习题课 数列求和
双基达标
(限时20分钟) 1．数列12·5，15·8，18·11，…，
1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )． A.
n 3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.
n ＋1n ＋2 答案 B
2．数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 ( )． A ．11 B ．99
C ．120
D ．121 解析 ∵a n ＝1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.
答案 C
3．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的
前n 项和S n ＝
( )． A.n 24＋7n 4
B.n 23＋5n 3
C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n
解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，
a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝
0.∵d ≠0，
∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .
答案 A
4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________.
解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50
＝(－1)×25＝－25
答案 －25
5．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为
3的等比数列，则数列的通项公式为________．
解析 a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝a n ＝1×(1－3n )1－3
＝3n －12. 答案 a n ＝3n －12
6．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.
所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)
(2)S n ＝2(1－2n )1－2
＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 综合提高 (限时25分钟)
7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 ( )．
A ．1－14n
B ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝
1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案 C
8．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前5项和为
( )． A.158或5
B.3116或5
C.3116
D.158
解析 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 6
1－q
，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5
＝3116.
答案 C
9．数列1，11＋2，11＋2＋3
，…的前n 项和S n ＝________. 解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1
. 答案 2n n ＋1
10．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.
解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，
∴q 3＝a 4a 1
＝－8，∴q ＝－2， ∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝12(1－2n )1－2
＝2n －12. 答案 2n －12
11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1
＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.
依题意有⎩⎨⎧ S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，
解得⎩⎨⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65，q ＝403.(舍去)
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)
.
