人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5数列求和

课时训练14 数列求和一、分组求和1.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A.15B.12C.-12D.-15 答案:A解析:∵a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +n+2n (n ∈N *),则a n 为( )A.n (n -1)2+2n-1-1 B.n (n -1)2+2n -1 C.n (n+1)2+2n+1-1 D.n (n -1)2+2n+1-1 答案:B解析:∵a n+1=a n +n+2n ,∴a n+1-a n =n+2n .∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)=1+(n -1)n 2+2(1-2n -1)1-2=n (n -1)2+2n -1. 3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1;数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)∵数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1,∴a 1+4=5,解得a 1=1,∴a n =1+(n-1)×1=n.∵数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2,∴b 1·23=16,解得b 1=2,∴b n =2×2n-1=2n .(2)∵c n =a n +b n =n+2n ,∴T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+23+…+2n )=n (n+1)+2(1-2n )=n 2+n +2n+1-2. 二、裂项相消法求和4.数列{a n }的通项公式a n =11+2+3+…+n ,则其前n 项和S n =( )A.2n n+1B.n+12nC.(n+1)n 2D.n 2+n+2n+1答案:A解析:∵a n =11+2+3+…+n =2n (n+1)=2(1n -1n+1), ∴S n =a 1+a 2+…+a n=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2n n+1.5.11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)= . 答案:n 2n+1解析:∵1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)=12(1-13+13-15+15-17+…+12n -1-12n+1) =12(1-12n+1)=n 2n+1. 6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n .等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,且b 2+S 2=12,a 3=b 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)求数列{1S n }的前n 项和T n . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q ,由已知可得{q +3+3+d =12,q 2=3+2d ,又q>0,∴{d =3,q =3, ∴a n =3+3(n-1)=3n ,b n =3n-1.(2)由(1)知数列{a n }中,a 1=3,a n =3n ,∴S n =n (3+3n )2,∴1S n=2n (3+3n )=23(1n -1n+1), ∴T n =23(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=23(1-1n+1)=2n 3(n+1). 三、错位相减法求和7.数列22,422,623, (2)2n ,…前n 项的和为 .答案:4-n+22n -1解析:设S n =22+422+623+ (2)2n ,① 12S n =222+423+624+ (2)2n+1,② ①-②得(1-12)S n =22+222+223+224+…+22n −2n2n+1=2-12n -1−2n2n+1.∴S n =4-n+22n -1.8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q=d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =a nb n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2,或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1,或{a n =19(2n +79),b n =9·(29)n -1.(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.(建议用时:30分钟)1.数列{a n }的通项公式是a n =√n+√n+1,若前n 项和为10,则项数为( )A .11B .99C .120D .121答案:C解析:∵a n =√n+√n+1=√n +1−√n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3−√2)+…+(√n +1−√n )=√n +1-1,令√n +1-1=10,得n=120.2.已知数列{a n }的通项公式a n =2n -12n ,其前n 项和S n =32164,则项数n 等于( ) A .13B .10C .9D .6 答案:D解析:a n =2n -12n =1-(12)n . ∴S n =n-12(1-12n )1-12=n-1+12n =32164=5+164,∴n=6. 3.数列{a n }的通项公式a n =n cos nπ2,其前n 项和为S n ,则S 2 012等于( )A.1 006B.2 012C.503D.0 答案:A 解析:∵函数y=cos nπ2的周期T=2ππ2=4,∴可分四组求和:a 1+a 5+…+a 2 009=0,a 2+a 6+…+a 2 010=-2-6-…-2 010=503×(-2-2 010)2=-503×1 006, a 3+a 7+…+a 2 011=0,a 4+a 8+…+a 2 012=4+8+…+2 012=503×(4+2 012)2=503×1 008. 故S 2 012=0-503×1 006+0+503×1 008=503×(-1 006+1 008)=1 006.4.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 12+a 22+…+a n 2等于( ) A.(2n-1)2B.13(2n -1) C.4n -1D.13(4n -1) 答案:D 解析:根据前n 项和S n =2n -1,可求出a n =2n-1,由等比数列的性质可得{a n 2}仍为等比数列,且首项为a 12,公比为q 2,∴a 12+a 22+…+a n 2=1+22+24+…+22n-2=13(4n -1).5.已知数列{a n }:1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,那么数列{b n }={1n n+1}前n 项的和为( ) A .4(1-1n+1)B .4(12-1n+1)C .1-1n+1D .12−1n+1 答案:A解析:∵a n =1+2+3+…+n n+1=n (n+1)2n+1=n 2,∴b n =1n n+1=4=4(1-1). ∴S n =4(1-12+12-13+13-14+…+1n -1n+1) =4(1-1n+1). 6.如果lg x+lg x 2+lg x 10=110,那么lg x+lg 2x+…+lg 10x= .答案:2 046解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110.∴lg x=2.∴lg x+lg 2x+…+lg 10x=2+22+…+210=211-2=2 046.7.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81.若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列{1b n b n+1}的前2 013项的和为 .答案:2 0132 014解析:a41=q 3=27,∴q=3.∴a n =a 1·q n-1=3×3n-1=3n .∴b n =log 3a n =n.∴1b n ·b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴数列{1bn ·b n+1}的前2 013项的和为: (1-12)+(12-13)+…+(12 013-12 014)=1-12 014=2 0132 014.8.已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n的前n项和S n等于.答案:1+(n-1)·2n解析:∵{a n}是等比数列,∴a4a2n-4=a n2=102n.∴a n=10n,∴2n-1lg a n=n·2n-1.利用错位相减法求得S n=1+(n-1)2n.9.正项数列{a n}满足:a n2-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=1(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由a n2-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.(2)由a n=2n,b n=1(n+1)a n,则b n=12n(n+1)=12(1n-1n+1),T n=12(1-12+12−13+…+1n-1−1n+1n−1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1).10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.当n=1时,4×1-1=3.所以a n=4n-1,n∈N*.由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.。

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课后巩固作业（十四）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.等比数列2，4，8，16，…的前n 项和S n 等于（ ） （A ）2n+1-1 （B ）2n -2 （C ）2n （D ）2n+1-22.等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ）（A ）-2 （B ）1 （C ）-2或1 （D ）2或-13.等比数列{a n }的首项为1，公比为q （q ≠1），前n 项和为S n ，则11a +21a +31a +…+n1a 等于（ ） （A ）n 1S （B ）n 1n Sq- （C ）S n （D ）n 1n 1q S -4.已知等比数列{a n }中,公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+…+a 100=（ ）(A)100 (B)90 (C)120 (D)30 二、填空题(每小题4分，共8分)5.若等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，则它的前n 项和S n 可以用n ，q 表示成S n =_____.6.（2011·北京高考）在等比数列{a n }中，若11a 2=，a 4=-4，则公比q=_____；|a 1|+|a 2|+…+|a n |=______． 三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4,求a 13+a 14+a 15+a 16的值.8.若等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ,S 2n ,S 3n ,求证：()22n 2n n 2n 3n S S S S S +=+.【挑战能力】（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1，S 2=2，且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ≥2且*n N ∈),试判断数列{a n }是不是等比数列?答案解析1.【解析】选D.由已知条件可得此等比数列的首项a 1=2，公比4q 22==，故前n 项和n n 1n 212S 2212+⨯-==--（）. 2.【解析】选C.由已知可得S 3=3a 1，即a 1+a 1q+a 1q 2=3a 1,又a 1≠0，∴q 2+q-2=0，解得q=1或q=-2.3.【解题提示】构成的新数列11a ，21a ，31a ，…，n a 1是首项为1，公比为1q的等比数列.【解析】选B.∵n nn 11q 1q S 1q 1q⨯--==--（）, ∴nn 123n1111111q T 1a a a a 1q⨯-=+++⋯+=-（） =n n n 1n 1S 1q 11q q q---=-·. 4.【解析】选B.由题意,S 奇=60,∴S 偶=q ·S 奇12=×60=30,∴S 100=S 奇+S 偶=60+30= 90.5.【解析】当q=1时，此数列是各项为1的常数列，故S n =n.当q ≠1时，则n n 1q S 1q-=-.故n n n q 1S 1q q 11q =⎧⎪=-⎨ ≠⎪-⎩（）， （）..答案：n n q 11q q 11q =⎧⎪-⎨ ≠⎪-⎩（） （）6.【解析】∵341a q 42==-，∴q=-2， ∴()n 1n 1a 22-=⨯-，∴|a n |=2n-2，∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |()n n 1112122122--==--.答案：-2 2n-1-21[]7.【解题提示】利用等比数列前n 项和的性质，若数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ，…仍构成等比数列，其公比为q n （q ≠-1）.【解析】∵数列{a n }为等比数列，∴S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12也构成等比数列，故（S 8-S 4）2=S 4(S 12-S 8),即（4-1）2=1×（S 12-4），解得S 12=13.同理可解得S 16=40，∴a 13+a 14+a 15+a 16=S 16-S 12=40-13=27. 8.【证明】方法一：根据等比数列的性质，有 S 2n =S n +q n S n =S n (1+q n ), S 3n =S n +q n S n +q 2n S n ,所以222n 2n n S S S +=+［S n (1+q n )］2=2n S (2+2q n +q2n ), S n (S 2n +S 3n )=2n S (2+2q n +q2n ). 所以22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).方法二：依题意可得S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列，所以（S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),整理得22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).【方法技巧】巧用等比数列的前n 项和的性质.(1)“片段和”性质：等比数列{a n }中，公比为q(q ≠-1),前m 项和为S m (S m ≠0),则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,S km -S (k-1)m ,…构成公比为q m 的等比数列，即等比数列的前m 项和与以后依次m 项的和构成等比数列. (2)“相关和”性质：n n n m n m S S q S q +=+⇔=n m nmS S S +- (q 为公比).【挑战能力】【解析】∵S n+1-3S n +2S n-1=0（n ≥2，*n N ∈）, ∴（S n+1-S n ）-2(S n -S n-1)=0, ∴a n+1-2a n =0，即*n 1na 2(n 2,n N )a +=≥∈. ∴a 2,a 3,a 4,…,a n ,…构成公比为2的等比数列. 又a 1=S 1=1,a 2=S 2-S 1=1,∴21a 12a =≠. ∴数列{a n }不是等比数列.。

姓名，年级：时间：第二课时数列求和习题课1.已知数列{a n｝的通项公式为a n=2n+1,则{a n}的前n项和S n等于（ B ）(A)n2 (B）n2+2n (C）2n2+n (D）n+2解析：a1=2×1+1=3，S n===n2+2n.故选B.2.已知数列｛a n}的前n项和为S n，并满足:a n+2=2a n+1-a n，a5=4—a3，则S7等于（ C ）（A)7 (B）12 （C)14 （D）21解析:由a n+2=2a n+1-a n知数列{a n}为等差数列,由a5=4—a3得a5+a3=4=a1+a7，所以S7==14。

故选C.3。

已知数列｛a n｝的通项公式是a n=2n—3（）n,则其前20项和为（ C ）(A）380-(1—) (B)400-(1-)（C）420—(1-）(D)440—(1-）解析：令数列{a n｝的前n项和为S n,则S20=a1+a2+...+a20=2(1+2+ (20)-3(++…+)=2×—3×=420-（1—)。

故选C.4。

已知数列a n=（n∈N＊）,则数列{a n｝的前10项和为（ C ）（A）（B)(C）（D)解析：a n===（—),所以S10=（—+—+…+—）=.故选C。

5.数列｛a n}满足a n+a n+1=（n∈N＊）,且a1=1，S n是数列{a n｝的前n项和，则S21等于（ B ）（A）(B）6 （C)10 (D）11解析：依题意得a n+a n+1=a n+1+a n+2=，则a n+2=a n,即数列｛a n｝中的奇数项,偶数项分别相等，则a21=a1=1，S21=（a1+a2）+（a3+a4)+…+(a19+a20）+a21=10(a1+a2）+a21=10×+1=6,故选B.6。

数列{n·2n}的前n项和等于（ B ）(A）n·2n-2n+2 (B)n·2n+1-2n+1+2（C)n·2n+1-2n（D）n·2n+1—2n+1解析:设{n·2n}的前n项和为S n,则S n=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ①所以2S n=1×22+2×23+…+(n-1）·2n+n·2n+1，②①—②得-S n=2+22+23+…+2n—n·2n+1=—n·2n+1,所以S n=n·2n+1—2n+1+2,故选B.7。

2.5 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为 ( )．A ．63B ．64C ．127D ．128解析 设公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4及题设，知16＝q 4. ∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )．A ．2B ．4C.152D.172解析 S 4a 2＝a 1(1－q 4)1－q a 1q ＝a 1(1－16)－a 1·2＝152.答案 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )． A ．33B ．72C ．84D ．189解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84. 答案 C4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 由a 1＝1，S 6＝4S 3， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1－q 6＝4(1－q 3)．得q 3＝3， 故a 4＝a 1q 3＝1×3＝3.答案 35．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________.解析 由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－(－2)5]1－(－2)＝11. 答案 116．已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1,2,3，…)． (1)解 设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R )， 由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6， 从而a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2， a 6＝a 1q 5＝q －1.因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列， 所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)． 所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝64⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)证明 S n ＝a 1(1－q n )1－q＝64⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n <128. 综合提高(限时25分钟)7．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－1解析 已知⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝1，S 8＝17，即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·q 4＝16.两式相除得q 4＝16，∴q ＝±2. 答案 C8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于 ( )． A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)解析 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2n －1.易知等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，∴a n ＝2n －1，于是a n 2＝4n －1，∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝13(4n－1)．故选D. 答案 D9．S n ＝112＋314＋518＋…＋⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n ＝________. 解析 S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋ (12)＝n [1＋(2n －1)]2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于________． 解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1. 答案 2n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.12．(创新拓展)n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n .解 设第1行的公差为d ，各列公比为q ，则得 a 1k ＝a 11＋(k －1)d ，a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1① a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k 2k .设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ④12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1⑤ ④－⑤得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n .即a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2－n ＋22n .。

习题课 数列求和1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a ＝11－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n(1－q )2－n ·q n 1－q＝n ·qn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋ ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列， 故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q1＋2＋…＋m＝(a m (n －1)21+m q)m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝2m q (常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为2m q .5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. 答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21， T n ＝S n＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ． 0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19． 三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。

学习目标.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.进一步熟悉错位相减法．知识点一分组分解求和法思考求和：＋＋＋…＋(＋)．答案＋＋＋…＋(＋)＝(＋＋＋…＋)＋(＋＋＋…＋)＝＋＝＋－.梳理分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二奇偶并项求和法思考求和－＋－＋…＋－.答案－＋－＋…＋－＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)(＋)＋(－)(＋)＋…＋(－)(＋)＝－(＋＋＋＋…＋＋)＝－.梳理奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前项和而是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三裂项相消求和法思考我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.答案由＝－得＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－.梳理如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：()＝(－)；()＝(－)；()＝(－)；()＝[－]．类型一分组分解求和例求和：＝＋＋…＋(≠)．解当≠±时，＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋＋＝＋＋＝＋；当＝±时，＝.综上知，＝错误!反思与感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练求数列＋＋＋，…，＋＋＋…＋－，…的前项和.(其中≠，∈*)解当＝时，＝，于是＝＋＋＋…＋＝.当≠时，＝＝(－)．∴＝＝＝－.∴＝错误!类型二裂项相消求和例求和：＋＋＋…＋，≥，∈*.解∵＝＝，。

双基达标 (限时20分钟)1．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为( )． A ．8B ．9C ．10D ．11 解析 a n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1－n －2，代入选项检验即得m ＝10.答案 C2．已知数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )．A ．n (n ＋2)B.12n (n ＋4)C.12n (n ＋5)D.12n (n ＋7) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2. 答案 C3．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )．A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析 S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 B4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝ . 解析 数列第k 项a k ＝11＋2＋…＋k ＝2k (k ＋1)＝2(1k －1k ＋1) ∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 答案 2n n ＋15．设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1(n ∈Z )，则f (n )＝ .解析 f (n )为等比数列的和，即首项为2，公比为23的等比数列前n ＋1项的和∴f (n )＝2(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)． 答案 27(8n ＋1－1) 6．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1， 前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)． 故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n .(2)证明 b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1. 综合提高 (限时25分钟)7．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )． A ．11B ．99C ．120D ．121 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案 C8．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20，共有十项，且其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )． A ．31B ．120 C ．130 D ．185 解析 a 1＋a 2＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝130. 答案 C9．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝ . 解析 (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050. 答案 5 05010．数列{a n }的前n 项和为S n ；若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 .解析 由S n ＝2a n －1得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，由a 1＝2a 1－1得a 1＝1，∴a n ＝2n －1，则1a n a n ＋1＝(12)n －1·(12)n ＝(12)2n －1， ∴T n ＝12＋(12)3＋…＋(12)2n －1 ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )． 答案 23(1－14n ) 11．求和1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n . 解 设S n ＝22＋322＋423＋…＋n ＋12n ，① 则12S n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，② 由①－②，得12S n ＝22＋(322－222)＋(423－323)＋…＋(n ＋12n －n 2n )－n ＋12n ＋1＝22＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝12＋12(1－12n )1－12－n ＋12n ＋1 ＝12＋1－12n －n ＋12n ＋1 ＝32－n ＋32n ＋1， ∴S n ＝3－n ＋32n . 12．(创新拓展)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， ∵a n >0(n ∈N *)，∴d >0.a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，① 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝8，或⎩⎨⎧ d ＝－65，q ＝403.(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。

§2.5 等比数列的前n项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧a1(1－qn)1－q＝a1－a n q1－q(q≠1)na1(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝a11－q(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝a1q－1.3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．一、选择题1．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于()A．11 B．5C．－8 D．－11答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.2．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于() A．－3 B．5C．－31 D．33答案 D解析由题意知公比q≠1，S6S3＝a1(1－q6)1－qa1(1－q3)1－q＝1＋q3＝9，∴q＝2，S10S5＝a1(1－q10)1－qa1(1－q5)1－q＝1＋q5＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则S4a2等于()A．2 B．4C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1. ∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nx n ＋11－x (x ≠1且x ≠0).能力提升13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解 方法一 由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二 由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝54 ①S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q＝60 ②由②÷①得1＋q n ＝109，∴q n ＝19，∴a 11－q＝9×548，∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝9×548(1－193)＝1823.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

一、选择题1．1＋11×2＋12×3＋…＋199×100等于( ) A.99100 B.199100 C.9899D.19799 解析：∵1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴所求和＝1＋[(1－12)＋(12－13)＋…＋(199－1100)] ＝1＋(1－1100)＝199100. 答案：B2．数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.答案：B3．数列{n ·2n }的前n 项和( )A ．n ·2n －2n ＋2B ．n ·2n ＋1－2n ＋1＋2 C ．n ·2n ＋1－2n D ．n ·2n ＋1－2n ＋1 解析：∴S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1. ②由②－①得S n ＝n ×2n ＋1－(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ×2n ＋1－2－2n ×21－2＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2. 答案：B4．已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1，2 012)内所有的劣数的和为( )A ．2 026B ．2 046C ．1 024D ．1 022解析：∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg (n ＋2)lg (n ＋1)＝lg (n ＋2)lg 2＝log 2(n ＋2)，令log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k －2(k ∈Z)．令1＜2k －2＜2 012，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4(1－29)1－2－18＝211－22＝2 026. 答案：A二、填空题5．数列1,1＋12，1＋12＋122…，1＋12＋122＋…＋12n －1…的前n 项和为________． 解析：据等比数列的求和公式得a n ＝2(1－12n )， 则S n ＝2[n －(12＋122＋…＋12n )]＝12n －1＋2n －2. 答案：12n －1＋2n －26．1＋11＋111＋…＋个11?11n ＝________.解析：因为个11?1n ＝1＋10＋102＋…＋10n －1＝19(10n －1)， 所以S n ＝19(101－1＋102－1＋103－1＋…＋10n －1) ＝19[(101＋102＋…＋10n )－n ]＝19[10(1－10n )－9－n ] ＝10n ＋1－9n －1081. 答案：10n ＋1－9n －10817．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：易求得等比数列{a n }的公比为3，通项a n ＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 33n ＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：n n ＋18．已知函数f (x )＝log 2x ，若数列{a n }的各项使得2，f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，2n ＋4成等差数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等差数列的公差为d ，则由题意，得2n ＋4＝2＋(n ＋1)d ，解得d ＝2，于是log 2a 1＝4，log 2a 2＝6，log 2a 3＝8，…，从而a 1＝24，a 2＝26，a 3＝28，….易知数列{a n }是等比数列，其公比q ＝a 2a 1＝4，所以S n ＝24(4n －1)4－1＝163(4n －1)． 答案：163(4n －1) 三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝9，a 2＋a 4＋a 6＝21.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)在等差数列{a n }中，由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝9，得，a 2＝a 1＋d ＝3.又由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝21，得a 4＝a 1＋3d ＝7，联立解得a 1＝1，d ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝2n ·a n ＝(2n －1)·2n ，∴S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －1)·2n ①2S n ＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1②①—②得－S n ＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1，得S n ＝－2－8(1－2n －1)1－2＋(2n －1)·2n ＋1 ＝6＋(2n －3)·2n ＋1.10．(2011·大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1. 解：(1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1， 得{11－a n}是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n .所以a n ＝1－1n . (2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， S n ＝∑k ＝1n b k ＝∑k ＝1n (1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1.。

1 +2 1 + 2 +3 + ⋅⋅⋅ +2= na +n(n-1)（2）等比数列求和公式：⎧ na , S = ⎨ a (1 - q n ) a - a q ⎪ 1 - q , q ≠ 1⎩ 1 - q = 1⎪ 1 n a + 2n (n +1)6 n n + 1)(2n + 1)4 ⎡⎣n (n + 1)⎤⎦ 2例 3、已知等差数列 {a }的首项为 1，前 10 项的和为 145，求n 1 ⎛ 1 1 ⎫ ；d ⎝ a⎭= (2n -1)(2n +1) 2 ⎝ 2n -1 2n +1 ⎪⎭ - 1 n (n + 1)(n + 2) = ⎢ ( 2 ⎣ n n + 1) (n + 1)(n + 2)⎦a +b =n + k + n = 例 6 、 数列 {a n } 的 前 n 项 和 S = 1（6） a = ⎨ ⎩ S - S , n ≥ 2【知识要点】主要方法：1、基本公式法：新人教版高中数学必修五《数列求和》例 1、 S = 1 + 1 +1 n11 +2 +3 + + n（1）等差数列求和公式： S =n(a 1 + a n )n12 dn1 q = 1例 2、 S = 1 n2 a 2+ 3 a 3++n a n（3）1 + 2 + 3 + .... + n = 1（4）12+ 22++ n 2= 1(（5）13 + 23 + 33 ++ n 3 = 12、错位相消法：给 S = a + a + + a 各边同乘以一个适当的n12n数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，a + a + + a . 2 4 2nn最后得出前 n 项和 S n.一般适应于数列{a n b n }的前 n 项求和，其中 {a }成等差数列， {b }成等比数列。

nn3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4、拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：例 4、求 s in 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + sin 2 88 + sin 2 89 的值（1）若 {a }是公差为 d 的等差数列，则 1a a n n +1= - ⎪ a n例 5、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.（2）11 ⎛ 1 1 ⎫ ； -（3） 1 1 ⎡ 1⎤ ； ⎥（4）1 1a - b(a -b )；（5）1 1k(n + 1 - n )；n 2 n 2- 2n ，数 列 {b n } 满 足n ⎧ S , n = 1 1n n -1b = n a + 1 n an。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.5第2课时 数列求和练习新人A 教版必修5一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n －1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ，a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48，由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B [解析] a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n－1) C ．9n－1 D ．14(3n－1) [答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1. ∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1)＝41－9n1－9＝12(9n－1)． 二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．(2015·广东理，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25 即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.三、解答题9．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2.即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.10．(2015·山东理，18)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1.，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n)， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]．两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n . 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .一、选择题11．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( )A ．315B ．325C ．6D ．7[答案] A [解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝a 2＋a 22＋a 5＋a 17b 8＋b 16＋b 10＋b 12＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝a 1＋a 22×22b 1＋b 22×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22， ∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315. ∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315.12．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830[答案] D[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×30－12×4＝1830.13．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( )A ．0B ． 2C ．－ 2D ．1[答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1， a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1，同理，a 5＝1，a 6＝－1，a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1， a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1，∴S 12＝0.14．(2015·江西省质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2015项的和S 2015等于( )A ．31008－2 B ．31008－3 C ．32015－2D ．32015－3[答案] A[解析] 因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3， 所以S 2015＝(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014)＝1－310081－3＋31－310071－3＝31008－2.二、填空题15．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22，f (x )＋f (1－x )＝12x＋2＋121－x＋2＝222x＋2＋2x22＋2x＝22， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6) ＝12[ f －5＋f 6＋f －4＋f 5＋…＋f6]＋f －5＝12×12×(f (0)＋f (1))＝3 2. 16．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________.[答案] 34(3n －1)－n 2[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋......＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋ (3))－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题17．(2015·全国Ⅰ理，17)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)当n ＝1时，a 21＋2a 1＝4S 1＋3＝4a 1＋3，因为a n ＞0，所以a 1＝3， 当n ≥2时，a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1 ＝4S n ＋3－4S n －1－3＝4a n ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝2(a n ＋a n －1)， 因为a n ＞0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n ＋1； (2)由(1)知，b n ＝12n ＋12n ＋3＝12(12n ＋1－12n ＋3)， 所以数列{b n }前n 项和为b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝16－14n ＋6＝n32n ＋3.18．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n.T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1.两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.。

课时跟踪检测（十三） 数列求和（习题课）层级一 学业水平达标1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0D ．－1,0解析：选D S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1， S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0. 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 解析：选C ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120.3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }前n 项和S n ＝( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋1解析：选D 因为a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，所以a n ＋a n ＋1＝2n＋1，又因为数列{a n }为等差数列，所以a n ＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＝1＋a 2n ＝2n ＋1，所以a 2n ＝2n ，所以a n ＝n .a n a n ＋1＝n (n ＋1)＝1b n，所以b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }前n 项和S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.4．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．13B ．－76C ．46D ．76解析：选B ∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29. S 22＝(－4)×11＝－44.S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61. ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( ) A ．2100－101 B ．299－101 C ．2100－99D ．299－99解析：选A 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝2(1－299)1－2－99＝2100－101.6．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n－1，∴1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1441－14＝85128. 答案：851287．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析：S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ×1－qa 1(1－q 3)＝1＋q3＝3， 即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q ×1－q a 1(1－q 6)＝1－231－22＝73.答案：738．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d >0.由题意得(2＋d )2＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n . (2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n ) ＝(2＋4＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n ) ＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43.10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1.(2)b n ＝a n2n －1＝n ＋12n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1.①12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n 1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－n ＋12n＝3－n ＋32n ，所以T n ＝6－n ＋32n －1.层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：选B 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1.2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 3．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5＝1.1a (1－1.15)1－1.1＝11×(1.15－1)a 亿元，故选A.4．已知是{a n }等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d >0，dS 4<0C ．a 1d <0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析：选C ∵在等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 8成等比数列， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，∴a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0，故选C.5．求和：S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋1＋12＋14＋18＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1＝________.解析：被求和式的第k 项为：a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k 1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n ＋12n －1－2. 答案：2n ＋12n －1－26．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则{a n }的前三项分别为1，q ，q 2，{b n }的前三项分别为0，d,2d ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝0，d ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝－1.于是新数列的前10项和为(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋10×0＋10×(10－1)2×(－1)＝978. 答案：9787．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝n (n －6)，数列{b n }满足b 2＝3，b n ＋1＝3b n (n ∈N *)(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7，∵n＝1也适合上式，∴a n＝2n－7.∵b n＋1＝3b n(n∈N*)，且b2≠0，∴b n＋1b n＝3，∴{b n}为等比数列，∴b n＝3n－1，(2)由(1)得，c n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－7，n为奇数，3n－1，n为偶数.当n为偶数时，T n＝c1＋c2＋…＋c n＝n2(－5＋2n－9)2＋3(1－9n2)1－9＝n(n－7)2＋3(3n－1)8.当n为奇数时，T n＝c1＋c2＋…＋c n＝n＋12(－5＋2n－7)2＋3(1－9n－12)1－9＝(n＋1)(n－6)2＋3(3n－1－1)8.综上所述：T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n(n－7)2＋3(3n－1)8，n为偶数，(n＋1)(n－6)2＋3(3n－1－1)8，n为奇数.8．设数列{a n}的前n项和记为S n, 且S n＝2－a n，n∈N*，设函数f(x)＝log12x，且满足b n＝f(a n)－3.(1)求出数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n＝a n·b n，{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．解：(1)当n＝1时，S1＝2－a1得a1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－a n )－(2－a n －1)＝－a n ＋a n －1，可得a n ＝12a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.由题意得b n ＝f (a n )－3＝log 12a n －3＝log 12⎝⎛⎭⎫12n －1－3＝n －4.(2)由(1)得c n ＝(n －4)⎝⎛⎭⎫12n －1.法一：∵c 1＝－3<0，c 2＝－1<0，c 3＝－14<0，c 4＝0，当n ≥5时，c n >0.∴{c n }的前n 项和T n 的最小值为T 3＝T 4＝－174.法二：T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫120－2×⎝⎛⎭⎫121－1×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴12T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫121－2×⎝⎛⎭⎫122－…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ， ∴12T n ＝－3＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＝－3＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n －4)×⎝⎛⎭⎫12n＝－2－n －22n .∴T n ＝－4－n －22n －1.∵T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－n －12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－n －22n －1＝n －32n ，当n ≤2时，T n ＋1<T n ，当n ＝3时，T n ＋1＝T n ，当n ≥4时，T n ＋1>T n . ∴{c n }的前n 项和T n 的是小值为T 3＝T 4＝－174.。