1. 已知动直线 l 与椭圆 C:
x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ
的
3 2
面积
S OPQ
= 6
, 其中 O 为坐标原点 .
2
（Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ;
（Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值；
（Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点
D,E,G ，使得
S ODE S ODG S OEG
6 ?若存在，判断△
2
DEG 的形状；若不存在，请说明理由 .
2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x
轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l
⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大
到小依次为 A ， B ， C ， D.
（I ）设 e
1
，求 BC 与 AD 的比值；
2
（II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由
3. 设
，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上
运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线
交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹
方程。
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
5. 在平面直角坐标系xOy 中，点 P( a,b) (a b 0) 为动点， F1 ,F2
x2 y 2
1 分别为椭圆
b2
a2
的左右焦点．已知△F1 PF2为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 e ；
（Ⅱ）设直线 PF2与椭圆相交于A, B两点，M是直线 PF2上的点，满足AM BM 2 ，求点 M 的轨迹方程．
6. 已知抛物线C1: x2y ，圆 C2: x2( y 4) 21的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线c1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线c1上一点（异于原点），过点 P 作圆c2的两条切
线，交抛物线 c1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线
l 的方程
7. 如图 7，椭圆C1:x
2
y2 1(a b 0) 的离心率为 3 ， x 轴被曲线a2 b2 2
C2 : y x2 b 截得的线段长等于 C1的长半轴长.
求 C1， C2的方程；
设 C2与y轴的交点为M，过坐标原点 O 的直线l 与C2相交于点 A ， B ，直线 MA ， MB 分别与C1 相交于点 D ，E .
( ⅰ) 证明：MD ME ;
(ⅱ)记MAB , MDE 的面积分别为S1 ,S2，问：
是否存在直线l ，使得S1 17
？请说明理由. S2 32
1. 已知 直 l 与 C:
x 2 y 2 1交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的
3 2
面
S OPQ
=
6
, 其中 O 坐 原点 .
2
（Ⅰ） 明 x 12
x 22 和 y 12 y 2
2
均 定 ;
（Ⅱ） 段 PQ 的中点 M ，求 |OM | | PQ | 的最大 ；
（Ⅲ） C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE
S
ODG
S
OEG
6
?若存在，判断△
2
DEG 的形状；若不存在， 明理由.
【解析】（ I ）解：（ 1）当直 l
的斜率不存在 ， P ，Q 两点关于 x 称，
所以
x 2 x 1, y 2
y 1. 因 P( x 1 , y 1 ) 在 上，因此
x 12
y 12
①
3
1
2
又因
S OPQ
6
| y 1 | 6
| x 1 |
6
, 所以 | x 1 | 2 . ②；由①、②得 ,| y 1 | 1.
2
2
此 x 12
x 22
3, y 12 y 22 2,
（ 2）当直 l 的斜率存在 ， 直 l 的方程 y kx m,
由 意知 m
0 ，将其代入 x 2
y 2 1，得 (2 3k 2 ) x 2 6kmx 3(m 2 2) 0 ，
3 2
其中
36k 2 m 2 12(2 3k 2 )(m 2 2) 0,即 3k 2
2 m 2
⋯⋯⋯⋯（ * ）
又
x 1 x 2
6km
2
, x 1x
2
3(m 2 2) 2 3k
2 3k 2
,
所以 | PQ | 1 k
2
( x 1 x 2 )
2
4x 1 x 2
1 k
2
2 6 3k 2
2 m 2 ,
2 3k 2
因 点 O 到直 l 的距离 d
| m |
1 | PQ | d
1
所以 S OPQ
2
k 2 ,
1 1 k
2 2 6 3k 2 2 m 2
| m | 6 | m | 3k 2 2 m 2
，
又
2
2 3k 2
1 k 2
2 3k 2
