概率论实验报告蒙特卡洛方法估计积分值

概率论与数理统计实验报告实验题目：蒙特卡洛算法计算积分实验时间：2012.06.01姓名：王文栋学号：2110904023班级：物理试验班12实验报告一．实验目的1.初步了解蒙特卡洛算法，以及用其计算一些高等数学中不能直接计算出的积分；2.计算出的真值与蒙特卡洛法得值的差值，比较其有效性。

二．实验原理1. 蒙特卡洛法的思想简述当我们所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

有一个例子我们可以比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。

蒙特卡洛方法是如下计算的：假想有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。

当豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。

在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

2. 蒙特卡洛法与积分通常蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。

对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡洛方法是一种有效的求出数值解的方法。

一般蒙特卡洛方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡洛积分。

非权重蒙特卡洛积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。

此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。

3. 本实验原理简述在本实验中，我们主要是计算积分值与误差比较。

在计算积分时，我们要选择合适的变量分布，其中有均匀分布，有正态分布，要视情况而选择。

在利用蒙特卡洛方法计算积分时，我们要分情况。

①对于积分为这种形式，我们可以转化为这种形式，然后利用其等于（b-a）E(x)的计算结果。

E(x)可利用求随机变量的均值来得到。

蒙特卡洛计算概率与分位概率和分位是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的特征。

而蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于概率和分位的估计。

本文将介绍蒙特卡洛方法在计算概率和分位上的应用，并探讨其优势和限制。

一、概率的蒙特卡洛计算概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用的计算方法有频率法和蒙特卡洛法。

频率法通过实验重复多次来估计概率，其结果趋近于真实概率。

而蒙特卡洛法则是通过随机抽样的方式来估计概率，其基本思想是通过大量的随机实验来模拟随机事件的发生情况，从而得出概率的估计值。

蒙特卡洛方法在计算概率时的优势在于可以处理复杂的概率分布和随机事件。

以投掷硬币为例，我们想要计算正面朝上的概率。

通过蒙特卡洛方法，我们可以模拟大量的投掷实验，记录正面朝上的次数，并将其除以总实验次数，得到正面朝上的概率估计值。

同样的方法也适用于更复杂的情况，比如计算掷骰子点数为6的概率。

但是蒙特卡洛方法也存在一些限制。

首先，它需要进行大量的实验才能得到准确的结果，这会消耗大量的计算资源和时间。

其次，蒙特卡洛方法只能给出概率的估计值，并不能保证结果的准确性。

最后，蒙特卡洛方法对随机数生成器的质量要求较高，如果生成的随机数序列不具有良好的随机性，则会对结果产生影响。

二、分位的蒙特卡洛计算分位是描述随机变量取值位置的数值，常用的计算方法有经验分位法和蒙特卡洛法。

经验分位法是通过观察数据的分布情况来估计分位的位置，但对于复杂的分布情况，经验分位法的效果可能不理想。

而蒙特卡洛法则可以通过随机抽样的方式来估计分位的位置，其基本思想是通过大量的随机实验来模拟随机变量的取值情况，从而得出分位的估计值。

蒙特卡洛方法在计算分位时的优势在于可以处理复杂的分布情况和分位位置。

以正态分布为例，我们想要计算其95%分位。

通过蒙特卡洛方法，我们可以生成大量的随机数样本，按照从小到大的顺序排列，然后取排在95%位置上的数值作为分位的估计值。

本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。

一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。

三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。

取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。

（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。

用蒙特卡洛方法估计积分值一.实验目的：1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较二.实验原理：做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。

Monte Carlo 步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。

如x i 表示生成的第i 个x 。

生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值2．误差分析Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。

严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。

三．实验内容：第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较(1).∫322dx x将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，1)(=x f x 2)(x x h =真值为6.3333程序内容运算结果（2）xdx x sin 20∫π将被积函数展开为[0,2π]上的均匀分布，π2)(=x f x ，x x x h sin 2)(π=真值为1程序内容运算结果（3）∫+∞−02dxe x将被积函数展开为（0, ∞+）上参数为2的卡方分布，f(x)=,ℎ()=2程序内容运算结果：第二题估计积分，并对误差进行估计（1）.∫将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x)=1,ℎ()=程序内容运算结果(2)∫√将被积函数展开为(0,10)上的均匀分布，f(x)=0.1,ℎ()=√ 程序内容四.实验总结：通过实验了解了概率论在值估计及生活中的运用。

通过对上面五个问题的求解知道，由于随机数的任意性，虽然计算机每次的运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。

用蒙特卡洛方法计算积分简介蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来计算数学问题的方法。

在计算积分时，蒙特卡洛方法可以提供一种简单而有效的解决方案。

方法步骤1. 确定积分范围：首先确定要计算的积分范围，并将其表示为一个多维的定积分。

2. 创建随机点：生成一组随机点，这些随机点需要在积分范围内均匀分布。

3. 判断点的位置：对于每个随机点，判断它是否在被积函数的曲线下方。

4. 计算积分值：计算在被积函数下方的点数与总随机点数的比例，并乘以积分范围的体积，得到积分的近似值。

优势和注意事项蒙特卡洛方法的优势在于其简单性和适用性广泛性。

然而，在使用蒙特卡洛方法进行积分计算时，需要注意以下几点：- 随机点的数量：随机点的数量越多，计算结果越精确，但计算时间也会增加。

- 积分范围的选择：选择合适的积分范围可以提高计算效率和准确性。

- 随机点的生成：生成随机点需要遵循均匀分布原则，以确保计算结果的准确性。

示例以下是使用蒙特卡洛方法计算积分的示例代码：import randomdef monte_carlo_integration(f, a, b, n):count = 0for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)y = random.uniform(min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b)))if 0 < y <= f(x):count += 1return count / n * (b - a) * (max(f(a), f(b)) - min(f(a), f(b)))def f(x):被积函数定义，根据实际情况修改return x**2a = 0 # 积分下限b = 1 # 积分上限n = # 随机点数量result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)print("Approximate integral value:", result)注意：上述代码仅为示例，实际运行时请根据需要修改被积函数和参数。

蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。

基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。

我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。

我们要求的定积分为∫0πsin⁡xdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。

通信系统仿真原理与无线应用课题设计题目蒙特卡洛方法与拟蒙特卡洛方法的几分估计学院电子信息学院专业电路与系统学生姓名贾伟学号 S101832教师徐家品成绩二Ο年月日蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法的积分估计贾伟（电路与系统，学号s101832）摘要：在本文中，利用计算机分别产生了伪随机数序列和低差异数序列在此基础上，研究了蒙特卡罗积分与拟蒙特卡罗积分区别关键词：蒙特卡罗积分；拟蒙特卡罗积分；积分估计1 蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗（Monte Carlo）法亦称为随机仿真（random simulation）方法，有时也称作随机抽样（random sampling）技术或统计试验（statistical testing）方法。

蒙特卡罗方法是一种与一般数值计算方法有本质区别的计算方法，属于试验数学的一个分支，起源于早期的用几率近似概率的数学思想，它利用随机数学进行统计试验，以求得的统计特征值（如均值、概率等）作为待解问题的数值解。

这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”，该计划的主持人之一数学家冯•诺依曼把他和乌拉姆所从事的与研制原子弹有关的秘密工作——对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟，并以摩纳哥国的世界闻名赌城蒙特卡罗作为秘密代号来称呼。

用赌城名比喻随机仿真，风趣又贴切，很快得到广泛接受，此后，人们便把这种计算机随机仿真方法称为蒙特卡罗方法，该方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”，而在19世纪人们用投针试验的方法来确定圆周率π。

随着现代计算机技术的飞速发展，用计算机仿真随机过程，实现多次仿真试验并统计计算结果，进而可获得所求问题的近似结果。

蒙特卡罗方法已经在原子弹工程的科学研究中发挥了极其重要的作用，并正在日益广泛地应用于物理、工程、经济、金融的各个方面。

它的基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求随机参数的统计特征，最后给出所求解的近似值，解的精度可用估计值的标准误差来表示。

蒙特卡洛方法与定积分计算蒙特卡洛方法和定积分都是数学中常用的计算方法。

蒙特卡洛方法是一种基于随机数的统计计算方法，用于估计数值问题的解。

定积分则是一种通过将函数与自变量相乘并对其积分来计算曲线下的面积的方法。

本文将分别介绍蒙特卡洛方法和定积分的原理和应用，并比较两者的优劣。

蒙特卡洛方法是以蒙特卡洛赌场（Monte Carlo Casino）命名的一种计算方法，最早由美国科学家冯·诺依曼（John von Neumann）于20世纪40年代提出。

蒙特卡洛方法的基本思想是通过随机抽样和统计分析来估计数值问题的解。

具体而言，蒙特卡洛方法随机选择输入数据，并运行多次模拟来获取输出结果的分布情况。

通过对这些输出结果的统计分析，可以得到数值问题的解或近似解。

蒙特卡洛方法在很多领域都有广泛的应用。

其中最著名的应用之一是估计圆周率π的值。

通过在单位正方形内随机投点，并统计落在单位圆内的点的个数，可以得到一个π/4的近似值。

这是因为单位圆的面积为π，而单位正方形的面积为1，所以圆内点的比例即为π/4、通过增加抽样次数，可以得到更精确的π的近似值。

此外，蒙特卡洛方法还可以应用于金融建模、风险评估、物理模拟等领域。

定积分是微积分的一项基础概念，用于计算曲线下的面积。

定积分的计算公式为∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，dx表示一个无限小的自变量增量。

定积分的计算过程可以看作是将函数与自变量相乘，并对其积分。

曲线下的面积即为定积分的值。

定积分可以通过几何方法、代数方法或数值计算方法等多种方式进行计算。

定积分在数学和物理学中有广泛的应用。

例如，通过计算函数曲线下的面积，可以得到函数的平均值、变化趋势、极值点等信息。

此外，定积分还可以用于求解一些平面图形或空间图形的面积、体积等几何问题。

在物理学中，定积分可以用于计算质点的位移、速度、加速度等运动参数，以及作用力、功等动力学参数。

比较蒙特卡洛方法和定积分，它们各自具有一些优势和劣势。

概率统计定积分近似计算实验报告
实验五、定积分的近似计算实验序号：5
日期：xxx 年 5 月 15 日班级
学号
姓名
实验名称定积分的近似计算
问题的背景和目的：
加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近
似计算定积分的值．掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法．：
实验内容：
（随机投点法）
估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).随机投点法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，
1 2 1 2, , , ; , , ,n nx x x y y y ； (2) 统计 ( )i iy
f x 的次数 k ； (3) 用kn来估计1J ．
（平均值法）
估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).平均值法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 n 个服从 (0,1) 区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ； (2) 计算 ( )if x ； (3) 用
11( )niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：
Excel 2003 实验过程：
实验结果总结：
教师评语与成绩：
挺有创意的！
范文自然，朴实。

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用蒙特卡洛计算积分1用蒙特卡洛方法估计积分 20sin x xdx π⎰，2-0xe dx +∞⎰和22221xy x y e dxdy ++≤⎰⎰的值，并将估计值与真值进行比较。

1.2sin x xdx π⎰的 真值为1clear clc true=1; for t=1:1:50 n=1000; a=(pi)/2*rand(1,n); for i=1:1:nb(i)=(pi)/2*a(i)*sin(a(i)); endc(t)=mean(b); end cmean((c-true).*(c-true))结论当N 为200时 计算的值分别为 c =Columns 1 through 81.0777 0.8619 1.0677 1.0151 1.0311 1.0291 0.9675 0.9751Columns 9 through 160.9502 0.9672 0.9271 0.9416 0.9899 1.0854 1.0175 0.9739Columns 17 through 240.9612 1.0555 0.9526 1.0375 1.0233 1.0361 0.9694 0.9995Columns 25 through 321.0538 0.9941 1.0114 1.0576 1.1029 0.9244 1.0831 0.9029Columns 33 through 401.0329 0.8919 1.0362 0.9808 0.9724 1.0233 1.0386 0.9858 Columns 41 through 480.9704 0.9825 0.9741 1.1060 1.0521 0.8751 1.0642 0.9985 Columns 49 through 500.9915 0.9792ans =0.0032当N为500时计算的值分别为c =Columns 1 through 80.9614 0.9748 0.9687 0.9646 1.0441 0.9816 0.8864 1.0066 Columns 9 through 160.9673 0.9897 1.0502 0.9713 1.0277 1.0071 1.0252 1.0193 Columns 17 through 241.0236 0.9899 0.9883 0.9983 1.0300 0.9259 1.0385 0.9855 Columns 25 through 321.0057 1.0056 1.0918 1.0327 0.9601 1.0232 0.9806 1.0470 Columns 33 through 401.0505 0.9945 1.0287 1.0317 1.0248 1.0316 1.0248 1.0013 Columns 41 through 480.9863 0.9696 0.9993 1.0207 1.0333 1.0618 1.0705 1.0144 Columns 49 through 500.9454 1.0030ans =0.0014当N为1000时计算的值分别为c =Columns 1 through 81.0036 0.9988 0.9848 0.9598 0.9653 0.9595 1.0015 1.0034 Columns 9 through 161.0378 1.0291 1.0006 1.0548 1.0178 1.0227 1.0087 0.9922 Columns 17 through 241.0389 0.9956 0.9669 1.0135 1.0392 1.0228 1.0088 1.0390 Columns 25 through 320.9871 1.0236 1.0245 1.0038 1.0065 0.9701 0.9918 1.0066 Columns 33 through 400.9790 0.9985 1.0474 0.9783 0.9997 1.0450 0.9524 1.0147 Columns 41 through 481.0001 0.9929 1.0384 0.9813 0.9696 1.0088 1.0085 0.9837 Columns 49 through 500.9938 1.0066ans =6.1578e-004再用莱姆大为1的指数分布估计clearclctrue=1;for t=1:1:50n=1000;b=exprnd(1,1,n);for i=1:1:nif(b(i)>0&b(i)<pi/2)c(i)=b(i)*sin(b(i))*exp(b(i));elsec(i)=0;endendmean(c)a(t)=mean(b);endamean((a-true).*(a-true))当N为1000时计算的值分别为a =Columns 1 through 81.0224 0.9285 1.0907 1.0564 0.9623 1.0328 0.9228 0.9933 Columns 9 through 161.0222 0.9312 1.0315 0.9599 1.0453 1.0658 1.0817 0.9649 Columns 17 through 240.9971 0.9826 0.8882 0.9494 0.9674 1.0474 1.0687 1.0541 Columns 25 through 321.0060 1.1686 1.0589 0.9504 1.0268 1.0330 0.9579 1.0636Columns 33 through 400.9517 0.9519 1.0633 1.0431 0.9855 0.9563 0.9903 0.9968Columns 41 through 480.9307 0.9799 1.0811 1.0276 0.9705 0.8676 0.9811 1.0085Columns 49 through 501.0098 0.9820ans =0.00252-0x e dx +∞⎰的真值为2π用拉姆大为1的指数来估计true=sqrt(pi)/2; for t=1:1:50 n=1000;b=exprnd(1,1,n); for i=1:1:nc(i)=exp(-b(i)*b(i))*exp(b(i)); end mean(c)a(t)=mean(c); end amean((a-true).*(a-true))a =Columns 1 through 80.8731 0.8577 0.8739 0.9043 0.8838 0.8724 0.8657 0.8881Columns 9 through 160.8938 0.9113 0.8949 0.8757 0.9213 0.8821 0.9073 0.8923Columns 17 through 240.8777 0.8929 0.8946 0.8993 0.8457 0.8643 0.8872 0.8875Columns 25 through 320.8805 0.8990 0.8811 0.8793 0.8894 0.8783 0.8878 0.8769Columns 33 through 400.8627 0.9053 0.9028 0.8698 0.8825 0.9020 0.8686 0.9112Columns 41 through 480.8988 0.8973 0.8993 0.8681 0.8877 0.8794 0.8878 0.8926Columns 49 through 500.8919 0.8751ans =2.2562e-00422221xy x y e dxdy ++≤⎰⎰它的真值为pi*(exp(1)-1)=5.3981for t=1:1:50 n=1000;r=sqrt(rand(1,n)); seta=2.*pi.*rand(1,n); x=r.*cos(seta); y=r.*sin(seta); for i=1:1:nc(i)=pi*exp(x(i)*x(i)+y(i)*y(i)); enda(t)=mean(c);end amean((a-true).*(a-true))a =Columns 1 through 85.5005 5.3036 5.4349 5.4169 5.4103 5.3595 5.4434 5.4036Columns 9 through 165.2961 5.4038 5.4061 5.4020 5.4538 5.4022 5.3671 5.4742Columns 17 through 245.4545 5.3034 5.4084 5.3917 5.3720 5.4910 5.4341 5.3817Columns 25 through 325.4541 5.4185 5.3812 5.4076 5.3953 5.3828 5.4447 5.5184Columns 33 through 405.3966 5.4173 5.4258 5.3266 5.4199 5.3124 5.3420 5.3596Columns 41 through 485.4391 5.3471 5.4456 5.3345 5.3728 5.4366 5.4463 5.3684Columns 49 through 505.3347 5.4452ans =0.00272用蒙特卡洛方法估计积分 21xe dx ⎰和22x y +≤⎰⎰的值，并对误差进行估计。

《数学实验》报告班级：序号：：1．问题描述I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数目观察对结果的影响。

（1）y=1/(1+x), 0=<x=<1;（2）y= (exp(3*x))*sin(2*x), 0=<x=<2 ;（3）y=(1+x^2)^0.5, 0=<x=<2;（4）y=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2), 0=<x=<2;（5）y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2, 0=<x=<2*pi;（6）f(x,y)=exp(-x^2-y^2) 0=<x=<pi, 0=<y=<sin(x);II、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论，求下列函数的最大值。

（1）f(x)=(1-x.^2).*sin(3*x), -2*pi=<x=<2*pi;（2）maxf(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10;（3）f(x,y)=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2),abs(x)<1.5,abs(y)<1.5;2．问题分析与实验过程I、(1)使用均值估计法程序：function p=shell1(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=(x(i)+1)^(-1);z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：p=shell1(0,1,1000)p =0.6975>> p=shell1(0,1,10000)p =0.6922>> p=shell1(0,1,100)p =0.7001>> p=shell1(0,1,500)p =0.6890结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于0.69，但是点数越多，值越接近。

蒙特卡罗方法计算定积分蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）是一种通过运用随机数抽样，利用计算机模拟实验来求解复杂问题的方法。

主要是利用概率统计中大数定律来求解，它可以帮助我们在数学上求解积分，快速准确的进行估计，被用在金融学，计算物理学，经济学，数学统计，技术分析等诸多领域。

一、蒙特卡罗方法计算定积分1、估计问题定义：计算一个未知函数积分。

2、随机抽样：由蒙特卡罗定理，我们在总体样本里进行随机抽样，随机抽取的样本可用与能够准确估计积分的概率多样性。

首先，创建一个具有期望值的随机变量，即函数中的随机变量，有且只有一个。

3、抽样的选择：抽样的选择非常重要，随机抽样的样本数量要远大于正常的定积分计算过程中要求的样本数量。

4、统计估计：通过蒙特卡罗方法，估计积分就是所抽样本的函数值的平均值乘以定积分范围。

二、蒙特卡罗方法容易出现的问题1、抽样样本量不够：如果抽样样本量不够，结果会出现较大误差，蒙特卡罗方法所估计值将可能与实际结果存在较大偏差。

2、估计值不够稳定：蒙特卡罗方法产生的结果一般存在很大的变动，估计值的结果可能会出现很大的波动，如果这种情况发生，就要调整抽样数量来达到稳定的结果。

3、结果不精确：由于蒙特卡罗方法依赖于随机样本，对精确度的要求很高，如果抽样数量不够，很可能出现精度较差的情况。

三、蒙特卡罗方法计算定积分的优点1、随机变量可定义：由于蒙特卡罗方法是基于随机变量的，所以可以通过定义方法来求出任意函数的定积分。

2、结果准确：在合理的的抽样数量下，蒙特卡罗方法的估计结果都基本准确。

3、实用性强：蒙特卡罗方法不仅实用于算法应用，还可以用于复杂估计。

四、总结蒙特卡罗方法是一种基于随机变量的，主要用于求解数学和经济类问题的方法。

它具有计算定积分快速准确、估计值结果可靠、实用性强等优点，是复杂问题求解的重要工具。

但同时也存在诸如抽样数量不足、估计值不稳定和精度较低等问题，因此在使用时要醉倒，确保估计结果的准确性。

蒙特卡罗（MonteCarlo）方法算积分❝蒙特卡罗（Monte Carlo）是摩纳哥最著名的一区，以豪华的赌场闻名于世，用它作为名字大概是因为随机性，就像赌博场里面的扔骰子的过程。

最早的「蒙特卡罗方法」是为了解决一些难求解的积分问题。

❞•「问题」•「蒙特卡洛方法」如果可以选择在的概率分布函数，则有：若在之间是均匀分布时，即，那么：这就是之前讲解的平均值法(点击跳转)，另外随机投点法(点击跳转)也是「蒙特卡洛方法」. 一般均匀分布并不是好选择，因为如果在有不少点使得，那么这些点对的近似计算贡献很小，所以应尽可能少用这些点. 此时就需要采用「重要采样方法」选择合适的，从而提高精度，这部分内容我们后续会详细阐述，这次我们先分析「随机投点法」和「平均值法」的随机误差.•「误差分析」（1）「随机投点法」令且，则 iid . 由中心极限定理知：从而所以因此的随机误差为：.（2）「平均值法」由中心极限定理知：其中因此的随机误差为：，但其渐近方差更小.类似的，计算高维定积分的蒙特卡罗方法的随机误差也为，所以蒙特卡罗方法计算积分和维数关系不大，但数值积分则存在「维数诅咒」问题，这也是蒙特卡罗方法的「优势」.•「高维积分算例」「以下为Python代码」import numpy as npfrom scipy import integrate## (x1)^2(x2)^2(x3)^2 在 [0,1] 的积分a1,b1 = 0,1a2,b2 = 0,1a3,b3 = 0,1# 三重积分计算def f(x1,x2,x3):return x1**2 * x2**2 * x3**2I_exact, Error = integrate.tplquad(f,a1,b1,a2,b2,a3,b3)# 平均值法N = 10000x1_sample = a1 + (b1-a1)*np.random.rand(N)x2_sample = a2 + (b2-a2)*np.random.rand(N)x3_sample = a3 + (b3-a3)*np.random.rand(N)np.random.seed(1)h_x = f(x1_sample,x2_sample,x3_sample)I_approx_stat = (b3-a3)*(b2-a2)*(b1-a1)/N*np.sum(h_x)# 数值积分M = 200h1 = (b1-a1)/(M-1)h2 = (b2-a2)/(M-1)h3 = (b3-a3)/(M-1)x1 = np.linspace(a1,b1,M)x2 = np.linspace(a2,b2,M)x3 = np.linspace(a3,b3,M)x1_mesh, x2_mesh, x3_mesh = np.meshgrid(x1,x2,x3)I_approx_rec = np.sum( f(x1_mesh, x2_mesh, x3_mesh)*h1*h 2*h3 )print( '多重积分值：', I_exact )print( '\n平均值法结果：', I_approx_stat )print( '\n数值积分结果：', I_approx_rec )❝多重积分值：0.037037037037037035平均值法结果：0.03737256369148107数值积分结果：0.03788231093787493（大家可尝试画出：不同数量采样点对应的结果和真实值之间的关系图）❞。

蒙特卡洛数值积分实验报告杨韧121180143问题概述：概率论中，一切关于大量随机现象之平均结果的稳定性的定理，通称为“大数定理”。

大数定理可以用于定积分的近似求解。

考察下面的定积分：其中g(x)为连续函数。

为求解这个定积分，向区间[a,b]上均匀接连投n个随机点，它的坐标为n个独立均匀分布的随机变量，显然由大数定理当n很大时用计算机可模拟蒙特卡洛实验，进行积分的近似计算。

本实验程序采用C语言编写，实验代码如下：#include "stdafx.h"#include <stdlib.h>#include <stdio.h>#include <complex>#include <math.h>#include <time.h>int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){double a,b,result,x;unsigned int n,count;short int contrl = 'Y'; //进行流程控制的变量double g(double x); //声明被积函数g(x)srand( (unsigned)time( NULL ) );while(contrl == 'Y'){result = 0;contrl = 0;printf_s("请输入实验次数\n");scanf_s("%u",&n);printf_s("请输入积分范围(a,b)：a=?,b=?\n");scanf_s("%lf %lf",&a,&b);count = n;while(count){x = a + (b-a)*(double)rand() /(double)(RAND_MAX+1); //将unsigned int随机数转换成符合要求的xresult += g(x); //累加结果--count; //控制循环次数}result *= (b-a)/n; //乘上系数printf_s("积分结果为：%lf\n重新实验？Y/N\n",result);getchar(); //吸收多余的回车contrl = getchar();}return 0;}double g(double x){return (x*exp(x));}实验程序中将g(x)独立成为一个被调用子函数，便于根据各种需要将其修改为各种不同的其他函数，可以对任何复杂的定积分进行近似的数值求解。

概率论实验报告——蒙特卡洛方法估计积分值姓名：学号：班级：实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值1用蒙特卡洛方法估计积分估计值与真值进行比较。

2用蒙特卡洛方法估计积分行估计。

要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。

目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；（2）熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；（3）能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。

MATLAB代码：s=0;m=0;f=0;r=0;n=50;h(1:10)=0;for j=1:10for i=1:na=unifrnd(0,pi/2,n,1);x=sort(a); y=pi/2*mean(x.*sin(x)); s=s+y;endb=s./n;fprintf('b=%.4f\n',b);h(j)=b;s=0;m=m+b;endp=m./10z=1for j=1:10r=(h(j)-z).^2; f=f+r;endf=f./10;fprintf('f=%.6f\n',f)运行结果：b=1.0026b=1.0061b=1.0037b=1.0135b=0.9932b=0.9988b=1.0213b=1.0310b=0.9813b=1.0041p =1.0056z =1f=0.000207>> （运行截图）结果显示f=0.000207，表明估计结果与理论值非常接近。

实验二、估计2-0x e dx +∞⎰的值，并将估计值与真值进行比较。

I=dx e x ⎰+∞-02=1/2*pi dx epi e x x *2***2/1*2/2/22-+∞∞--⎰ =)(x f x 2/2**2/1x e pi - g(x)=e pi x *2*2/2-)(x f x 为标准正态分布的概率密度.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p，对照积分的真实值求得估计均方误差f。