利用空间向量求线面角ppt课件精选ppt

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

a， b
rr
结论：cos |cosa,b|
•
(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC
＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
• 设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
z
y
x
易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，
r uuur n， BA
2
r uuur n， BA
B
2
B
r
ruuu r n
结论：sin |cosn,AB|
• 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹 角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(
)
•
A．120°
B．60°
•
C．30°
D．60°或30°
• 解析： 由题意得直线l与平面α的法向量所在 直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角
b Br
An
sin | cosn,AB|
3.二面角：
B
O
①方向向量法：
r n
B
A
C
l
D
②法向量法：
【注意】法向量的方向：一
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
进一出，二面角等于法向量 夹角；同进同出，二面角等
ABCD 于法向量夹角的补角。
• (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直 且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹 角的大小就是二面角的大小．
• 以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特 点选择适当的方法解题．
rC
rD
1.异面直线所成r r角： a

L
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos r r .
u v4
3. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面所成的角为1，向量AB与n所成的角为
，
2
则
1
2
2
1
2
2
(0
1
2
,0
2
)
而利用 cos2 AB n
AB n
可求 2 ，
n
B
2 1
从而再求出 1
A
n
5
3. 线面角
x
B
| sin
|
C
| ADn | | AD | | n
|
8
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8, 0),
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
DD11
N C11
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x2,3zyy,z60),z由 0
|
sin
|
| |
3
AD AD
• ||
n| n|
AA11 BB11 M
A
| 0 1• 8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34

第二课时 直线与平面的夹角
A
B

C
A B
直线与平面的夹角

C
(1) 平面外 一条直线与它在该平面内的 投影 的夹角叫 作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的 π 夹角为 2 . (3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内， 这条直线 与平面的夹角为 0 .
几何法：作出A1B在平面A1B1CD上的投影，再求夹角
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质 及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或 法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为： (1)建立空间直角坐标系； → (2)求直线的方向向量AB； (3)求平面的法向量 n； → |n· AB| (4)计算：设线面角为 θ，则 sin θ ＝ . → |n|· |AB|
在正方体AC1中，求对角线AC 1 与底面ABCD夹角的正弦值。 z
A1 B1 A B C x O
D1
C1 y D
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
例题精析 【例】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 的夹角．
直线AB与平面的夹角 和该直线的方向向量 s, 与该平面的法向量 n的夹角 s, n 是什么关系?
A
B

C
A
B

求 角
答 角
3、注意事项：
1.如何写好坐标 2.计算仔细
五.课后作业
如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，E是线
段BP上近P的三等分点,求PA与平面PDE所成角的得 正弦值。
P E
A B
D
C
变式1：如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为
矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，
在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成 角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存
在说明理由。 P
A D
B E
C
空间“角度”问题
一.复习回顾
1、向量法求线面角的公式：2、Leabharlann 量法求线面角的步骤：建 系
写 坐 标
求 向 量
求 角
答 角
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为a ， 平面 的法向量为u ，且
直s线inl与平a面rr urr所成0≤的 角≤为2
( 0≤ ≤
2
),则
a
u
u a
l a
u
二.作业反馈
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯
形，AD∥BC，∠BAD=90°PA⊥底面ABCD，
PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC.PB的上中近点P点。的 求BD与平面ADMN所成角的正弦值．三等分点
四.课后小结
1、向量法求线面角的公式：
2、向量法求线面角的步骤：
建 系
写 坐 标
求 向 量

①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
C
D
A D1
B
A
n
B O
证明： 如图建立空间直角坐标系 B-xyz
设 AB＝1，则 B(0,0,0)，
E12，0，0，F0，0，12，C1(0，1,1)，
所以E→F＝－12，0，12，B→C1＝(0,1,1)．
1
cos〈E→F，B→C1〉＝
2 22×
＝12，〈E→F，B→C1〉=60° 2
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
练习：如图，在三棱锥 V-ABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系 的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴，y 轴，z 轴上，D 是线 段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ＝π3时，
求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值．
解：由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点，
范围：
0,
2
C
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？ B
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
结论：
a，b
aa，b
b
| ab
|
cos
ab
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量
A 的夹角为150°，则l1与l2夹角( )
A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均不对
所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．

解 由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B， 故OA，OA1，OC两两垂直，以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设 AB＝2，则 A(1,0,0)，A1(0， 3，0)，C(0,0， 3)，B(－1,0,0)， 则B→C＝(1,0， 3)，B→B1＝A→A1＝(－1， 3，0)， A→1C＝(0，－ 3， 3).
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
3，1，－
3· 7×
3，－1，－ 7
3|＝17.
∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为17.
反思感悟 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解. (2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A，B 和 C，D，则A→B与C→D可分
30 C. 30
15 D. 15
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)， ∴B→1M＝(－1，－1，－2)，
D→1N＝(1,0，－2)，
∴cos〈B→1M，D→1N〉＝
－1＋4 1＋1＋4×
＝ 1＋4
30 10 .
所以 O(0,0,0)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)，

．
(4)判断直线和平面所成的角 θ 和〈l，n〉的关系，求出角 θ.
当堂检测：
如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，点 F1
是 A1C1 的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.
(1)求异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值；
(2)求直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角．
＝ ，
2 2 2
π
所以 θ＝ ，
4
π
所以直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为 .
4
课堂小结：
作业布置：
练习册 分层精炼33
高考链接：
（2022全国甲卷）18. 在四棱锥 P-ABCD中，PD⊥ 底
面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP= ．
（1）证明：BD ⊥ PA ；
n BP 3 y 3z 0
则 cos n, DP
n DP
n DP


3, 3 , DP 0,0, 3 ，
5
，
5
所以 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为
5
.
5
，则 l1 与 l2 所成的角
6
为( A )
π
A.
6
5π
B.
6
π 5π
C. 或
6 6
D.以上均不对
解析 l1 与
故选 A.


π
l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0， ，
2

学以致用
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是
A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角

的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?

2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.

三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且

垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =

二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =

1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A

2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B

O

结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |

A

B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n


B
n2

（1）直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值；
（2）直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值；
（3）若 P 为 AA1 的中点，求 PB 与平面 A1B1CD
所成角的正弦值.
z
y
x
D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若PO BD,求：
(1)OP与底面AOB所成的角的正切值；
(2)BD与侧面AOOA所成角的正弦值.
z
解：如图，以点O为坐标原点建立空间直角坐
O A
标系,有B(3, 0, 0), D( 3 , 2, 4),设P(3, 0, z),则
D
2 BD ( 3 , 2, 4),OP (3, 0, z).
A1
D11
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
BB11 M A
N C1C1
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设平面的法向量n (x, y, z), xBB
CC
则

AM

n

0
AN n 0
即6x4y2y3z6z0 0
x BB

D11
N C1C1
Dy
CC
sin | AD n | | 0 18 0 | 3 34 ,
| AD || n | 8 12 12 ( 4)2 34 3
AD与平面ANM 所成角的正弦值是 3 34 . 34
例题分析
例2.在直三棱柱ABO ABO中，OO 4,OA 4,OB 3,AOB 90 ,
(1)OP与底面AOB所成的角的正切值；
(2)BD与侧面AOOA所成角的正弦值.

通过解直线方程和平面方程的联立方程组，可以求出交点的 坐标。
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述

例8如图示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，AC=CB=2,AA₁=3,∠ACB=90°,P 为BC的中点，点Q,R分别在棱AA₁
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的

解得 t＝ 3或 t＝－ 3(舍去)． 于是B→1D＝(－ 3，3，－3)，A→C＝( 3，1,0)． 因为A→C·B→1D＝－3＋3＋0＝0， 所以A→C⊥B→1D，即 AC⊥B1D．
利用空间向量求直线与平面所成的角
【例 2】如图，在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AD∥BC， ∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值．
----课堂小结----
1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现 了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转 化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由 “形”转“数”的转化思想． 2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线 l1，l2 的夹角 θ，须求出它们的方向向量 a，b 的
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
l2
l2
l1 l1
4.直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成 的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β. 则 sinθ＝|cosβ|＝||aa|·|nn||.

例2：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角.
解：以点A为坐标原点建立空间直角
z
坐标系A—xyz A(0，0，0)， B1(1，0，1)， A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)，
B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
2
A
B

n，BA
2
B
n
结论：sin | cos n, AB |
例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是 A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的 余弦值．
例2：正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，侧棱 长为 2例1，：求正A方C体1与A侧B面CDA—BBA11AB11所C成1D的1中角，．
CDAD，PA垂直于底面ABCD，
PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
当堂检测
如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、B1C1 的中点．
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a

b
a，b
|
a

b
a，b
|
结论：
| cos a,b |
探究2：线面角
斜线与平面所成角的范围：


0,
Hale Waihona Puke 2 A
思考：
B O

设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？