ ）O AA ．B ．8C ．D ．126．是的外接圆，若长等于半径，则的度数为（ ）O A ABC A BC A ∠A ．B ．C ．或D ．或60︒120︒30°150︒60︒30°7．如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°8．如图，C ，D 是上直径AB 两侧的两点，若，则的度数是O A 20ABC ∠=︒BDC ∠（ ）A ．50°B ．60°C ．80°D ．70°9．已知锐角，如图，AOB ∠（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点OA C O OC PQ OB ，连接；D CD（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，；C D CD PQ M N （3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（ ）OM MNA ．B ．若．则COM COD∠=∠OM MN =80OCD ∠=︒C ．D ．MN CD ∥3MN CD=10．如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦，且DE AB ∥∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．D ．BD ＝DEA A AC AE =11．如图，已知AB 是的直径，弦CD 与AB 交于点E ，设，O A ABC α∠=，，则（ ）ABD β∠=AEC γ∠=A ．B ．90αβγ+-=︒90βγα+-=︒C ．D ．90αγβ+-=︒180αβγ++=︒二、填空题12．如图，为的直径，点，，在上，且，，则AB O A C D E O A AD CD =A A80E ∠=︒的度数为______．ABC ∠13．如图，在菱形ABCD 中，，，点E 是射线CD 上一点，连接6BC =120C ∠=︒BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若，则面积的最大值为__________．BAP CBE ∠=∠ABP △14．如图，是的外接圆，，的平分线交于点D ，O A Rt ABC △90BAC ∠=︒BAC ∠O A的平分线交AD 于点E ，连接BD ，若DE 的长为_______．ABC ∠O A15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点的,,A B P (12),(14),(21)-，，，C 横坐标和纵坐标均为整数，且，则点的坐标为________．（写出一个正12ACB APB ∠=∠C 确的坐标即可）16．如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折，且恰好5cm AB =3cm AC =AC AD AC 落在上，则的长为__________．AB AD17．如图，内接于⊙O ，，外角的平分线交⊙O 于点ABC A 25BAC ∠=︒ABC A ABE ∠D ，若，则的度数为______．BC BD =C ∠18．如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，将△ABC 终点A 逆时针旋转（B 与D 为对应点）至△ADE ，旋转过程中直线BD ，CE 相交于F ，当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点F 运动的路径长为 _____．19．如图，线段，以线段为斜边作，，的平分线4AB =AB Rt ABC A AC BC >C ∠与线段的垂直平分线交于点，则线段的取值范围为_________．CN AB M CM20．如图，动点M 在边长为4的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE +PM 的最小值为_______．21．如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A ，B 放在圆上，O A AC ，BC 两边分别与交于D ，E 两点，，则△ABC 的面积为______．O A BE DE22．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点，且与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 在第四象限的⊙M 上，且∠AOC =60°，OC =3，则点B 的坐标是___________．三、解答题23．如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求的度数A BE24．如图，D 是的边上一点，连结，作的外接圆O ，将ABC A BC AD ABD △沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上．ADC A AD O A (1)若，如图1．30ABC ∠=︒①求的度数．ACB ∠②若，求的度数．AD DE =EAB ∠(2)若，如图2．求的长．A A ,4,2AD BE AC CD ===BC25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠D =60°且AB =6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．(1)填空：∠CAB =__________度；(2)求OE 的长；(3)若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF ，AC 和FC 围成的图形（阴影部分）的面积S ．26．如图，⊙O 是以△ABC 的边AC 为直径的外接圆，∠ACB ＝54°，如图所示，D 为⊙O 上与点B 关于AC 的对称点，F 为劣弧BC 上的一点，DF 交AC 于N 点，BD 交AC 于M 点．(1)求∠DBC 的度数；(2)若F 为弧BC 的中点，求．MNON27．如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：；EF AB ∥(2)若，，求FG 的长．3AC = 2.5CD =28．已知P 是上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别O A 有动点A 、B （不与P ，Q 重合），连接AP 、BP ．若．APQ BPQ ∠=∠（1）如图1，当，，时，求的半径；45APQ ∠=︒1AP =BP =C A （2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积（3）如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．290NOP OPN ∠+∠=︒参考答案1．A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．解：A . 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A 选项正确；B .平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误；D .圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D 选项错误.故选A.【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．C【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．C【分析】分两种情况，由圆周角定理分别求解即可．解： 菱形OABC 的顶点A 、B 、C 在圆O 上，且，60OAB ∠=︒,120,AB OC AOC \Ð=°∥如图，分两种情况：①当点P 在优弧APC 上时， 由圆周角定理得：∠APC =∠AOC =×120°=60°； 1212②当点P 在劣弧AC 上时， 由圆周角定理得：∠APC ==120°；18060︒-︒综上所述，∠APC 为60°或120°，故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．C【分析】首先连接CD ，由AD 是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得O A ，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．90ACD ∠=︒20D B ∠=∠=︒解：连接CD ，∵AD 是的直径，O A ∴．90ACD ∠=︒∵，20D B ∠=∠=︒∴．18090108902070CAD D ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．5．C【分析】根据圆周角定理求出，再根据垂径定理和30°所对直角边是斜边的一半120AOC ∠=︒计算即可．解：连接AO 、CO∵是的外接圆，，O A ABC A 60B ∠=︒∴，120AOC ∠=︒又∵，，OA OC =OD AC ⊥∴，60AOD ∠=︒∴，30OAD ∠=︒∵OD =∴；OA =∴⊙O 的直径为故选：C ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是结合所对30°直角边是斜边的一半计算．6．C【分析】利用等边三角形的判定与性质得出，再利用圆周角定理得出答案．60BOC ∠=︒解：如图，连接BO ，CO ，∵的边BC 等于圆的半径，ABC A ∴是等边三角形，BOC A∴，60BOC ∠=︒∴，30A ∠=︒若点在劣弧BC 上，则，A '150A '∠=︒∴或；A ∠=30°150︒故选C ．【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理，得出是等边三角形是解题的关键．BOC A 7．B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到A A DC BC =∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD ＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB 的度数．解：∵BC ＝CD ，∴，A A DC BC =∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是，A AD ∴∠BAC ＝∠DAC ＝36°，，72BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒∵∠ABD ＝∠ACD ＝44°，∴∠ADB ＝180°−∠BAD −∠ABD ＝180°−72°−44°＝64°，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．8．D【分析】由AB 是直径可得∠ACB =90°，由∠ABC =20°可知∠CAB =70°，再根据圆周角定理可得∠BDC 的度数，即可得出答案．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠ABC =20°，∴∠CAB =70°，∴∠BDC =∠CAB =70°，故选：D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，由AB 是直径求出∠ACB =90°是解题的关键．9．D【分析】连接、，根据作法可得，即可得到，MD ON A A A CM CD DN ==COM COD DON ∠=∠=∠则可判断A 选项；若，可得，推出即可求出的OM MN =60NOM ∠=︒20COD ∠=︒OCD ∠度数，则可判断B 选项；根据得到即可判断C 选项；根据A A CM DN =CDM DMN =∠∠即可判断D 选项．CM CD DN MN ++＞解：连接、，如图所示MD ON∵以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，分别以点，为O OC PQ OB D C D 圆心，长为半径作弧，交弧于点，CD PQ M N∴A A A CM CD DN==∴COM COD DON∠=∠=∠∴A 选项说法正确，不符合题意若OM MN=∵OM ON=∴MN OM ON==∴60NOM ∠=︒∵COM COD DON∠=∠=∠∴20COD ∠=︒又∵OC OD=∴18020802OCD ODC ︒-︒===︒∠∠∴B 选项说法正确，不符合题意∵A A CM DN=∴CDM DMN=∠∠∴MN CD∥∴C 选项说法正确，不符合题意∵CM CD DN MN++＞∴3MN CD＜∴D 选项说法错误，符合题意故选D ．【点拨】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A ，根据圆周角定理可判断B 选项，根据圆周角与弧的关系可判断C ，根据判断D 选项．CDE CDB ∠≠∠解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径，，90CBD ∴∠=︒∴CB ⊥BD ，故A 选项正确，如图，连接，BE，且∠CDE ＝62°，DE AB ∥，62BOD CDE ∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒，OC OB =Q ，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒ ，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AA AC AE =故B ，C 选项正确，，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒ ，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒ ，CDE CDB ∴∠≠∠BD DE ，故D 选项不正确，∴≠故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．11．B【分析】连接AC ，根据同弧所对的圆周角相等，将转化为，再根据直径所对的βγα+-ACB ∠圆周角是直角即可得到．90βγα+-=︒解：连接AC ，令，如图所示：BCD θ∠=在△BCE 中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），γαθ=+∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），ACD ABD β∠=∠=，ACD ACD ACB βγααθαθ∴+-=∠++-=∠+=∠又∵AB 是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），90ACB ∠=︒，90βγα∴+-=︒故选：B ．【点拨】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理，正确作出辅助线，将转化为是解题的关键．βγα+-ACB ∠12．20︒【分析】连接、，由圆周角定理得出，进而结合题意得出，由AE BD 90AEB =︒∠10AED ∠=︒圆心角、弧、弦的关系定理，即可求出的度数．10CBD DBA AED ∠∠∠===︒ABC ∠解：如图，连接、，AE BD为的直径，AB Q O A ，90AEB ∠∴=︒，80DEB ∠=︒ ，10AED AEB DEB ∠∠∠∴=-=︒，AD CD =A A，10CBD DBA AED ∠∠∠∴===︒，101020ABC ABD CBD ∠∠∠∴=+=︒+︒=︒故答案为：．20︒【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．13．【分析】若要使的面积最大，底AB 固定，故只要AB 边上的高最大时，即三角形面积ABP △最大；可证，故可知点P 在△APB 的外接圆的劣弧上，当点P 在劣弧120APB ∠=︒A AB 的中点处，△APB 的面积最大，求出AB 边上的高即可求解．A AB 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =6，AB //CD ，∴180,ABC BCD ∠+∠=︒∵，120C ∠=︒∴ 即，60,ABC ∠=︒60ABP PBC ︒∠+∠=∵，BAP CBE ∠=∠∴，60ABP BAP ∠+∠=︒∵，180()18060120APB ABP BAP ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒∴点P 在在△APB 的外接圆上，若要使的面积最大，底AB 固定，，故只要AB 边上的高最大ABP △120APB ∠=︒时，即三角形面积最大；此时点P 在劣弧的中点处，如图，A AB设点O 为△APB 的外接圆的圆心，OP ⊥AB 于点F ，∴，,132AF AB ==1602APF APB ∠=∠=︒∴30,PAF ∠=︒∴2AP PF =由勾股定理得，222AF PF AP +=∴22234PF PF+=∴PF∴11622APB S AB PF ∆==⨯=A即面积的最大值为ABP △故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．14．1【分析】连接CD ，根据AD 、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC ，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD =CD ，DBE BED ∠=∠BC =定理，求出，即可求出．21BD =1DE BD ==解：连接CD ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∴，A A BD CD =∴，，BD CD =CBD CAD BAD ∠=∠=∠∵为直径，且BC BC =∴∠BDC =90°，∴，22222BD DC BC +===∴，21BD =∴，1BD =∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∵，，DBE CBD CBE ∠=∠+∠BED ABE BAD ∠=∠+∠∴，DBE BED ∠=∠∴．1DE BD ==故答案为：1．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．DBE BED ∠=∠15．或或或或或　写出其中一个就可以（答案不唯(52)，(3,4)(5,0)(1,2)-(3,2)-(1,0)-一）【分析】直接利用圆周角定理，以P 为圆心，PA 为半径画圆，圆上的格点即可作为C 点．解：由联想到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，12ACB APB ∠=∠所以点在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到满足横、纵坐标为整数的六个C P PA 点：、、、、、C (3,4)(52)，(5,0)(3,2)-(1,2)-(1,0)-【点拨】本题考查了圆周角定理，解题关键是理解题意，能利用圆找出符合条件的点．16．【分析】连接OD ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，运用圆周角定理，可证得∠DOB =∠OAC ，即证△AOF ≌△ODE ，所以OE =AF =cm ，根据勾股定理，得DE =4cm ，在直角三角形ADE 32中，根据勾股定理，可求AD 的长．解：连接OD ，AD ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ．根据题意知，∠CAD =∠BAD ，∴，A ACD BD =∴点D 是弧BC 的中点．∴∠DOB =∠OAC =2∠BAD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE =AF =cm ，32∴DE =2cm ，又∵AE ==4cm ，5322+∴AD cm ．==【点拨】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一．熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．17．75°【分析】先求出∠DAC 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠DBE 的度数，再通过角平分线求出∠ABE 的度数，最后通过三角形外角性质求出∠C 的度数．解：∵BC =BD ，，25BAC ∠=︒∴∠BAD =∠BAC =25°，∴∠DAC =50°，∵四边形ADBC 是圆内接四边形，∴∠DAC +∠DBC =180°，∵∠DBE +∠DBC =180°，∴∠DBE =∠DAC =50°，∵BD 平分，ABE ∠∴∠ABE =2∠DBE =100°，∴∠C =∠ABE -∠BAC =100°-25°=75°，故答案为：75°【点拨】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．18．【分析】由题意和旋转的性质可知：，可知、、、四点共圆．随45ABD ACE ∠=∠=︒A B C F 着的旋转可知，点运动的路径是 以、、、四点共圆的圆上，当AD 从第ABC A F A B C F 一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点运动的轨迹是以为直径的半圆，求出F AC 的长就可以求出点的路径长．AC F 解：如图所示：连接， 由旋转的性质可知：和是等腰直角三角形．AF ABD △ACE A∴，45ABD ACF ∠=∠=︒∴、、、四点共圆．A B C F ∵，90ABC ∠=︒∴该圆是以为直径圆．AC ∴随着的旋转可知：点运动的轨迹是以为直径的圆上．ABC A F AC ∴当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点运动的轨迹是以F 为直径的圆的周长的一半．AC由勾股定理可知：AC ==∴当AD 从第一次与BC 平行旋转到第二次与BC 平行时，点F 运动的路径长为：，12AC π⨯∴点F 运动的路径长为：．12π⨯=故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理等知识．通过圆周角定理的推论找到四点共圆是解决本题的关键．19．4CM <【分析】因为AB 是直角三角形的斜边，可以看成是点C 在以AB 为直径的圆上，通过可以判断点C 在圆弧EB 之间，而在点E 、点B 位置是极限位置，求出在这两点AC BC >时CM 的值即可．解：∵AB 是直角三角形ABC 的斜边，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∵，DM 是AB 的垂直平分线，AC BC >∴点C 在圆弧ECB 之间的圆弧上，∵CN 是∠ACB 的平分线，∴CN 与圆弧AB 相交于的中点，A AB ∵DM 是AB 的垂直平分线，∴DM 与圆弧AB 相交于的中点，A AB 所以CN 、DM 、交于一点，即M 点，A AB ∵AB =4，∴BD =DM =2，如图1，当B ，重合时，CM 最小，CCM ===因为此时三角形不存在（成为线段），所以应取CM >如图2，当点C 在E 点时，CM 最大，为圆D 的直径，∴，4CM =因为此时AC =BC ，不符题意，所以应取，4CM <所以CM 的范围为，4CM <故答案为：．4CM <<【点拨】本题考查了圆直角三角形，熟练运用直径所对的圆周角为直角、等弧对等角、垂径定理是解题关键．20．2【分析】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE +PM 的最小值为OE '的值减去以AB 为直径的圆的半径OM ，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解：作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，如图所示：∵动点M 在边长为4的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，∴点M 在以AB 为直径的圆上，OM =AB =2，12∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD =AB =4，∠DAB =90°，∵E 是AD 的中点，∴DE =AD =×4=2，1212∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '=DE =2，PE =PE '，∴AE '=AD +DE '=4+2=6，在Rt △AOE '中，OE '===∴线段PE +PM 的最小值为：PE +PM =PE '+PM =ME '=OE '-OM =．2-故答案为：．2-【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键．21．【分析】连结AE ，根据∠CBA =90°所对的弦得出AE 为的直径，得出AE =8，根据BE =DE ，O A 得出∠BAE =∠DAE ，可求∠BAE =∠DAE =30°，利用30°直角三角形性质求出BE =DE =，利用勾股定理求出AB 142AE ===质求出BC =BE +CE =12即可．解：连结AE ，∵∠CBA =90°，∴AE 为的直径，O A ∴AE =8，∵BE =DE ，∴，A A BE DE =∴∠BAE =∠DAE ，∵∠BAC =60°，∴∠BAE =∠DAE =30°，∴BE =DE =，AB 142AE ===∵AE 为直径，∴∠EDA =90°，∵∠A =180°-∠ABC -∠BAC =180°-90°-60°=30°，∴EC =2ED =8，∴BC =BE +CE =12，∴S △ABC =．111222AB BC ⋅=⨯=故答案为【点拨】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．22．（，）##（，）00【分析】连接AC ，AB ，BC ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt △OCH 中，先后求得OH ，CH ，AH ，再在Rt △ACH 中，求得AC ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理构建方程求得BC ，AB ，再在Rt △AOB 中，利用勾股定理即可解决问题．解：连接AC ，AB ，BC ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，∵∠AOC =60°，则∠OCH =30°，且OC =3，∴OH =OC =，CH =，1232==∵点A (4，0)，∴AO =4，∴AH = AO - OH =，52在Rt △ACH 中，AC =，==∵∠BOA =90°，∴AB 为⊙M 的直径，∴∠BCA =90°，∵∠AOC =60°，∴∠ABC =60°，则∠BAC =30°，在Rt △ABC 中，BC =AB ，12AB 2=AC 2+BC 2，即AB 22+(AB )2，12∴AB 2=，523在Rt △AOB 中，OB 2=AB 2- AO 2=，43∴OB点B 的坐标是：（．0．【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．68°【分析】连接OB ，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO =2∠A ，则∠E =2∠A ，再利用∠EOD =84°得到2∠A +∠A =84°，解得∠A =28°，接着计算出∠BOE 的度数，从而得到的度数．A BE 解：连接OB ，如图，∵OB =OC ，OC =AB ，∴OB =AB ，∴∠A =∠BOA ，∴∠EBO =∠A +∠BOA =2∠A ，∵OB =OE ，∴∠E =∠EBO =2∠A ，∵∠EOD =∠E +∠A ，∴2∠A +∠A =84°，解得∠A =28°，∴∠E =∠EBO =56°，∴∠BOE =180°-∠E -∠EBO =180°-56°-56°=68°，∴的度数为68°．A BE 【点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．24．(1)①30，②60；(2)︒︒6BC =【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据等弧所对的圆周角即可求解；ACD AED ∠=∠②根据等边对等角可得，根据（1）的结论可得，进而DAE DEA ∠=∠∠=∠ACB ABC 根据折叠的性质求得，进而根据即可求得，60CAE ∠=︒CAB CAE ∠-∠BAE ∠（2）根据，可得，，根据折叠的性质可得A A A A AD DE BE DE +=+A A AE DB =AE BE =，进而即可求解．4DB AE ==(1)①，，A A AD AD = 30ABC ∠=︒，30AED ABD ∴∠=∠=︒将沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上，ADC A AD O A ；30ACB AED ∴∠=∠=︒②，AD DE =，DAE DEA ∴∠=∠，DEA DBA ∠=∠ ，30DAE ∴∠=︒将沿直线折叠，点C 的对应点E 落在上，ADC A AD O A ，30DAE DAC ∴∠=∠=︒中，，则，ABC A 30ABC ACB ∠=∠=︒180120CAB ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，60CAE CAD EAD ∠=∠+∠=︒ ，1206060EAB CAB CAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，60EAB ∴∠=︒(2) A A AD BE=A A A A AD DEBE DE +=+∴A A AE DB∴=AE BE∴=折叠AC AE∴=4DB AE ∴==2CD = 426BC CD DB ∴=+=+=【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．25．(1)30(2)(3)3232π【分析】（1）利用圆周角定理解得，由直径所对的圆周角是90°，得到60B D ∠=∠=︒，最后根据三角形内角和180°解答即可；90ACB ∠=︒（2）证明是等边三角形，得到BC =3，再证明是的中位线，由中位COB △OE ABC A线的性质解答；（3）连接OC ，证明，将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面()AFE COE ASA ≅V V 积，再结合扇形面积公式解答．(1)解：∠D =60°60B ∴∠=︒AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒906030CAB ∴∠=︒-︒=︒故答案为：30；(2)∠D =60°60B ∴∠=︒OC OB=Q 是等边三角形COB ∴A 1632BC OB ∴==⨯=AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒OE AC⊥ OE BC∴∥是AB 中点O 是的中位线OE ∴ABC A 1322OE BC ∴==(3)连接OC ，∠CAB =30°,AO OC =Q 30ECO ∴∠=︒1111120302224FAC FOC AOC ∠=∠=⨯∠=⨯︒=︒Q FAE ECO∴∠=∠AC OF⊥Q 90,FEA OEC AE CE ∴∠=∠=︒=()AFE COE ASA ∴≅V V AFE COES S ∴=V V ．26033===3602FOC S S ππ⨯∴阴影扇形【点拨】本题考查扇形的面积计算、含30°角的直角三角形、圆周角定理、垂径定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．26．(1)36°；(2)．12【分析】（1）利用对称的性质证明BD ⊥AC ，所以∠DBC 与∠ACB 互余，即可求出∠DBC ；（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF 、∠OBM 的度数并证明其相等，再根据证明△BOM ≌△DNM (ASA )，从而得到OM =NM ，即可求出．12MN ON =解：(1)∵点B 、点D 关于AC 对称，∴BD ⊥AC ，∴∠DBC +∠ACB =90°，∵∠ACB =54°，∴∠DBC =90°-54°=36°，故∠DBC 的度数为36°．(2)连接OF ，∵点F 是的中点，A BC ∴∠BOF =∠COF =2∠BDF ，∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB =54°，∴∠OBM =∠OBC -∠DBC =54°-36°=18°，∠BOC =180°-2×54°=72°，∴∠BOF =∠BOC ==36°，121722⨯︒∴∠BDF ===18°，12BOF ∠1362⨯︒∴∠BDF =∠OBM ，∵点B 、点D 关于AC 对称，∴DM =BM ，∴在△BOM 和△DNM 中，OBM NDM BM DMOMB NMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOM ≌△DNM ，∴NM =OM ，∴．12MN MN ON OM NM ==+【点拨】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．27．(1)见分析；(2)65【分析】（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到；EF AB ∥（2）根据直角三角形斜边上的中线求得,勾股定理求得,由（1）25AB CD ==4BC =可得,根据切线的性质可得，根据，代入数值，即可12EF AB =FG AB ⊥sin FG AC B BF AB ==得到FC ．解：(1)证明：连接DE ，∵CD 和EF 都是⊙O 的直径，∴∠DEA =∠ECF =90°，∵D 是AB 的中点，∴CD =AD =BD ，∴∠ADE =∠CDE ，∵OD =OE ，∴∠OED =∠CDE ，∴∠ADE =∠OED ，∴；EF AB ∥(2)连接DF ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DFC =90°，∴∠DFC =∠FCE =∠CED =90°，∴四边形CEDF 是矩形，∴FC =DE ，DE ∥BC ，∴，1AE AD EC DB ==∴AE =CE ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴，12DE BC =∵AB =2CD =5，AC =3，∴，4BC ===∴FC =2．422BF BC FC ∴=-=-=是的切线，FG O A GF EF∴⊥ EF AB∥FG AB∴⊥90BGF BCA ∴∠=∠=︒∴sin FG AC B BF AB==∴325FG =65FG ∴=【点拨】此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．28．（1）；（2；（3）；见分析3294//AB ON 【分析】（1）连接AB ，由已知得到∠APB =∠APQ +∠BPQ =90°，根据圆周角定理证得AB 是⊙O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；（2）证明是等腰直角三角形，得出ABQ △AQ BQ ==可得结论；ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+四边形（3）连接OA 、OB 、OQ ，由∠APQ =∠BPQ 证得，即可证得OQ ⊥AB ，然后»»AQ BQ =根据三角形内角和定理证得∠NOQ =90°，即NO ⊥OQ ，即可证得AB ∥ON ．解：（1）连接AB ，如图1，∵，45APQ BPQ ∠=∠=︒∴，90APB APQ BPQ ∠=∠+∠=︒∴AB 是的直径，O A∴，3AB ===∴的半径为；O A 32（2）连接AQ ，BQ ，如图2，∵90APB ∠=︒∴18090AQB APB ∠=︒-∠=︒∵45APQ BPQ ∠=∠=︒∴45ABQ BAQ ∠=∠=︒∴是等腰直角三角形ABQ △∵，3AB =∴3AQ BQ AB ====∴1191224ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+=⨯⨯=四边形（3），理由如下：连接OQ ，如图3，//AB ON∵，APQ BPQ ∠=∠∴，»»AQ BQ =∴OQ AB⊥∵，OP OQ =∴，OPN OQP ∠=∠∵，180OPN OQP PON NOQ ∠+∠+∠+∠=︒∴，2180OPN PON NOQ ∠+∠+∠=︒∵，290NOP OPN ∠+∠=︒∴，90NOQ ∠=︒∴NO OQ⊥∴//AB ON【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC=32°，则∠AOD 等于( )． A ．64° B ．48° C ．32° D ．76°2．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD 等于( )． A ．37° B ．74° C ．54° D ．64°（第1题图） （第2题图） （第3题图）3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )．A ．69°B ．42°C ．48°D ．38°4．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=50°，∠ABC=60°，BD 是⊙O 的直径，BD 交AC 于点E ，连结DC ， 则∠AEB 等于( )． A ．70° B ．90° C ．110° D ．120°（第4题图） （第5题图） 5.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．A ．∠1>∠2>∠3B ．∠3>∠1>∠2C ．∠2>∠1>∠3D ．∠3>∠2>∠1 6．（2015•酒泉）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是（ ） A ．80° B ． 160° C ． 100° D ． 80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________． 8.（2015•镇江一模）在圆内接四边形ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比为3：5：6，则∠D= . 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2，则BD ＝BA O C D H（第9题图） O DA BC （第10题图）11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝ .（第12题图）12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．（2015•嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.2.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.3.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.4.【答案】C；【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，∠AEB=180°-70°=110°.5.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8．【答案】80°；【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．根据圆内接四边形的对角互补，得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则3x+6x=180°，解得x=20°．所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．9．【答案】60°；10．【答案】3；11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²， x＝, 即 AB的长＝.第11题第12题12．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，．∴BE CF∴BE=CF．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，∴（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，即AE=BF．(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则22215OH=OC -CH =-=6229（）（）2， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)． 附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（ ） A ．△ABC 放大后，∠B 是原来的4倍 B ．△ABC 放大后，边AB 是原来的4倍 C ．△ABC 放大后，周长是原来的4倍 D ．△ABC 放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

人教版九年级上册数学24.1.3弧、弦、圆心角同步练习知识点一圆心角的定义1.下列图形中表示的是圆心角的是()知识点二弧、弦、圆心角之间的关系2.下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在半径为1cm的⊙O中,弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为()A.60°B.90°C.120°D.45°所对的圆心角的度数为()4.如图,弦AB∥直径CD,∠OAB=40°,则.DBA.40°B.50°C.60°D.30°=AC ,∠A=30∘,则∠C=.5.如图,在⊙O中,AB6.如图,⊙O中的弦AB=CD,求证:AD=BC.的中点,∠A=50°,则∠AOB的度数为.7.如图,C为AB=CD ,CE=2,DE=6,则⊙O的半径是(）8.如图,⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且ABA.5B.4C.25D.89.如图,⊙O在△ABC的三边上截得的弦长相等,∠A=80°,则∠BOC的度数为.10.如图,等边△ABC的顶点都在⊙O上.(1)求∠BOC的度数;(2)若AB=6,求⊙O的半径.的三等分点,AB交OC、OD于E、F.求证:AE=CD.11.如图,∠AOB=90°,C、D为AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.12.如图,点A、B是⊙O上两点,∠AOB=120°,C是AB13.(1)如图1,AB,CD是⊙O的两条弦,∠AOB+∠COD=180°,E是AB的中点,求证:CD=2OE; (2)如图2,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC,AB=4,BC=5,求⊙O的半径.。