01-数学强基计划-高二-学生版讲义-函数综合练习

强基计划校考培训讲义第一部分：培训导论一、培训目标1. 加强学生的基础知识，提高学习方法和策略。

2. 增强学生的解决问题的能力和分析能力。

3. 提高学生在校考中的表现和成绩。

二、培训内容1. 数学基础2. 语文基础3. 英语基础4. 学习方法和策略第二部分：数学基础培训一、数学基础知识的概述1. 整数和有理数2. 代数式3. 直角三角形和勾股定理4. 比例和比例式5. 四则混合运算二、数学解题技巧1. 理解题目2. 思路清晰3. 排除干扰项4. 可视化解题三、实操练习1. 针对基础知识的训练2. 针对解题技巧的应用3. 模拟考试练习第三部分：语文基础培训一、语文基础知识的概述1. 词语辨析2. 句子结构3. 阅读理解4. 写作基础5. 常见错误识别二、语文解题技巧1. 阅读技巧2. 写作技巧3. 解析和归纳三、实操练习1. 针对基础知识的训练2. 针对解题技巧的应用3. 模拟考试练习第四部分：英语基础培训一、英语基础知识的概述1. 词汇量2. 语法和句型3. 阅读理解4. 写作基础5. 听力二、英语解题技巧1. 词汇记忆技巧2. 语法运用技巧3. 阅读和写作技巧4. 听力训练三、实操练习1. 针对基础知识的训练2. 针对解题技巧的应用3. 模拟考试练习第五部分：学习方法和策略一、学习方法1. 目标明确2. 计划和时间管理3. 多维度学习4. 复习和整理二、学习策略1. 高效记忆2. 主动学习3. 解题策略4. 心理调适三、实操练习1. 学习方法和策略的应用2. 综合训练3. 模拟考试练习第六部分：考试准备一、考试前准备1. 调整状态2. 复习计划3. 考前放松二、考试中的应对策略1. 应试心态2. 解题技巧3. 考试时间分配三、考后总结反思1. 考试成绩分析2. 学习方法和策略的调整3. 下一步计划制定以上便是强基计划校考培训讲义的内容，希望每位学员都能在培训中取得满意的收获。

数学强基培训计划一、培训目标1. 提高学生数学学习的兴趣和动力，培养他们对数学的热爱；2. 帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养；3. 培养学生的思维能力和创新意识，提高他们的解决问题的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学分析和推理能力；5. 培养学生的团队合作精神，促进他们的互助学习和交流。

二、培训内容1. 数学基础知识的系统学习培训学生对数学基础知识进行系统的学习，包括数学概念、代数、几何等方面的基础知识，使学生对数学的基础有一个全面的理解。

2. 数学问题解决能力的训练培训学生解决数学问题的能力，包括数学问题的分析、解答和解决方法的训练，培养学生的问题解决的能力。

3. 数学思维能力的培养培训学生的数学思维能力，包括逻辑思维、抽象思维、创新思维等方面的培养，提高学生的数学思维水平。

4. 数学竞赛训练培训学生参加数学竞赛，包括校内数学竞赛和校外数学竞赛，提高学生的竞赛能力和竞赛成绩。

5. 数学学科素养的培养培训学生的数学学科素养，包括数学学科的历史、发展、现状和前沿等方面的培养，提高学生对数学学科的认识和理解。

三、培训方法1. 传统教学法采用传统的教学方法，包括讲授、练习和检测等教学环节，帮助学生系统学习数学知识。

2. 问题导向教学法采用问题导向的教学方法，提出实际问题和数学问题，引导学生学习和解决问题，培养学生的问题解决能力。

3. 合作学习法采用合作学习的方法，组织学生进行小组合作学习和讨论，促进学生的互助学习和交流。

4. 竞赛辅导法采用竞赛辅导的方法，组织学生集中训练，让学生了解竞赛规则和要求，提高学生的竞赛能力和竞赛成绩。

5. 实践教学法采用实践教学的方法，组织学生进行实践操作和实验研究，让学生感受数学的魅力和应用，提高学生对数学学科的兴趣和理解。

四、培训计划1. 培训时间每周3天，每天2小时，共计6个小时。

2. 培训周期为期3个月，共计36小时。

3. 培训课程第1个月：数学基础知识的系统学习；第2个月：数学问题解决能力的训练；第3个月：数学思维能力的培养和数学竞赛训练。

强基计划数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)在区间\( (-\infty, 1) \)上单调递减，则实数\( a \)的取值范围是：A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \geq 0 \)D. \( a \leq 0 \)答案：B2. 已知向量\( \vec{a} = (3, -1) \)和\( \vec{b} = (-2, 4) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为：A. 2B. -2C. 10D. -10答案：B3. 若复数\( z = a + bi \)（其中\( a, b \in \mathbb{R} \)）满足\( |z| = 1 \)，则\( a^2 + b^2 \)的值为：A. 1B. 0C. -1D. 不确定答案：A4. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的一条渐近线方程为\( y = \frac{b}{a}x \)，则\( a \)和\( b \)的关系为：A. \( a = b \)B. \( a > b \)C. \( a < b \)D. \( a \)和\( b \)无确定关系答案：C5. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆\( x^2 + y^2 = 4 \)的圆心坐标为\( \_\_\_\_\_\_ \)。

答案：(0, 0)2. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，则\( \cos \theta \)的值为\( \_\_\_\_\_\_ \)。

北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案引言：北京大学作为国内一流的高等学府，一直致力于选拔具有学术潜力和创新精神的优秀人才。

为了全面考查学生的数学素养和解决问题的能力，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题难度适中，紧扣考试大纲，注重基础知识的掌握和综合运用。

本文将结合参考答案，深入剖析试题特点及解题技巧，为广大考生提供有益的备考启示。

试题特点及解题技巧：1、基础知识考查：试题中涉及到的知识点包括函数、数列、几何、概率与统计、微积分等，考查学生对数学基础知识的掌握程度。

针对这部分内容，考生需要在平时的学习中认真理解概念，熟练运用公式，注重知识点的巩固和拓展。

2、综合能力考查：试题在基础知识的基础上，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。

例如，解答题中的函数与几何结合的问题，需要考生通过分析题意，挖掘几何与函数的联系，综合运用所学知识解决问题。

3、解题技巧：选择题和填空题在解题方法上可以采用逆推法、特殊值法、排除法等技巧，以简化计算，节省时间。

解答题则要求考生在掌握知识点的基础上，灵活运用各种解题方法，如分析法、综合法、反证法等。

备考建议：1、夯实基础：考生要在掌握基本概念、公式的基础上，注重知识体系的建立，将各个知识点串联起来，形成完整的知识框架。

2、提升综合能力：在备考过程中，要有意识地培养自己的数学思维能力和实际应用能力，注重知识的迁移和运用。

3、解题技巧训练：通过大量练习，熟练掌握各种解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。

4、模拟测试：在备考阶段，要进行模拟测试，模拟真实考试环境，提高应试能力和心理素质。

总之，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题注重基础知识的掌握和综合运用，要求考生在备考过程中全面复习、查漏补缺，不断提高解题能力和思维能力。

希望本文的解析能为广大考生提供有益的参考和启示，祝愿大家在考试中取得优异的成绩！。

高中数学强基学习计划一、学习目标在高中数学学习中，既要打好基础，又要提高自己的数学能力。

因此，我们的学习目标分为两个方面：1. 打好基础：巩固数学基础知识，掌握基本的数学运算法则和概念，建立数学思维的基础。

2. 提高能力：培养数学分析和解决问题的能力，熟练掌握解决实际问题的数学方法，提高数学思维和创新能力。

二、学习内容1. 高中数学的学科内容主要包括：函数、三角函数、导数与微分、不等式、数列、级数、平面向量、空间向量、空间几何、概率统计、三角恒等变换、数学归纳法等。

其中，函数和导数与微分是数学学习的重点和难点，这些内容是建立在数学基础知识之上的拓展和深化。

2. 数学基础知识包括：集合、数与代数、平面几何、立体几何、解析几何、数学归纳法等。

这些基础知识是构建高中数学知识体系的基础，也是后续学习更深入内容的前提。

三、学习方法1. 系统化学习：根据教材的章节内容和题型，有计划地系统化学习，将知识点串联起来，形成知识网络。

2. 理论与实践结合：不仅要理解数学概念和定理，更要通过练习和实践，掌握解题方法和应用技巧。

3. 多角度理解：学习数学知识时，要善于从不同角度去理解问题，多做思考和推导，培养逻辑推理和数学思维。

4. 积累归纳：在学习过程中，做好知识点的积累和总结，在练习时，积极探索题型特点和解题规律。

5. 及时复习：数学知识的学习是一个逐步掌握的过程，及时巩固，及时复习是学习的关键。

四、学习步骤1. 制定学习计划：根据课程内容和个人时间，制定一个合理的学习计划，明确每天的学习目标和计划。

2. 针对性学习：根据课程内容，对高分低效的知识点加强学习，对易错难点多练习，提高解题能力。

3. 精读教材：对教材内容要认真读、细读，理解每一个概念和定理，掌握其应用方法。

4. 练习题型：根据教材中的例题和练习题，多练习各类题型，形成对题型的熟练掌握，提高解题速度与准确性。

5. 应用拓展：将课本知识应用到实际问题中，进行拓展和延伸，提高数学应用能力。

物质的量综合复习一、物质的量及摩尔质量【例题1】下列说法中正确的是( )A、物质的量可理解为物质的质量B、物质的量就是物质的粒子数目C、物质的量是量度物质所含微观粒子多少的一个物理量D、物质的量的单位－摩尔可用来表示一切物质【例题2】下列说法中正确的是( )A、阿伏加德罗常数为6.02×1023B、“1mol氧”约含有6.02×1023个氧原子C、摩尔是表示物质的质量的单位D、12克12Ｃ中含有碳原子的数目就是阿伏加德罗常数【例题3】如果4g氨中含有x个氨分子，那么8g硫化氢中含有的电子数为（）A xB 3.4xC 12xD 18x【例题4】有15g A物质与10.5g B物质恰好完全反应，生成7.2g C物质、1.8g D物质和0.3mol E物质。

则E的摩尔质量是( )A．27.5g·mol－1 B．55g·mol－1C．100g·mol－1 D．111g·mol－1【即时练习】1.n g O2中有m个O原子，则阿伏加德罗常数N A的数值可表示为( )A．32m/n B．16m/n C．n/32m D．n/16m2. 若50滴水正好是m mL(若水的密度为1g/cm3)，则1滴水所含的分子数是（）A．m×50×18×6.02×1023 B．×6.02×1023C．×6.02×1023 D．3.相同质量的氧化铁和四氧化三铁中所含氧原子个数之比是（）A 1︰1B 87︰80C 3︰4D 4︰34.设N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是( )A．N A个氢分子与N A个氧分子的质量比为1∶1 B．1mol氢气的质量与N A个氢分子的质量相等C．16g氧气中含有的氧分子数为N A D．44g CO2与28g CO所含有的分子数均为N A二、气体摩尔体积【例题1】在标准状况下，测得1.92g某气体的体积为672mL。

数学强基计划讲义【中英文实用版】Title: Mathematics Strengthening Foundation Program Lecture Notes 数学强基计划讲义Lecture 1: Algebraic Fundamentals第一讲：代数基础In this lecture, we will cover the basics of algebra, including the properties of integers, rational and irrational numbers, and the fundamental operations of addition, subtraction, multiplication, and division.本讲我们将覆盖代数的基础知识，包括整数的性质，有理数和无理数，以及加法、减法、乘法和除法的基本运算。

Lecture 2: Functions and Their Graphs第二讲：函数及其图像In this lecture, we will introduce the concept of functions, including linear and quadratic functions, and learn how to plot their graphs.We will also explore the concepts of domain and range, and learn how to determine whether a relation is a function.本讲我们将介绍函数的概念，包括线性函数和二次函数，并学习如何绘制它们的图像。

我们还将探讨定义域和值域的概念，并学习如何判断一个关系是否是函数。

Lecture 3: Geometry Essentials第三讲：几何基础This lecture will cover the basics of geometry, including the properties of triangles, circles, and quadrilaterals, as well as the use of coordinate geometry to solve geometric problems.本讲我们将覆盖几何的基础知识，包括三角形的性质、圆和四边形的性质，以及使用坐标几何解决几何问题的方法。

强基计划试题数学工作目标1.编写强基计划试题数学教材：目标是完成强基计划数学试题的编写工作，确保教材内容的完整性、准确性和实用性。

需要对近年来强基计划的数学试题进行深入研究和分析，总结出题规律和考试趋势，以此为基础编写出高质量的习题集。

–教材结构设计：首先，需要设计出合理的教材结构，使得知识点和习题能够有序地组织起来，便于学生学习和使用。

–试题研究：接着，需要对历年的强基计划试题进行深入研究，分析试题的类型、难度、出题规律等，以便编写出符合考试趋势的习题。

–内容编写：最后，根据研究结果，开始编写习题集，确保每一道题目都能够考察到学生的实际能力，同时符合强基计划的要求。

2.制定强基计划数学学习计划：目标是帮助学生制定出合理的学习计划，使得他们能够在有限的时间内，高效地复习和准备强基计划的数学考试。

–学生需求分析：首先，需要了解学生的实际情况，包括他们的学习基础、时间安排、学习目标等，以便制定出符合他们需求的学习计划。

–学习计划设计：接着，需要根据学生的需求，设计出合理的学习计划，包括学习内容、学习时间、复习策略等。

–计划实施和调整：最后，需要帮助学生实施学习计划，并根据实际情况进行及时的调整，以确保学习计划的 effectiveness。

3.开展强基计划数学辅导课程：目标是开展一系列的辅导课程，帮助学生掌握强基计划数学考试的重点和难点，提高他们的考试成绩。

–课程内容设计：首先，需要根据考试要求和学生的实际需求，设计出合适的课程内容，确保课程能够覆盖考试的重点和难点。

–教学方法选择：接着，需要选择合适的教学方法，使得学生能够更好地理解和掌握知识，提高他们的学习效果。

–课程实施和反馈：最后，需要实施课程，并根据学生的反馈，及时调整教学方法和内容，以确保课程的质量和效果。

工作任务1.研究历年强基计划试题：通过对近年来强基计划数学试题的研究和分析，总结出题规律和考试趋势，为编写习题集提供依据。

–收集试题资料：搜集历年的强基计划数学试题，包括真题和模拟题，以便进行深入研究。

强基计划题目数学
强基计划是中国教育部推行的一项旨在提高国家科技创新能力
的计划，其中涉及到了数学这一重要领域。

以下是强基计划题目数学的相关内容：
1. 解析几何：掌握平面直角坐标系、空间直角坐标系和向量的基本概念和计算方法，应用解析几何方法求解平面和空间中的几何问题。

2. 数学分析：包括极限、连续、导数、积分、微分方程等基本概念和计算方法，应用数学分析方法研究函数的性质和变化规律。

3. 高等代数：包括线性代数、矩阵理论、群论、域论等基本概念和计算方法，应用高等代数方法研究线性方程组、矩阵特征值、群与代数结构等数学问题。

4. 数论和离散数学：包括整数论、组合数学、图论等基本概念和计算方法，应用数论和离散数学方法研究数学结构、离散事件的组合和排列等问题。

5. 概率统计：包括概率论、数理统计等基本概念和计算方法，应用概率统计方法研究随机事件、数据分析和模型建立等问题。

强基计划题目数学涵盖了数学的多个领域，要求学生全面掌握各个领域的知识和技能，能够灵活运用数学方法分析和解决实际问题。

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数学物理强基课程计划数学物理强基课程计划旨在为学生提供扎实的数学和物理基础，培养他们的逻辑思维、问题解决能力和科学素养。

以下是一个可能的数学物理强基课程计划的大纲：第一阶段：数学基础1. 代数与函数- 整数、有理数、实数的性质与运算- 多项式、分式、根式的运算与性质- 一次方程、二次方程、不等式与不等式组的解法- 函数的定义、性质、图像与变换- 指数函数、对数函数及其性质2. 几何与三角学- 平面几何的基本概念与定理- 相似三角形与全等三角形的性质与判定- 三角函数及其性质、图像与变换- 解三角形及其应用3. 解析几何- 坐标系的概念与性质- 直线、圆的方程及其性质- 圆锥曲线的方程与性质4. 微积分初步- 极限的概念与运算- 导数的概念、性质与运算- 微分的概念、性质与应用- 积分的基本概念与性质（可选）第二阶段：物理基础1. 力学- 运动学的基本概念与规律- 牛顿运动定律及其应用- 动量、冲量与动能定理- 万有引力定律与天体运动2. 热学- 热力学系统的基本概念与性质- 热力学第一定律与第二定律- 理想气体的性质与过程3. 电磁学- 静电场的基本概念与性质- 恒定电流的基本概念与规律- 磁场的基本概念与性质- 电磁感应定律与电磁波初步4. 光学与现代物理初步- 几何光学的基本概念与规律- 波动光学的基本概念与现象- 原子结构与量子力学初步- 相对论的基本概念与现象（可选）教学方法与活动1. 授课：采用讲授与互动相结合的方式，注重培养学生的思维能力和问题解决能力。

2. 练习：布置适量的课后作业和练习题，巩固所学知识。

3. 实验：安排物理实验课程，培养学生的实验技能和科学素养。

4. 讨论：组织小组讨论和研讨会，鼓励学生发表见解和交流思想。

评估与反馈1. 考试：定期进行阶段性考试和期末考试，评估学生的学习成果。

2. 作业：对学生的课后作业和练习题进行批改和反馈。

3. 实验报告：对学生的物理实验报告进行评阅和反馈。

全国高中数学强基培优计划摘要：一、全国高中数学强基培优计划背景二、计划目标与内容1.提高学生数学素养2.培养数学创新能力3.拓宽数学应用领域三、实施策略与措施1.强化课堂教学改革2.开展数学竞赛与选拔3.强化师资队伍建设四、计划效果与评价1.提高学生数学成绩2.培养一批优秀数学人才3.提升我国在国际数学竞赛地位正文：全国高中数学强基培优计划旨在提升我国高中学生的数学素养，培养数学创新能力和拓宽数学应用领域。

近年来，我国高中数学教育在不断改革中取得了显著成果，但与世界先进国家相比，仍存在一定差距。

为了缩短这一差距，提高我国在国际数学竞赛的地位，教育部推出了全国高中数学强基培优计划。

该计划的核心目标是提高学生的数学素养。

通过丰富多样的教学方法和实践活动，激发学生对数学的兴趣，培养学生独立思考和解决问题的能力。

同时，计划强调培养学生的数学创新能力，鼓励学生探索数学领域的未知领域，为我国数学科学研究输送更多优秀人才。

此外，计划还关注拓宽数学应用领域，帮助学生将数学知识应用于实际生活和科学研究，提高数学应用能力。

为了实现以上目标，全国高中数学强基培优计划采取了一系列实施策略与措施。

首先，强化课堂教学改革，提倡启发式教学，激发学生学习兴趣，提高课堂教学质量。

其次，开展数学竞赛和选拔活动，选拔具有数学潜力和天赋的学生，提供更多发展机会。

最后，强化师资队伍建设，提高教师的教育教学水平，确保计划的有效实施。

计划实施以来，取得了显著的效果。

一方面，学生的数学成绩得到了明显提高，数学素养得到了全面提升。

另一方面，通过计划的实施，培养了一批优秀数学人才，为我国数学科学研究和发展做出了贡献。

此外，我国在国际数学竞赛中的地位也得到了提升，展示了我国数学教育的实力。

总之，全国高中数学强基培优计划为我国高中数学教育注入了新的活力，为培养一代又一代的优秀数学人才奠定了基础。

高二数学强基班知识点高二数学强基班是学生在高中阶段的重要学习阶段，为了帮助学生打好数学基础并提高他们的数学能力，教师会重点讲解一些基础的数学知识点，以便帮助学生更好地理解和掌握数学。

本文将针对高二数学强基班的几个重要知识点进行详细介绍。

一、函数与方程函数与方程是高中数学中的基础概念，在高二数学强基班中也是必须要掌握的知识点。

函数是一个有输入和输出的关系，其中输入称为自变量，输出称为因变量。

方程则是等式的一种特殊形式，其中包含了数学运算和未知数。

在学习函数与方程时，学生需要了解函数的定义、基本性质以及方程的解法。

二、立体几何立体几何是高中数学中的一门重要分支，它研究的是空间内的几何形体以及其性质。

在高二数学强基班中，学生需要学习立体几何中的一些基本概念和定理，如点、线、面和体等。

同时，他们还需要学会运用这些知识解决与立体几何相关的问题，比如计算体积和表面积等。

三、三角函数三角函数是高中数学中的重点内容之一，也是高二数学强基班中必须要学习的知识点。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

学生需要学习如何求解三角函数的值，以及在解决实际问题中如何应用三角函数。

四、导数与微分导数与微分是高中数学中的一门重要内容，它们用来描述函数的变化率以及相关的性质。

在高二数学强基班中，学生需要学习导数的概念和基本计算方法，以及微分的定义和应用。

导数与微分的学习对于学生理解和掌握函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

五、概率与统计概率与统计是数学中与随机事件和数据处理相关的重要内容。

在高二数学强基班中，学生需要学习概率的基本概念、概率计算的方法，以及统计的基本理论和数据处理的方法。

通过学习概率与统计，学生可以了解到随机事件的规律性以及如何对数据进行分析和解读。

综上所述，高二数学强基班的知识点包括函数与方程、立体几何、三角函数、导数与微分以及概率与统计等。

通过深入学习和掌握这些知识点，学生可以在高中阶段打好数学基础，为进一步学习和发展打下扎实的基础。

2.1 函数的概念及其表示1．函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是( )A．(2，＋∞) B．(2,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是( )A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝e xC．f：x→y＝x2D．f：x→y＝|x|3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为( )A．1 B.310C.13D.13104. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )5．函数y＝1＋x－1－2x的值域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于( )A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－17．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是( )A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －28．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有( ) A ．f (x 2)＝|x | B ．f (x 2)＝x C ．f (cos x )＝xD ．f (e x)＝x9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x －2，x >0，则f (f (－3))＝________.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 11．函数f (x )＝2－xln x的定义域为________． 12．(2023·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．13.(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于( )A ．－1B ．1C ．－13 D.1314．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤0，x ，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于( )A ．2 B. 2 C ．1 D ．015．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋32x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( )A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2}16．∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中最大者，M (x )＝{|x |－1,1－x 2}，若M (n )<1，则实数n 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,0)∪(0,2) C ．[－2,2]D ．(－2，2)。

高二数学函数综合试题答案及解析1.已知函数成等差数列，点是函数图像上任意一点，点关于原点的对称点的轨迹是函数的图像（1）解关于的不等式；（2）当时，总有恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】1．点关于原点对称点是2．证明恒成立问题常用到以下两个结论：（1），（2）注意一定要看清是存在还是恒成立问题试题解析：由成等差数列，得，即 2分由题意知：、关于原点对称，设函数图像上任一点，则是）上的点，所以，于是 4分（1）此不等式的解集是 7分（2）当时，恒成立，即在当时恒成立，即, 9分设12分【考点】对称点及恒成立问题2.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】.【解析】根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是；又，所以苍蝇的路径最长是.【考点】正方体的面对角线与体对角线.3.已知函数（为实数，，），（Ⅰ）若，且函数的值域为，求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是否大于？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）由得，又函数的值域为，所以二次函数图象开口朝上且最小值为0即，解得，，所以，因此；（Ⅱ）当对称轴不在区间内时具有单调性，所以；（Ⅲ）由于为偶函数，所以，，因为，不妨设，则，又，所以，此时，所以．试题解析：（Ⅰ）∵，∴.∵的值域为，∴∴. 解得，. 所以.∴（Ⅱ）∵=，∴当或时单调.即的范围是时，是单调函数．（Ⅲ）∵为偶函数，所以.∴∵，不妨设，则.又，∴.∴＞此时.即．【考点】1.二次函数的性质；2.待定系数法求函数解析式4.已知集合={|在定义域内存在实数，使得成立}（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）证明：函数；.（Ⅲ）设函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t>0,，由t>0得，即a的取值范围是.试题解析：（1）假设，则存在，使得即，而此方程的判别式，方程无实数解，∴。

高中数学强基计划课程
高中数学强基计划课程是一门旨在加强学生数学基础、提高数学综合素养的课程。

该课程主要包括数学基础知识、数学思维方法和数学应用技能三个方面。

在数学基础知识方面，课程涵盖了数学中的基本概念、基本运算、基本定理等；在数学思维方法方面，课程注重培养学生的逻辑思维、创新思维和应用思维能力；在数学应用技能方面，课程通过大量例题和练习题的训练，帮助学生掌握应用数学的方法和技巧。

该课程的教学方法注重启发式教学，采用探究性学习方法，通过讲解、实验和探究，引导学生主动思考和积极参与学习。

同时，该课程注重培养学生的自主学习能力和团队合作能力，通过小组讨论和合作完成任务，提高学生的学习兴趣和学习效果。

该课程不仅适用于参加高考的学生，也适用于希望提高数学素养的学生。

通过学习该课程，学生可以掌握数学基础知识、提高数学思维能力、培养数学应用技能，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。

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高二年级数学选修课精英班讲义（函数）1．已知函数1()|1|f x x=-。

（1）是否存在实数a ，b （a<b ），使得函数f(x)的定义域和值域都是[a ，b]。

若存在，请求出a ，b 的值。

若不存在，请说明理由。

（2）若存在实数a ，b （a<b ），使得函数f(x)的定义域是[a ，b]，值域是[ma ，mb]（m≠0），求实数m 的取值范围。

解：（1）不存在实数a ，b （a<b ）满足条件。

事实上，若存在实数a ，b （a<b ），使得函数f(x)的定义域和值域都是[a ，b]，则有x≥a>0。

于是11,1()11,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩① 当a 、b∈（0，1）时，1()1f x x =-在（0，1）上为减函数，所以()()f a b f b a =⎧⎨=⎩即1111baab⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩由此推得a=b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a ，b 满足条件：② 当a 、b∈[1,)+∞时，1()1f x x =-在[1,)+∞上为增函数，所以()()f a b f b a =⎧⎨=⎩即1111a abb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩于是a 、b 是方程x 2-x+1=0的根，而此方程无实根，故此时不存在实数a 、b 满足条件。

③ 当a∈（0，1），b∈[1,)+∞时，显然1∈[a，b]，而f(1)=0，故0∈[a，b]，矛盾，故此时不存在实数a ，b 满足条件。

综上可知，不存在实数a ，b （a<b ）满足条件。

（2）若存在实数a ，b （a<b ），使得函数f(x)的定义域是[a ，b]，值域是[ma ，mb]（m≠0），易得m>0，a>0。

仿照（1）的解答可知，当a 、b ∈（0，1）或a∈（0，1），b∈[1,)+∞时，满足条件的a ，b 不存在。

故只有当a 、b∈[1,)+∞时，1()1f x x =-在[1,)+∞上为增函数。

强基计划数学试题是针对数学基础较好、数学能力较强的学生设计的，旨在考察学生的数学基础、数学思维、数学应用等方面的能力。

以下是一份可能的强基计划数学试题，供您参考：一、选择题（每题4分，共40分）1. 证明：对于任意实数x，都有x2 + 1 > 0。

2. 求函数f(x) = x3 - 3x + 2在区间[0, 2]上的最小值。

3. 求曲线y = x4 - 4x2 + 2在点(1, 1)处的切线方程。

4. 求正实数a，使得对任意x > 0，都有logax < x - 1。

5. 求函数g(x) = x2 - 2x + 3在区间[1, 3]上的最大值。

6. 求方程x3 - 3x + 2 = 0的实数根个数。

7. 求函数h(x) = xlnx在区间[e, +∞)上的最小值。

8. 求正整数n，使得对于任意x ≥1，都有x + (x+1)2 ≥n(x+2)。

二、填空题（每题5分，共60分）9. 求函数f(x) = x - cosx的导数。

10. 求函数g(x) = x3 - x2 - x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

11. 求曲线y = x3 - 3x在点(1, -2)处的切线方程。

12. 求方程lnx = x - 1在区间(1, +∞)上的解。

13. 求函数h(x) = x4 - 4x3 + 3x2在区间[0, 4]上的最大值和最小值。

14. 求正整数n，使得对任意正整数m > n，都有m(m + 1)(m + 2) ≥n(n + 3)(m + 2)。

15. 对于任意实数x，证明：sinxcosx ≤(x + π4)2 -π4。

16. 求函数f(x) = lnx - x3在区间[e, +∞)上的单调性。

这份试题涵盖了基础数学知识和应用能力，包括函数、导数、切线方程、不等式、方程求解等知识点。

同时，试题也注重考察学生的数学思维和应用能力，包括逻辑思维、抽象思维、创新思维等。

强基计划数学学习内容一、强基计划数学学习的重要性数学作为一门重要的学科，是现代科学技术的基础。

在学习数学的过程中，学生可以提高逻辑思维能力、解决问题的能力、计算能力和创新能力。

在新时代，强基计划数学学习将更加注重学生的创新和实践能力，强化基础知识的扎实性。

因此，强基计划数学学习是非常重要的，可以帮助学生打好数学基础，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

二、强基计划数学学习的内容1. 数学基础知识（1）数的性质与关系。

包括自然数、整数、有理数、无理数等基本概念，了解它们之间的关系。

（2）代数基础。

包括一元一次方程、含有一元的一次不等式、整式及其基本性质等内容。

（3）几何基础。

包括几何图形、相似、全等、射影等内容。

（4）概率论与数理统计。

包括事件与概率、频率与概率、伯努利概型等内容。

2. 课外拓展知识强基计划数学学习的内容不仅局限于课堂教学，还包括课外拓展知识。

这些知识可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

（1）数学竞赛。

参加各种数学竞赛可以让学生在实际应用中灵活运用所学的数学知识，提高解决问题的能力。

（2）数学实践活动。

包括数学建模、数学游戏、数学实验等活动，可以帮助学生更好地理解数学的应用。

三、强基计划数学学习的方法1. 多做题做题是学习数学的最好方法。

可以通过刷题的方式来巩固所学的知识，培养解题的能力。

2. 多思考学习数学要多思考，多分析问题的本质。

培养学生的逻辑思维能力，提高问题解决的能力。

3. 多实践数学要求学生懂得应用。

多做一些实际的问题，培养学生的应用能力。

四、强基计划数学学习的难点和对策1. 难点（1）抽象性强。

数学作为一门抽象性强的学科，对于学生来说有一定的难度。

（2）逻辑性强。

数学具有强烈的逻辑性，需要学生有一定的逻辑思维能力。

2. 对策（1）注重基础。

通过打牢数学基础，帮助学生逐步理解抽象的概念。

（2）培养逻辑思维。

通过多做题，多思考问题，培养学生的逻辑思维能力。

五、强基计划数学学习的评价方式强基计划数学学习的评价方式主要以考试的形式来进行。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：函数一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数()e (1)x f x a x b =+-+在区间[1,3]上存在零点，则22a b +的最小值为（）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e 2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且(1)(1)(1)(1)1f f f f '''''=='==，则()f x 的常数项的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．153．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数2e ()sin e e xx xf x x -=++在区间[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则（）A ．2M m +=B ．1M m +=C ．2M m -=D ．1M m -=4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()f x 的导数存在，()y f x =的图象如图所示，设()()S t a t b ≤≤是由曲线()y f x =与直线x a =，x t =及x 轴围成的平面图形的面积，则在区间[,]a b 上（）A ．()f x '的最大值是()f a '，最小值是()f c 'B ．()f x '的最大值是()f c '，最小值是()f b 'C ．()S t '的最大值是()S a '，最小值是()S c 'D ．()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知[]x 表示不超过x 的整数，如][1.21, 1.22⎡⎤=-=-⎣⎦.已知12α=，则12α⎡⎤=⎣⎦（）A ．321B ．322C ．323D ．以上都不对6．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x =e 1e 1sin22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++二、多选题7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数()f x ={3,43,x x x -,x a x a≥<则（）A ．当()f x 有极小值时，12a >B ．当()f x 有极大值时，12a >-C ．当()f x 连续时，a 的可能值有3个D ．当()f x 有2极值点时，0a =或112a <<8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31x a a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是R B ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是2022(,)+∞9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（）A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<<C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列三、填空题10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数()f x t =-[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知)()2ln21011-=++-+x x f x x ，则不等式(21)()2022++>f x f x 的解集为___________．12．（2021·全国·高二专题练习）若函数()(0)y f x x =>满足2()()e x xf x f x x ='-（其中e 为自然对数的底数），且()1e f =-，则()ln 2e f =___________.13．（2022·广西·高二统考竞赛）设()=y f x 是严格单调递增的函数，其反函数为()=y g x ．设1x ，2x 分别是方程()+=2f x x 和()+=2g x x 的解，则12x x +=______．14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知()()()+1+1+1+1+1<+1<1n nn nn ααααα-α--，1<<0-α．设6=410=k x ∑，则x 的整数部分为______．15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数y =___________.16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数()211log 22a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,3上恒正，则实数a 的取值范围为___________.17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 的对称中心为(,)a b ，则2a b +=_____．18．（2022·贵州·高二统考竞赛）00x ∃<，使得2||20x x a +--<（a Z ∈）恒成立，则所有满足条件的a 的和_____．19．（2021·全国·高三竞赛）已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩方程()()240f x f x ax ++---=有三个实根123x x x <<．若()32212x x x x -=-，则实数=a __________．20．（2021·全国·高三竞赛）已知s ､t 是关于x 的整系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，12s t <<<，则当正整数a 取得最小值时，b c +=___________.21．（2021·全国·高三竞赛）2cos ()lg ,sin 12x x f x x k k x ππ⎛⎫-⎛⎫=≠+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭Z ，可以表示为一个偶函数()g x 和奇函数()h x 的和，则()g x 的最小值是_________．22．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________.23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =___________.25．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y x x y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________．26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m ->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.27．（2020·全国·高三竞赛）设,0a b >，满足：关于xb +=恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．四、解答题28．（2022·广西·高二统考竞赛）设a 为正整数，3|a ，()1=f a ，令()()Z,+1=Z,f n f n ⎪⎩1n ≥．求证：存在M 使得()f n M ≤，1n ≥．29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x ，y ，不等式()22411x y kx y +++≥恒成立，求最大常数k .30．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.高中数学竞赛与强基计划试题专题：函数答案一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数()e (1)x f x a x b =+-+在区间[1,3]上存在零点，则22a b +的最小值为（）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e 【答案】D【分析】利用点到直线的距离结合导数可求22a b +的最小值.【详解】设零点为t ，则()1e 0ta tb -++=，因此[]2222e ,1,3(1)1ta b t t +≥∈-+，考虑函数()22()22e x g x x x -=-+，其导函数()220()266e xg x x x -=-+-'<，因此函数()g x 在[1,3]上单调递减，从而22a b +的最小值为21e (1)g =．2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且(1)(1)(1)(1)1f f f f '''''=='==，则()f x 的常数项的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】利用导数可求系数和的4个等式，结合组合数的性质可判断常数项的最小值.【详解】设230123()nn f x a a x a x a x a x =+++++ ，其中0(0,1,,)i a i n ≥= ，则01231232331,231,2132(1)1,321(1)(2)1,n n n n a a a a a a a a na a a n n aa n n n a +++++=⎧⎪++++=⎪⎨⋅⋅+⋅⋅++⋅-⋅=⎪⎪⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅=⎩ 从而333441C C 6n n a a a =--- ，222233441C C C 2n n a a a a =---- ，111122331C C C n n a a a a =---- ，0121n a a a a =---- ，于是1102231C C n na a a a -=+++ ()()2121343411C C C C 2n n n a a a -=------ 2233411C C 2n n a a a -=---+()()323243411C C C C 3n n n a a -=+-++- 333411C C 3n n a a -=+++ 13≥，等号当350n a a a ==== 时取得，因此所求最小值为13，3．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数2e ()sin e e xx xf x x -=++在区间[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则（）A ．2M m +=B ．1M m +=C ．2M m -=D ．1M m -=【答案】A【分析】利用函数的对称性可求2M m +=，再利用特殊值法可判断最小值小于零，从而可判断CD 的正误.【详解】注意到()()2f x f x +-=，因此2M m +=，故选项A 正确，选项B 错误．而注意到21021ef ππ⎛⎫-=-< ⎪+⎝⎭，于是(2)222M m m m m -=--=->，故选项CD 错误．综上所述，只有选项A 正确．4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()f x 的导数存在，()y f x =的图象如图所示，设()()S t a t b ≤≤是由曲线()y f x =与直线x a =，x t =及x 轴围成的平面图形的面积，则在区间[,]a b 上（）A ．()f x '的最大值是()f a '，最小值是()f c 'B ．()f x '的最大值是()f c '，最小值是()f b 'C ．()S t '的最大值是()S a '，最小值是()S c 'D ．()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '【答案】D【分析】根据图像，利用导数的定义，化简0()()()limS t t S t S t t∆→+∆-'=∆，然后，逐个选项进行判断即可.【详解】如图所示，()f x '的最大值为()f a '，最小值为()f b '．由导函数的定义，得()()()()()()000ΔΔ'limlim lim ΔΔt t t S t t S t t f t S t f t f t t t∆→∆→∆→+-⋅====．则()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '.5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知[]x 表示不超过x 的整数，如][1.21, 1.22⎡⎤=-=-⎣⎦.已知α=，则12α⎡⎤=⎣⎦（）A ．321B ．322C ．323D ．以上都不对【答案】A【分析】记n nn a ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭，则由其所对应的特征根方程知数列n a 满足21n n n a a a ++=+，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解【详解】记1122nnn a ⎛⎛-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由其所对应的特征根方程知数列n a 满足21n n n a a a ++=+且012,1a a ==，依次可得234567893,4,7,11,18,29,47,76a a a a a a a a ========，101112123,199,322.a a a ===()0,1，所以()120,1∈⎝⎭，所以121212112a a ⎛+>>- ⎝⎭，所以12321α⎡⎤=⎣⎦.6．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x =e 1e 1sin22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++【答案】C【分析】利用函数()f x 的单调性可以证明00()f y y =.令函数()f x x =，化为2a x lnx x =--.令2()h x x lnx x =--，利用导数研究其单调性即可得出.【详解】解：1sin 1x -，∴当sin 1x =时，e 1e 1sin 22y x -+=+取得最大值1122e e y e -+=+=，当sin 1x =-时，e 1e 1sin 22y x -+=+取得最小值11122e e y -+=-+=，即函数e 1e 1sin 22y x -+=+的取值范围为[1，]e ，若e 1e 1sin 22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则0[1y ∈，]e .又()f x =.所以假设00()f y c y =>，则0(())f f y f =（c ）00()f y c y >=>，不满足00(())f f y y =.同理假设00()f y c y =<，也不满足00(())f f y y =.综上可得：00()f y y =.0[1y ∈，]e .函数()f x =(0,)+∞，∴x =，在(0，]e 上有解即平方得2lnx x a x ++=，则2a x lnx x =--，设2()h x x lnx x =--，则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x--+-'=--==，由()0h x '>得1x e <，此时函数单调递增，由()0h x '<得01x <<，此时函数单调递减，即当1x =时，函数取得极小值，即h （1）1110ln =--=，当x e =时，h （e ）221e lne e e e =--=--，则20()1h x e e --.则201a e e -- .【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数()f x ={3,43,x x x -,x a x a≥<则（）A ．当()f x 有极小值时，12a >B ．当()f x 有极大值时，12a >-C ．当()f x 连续时，a 的可能值有3个D ．当()f x 有2极值点时，0a =或112a <<【答案】BC【分析】作出y x =和343y x x =-的图象,由图象依次判断各选项即可得出结果.【详解】作出y x =和343y x x =-的图象,如图,343y x x =-有12x =±两个极值点.对于选项A,当0a =时，()f x 有极小值，A 错误；对于选项B,当()f x 有极大值时，12a >-，所以B 正确；选项C,要使()f x 连续，则a 必须取在y x =和343y x x =-的交点处，这样的a 恰有三个,故C 正确；对于选项D,要()f x 有两个极值点，则0a =或12a >，故D 错误.8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31x a a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是R B ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是2022(,)+∞【答案】ACD【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.【详解】①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确；②log (31)11,31log (31)3aa xa a a a a x a -><<-=⇒<-，又()log (31)log 2,a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为(),2022-∞故C 正确；③log (31)1,31log (31)aa xa a a a a x a ->>-=⇒>-，又log (31)(log 2,)a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为()2022+∞，故D 正确；④结合A 、C 、D 选项，当13a ≤或113a <<或1a >时，不等式都存在解集，故不满足解集为空集，所以B 错误.9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（）A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<<C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列【答案】ABC【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.【详解】解：如图所示，函数y kx =与函数sin y x =恰有5个交点.选项A ，根据对称性可知123450x x x x x +++=+，正确；选项B ，考虑在区间52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，两函数在5x x =时相切，所以555sin cos kx x k x =⎧⎨=⎩，所以满足55tan x x =，而29529tantan 2121212πππ==+，所以52912x π>，正确；选项C ，两函数在5x x =时相切，所以555sin cos kx x k x =⎧⎨=⎩，所以55tan x x =，正确；选项D ，若2x ，4x ，5x 成等差数列，则因为2x ，4x 关于原点对称，所以必有453x x =，即4444sin sin 33kx x x kx =⎧⎨=⎩，则()334444443sin 33sin 4sin 34kx x x x kx kx ==-=-，则40kx =，故不符合题意，错误.三、填空题10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数()f x t =-[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________.【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【详解】解析：易知()f x t =[,]a b 上单调递减，因为函数()f x 的值域为[,]a b ，所以(),(),f a b f b a =⎧⎨=⎩即,.t b t a ⎧⎪⎨⎪⎩两式相减得，22(3)(3)a b a b -=-=+-+=-，1=.因为a b <，所以102≤<，而1t a a ==+，所以219(3)224t a ⎫=+-=-⎪⎭.又102≤<，所以924t -<≤-.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知)()2ln 21011-=++-+xx f x x ，则不等式(21)()2022++>f x f x 的解集为___________．【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【详解】令()()1011=-g x f x ，易得()g x 为奇函数且单调递增．原不等式等价于(21)()0(21)()++>⇔+>-g x g x g x g x ．所以1213+>-⇒>-x x x ．故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.12．（2021·全国·高二专题练习）若函数()(0)y f x x =>满足2()()e x xf x f x x ='-（其中e 为自然对数的底数），且()1e f =-，则()ln 2e f =___________.【答案】0【分析】构造函数()()f x F x x=，可得()e x F x '=，即()e x F x m =+，结合(1)e f =-，可得2e m =-，即()e 2e x F x =-，()()e 2e xf x x =-，代入ln 2e x =即得解【详解】令()()f x F x x=，则2()()()e x xf x f x F x x-'='=，∴()e x F x m =+.又(1)e f =-，∴(1)e F =-，∴2e m =-，∴()e 2e x F x =-，于是()()e 2e xf x x =-，(ln 2e)0f ∴=.13．（2022·广西·高二统考竞赛）设()=y f x 是严格单调递增的函数，其反函数为()=y g x ．设1x ，2x 分别是方程()+=2f x x 和()+=2g x x 的解，则12x x +=______．【答案】2【详解】()+f x x 严格单调递增．且()()()()()112222+=2=+=+f x x g x x f g x g x ，故()12=x g x ，()21=x f x ，于是()1211+=+=2x x x f x .14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知()()()+1+1+1+1+1<+1<1n nn nn ααααα-α--，1<<0-α．设6=410=k x ∑，则x 的整数部分为______．【答案】14996【详解】由()()()+1+1+1+1+1<+1<1n n n n n ααααα-α--，取1=3α-，64,5,,10n =⋅⋅⋅，将不等式相加可得()()62222=466333310210+14<1033k -∑-，则x 的整数部分为14996．15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数y =___________.【答案】[]1,2【详解】令θθ，由sin 0cos 0θ≥θ≥⎧⎨⎩得2,22k k πθππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，则sin cos 2sin 3y πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2,22k k πθππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，所以[]1,2y ∈.16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数()211log 22a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,3上恒正，则实数a 的取值范围为___________.【答案】375,,494⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】设()21122g x ax x =-+，由()122202g a =-+>，得34a >，当34a >，且23x <<时，()'10g x ax =->，所以34a >时，()21122g x ax x =-+在区间[]2,3上递增，①若314a <<，则[]2,3x ∈时，()()()2>0>03<1g f x g ⎧⎪⇔⎨⎪⎩，因此3749a <<，②若1a >，则[]2,3x ∈时，()()021f x g >⇔>，因此54a >，综上，a 的取值范围为375,,494⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 的对称中心为(,)a b ，则2a b +=_____．【答案】1【详解】∵122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 111202312022x x x =++++++ ，设()(1011)2023g x f x =--11111011101010101011x x x x =++++--++ ，1111()1011101010101011g x x x x x -=++++-----+-+ 1111()1011101010101011g x x x x x ⎛⎫=-++++=- ⎪--++⎝⎭ ，∴()(1011)2023g x f x =--是奇函数，所以f (x )关于点(1011,2023)-对称，∴2+=2(1011)+2023=1a b -⨯．18．（2022·贵州·高二统考竞赛）00x ∃<，使得2||20x x a +--<（a Z ∈）恒成立，则所有满足条件的a 的和_____．【答案】0【详解】由2||20x x a +--<得2||2x a x -<-(x <<，2222x x a x -<-<-，令21:2C y x =-，22:2C y x =-+，(x ∈，:l y x a =-，12,C C ，l 在同一坐标下的图像如图所示：由2==+2y x a y x -⎧⎨-⎩得22x x a -+=-，2(2)0x x a +-+=，当Δ14(2)0a =++=时，94a =-，由图对称性知9944a -<-<，∴9944a -<<，∴{2,1,0,1,2}A =--，∴元素之和为0，19．（2021·全国·高三竞赛）已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩方程()()240f x f x ax ++---=有三个实根123x x x <<．若()32212x x x x -=-，则实数=a __________．【详解】设()11g x x =-≤≤，注意到()1max((),())()()()()2f xg x f x g x f x g x =++-．故方程可变形为max((),())2f x g x ax =+．由2x -≥2x ≤，从而有2,1,,2max((),()),1.x xf xg xx⎧⎡-∈--⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩由22x ax-=+，得112122x xa⎛⎫=--≤≤-⎪+⎝⎭，进而02a≤≤．再由2ax=+，得32240,4ax xa==-+．因为()1233221,2x x x x x x x<<-=-，所以1223x x=，即241224aa a=++，解得32a=．20．（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程20(0)ax bx c a++=>的两根，12s t<<<，则当正整数a取得最小值时，b c+=___________.【答案】4-【详解】设()()()f x a x s x t=--，则2()f x ax bx c=++，因为(1),(2)f f Z∈，所以(1)(2)1f f⋅≥，所以211(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)as t s t s t s t≥=--------.又因为11(1)(2),(1)(2)44s s t t--≤--≤，所以216a≥，但216a≠，所以5a≥.当5a=时，25(1)(2)25(1)(1)(2)(2)1,16f f s t s t⎡⎫⋅=----∈⎪⎢⎣⎭，所以(1)(2)1f f⋅=，所以(1)(2)1f f==.于是2()51511f x x x=-+，故15114b c+=-+=-.21．（2021·全国·高三竞赛）2cos()lg,sin12x xf x x k kxππ⎛⎫-⎛⎫=≠+∈⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭Z，可以表示为一个偶函数()g x 和奇函数()h x的和，则()g x的最小值是_________．【答案】0【详解】解析：因为()f x可以表示为一个偶函数()g x和奇函数()h x的和，所以()()()2f x f xg x+-=，2cos2cos2()lg lgsin1sin1x x x xg xx x⎛⎫⎛⎫--=+⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭222(2cos)2sinlg1sinx xx⎛⎫--= ⎪-⎝⎭2223cos4cos2cos1lg lg120cos cosx x xx x⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫==+≥⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2,x k k Zπ=∈时，min(())0g x=．22．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________.【答案】5【详解】解析：易知0x =是原方程的解.当0x ≠时，利用()3322()a b a b a ab b +=+-+，原方程33333333(1)(4)(9)214911110(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++-+-+-=⎢⎥++++++⎣⎦等价于322249490(1)(4)(9)(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥++++++⎣⎦.方程两端同除x ，整理后得()42982883850x x x x --+=.再同除x ，得()22231(624)0x x --+=.即()()22676550x x x x +---=，从而有(7)(1)(5)(11)0x x x x +-+-=.经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．【答案】1【详解】解析：由题意()()()x x x f x x e f x x e f x x e -++=--+=--+，则()2x x e e f x x --=-，求导可得()f x 为单调递增的函数，故()()22f a f a ≤-，则22a a ≤-，解得21a -≤≤，则实数a 的最大值为1．24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =___________.【答案】36【分析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，讨论210a -=，210a -≤可得出2a b =，由此可解出14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案.法二：由()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，设()()()()20g x a x x m a =--≠，讨论2m ≠和2m =结合题目条件可解得14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案.【详解】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.25．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y xx y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________．【答案】x y >或y x<【分析】比较x 、y 的大小关系，在等式中比较x 、y 的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反.【详解】假设x y ≤．由①知16913yyx-=，由于1313xy≤，则13169yyy≥-，从而13911616y y⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设139()1616t t f t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f t 在R 上递减，且()1f y ≥，又22139(2)11616f ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(2)f y f >．于是2y <．由②知，71113x y x +=，又1111x y ≤，所以71113x x x +≤，即11711313x x⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似上面有2x >．于是x y >与x y ≤矛盾故x y >．26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m ->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.【答案】51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出)1()01f x x -=<<，将已知条件转化为2(110m m +->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用换元法转化为2()(1)10g t m t m =++->，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，由10,4102g g⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩可解得结果.【详解】22121(1)11x y x x x -⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭Q，得x =又1x >，2011x ∴<<+，20111x ∴<-<+，01y ∴<<)1()01f x x -∴<<由题意得(1(m m --对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，1(m m >，即2(110m m +->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，显然1m ≠-，令t =11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，11,42t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以2(1)10m t m ++->，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令2()(1)1g t m t m =++-是关于t 的一次函数，要使()0g t >，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，需104102g g ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，即221(1)1041(1)102a a a a ⎧++->⎪⎪⎨⎪++->⎪⎩，解得：514a -<<，所以实数m 的取值范围51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图像在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立27．（2020·全国·高三竞赛）设,0a b >，满足：关于xb +=恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．【答案】144．【分析】令2at x =+，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.【详解】解：令2a t x =+，则关于tb +=恰有三个不同的实数解(1,2,3)2i i a t x i =+=．由于()f t =()f t b =的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有(0)b f ==．以下求方程()f t =的实数解．当||2a t ≤时，()f t =等号成立当且仅当0=t ；当2a t >时，()f t 单调增，且当58at =时()f t =；当2a t <-时，()f t 单调减，且当58a t =-时()f t =．从而方程()f t =12355,0,88t a t t a =-==．由条件知3328a ab x t ==-=，结合b =得128a =．于是91448aa b +==．【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.四、解答题28．（2022·广西·高二统考竞赛）设a 为正整数，3|a ，()1=f a ，令()()Z,+1=Z,f n f n ⎪⎩1n ≥．求证：存在M 使得()f n M ≤，1n ≥．【详解】首先证明()3|f n ，1n ≥．否则，由()3|1f 可知存在正整数P ，使得()()3|1f k k P ≤≤，()3+1f P ，从而()23+1f P .（1）若()+1f P ，则由()23+1f P得到()3f P ，矛盾（2）若()()+1=+3f P f P ，则由()3+1f P得到()3f P ，矛盾．下面证明()()23f n a ≤，1n ≥．假设存在k ，()()2>3f k a ，则由()()21=<3f a a 可知存在正整数0k ，使()()()2031f m a m k ≤≤≤，()()20+1>3f k a .（3）若()()20=3f k a ，则()()20+1=3<3f k a a ，矛盾．（4）若()()20<3f k a ，则由()03|f k 可得()()2033f k a ≤-，从而有()()20+1<3f k a a ≤或者()()()200+1=+33f k f k a ≤，矛盾．因此，存在()2=3M a 使得()f n M ≤，1n ≥.29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x ，y ，不等式()22411x y kx y +++≥恒成立，求最大常数k .【答案】3【详解】当1x y ==时，有4112k ++≥，因此3k ≤，下面证明不等式()224131x y x y +++≥对任意整数x ，y 均成立，设()27134f x x x =+-，则()227762134477f x x x x ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，由二次函数性质知，0x ≤或2x ≥时，()()010f x f ≥=>，所以当0x ≤或2x ≥时，271304x x +->，所以当0x ≤或2x ≥时，对任意y ，均有：()2222222973741313313104424x y x y x xy y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-++-+=-+-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又当=1x 时，()()()222413132120x y x y y y y y ++-+=-+=--≥对任意整数y 成立，所以对任意整数x ，y ，()2241310x y x y ++-+≥均成立，因此，不等式()224131x y x y +++≥对任意整数x ，y 均成立，综上所述，k 的最大值为3.30．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[]7,2-【详解】由()()323632022f x x ax a x a =++-+,则()()2=63'f x x ax a ++-，又()f x 在区间[]22-,上是单调递增,所以()'0f x ≥,即()223013x ax a a x x ++-≥⇔-+≥-在区间[]22-,上恒成立.如图所示，考虑过定点()13P ，的直线()13y a x =-+和抛物线2y x =-在[]22-,上的两个临界位置：当直线()13y a x =-+与抛物线2y x =-相切于A 点时,有()2Δ4302a a a --=⇒=（舍去负值）.当()13y a x =-+与拋物线2y x =-相交于()2,4B -点时,有()347.12PB a k --===--综上可得，实数a 的取值范围是[]7,2-.。