2020届云南省曲靖一中高考数学理科二模试题【带答案】

云南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．78．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．C．3D．10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（）A．B．5C．D．912．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．（x2+）5的展开式中x4的系数为14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．（1）求k的值；（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【分析】求出集合的等价条件，利用交集的定义进行求解即可．解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}，故选：C．2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．解：复数＝＝（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得a＝﹣1；所以复数2a+2i＝﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．3．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）＝1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）＝1⊗2x＝，因此选项A中的图象符合要求．故选：A．4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到，所以直线AB 的斜率为2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线AB的方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，又，两式相减得：，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴，∴直线AB的斜率为2，又∴过点（1，1），∴直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故选：A．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，解得，∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．故选：D．6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．解：由p是¬q的充分不必要条件知“若p则¬q”为真，“若¬q则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则¬p”为真，“若¬p则q”为假，故选：B．7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选：B．8．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】设k＝，则k的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解：设k＝，则k的几何意义为点P（x，y）到点D（2，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D的直线平行与OA时是个临界值，此时k＝K OA＝1不成立，需比1小；当过点A时，k＝取正值中的最小值，⇒A（1，1），此时k＝＝＝2；故的取值范围为（﹣∞，1）∪[2，+∞）；故选：D．9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，设出点P的坐标，求出点P到直线AB的最小距离，即可三角形PAB 面积的最小值．解：依题意，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，要使△PAB面积的最小，则需点P到直线AB的距离最小，不妨设P（cosθ，sinθ）（π≤θ≤2π），∴点P到直线AB的距离为，∵π≤θ≤2π，∴，∴，∴．故选：C．10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．【分析】记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．由双曲线的对称性和定义，运用勾股定理，离心率公式可得所求．解：记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．∵AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF'是矩形，∴．设|FB|＝x，则|CF|＝3x，|BF'|＝2a+x，|CF'|＝2a+3x．在Rt△CBF'中，|BF'|2+|BC|2＝|CF'|2，即（2a+x）2+16x2＝（2a+3x）2可得x＝a，从而|BF'|＝2a+x＝3a，|FB|＝a，在Rt△BFF'中，|BF'|2+|FB|2＝|FF'|2，即（3a）2+a2＝（2c）2，∴10a2＝4c2，即有e＝＝．故选：D．11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（）A．B．5C．D．9【分析】利用的值域为[m，+∞），求出m，再变形，利用1的代换，即可求出7a+4b的最小值．解：∵＝的值域为[m，+∞），∴m＝4，∴+＝4，∴7a+4b＝[（6a+2b）+（a+2b）]（+）＝[5++]≥＝，当且仅当＝时取等号，∴7a+4b的最小值为．故选：A．12．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．解：当x≤0时，为减函数，f（x）min＝f（0）＝0；当x＞0时，，，则时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上递增，在上递减，．其大致图象如图所示，若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则，即，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（x2+）5的展开式中x4的系数为40【分析】运用二项展开式的通项可得结果．解：根据题意得，T r+1＝（x2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r令10﹣3r＝4，得r＝2∴（x2+）5的展开式中x4的系数为22＝40；故答案为40．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为﹣3．【分析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．解：∵AB＝2，AD＝1，∴＝＝＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为29π【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径，可知三棱柱的高为内切圆的直径，求出三棱柱的高，然后将三棱柱放在长方体内，求出长方体的对角线，再根据长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的表面积．解：由题意知内切球的半径为R与底面三角形的内切圆的半径相等可得，而三角形ABC 为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，设三角形内切圆的半径为r，由面积相等可得：r（3+4+4）＝3•4，所以r＝，所以R＝＝1，由题意可知三棱柱的高h为2R＝2，将该三棱柱放在长方体中，设三棱柱的外接球的半径为R'则（2R）2＝32+42+22＝29，所以外接球的表面积S＝4πR'2＝29π，故答案为：29π．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由题意可得a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又a1＝1，数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n分奇数和偶数两种情况，分别求出a n，从而得到数列{a n}的通项公式．解：∵a n+1＝2n﹣a n，∴a n+1+a n＝2n①，a n+a n﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，①﹣②得：a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，∴数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当n为奇数时，a n＝n，当n为偶数时，则n﹣1为奇数，∴a n＝2（n﹣1）﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1，∴数列{a n}的通项公式，故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得ab的最大值，可得AB 边上的高h的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝sin x+﹣＝sin x+﹣＝sin（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣，1]．（2）△ABC中，＝sin（C+），∴C＝．由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，即ab的最大值为3．再根据S△ABC＝••h＝ab•sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．【分析】（1）由已知可得三角形ABC为直角三角形，取AB中点O，再由PA＝PB＝PC，可得PO⊥底面ABC，从而得到面PAB⊥面ABC；（2）在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，由平面与平面垂直的性质证明OC⊥PA，进一步得到PA⊥EC，可得∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】（1）证明：由AC⊥BC，得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，取AB的中点O，则O为△ABC的外心，连接PO，∵PA＝PB＝PC，可得△POA≌△POB≌△POC，可得∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，则PO⊥AB，PO⊥OC，又AB∩OC＝O，∴PO⊥底面ABC，而PO⊂平面PAB，则面PAB⊥面ABC；（2）解：在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB，得OC⊥PA，∵OE∩OC＝O，∴PA⊥平面OEC，则PA⊥EC．即∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角．在Rt△ACB中，由CA＝CB＝，得OC＝1，在Rt△POA中，由PA＝，OA＝1，PO＝，求得OE＝，在等腰三角形PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，求得EC＝．由余弦定理可得：cos∠OEC＝＝．∴二面角C﹣PA﹣B的余弦值为．19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．【分析】（I）由题意分别求出＝11，＝3，由公式＞0.75，从而y与x的关系可用线性回归模型拟合．（II）求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，推导出，由此能求出X的数学期望．解：（I）由题意可知＝（2+3+6+10+21+13+15+18）＝11，＝（1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5）＝3，由公式，∵|r|≈0.98＞0.75，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合．（II）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：，，，由题意，，∴．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．解：由a2﹣b2＝c2与，得a2＝2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．（1）求k的值；（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F （x）＞0恒成立，再根据导数和函数的最值的关系，即可证明．解：（1）∵f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，x∈（0，+∞），∴f′（x）＝（1+e﹣2）e x+k，x∈（0，+∞），∵函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行，∴f′（2）＝e2+1+k＝e2+2，解得k＝1．（2）由（1）得f（x）＝（1+e﹣2）e x+x﹣1，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F（x）＞0恒成立，∴F′（x）＝（1+e﹣2）e x+lnx+2，x＞0，令h（x）＝F′（x）＝（1+e﹣2）e x+lnx+2，则h'（x）＝（1+e﹣2）e x+＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∵h（e﹣4）＝（1+e﹣4）＞0；当x→0时，h（x）→﹣∞，∴∃x0∈（0，e﹣4），使得h（x0）＝0即，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即F′（x）＞0，函数F（x）单调递增；∴F（x）min＝F（x0）＝＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，令t（x0）＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，x0∈（0，e﹣4），则，∵y＝lnx和y＝在（0，e﹣4）上均为增函数，∴t'（x0）在（0，e﹣4）上单调递增，又t'（e﹣4）＝﹣e4＜0，∴t'（x0）＜t'（e﹣4）＜0，即t（x0）在（0，e﹣4）上单调递减，∴t（x0）＞t（e﹣4）＝e﹣4+e﹣4lne﹣4﹣lne﹣4﹣3＝1﹣＞0，故f（x）＞g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程；把ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆C的直角坐标方程；（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．解：（1）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1；将ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，得x2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1；（2）经检验点M（1，3）在直线l上，化直线方程为，代入圆C的直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，得，即．设t1，t2是方程的两根，则．∵t1t2＝4＞0，∴t1与t2同号，由t的几何意义得|MA|+|MB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合2c＞a+b，a＞0即可得证．解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（x ﹣b）≤0时取等号，∴f（x）的最小值M＝a+b；（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，要证，即证，即证a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，即证a2﹣2ac+ab＜0，即证a（a﹣2c+b）＜0，又2c＞a+b，a＞0可知，a（a﹣2c+b）＜0成立，故原不等式成立．。

2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ） A ．−725B ．725C ．−15D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．547．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65879．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．211．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√3412．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e2，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e2，1e） 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ ． 14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 ．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于 ． 三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1(a n+1)2，设数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＜14．19．如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB＝90°，M，N分别是CD，PB的中点．（1）证明：CN∥平面PAM；（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60°，求二面角M﹣AP﹣C的余弦值．20．已知△ABC的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC的周长为8+4√3，O是坐标原点，点M满足OA→=−2AM→．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝xlnx，g(x)=12x2．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．参考答案一、选择题1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ）A ．−725B ．725C ．−15D ．15【分析】由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin αcos α的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：∵cos （π4−α）=45，即 √22cos α+√22sin α=45，平方可得12+sin αcos α=1625，∴sin αcos α=750， 则sin2α＝2sin αcos α=725， 故选：B ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a→⋅b→=1，设向量a→与b→夹角θ，所以cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3．故选：C．6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．7．已知实数x，y满足{x−2≥0y−2≥0x+y−8≤0，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线ax+by﹣1＝0由直线系方程得答案．解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算． 解：∵X ～N （1，1），∴μ＝1，σ＝1．μ+σ＝2∵P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，∴则P （0＜X ＜2）＝68.26%， 则P （1＜X ＜2）＝34.13%， ∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587． 故选：D ． 9．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数函数f （x ）=2x x+1+lnx ＝2+lnx −2x+1的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数， 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=2b√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A =π3或A =2π3． 若A =2π3，则a ＞b ，a ＞c ，故2a ＞b +c ，与a ＝1，b +c ＝2矛盾． ∴A =π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ＝1， ∴bc ＝1，∴S =12bc sin A =12×1×√32=√34．故选：D ．12．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e，1e） 【分析】对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果． 【解答】解：f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），则f （x ）﹣1={x 2−1，−1≤x ≤0ln(x +1)−1，x ＞0，在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，如图： 对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），就是函数y ＝a （x +1）的图象都在y ＝f （x ）﹣1图象的上方， 则y ＝ln （x +1）﹣1可得y ′=1x+1（x ＞0），设切点坐标（m ，n ）， 可得1m+1=nm+1，可得n ＝1，此时ln （m +1）﹣1＝1，解得m ＝e 2﹣1，所以切线的斜率为：1e 2−1+1=1e 2．可得a ≥1e 2． 故选：A ． 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ 2 ． 【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x 轴的交点在抛物线的准线上，求解即可． 解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线：x =−p2，经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p ＝2． 故答案为：2．14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 16 ．【分析】因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n 的值；然后再将(1+1x2)(1+x)n 拆成两个式子，求出展开式中的常数项． 解：由题意，（1+x ）n 展开式中第n 2+1=4项的二项式系数最大，故n ＝6． 故(1+1x 2)(1+x)n =(1+1x 2)(1+x)6=(1+x)6+1x2⋅(1+x)6． 该式中前一项的常数项为：C 60=1，后一项展开式的常数项为1xC 62⋅x 2=C 62=15． 故原式展开式中的常数项为1+15＝16． 故答案为：16．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确； ③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(√33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【分析】（Ⅰ）先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；（Ⅱ）用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．解：（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则P(A)=C22⋅C83C105⋅C33⋅C114C147=5234．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜14．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，所以T n ＜14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(1n −1n+1)=14(1−1n+1)＜14． 19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （1）证明：CN ∥平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，求二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【分析】（1）取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，由已知可知四边形CNEM 为平行四边形，得到CN ∥EM ，再由线面平行的判定可得CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，可得∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM 与APC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥AB 且EN =12AB ．在正方形ABCD 中，∵M 是CD 的中点，∴CM ∥AB 且CM =12AB ． ∴CM ∥EN ，且CM ＝EN ，则四边形CNEM 为平行四边形． ∴CN ∥EM ，∵CN ⊄平面PAM ，EM ⊂平面PAM ， ∴CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ．又PA ∩平面ABCD ＝A ，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，√3），M （4，1，0），C （4，3，0）， AM →=(4，2，0)，AP →=(0，1，√3)，AC →=(4，4，0)．设m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)分别为平面APM 与APC 的一个法向量， 则{m →⋅AM →=4x 1+2y 1=0m →⋅AP →=y 1+√3z 1=0，取y 1=2√3，得m →=(−√3，2√3，−2)； {n →⋅AC →=4x 2+4y 2=0n →⋅AP →=y 2+√3z 2=0，取y 2=√3，得n →=(−√3，√3，1)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3+6+2√7×√19=11√133133． 即二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值为11√133133．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=−2AM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于P ，Q 两点，若直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出a ，b 即可得到点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=−2AM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，利用韦达定理，结合直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．解：（Ⅰ）已知|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2． 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0），由OA →=−2AM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 则△＝64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0， 即4k 2﹣m 2+1＞0，且x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2． ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴y 1x 1⋅y 2x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2，即−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，又m ≠0，所以k 2=14，即k =±12．由△＞0，及直线OP ，OQ 的斜率存在，得0＜m 2＜2，∵|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10−5m 2， 点O 到直线l 的距离d =√1+k=5．S △OPQ =12|PQ|⋅d =√m 2(2−m 2)=√1−(m 2−1)2≤1，当m 2＝1时取等号， 此时直线l 的方程为y =±12x ±1，S △OPQ 的最大值为1．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g(x)=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增；令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(0，1e)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①当0＜t＜t+1＜1e时，满足条件的t不存在；②当0＜t＜1e＜t+1即0＜t＜1e时，f(x)min=f(1e)=−1e；③当1e≤t＜t+1即t≥1e时，f（x）min＝f（t）＝tlnt．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，将直线l的参数方程{x=3+√32ty=12t代入曲线C的直角坐标方程得：(3+√32t−2)2+(12t)2=4，化简得t2+√3t−3=0，设A，B的参数分别为t1，t2，由韦达定理得：t1+t2=−√3，于是t P=t1+t22=−√32．设P（x0，y0），则{x0=3+√32×(−√32)=94y0=12×(−√32)=−√34故，点P的直角坐标为P(94，−√34 )．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t1+t2=−√3，t1•t2＝﹣3所以，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√15又直线l的普通方程为x−√3y−3=0，圆心C（2，0）到直线l的距离为d=|2−3|√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a ，b ，c 均为正实数，配凑使用柯西不等式， 得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c )2 =12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．。

云南省曲靖市第一中学2020届高考复习质量监测考试高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合212xxx⎧+⎫A=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x xB=<，则()RA B=Ið（）A．112x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B．{}12x x≤< C．{}12x x-<≤D．{}12x x<<【答案】B考点：不等式的解法与集合运算.2.复数321izi+=-（i为虚数单位）的共轭复数z为（）A．1522i-+B．1522i--C．1522i+D．15 22i -【答案】D 【解析】试题分析：()()()()32132151112i ii izi i i++++===--+，所以z的共轭复数为1522z i=-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n=，则输出k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6图1【答案】B考点：程序框图中的循环结构.4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．5306B．5304C．5302D．515图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=o 根据三视图的规则可知5,5,SA AB AC y ===,所以222SC AC SA +=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当15x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积2115305152532V y =⨯⨯⨯⨯-=，故选A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】DABy55考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知195519,2a a ab b b +==，又11a b =，99a b =，所以1919192a a a ab b +≥=，即55a b >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变； ③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出命题的逆否命题是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以命题①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的命题只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质.9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4UB ．()()0,24,5UC ．()()2,34,5UD ．()()2,33,4U 【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin 3f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =u u u r u u u r ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．13,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b 或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln 2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =r ，()1,1b =-r ，且()a b b λ+⊥r r r ，则2a b λ-r r的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===r rr r g，因为()a b b λ+⊥r r r，所以()a b b λ+r r rg220a b b λλ=+==r r r g ，0λ∴=， 2242a b a λ-==r r r .考点：向量的数量积运算.14.若22sin 4m x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以命题p 不等式组表示的平面区域内的点都在命题q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n n S a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+． （I ）求角A 的大小；（II ）若sin sinC 1B+=，2b =，试求C ∆AB 的面积． 【答案】（I ）23πA =；（II 3试题解析：（I ）Q ()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-．Q 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）Q sin sinC 1B+=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分） 又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 32S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=， 若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为ξ0 2P 0.24 0.76∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =o ，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90o ，得到C D ''AB （如图3）．（I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A-N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）55-.试题解析：（I ）证明：Q 1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =o ，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =o ，∴C 90∠BA =o ，即C A ⊥AB ．Q 平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB I 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：Q C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ． 如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B ，()C 3,0，(C 3'，13,,022⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 3'B =-u u u r ，(CC 0,3,3'=-u u u r ．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =r ，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r⇒)3,1,1n =r ．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =r ，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩u u u r ru u u u r r()3,1,0m ⇒=-r ， 设二面角C C 'A-N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==r r r r ，∴二面角C C 'A-N -的余弦值为512分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点2322⎛M - ⎝⎭，2，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ）2；（III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：22c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点23,22⎛⎫M - ⎪ ⎪⎝⎭，则2213124a b +=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+， 所以()22222222861624141121212k k k k k k k -⎛⎫AB =+-⨯=+ ⎪++⎝⎭+．又点O 到直线l 的距离为21h k=+，∴∆OAB的面积()2222222111624231222212112k k S h k k kk ∆OAB--=⋅AB ⋅=⋅+⋅⋅=+++． 令223t k =-（0t >），得2223k t =+，则21222222244t S t t t∆OAB ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB 的最大值为22．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值；（II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =．又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分）综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分）考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的不等式. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径； （II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）Q D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．Q D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ． Q GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA+∠BA =∠E A+∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =o ，D 90∠B A =o ，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．Q AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =o ．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．Q DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．Q AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-． （I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259. 试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。

绝密★启用前2020届云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}22150,B x x x x Z =+-<∈，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5 答案：A本题先计算集合B,然后结合集合交集运算性质,即可.解： ()(){}{}=3504,3,2,1,0,1,2B x x x x Z x -+<∈=----，,所以 {}1,2A B =I ,故选A.点评：本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A ．1B C D ．2 答案：B根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解.解：复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-，由复数模的定义及运算可得z ==故选：B.点评：本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.3．已知4cos45aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2a=（ )A．7-25B．725C．1-5D．15答案：B分析：利用诱导公式与二倍角的余弦公式，即可得结果.详解：4 cos-45πα⎛⎫=⎪⎝⎭Q所以2247 2cos-22cos-12124525sinππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.点睛：本题主要考查诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 解答给值求值问题时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11答案：B列出循环的每一步，根据条件1S≤-成立，循环结束，可得出输出结论.解：运行该程序，输入1i =，0S =，则110lg lg 33S =+=； 11lg lg 1310S =>=-，不满足判断框，则1313,lg lg lg 355i S ==+=； 11lg lg 1510S =>=-，不满足判断框，则1515,lg lg lg 577i S ==+=； 11lg lg 1710S =>=-，不满足判断框，则1717,lg lg lg 799i S ==+=； 11lg lg 1910S =>=-，不满足判断框，则1919,lg lg lg 91111i S ==+=； 11lg lg 11110S =<=-，满足判断框，输出9i =. 故选：B.点评：本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5．已知向量,a b r r ，2a =r ，()()cos ,sin b R ααα=∈r ，若2a b +=r r 则a r 与b r 夹角是（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 答案：C首先根据b r 的坐标计算b r ，根据2a b +=r r 1a b =r r g ，再代入夹角公式计算即可. 解：1b ==r ，222(2)4412a b a a b b +=++=r r r r r r g ，即44412a b ++=r r g ，解得1a b =r rg . 设a r 与b r 夹角为θ，则1cos 2a b a b θ==r r g r r ， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题.6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi ē n ào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．54答案：C 结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.解：结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 点评：本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．已知,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by +-=过定点（ ）A ．()3,1B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1- 答案：A。

曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．173B ．32C ．53D ．10211. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（ ） A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x e x x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．），（122e e B ．），（e e 220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行. (1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0 ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3∴PO ＝2，CO ＝1 ∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分） 19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为1535x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(- 11 - b a M +=∴(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<， 也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c -<<+成立．。

2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1}，B ={x|(x +4)(x −1)<0}，则A ∩B =( )A. {−1,0，1}B. {−1,0}C. {0,1}D. {0}2. 已知复数z =i(1+i)，则|z|=( ) A. 12 B. √22 C. 1 D. √23. 若cos (π4−α)=35，则sin2α=( )．A. 725B. 15C. −15D. −725 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 115. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：|a ⃗ =√3，|b⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−32，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°6. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (8+4√2)πB. (9+4√2)πC. (8+8√2)πD. (9+8√2)π7. 已知x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0时，z =ax +by(a ≥b >0)的最大值为2，则直线ax +by −1=0过定点( )A. (3,1)B. (−1,3)C. (1,3)D. (−3,1)8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A. 2 387B. 2 718C. 3 414D. 4 777附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.954 5．9. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( ) A. −1<x 0<0 B. 0<x 0<1 C. 1<x 0<2 D. 2<x 0<4 10. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3311. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =2asinA ，则A =( )A. π6B. π3C. π4D. 不确定12. 若函数f(x)=lnx −ax 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (0,1e )C. (0,e)D. (−∞,1e ) 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 抛物线x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−12，则抛物线方程为______ ．14. 若(x 2−1√x 3)a 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______． 15. 有下列命题：①y =cos(x −π4)cos(x +π4)的图象中相邻两个对称中心的距离为π；②y =x+3x−1的图象关于点(−1,1)对称；③关于x 的方程ax 2−2ax −1=0有且仅有一个实根，则a =−1；④命题p:对任意x ∈R ，都有sinx ≤1；则¬p:存在x ∈R ，使得sinx >1.其中真命题的序号是__________．16. 三棱锥S −ABC 中，侧棱SA 与底面ABC 垂直，SA =1，AB =2，BC =3且AB ⊥BC ，则三棱锥S −ABC 的外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(用x来表示)，但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值；(2)成绩在175分以上为“优秀”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．18.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n19. 如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．20. 在△ABC 中，B(−3√22,0)，C(3√22,0)，其周长是6+3√2，O 是BC 的中点，T 在线段AO 上，满足TA⃗⃗⃗⃗⃗ =−TO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求点T 的轨迹E 的方程；(2)若M(m,0)(0<m <1)，N(n,0)在OC 的延长线上，过点M 的直线交轨迹E 于P ，Q 两点，直线QN 与轨迹E 交于另一点R ，若(MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PR⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求mn 的值．21. 设函数f(x)=a x +xlnx,g(x)=x 3−x 2−3，．(1)求函数ℎ(x)=f(x)x 的最值；(2)如果对任意的x 1,x 2∈[12,2]，都有f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t −1(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,−1).若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|+|PB|的值．23.已知关于x的不等式x+|x−2c|−2≥0的解集为R．(1)求实数c的取值范围；(2)若实数c的最小值为m，p>0，q>0，r>0，且p+q+r=9m，求证：p2+q2+r2≥27．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．解：B={x|(x+4)(x−1)<0}={x|−4<x<1}；集合A={−1,0，1}，∴A∩B={−1,0}．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数运算与复数求模，属于基础题．化简复数z，然后求模．解：z=i(1+i)=−1+i，则|z|=√1+1=√2，故选D．3.答案：D解析：本题考查两角和与差、二倍角公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题型；由cos (π4−α)=35，可得sinα+cosα=3√25，平方可得1+sin2α=1825，即可求解；解：因为cos(π4−α)=cosπ4cosα+sinπ4sinα=√22(sinα+cosα)=35，所以sinα+cosα=3√25，所以1+sin2α=1825，所以sin2α=−725．故选D．4.答案：B解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=1,S=lg13=−lg3>−1，否；i=3,S=lg13+lg35=lg15=−lg5>−1，否；i=5,S=lg15+lg57=lg17=−lg7>−1，否；i=7,S=lg17+lg79=lg19=−lg9>−1，否；i=9,S=lg19+lg911=lg111=−lg11<−1，是，输出i=9．故选B．5.答案：D解析：解：∵|a⃗|=√3，|b⃗ |=1；∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|×|b⃗ |cosθ=√3×1×cosθ=−32，∴cosθ=−√32；又∵θ∈[0°,180°]，∴θ=150°．故选：D．由向量的数量积a⃗⋅b⃗ ，求出cosθ的值，即得θ的值．本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的数量积，求两向量的夹角，是基础题．。

2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. {}2x x >- B. {}22x x -<<C. {}22x x -≤<D. {}2x x <2.若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A .B.C.D.4.抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ---=5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.2550100,,777B.252550,,1477C.100200400,,777D.50100200,,7776.若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A. 4B. 5C. 6D. 78.已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ） A. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. (1,2]C. (,0][2,)-∞+∞UD. (,1)[2,)-∞⋃+∞9.已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A. 6B. 3C.93222D.93222+10.已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.17B.32C.53D.10 11.已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A.94B. 5C.5224+ D. 912.已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A. (21),e B. (20,)e C. (11,1)e+D. 21,1()e+ 二、填空题（共4小题）13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______.16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知函数231()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域； （2）ABCV 角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且3c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.18.如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10131518 21 销量y （万盒） 1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑178542.25≈20.设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r． （Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r，求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．21.设函数()2()11xf x eekx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行.（1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：22c c ab a c c ab -<<+-2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. {}2x x >- B. {}22x x -<<C. {}22x x -≤<D. {}2x x <【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2.若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．3.定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.4.抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ---=【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A .【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.2550100,,777B.252550,,1477C.100200400,,777D.50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D .【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6.若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．8.已知,x y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32yx--的取值范围为（）A.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. (1,2]C. (,0][2,)-∞+∞U D. (,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】【分析】设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)x y到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)P x y到点(2,3)D的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D的直线平行于x轴时，此时32ykx-==-成立；32ykx-=-取所有负值都成立；当过点A时，32ykx-=-取正值中的最小值，1(1,1)xAx y=⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212ykx--===--；故32yx--的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．9.已知点(3,0),(0,3)A B-，若点P在曲线21y x=--上运动，则PAB△面积的最小值为（）A. 6B. 3C.93222- D.93222+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线21y x=--表示以原点O为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB的方程为30x y-+=，可得||32AB=，由圆与直线的位置关系知P在(1,0)-时，P到直线AB距离最短，即为22=，则PAB△的面积的最小值为132232⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.173B.32C.53D.102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A.94B. 5C.54+ D. 9【答案】A 【解析】 【分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.12.已知函数())f x x R =∈，若关于x 方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）A. 1)B. (C. (11,1)e+D. 1() 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xx f x e =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()xx f x e-=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故()21,1e m +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题（共4小题）13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -= ，解得2r =所以系数225240C ⨯=【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.【答案】-3 【解析】 【分析】根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅u u u r u u u r的值．【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，∴()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()AB AD AD AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22AD AB =-u u u r u u u r＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______. 【答案】29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积. 【详解】解：AB BC ⊥Q ,3AB =，4BC =222AC AB BC ∴=+, 5AC ∴=，设球O 1的半径为r ，由题得11345)3422r r r ++=⨯⨯（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.所以球2O的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】由题意可得112(2)n n a a n +--=…，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.【详解】解：∵12n n a n a +=-，∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知函数21()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）32【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值.【详解】解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）ABC V 中，c =，()1sin 6f C C π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴3c π=.由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-…，当且仅当a b =时，取等号， 即ab 的最大值为3.再根据11sin 223ABC S h ab π==⋅V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．18.如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为2,2,1)n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PAPB PO AB ∴⊥Q ＝，22AB ==，3PB AP ==Q 2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),2),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量.设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =r.则0,0PA n AC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC ==-u u u r u u u r，120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,.n m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取2l =，则2,2,1)n =r . cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r 22222202120110010221⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --Q 为锐二面角，∴二面角C PA B --10【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒） 1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y r u r，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==u r ，由公式0.98r ==≈，0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:, ，()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题. 20.设椭圆()22221,0x ya b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ． （Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u r,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．【答案】（Ⅰ）2,2a b ==（Ⅱ）证明见解析．【解析】由222a b c -=与2a e c ==222a b =， 12220022F a F a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为2x a =． 设))1222M a y N a y ，，，， 则112232222F M a y F N a y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，由120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 212302y y a =-＜． ① （Ⅰ）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r22132252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ② 2222252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，故2,22a b === （Ⅱ）()2222212121212121222246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=， 当且仅当126y y =-=或216y y =-=时，MN 取最小值62a ，此时，()()12121212,,0222F M F N a y y y y F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．21.设函数()2()11x f x e e kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行.（1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.【答案】（1）1k =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.（2）变形得到-2(1)1ln x e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.【详解】（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x e e x x x +>--， 令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=，当2(0,)x e -∈时()0h x '>，2(,)x e -∈+∞时()0h x '<. ∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，而函数-2()(1)x F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2()(0)(1)F x F e ->=+， ∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，即2(1)1ln x e e x x x -+-+>-，∴()()f x g x >恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ= （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.【答案】（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程. （2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值.【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=， ∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=； （2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①， 将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =，∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >).（1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：c a c <<+【答案】（1）+a b .（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.【详解】（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-„时取等号，∴()f x 的最小值M a b =+；（2）证明：依题意，20c a b >+>，要证c a c <<+||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。

2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．（5分）已知集合{|(2)}A x y lg x ==-，集合1{|24}4xB x =剟，则(A B =I )A ．{|2}x x -…B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -<„D ．{|2}x x <2．（5分）若复数22()1a iR iα+∈+是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）定义运算：,(),()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩⊗„，则函数()12x f x =⊗的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A 、B 两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为( ) A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=5．（5分）在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗10=升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？( ) A ．257，507，1007B ．2514，257，507C．1007，2007，4007D．507，1007，20076．（5分）若p是q⌝的充分不必要条件，则p⌝是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为()A．4B．5C．6D．78．（5分）已知x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32yx--的取值范围为()A．3[2，4]B．(1，2]C．(-∞，0][2U，)+∞D．(,1)[2-∞U，)+∞9．（5分）已知点(3,0)A-，(0,3)B，若点P在曲线21y x=--上运动，则PAB∆面积的最小值为()A．6B．93222C．3D．9322210．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF FB⊥，||3||CF FB=，则双曲线Γ的离心率是()A17B．32C．53D1011．（5分）已知22log(217)y x x=-+的值域为[m，)+∞，当正数a，b满足2132ma b a b+=++时，则74a b+的最小值为()A ．94B ．5C ．522+ D ．912．（5分）已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．2(1,1)e+ B ．2(0,)e C ．1(1,1)e+D ．2(,1)e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（5分）252()x x+的展开式中4x 的系数为14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =．则AC BD u u u r u u u rg 的值为 ．15．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q ．若AB BC ⊥，3AB =，4BC =，则球2Q 的表面积为16．（5分）在数列{}n a 中，11a =，12n n a n a +=-，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．（12分）已知函数231()cos ,()22x f x x x R =+-∈． （1）当[0x ∈，]π时，求函数的值域；（2）ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且3,()1c f C ==，求AB 边上的高h 的最大值．18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，3PA PB PC ===，2CA CB ==，AC BC ⊥． （1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值．19．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（Ⅰ）求y 与x 的相关系数r （精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：||0.75r …时，可用线性回归方程模型拟合）； （Ⅱ）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211()()ni ii n ni i i i x ynxyr x nx y ny ===-=--∑∑∑（2）81347i i i x y ==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑178542.25≈20．（12分）设椭圆22221x y a b+=，({0})a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，右准线为l ，M ，N 是l 上的两个动点，120F M F N =u u u u r u u u u r g （Ⅰ）若12||||25F M F N ==u u u u r u u u u r，求a ，b 的值；。

2020届云南省曲靖一中高三二模（理科）数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <2．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,777 6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A ．4B ．5C ．6D ．78．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤⎩，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞9．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+10．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．211．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5C ．54+ D ．912．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1)B ．(C ．(11,1)e+D ．1()+第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．252()x x+的展开式中4x 项的系数为_______．14．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______.16．在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____.三、解答题17．已知函数21()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；（2）ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.18．如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值.19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix y nx yr -=∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑20．设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=． （Ⅰ）若1225F M F N ==,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +与12F F 共线．21．设函数()2()11xf x eekx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行. （1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.22．已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 23．已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：c a c <<参考答案1．C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标. 【详解】因为222()(1)1(1)1(1)(1)a i a i i a a i i i i ++-==++-++-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 所以2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A. 4．A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A . 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系． 5．D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D . 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题 7．B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出，故选B ． 8．A 【解析】 【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 与点(2,3)D 连线的斜率，利用数形结合即可得到答案. 【详解】 设32y k x -=-，(,)P x y ，(2,3)D ，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：显然DO DA k k k ≤≤，由1x x y =⎧⎨+=⎩，得(1,1)A - 所以3(1)421DA k --==-，又32DO k =，所以33422y k x -≤=≤-故选：A . 【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键． 9．B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为=则PAB △的面积的最小值为132⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得． 10．D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．A 【解析】 【分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xf x e =，故'()f x =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且122f e⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；当0x <时，()xf x e=，'()0f x =<，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则10122m f e ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故2()1,1em +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 13．40 【解析】 【分析】根据二项定理展开通项10352r r rC x -，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得2510355()()22r rr r r r C x C x x--= 所以1034r -= ，解得2r所以系数225240C ⨯=故答案为：40 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 14．-3 【解析】 【分析】根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅的值． 【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，∴()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+()()AB AD AD AB =+⋅-22AD AB =-＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 15．29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积. 【详解】 解：AB BC ⊥,3AB =，4BC =222AC AB BC ∴=+,5AC ∴=，设球O 1的半径为r ，由题得11345)3422r r r ++=⨯⨯（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.所以球2O的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π 【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 16．,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】由题意可得112(2)n n a a n +--=，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.【详解】解：∵12n n a n a +=-，∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-， ∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式． 17．（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）32【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值. 【详解】解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 2222226x x f x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）ABC 中，c =()1sin 6f C C π⎛⎫==+⎪⎝⎭∴3c π=.由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-，当且仅当a b =时，取等号，即ab 的最大值为3.再根据11sin 223ABCSh ab π==⋅，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．18．（1）证明见解析（2）5【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为(2,2,1)n =，计算夹角得到答案. 【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PA PB PO AB ∴⊥＝，2AB ==，PB AP ==1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量. 设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =.则0,0PA n AC n ⋅=⋅=，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC =-=-，10,10.m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩,2.n m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取l =，则(2,2,1)n =. cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===. C PA B --为锐二面角，∴二面角C PA B --【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果； （2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫⎪⎝⎭,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.98r ==≈，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20．（Ⅰ）2,a b ==（Ⅱ）证明见解析． 【解析】由222a b c -=与2a e c ==，得222a b =，1200F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为x =．设))12My Ny ，，，，则112232222F M a y F N a y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由120FM F N ⋅=得 212302y y a =-＜． ①（Ⅰ）由1225F M F N ===， ②= ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，故2,a b === （Ⅱ）()2222212121212121222246MNy y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，MN ， 此时，()()1212121232222,22,0222F M F N a y a y a y y a F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故12FM F N +与12F F 共线．21．（1）1k =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.（2）变形得到-2(1)1ln xe e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明. 【详解】（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=， 当2(0,)x e -∈时()0h x '>，2(,)x e -∈+∞时()0h x '<. ∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+， 而函数-2()(1)x F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2()(0)(1)F x F e ->=+， ∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，即2(1)1ln x e e x x x -+-+>-，∴()()f x g x >恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.22．（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程.（2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值.【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=， ∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=； （2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t 是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =，∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t 的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.23．（1）+a b .（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.【详解】（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+，当且仅当()()0x a x b +-时取等号，∴()f x 的最小值M a b =+；（2）证明：依题意，20c a b >+>，要证c a c <<+||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。