湘教版九年级数学上册4.1正弦和余弦课件

cos AC ,
AB
AC＜AB
∴
C
A
0＜ cos ＜1．
4．求下列各式的值
（１）sin2 30 cos2 30; （２） sin2 45 cos2 45;
（３） sin2 60 cos2 60.
解 （１）sin2 30 cos2 30
（２）
sin
2
45
cos2
45
1 2
2 2
2 2
相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt
△DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．
D
问 AC DF ．成立吗？
AB DE
α
∠B =90°－α＝∠E ，
B F
E
AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦定理
sin B AC sin E DF . C
AB
DE
α
A
结论成立
这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中， 角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边 的比值．
定义 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α
的余弦， 记作 cos，
cos
角的邻边
斜边
.
根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例 ４．求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
题
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
结论证明 已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，
∠D =∠D ' =65º，∠E =∠E'= 90º
F'
EF 求证：DF
65º
边AC=？
B
C
上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º的锐角和这个锐 角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角 形中， 65º角的对边与斜边的比值有什么规律？
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º，量出65º角的对边长度和斜边长 度，计算：
65角的对边
斜边
的值，
做法 50°，量出∠A的对边BC的长度为3cm，
斜边AB的长度为3.9cm．则
C
sin 50 3 0.77.
不足：
3.9
角的大小、线段的长度都有测量误差，因
此精确度不太高，且费时间，效率低．
新设想
用计算器求．
50°
A
用计算器求锐角的正弦值和余弦值,要用到 sin cos 两个键:
例如,求sin160,cos420,
Sin160 sin Cos420 cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
Fra Baidu bibliotek
显示结果 0.275 637 355 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：
操作（１）sin 50 0.7660 （２）sin 70 0.9397 （３）sin15 0.2588
2
3
2 2 2
2
1 1
（３）sin
2
60
cos2
60
3 2
2
1 2
2
1
考虑
对于任意角α是不是总有
sin2 cos2 1.
做一做
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=5，
AB=6．求 sin A ，sin B 的值．
B
答案：
sin A 5 , sin B 11
EF DF
D
证明： ∵ ∠E =∠E ' = 90º，
D'
E'
∠D =∠D ' =65º，
E
F
∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．
∴ EF DF EF DF
于是E F ·D' F '＝ E F ·D' F '．
∴ EF EF DF DF
因此在有一个锐角为65º的所有直角三角形中， 65º角 的对边与斜边的比值是一个常数．
0.3746 0.3746 0. 0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 练 习 角α （精确到1′）．
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.991 840 39
3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精 确到1′）． 操作（1） sinα＝0.8268，则α≈ 55°46′
（2） sinα＝0.1436，则α≈ （3） cosα＝0.3279，则α≈ （4） cosα＝0.9356，则α≈
AC2 AB2 BC2 52 32 16.
于是 AC=4．
因此 sin B 4 . 5
练习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=5， AB=13．
B
（１）求 sin A 的值； （２）求 sin B 的值．
5
13
C
A
2．小刚说：对于任意锐角α，都有
0 ＜ sin ＜1
你认为他说得对吗？为什么？
32°18′
A
C
BC AB sin 3218 800.534 43米．
5
6
6
C
6 A
2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求
cos A, cos B, sin A，sin B 的值．
B
答案：
cos A
15 ,
8
cos B 7 , 8
7
8
sin A 7 , sin B 15 .
8
8
C
A
3 ．求下列各式的值．
（１） sin 30 cos 30,
BC 2
AB2
1 2
2
AB
3 4
AB2.
于是
AC 3 AB． sin 60 AC 3 ．
2
AB 2
３．求 sin 45 的值．
例 题 解 在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， ∠A =45°．
B 于是 ∠B =45°．
从而 AC=BC．
根据勾股定理，得
45°
C
A
AB2 AC2 BC2 BC2 BC2 2BC2．
cos 50 0.6428 cos 70 0.3420
cos15 0.9659
如何用计算器求 sin1036, cos 7523 呢？
由于1°=60′，因此
sin
10
36 60
1036 10 3660，从而用计算器去求 ，就得到它的值．
2．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）．
例 ２．分别求 sin 30 和 sin 60 的值．
题 解 在直角三角形ABC中， ∠C= B 90º， ∠A =30°．于是∠A 的对边
BC 1 AB. 2
30°
C
A
因此 sin 30 BC 1 . AB 2
又∠B=90°－30°=60°， ∠B的对边是AC ．根据勾股定理得
AC 2
AB2
（4） cosα＝0.1396，则α≈ （5） sinα＝0.3152，则α≈ （6） cosα＝0.5168，则α≈
81°59′ 18°22′ 58°53′
练习
3 ．如图：小亮沿与地平面成32°18′的上坡走了 80 米，那么他上升了多少米（精确到1米）
B
AB=80米， ∠A= 32°18′
sin 3218 BC , AB
现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题．
解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ，
∠A= 65º，
2000 0.91．
AC
解得 AC 2000 2200(m)． 0.91
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
（２） sin 60 cos 60,
（３） sin 45 cos 45.
解 （１）sin 30 cos 30 1 3 3 . 22 4
（２） sin 60 cos 60 3 1 3 . 22 4
（３）sin 45 cos 45 2 2 1 . 22 2
动脑筋
如何求sin50°的值？
B
画一个直角三角形ABC，使得∠A =
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC=5，
AB=7．求 cos A ，cos B 的值． B
练 习 答案： cos A 5 , cos B 2 6
7
7
sin 2830 0.4772 sin 6248 0.8894
cos 6248 0.4571
分析
如果已知sinα＝0.3688，如何用计算器求锐角α？
关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键 （有的型号的计算器写的是“2ndf”键）．
例题
SinA=0.9816 2ndf
按键的顺序
Sin 0 . 9 8 1 6 =
于是 AB 2BC． 因此 sin 45 BC 1 1 2 2 ．
AB 2 2 2 2
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有 什么关系？
说一说
小结
在直角三角形中，
sin
角的对边
斜边
.
探究 分析
△ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐
角等于α，即∠D =∠A = α．在Rt △ABC 中， ∠A的
C
A
2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC= 6 ，
AB=3．求 cos A，cos B ，sin A，sin B 的值．
答案： cos A 6 , cos B 3 , sin A
3 ,sin B
6.
B
3
3
3
3
3 ．对于任意锐角α， 0 ＜ cos ＜1
都有你能说出道理吗？
答案： ∵
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
斜边
.
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=3，AB=5． 例
题 （１）求∠A的正弦 sin A；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
5
解 （１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是
sin
A
3.
C
A
5
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
探 究 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，
帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时
灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的
距离约等于多少米？（精确到1m）
北
分析
A
东
由题意，△ABC是直角三角形，
其中∠B =90º，∠A= 65º，∠A
所对的边BC=2000m，求 斜
8°15′ 70°52′ 20°41′
1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值
（精确到0.0001）：
练习
角度 ( )
sin
cos
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
0.5736 0.9272 0.9994 0.1564 0.5045
0.9715 0.1673 0.9900