抛物线的简单几何性质教案

《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。

本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。

通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。

（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。

学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。

（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。

二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。

三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。

只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。

难点：抛物线的简单几何性质的应用。

要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。

四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

《抛物线的简单几何性质》公开课教案一、三维目标：1、知识与能力:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，2、过程和方法:（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；（2）训练自己用坐标法解题的能力；3、情感态度与价值观:（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。

（2）培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

二、教学重难点：1、教学重点：抛物线的几何性质及其运用2、教学难点：抛物线几何性质的运用三、教学过程：（一）、复习引入：1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的图象与表示形式：3、学生探究活动：回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时是从哪几个方面研究的？有哪些性质?抛物线呢?简单几何性质：（1）范围，（2）对称轴，（3）顶点，（4）离心率。

（二）新课讲授：1、建构数学归纳：抛物线的几何性质列表如下：程标轴 轴 轴 轴项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为 （2p，0）和准线方程为x = 2-p 。

2、（学生活动一）问题2：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个量a,b 。

（1）、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线（2）、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线（4）、抛物线的离心率是确定的,为1; 问题3：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口有何影响?“P越大,开口越开阔”拓展：（1）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。

《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。

2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。

3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。

（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。

2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。

（2）与抛物线相关的综合问题。

三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。

五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。

同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。

抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。

培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。

（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。

抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。

二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。

然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。

2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。

抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。

2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。

2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。

2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。

2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。

3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。

3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。

3.3性质3：抛物线的对称性。

教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。

学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。

4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。

教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。

然后让学生自主计算，并核对答案。

4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。

我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。

而因为，且，所以。

【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。

问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。

教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。

教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。

点F叫做焦点．．，l叫做准线。

．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。

直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。

三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。

2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时）主备教师：周雷凤辅备教师：马能礼一、内容及其解析本次课学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关本节课要键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出抛物线的性质。

学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。

由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。

是抛物线的核心内容。

教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。

二、目标及其解析1、目标定位（1）了解抛物线的几何性质；（2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．2、目标解析（1）是指：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．（2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程及轨迹方程等.三、问题诊断分析在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。

要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。

四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。

因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。

五、教学设计过程第一、二课时复习：问题1：抛物线的概念？抛物线标准方程有哪几种？他们的形式是怎么样的？（设计意图：让学生先回顾抛物线概念和标准方程，为探究抛物线性质做好准备）自学阅读教材第6869P P -页，完成下列问题： 1． 抛物线的几何性质:互学、导学问题一 抛物线的几何性质有哪些？（设计意图：让学生充分认识抛物线） （师生活动：结合图像，各组研讨，最好教师归纳小结）问题1：类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？问题2：类比抛物线y 2＝2px (p >0)，抛物线y 2＝－2px (p>0)、x 2＝2py (p>0)、x 2＝－2py (p>0)的性质如何呢？问题3：通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？答：求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p .例 1 （教材68P 例3）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程.【方法归纳】(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．变式训练1：若y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则P 的坐标为 ( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 解：由知， P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，问题二 抛物线的焦点弦问题（设计意图：让学生了解焦点弦的重要性，体现团结合作的智慧） （师生活动：小组讨论分析、总结答案，教师归纳结论） 问题1：什么是抛物线的焦点弦？过焦点的弦长如何求？解：抛物线y 2＝±2px (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值.问题2：抛物线的通径是什么？例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（类似教材73P 习题2.4第5题）(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【归纳方法】(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．变式训练2：（教材69P 例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.问题三 探究和抛物线有关的轨迹方程（设计意图：让学生学会简单轨迹方程的求法） 问题1：怎样判断一个动点的轨迹是抛物线？ （师生互动：小组讨论得出结论，教师补充）答：(1)如果动点满足抛物线的定义，则动点的轨迹是抛物线；(2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式，则该动点的轨迹是抛物线．例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)．动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y )．因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0，因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线． 【方法归纳】求解圆锥曲线的轨迹方程的方法：一是代数法：建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理，简称“建设限代化”；二是几何法：利用曲线的定义、待定系数．但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件，防止重、漏解．变式训练3：（教材74P 习题2.4 B 组第1题）从抛物线()220y px p =＞上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？（()2102y px p =＞） 六、小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 七、目标检测（检学）教材72P 练习第1、2、3题 八、配餐作业A 组1．抛物线y ＝mx 2 (m <0)的焦点坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14mC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14m2.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y 2=8x 的准线是x=-2,由条件知P 到y 轴距离为4,所以点P 的横坐标x P =4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.3.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(B ) A.2B.2C.4D.2【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y 2=4x.因为点M(2,y 0)在此抛物线上,所以=8,于是|OM|==2B组4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，x A＋p2＝|AF|，∴x A＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，从而|BF|＝|AF|＝2.5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=, 所以B点到准线的距离为+=p=.C组6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为. 4【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,所以PM垂直抛物线的准线,设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,F(1,0),所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,所以等边三角形边长为4,其面积为4.7.（选作）设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标.【解析】由y2=4x,知F(1,0),因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),则=(,y),=(1-,-y).代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).九、教后反思第三、四课时（习题课）一、复习提问：其中()00,P x y 为抛物线上任一点. 二、评讲配餐作业4—7题 三、典例分析题型一 抛物线的几何性质例题1（《学乐时空》第41页） 变式训练1 （《学乐时空》第4142页练习1与练习2） 题型二 抛物线的几何性质的应用例题2（《学乐时空》第42页例题1） 变式训练2 （《学乐时空》第41页练习3\4\5） 题型三 抛物线的几何性质焦点弦例题3 （《学乐时空》第44页例题1） 变式训练3（《学乐时空》第44页练习1、2） 题型四 直线与抛物线的位置关系例题4 （《学乐时空》第45页例题2） 变式训练3（《学乐时空》第42页练习3、4、5） 四、课后作业完成1.《学乐时空》第43页的知识激活部分； 2．《学乐时空》第46页的知识激活部分.。

抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。

2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。

3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。

教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。

2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。

3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。

步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。

b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。

d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。

步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。

2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。

步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。

2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。

3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。

步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。

2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。

教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。

2. 抛物线的图像和实例题目。

教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。

2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。

2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。

备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。

抛物线的简单几何性质教案教案：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本性质；2.掌握抛物线的几何特征，如顶点、焦点和准线等；3.能够在实际问题中应用抛物线的几何性质。

二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、白板、粉笔/白板笔；2.学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。

三、教学过程：1.导入（10分钟）：教师向学生介绍抛物线的定义，即平面上离一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）的点的轨迹。

2.探究抛物线的性质（30分钟）：a)定义性质教师和学生一起探究抛物线的核心性质：(1)焦点离抛物线准线的距离等于焦点离顶点的距离；(2)抛物线关于准线对称；(3)抛物线拱点所在的直线过抛物线的焦点。

b)几何特征(1)顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的对称中心。

(2)焦点：焦点是抛物线离心率的定位点，也是抛物线的最高点或最低点离焦点最近的点。

(3)准线：准线是与抛物线平行且位于焦点上方的一条水平线。

c)抛物线方程教师给出标准抛物线方程y = ax² + bx + c，并与学生一起通过几何特征推导出方程的性质，如顶点坐标、焦点坐标、离心率等。

3.练习与应用（40分钟）：a)练习题学生完成一些关于抛物线的基本计算练习题，以加深对抛物线几何性质的理解。

b)实际应用学生在教师的指导下，应用抛物线的几何性质解决一些实际问题，例如求解最优路径、抛物线天花板设计等。

4.小结与评价（10分钟）：教师对本节课内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。

四、教学反思：通过本节课的教学活动，学生可以深入了解抛物线的几何性质，并能够应用这些性质解决实际问题。

为了培养学生的实际应用能力，教师可以增加更多的实际应用案例，并提供丰富的练习题目供学生练习。

为了提高教学效果，教师还可以在课堂中使用多媒体教学工具，如电子白板或投影仪，展示抛物线的几何特征和应用案例的图像。

在教学过程中，教师应该多与学生进行互动，引导学生发现问题并提出自己的解决思路。

抛物线的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．下面我们根据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探索研究】1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：由求出的标准方程，变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是m，跨度是m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．(要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3．4．5．6．9，。

抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。

它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。

本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。

一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。

2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。

(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。

(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。

(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。

二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。

2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。

(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。

(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。

(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。

(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。

(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。

3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。

(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。

三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。

《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。

过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。

情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。

（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。

（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。

（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F→焦点，直线L→准线。

2、抛物线的标准方程。

图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。

问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。

解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。

老师展示结论。

提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。

展示解题过程。

抛物线的定义及标准方程由学生口述。

抛物线的简单几何性质优秀教案
引言
本教案旨在引导学生了解和掌握抛物线的简单几何性质，并通过实例与练加深对抛物线的理解。

通过本教案的研究，学生将能够掌握抛物线的形状、焦点、顶点等关键特征，并能够应用这些知识解决一些简单的几何问题。

教学目标
通过本课程的研究，学生将能够：
1. 了解抛物线的定义和基本性质；
2. 理解抛物线的形状、焦点和顶点的关系；
3. 运用抛物线的性质解决一些简单几何问题。

教学重点
抛物线的形状、焦点和顶点的关系。

教学内容
抛物线的定义
抛物线是平面上一条曲线，其定义为到定点的距离等于到定直线的距离。

抛物线的形状
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线。

当抛物线的开口朝上时，曲线呈现U形；当抛物线的开口朝下时，曲线呈现∩形。

抛物线的焦点和顶点
抛物线的焦点是定点，定直线是抛物线的对称轴。

抛物线的焦点和顶点位于对称轴上。

抛物线的关键性质
抛物线的焦点和顶点之间的距离称为焦距。

抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到对称轴的距离相等。

教学步骤
1. 引入抛物线的定义和基本性质；
2. 通过实例展示不同形状的抛物线及其焦点、顶点的位置；
3. 解释抛物线焦点和顶点的关系；
4. 进行练，让学生应用抛物线的性质解决几何问题；
5. 总结抛物线的简单几何性质。

教学工具
1. 抛物线模型或示意图；
2. 几何练题。

教学评估
通过学生的研究表现和解决几何问题的能力，评估学生对抛物线的简单几何性质的掌握程度。

参考资料。

3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。

以下是本节的课时安排：学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方程（一）新知导入已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.(2)关于x轴对称．（二）抛物线的几何性质知识点一抛物线的几何性质◆抛物线的几何性质向右向左向上向下【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一;次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(23，－2 )，则抛物线的标准方程是()A．y2＝－6x B．x2＝－4yC．x2＝－6y D．x2＝6y解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．23，－2在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.因为点P()∴抛物线的标准方程为x2＝－6y.答案：C知识点二 抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k 的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，你能想到哪些求弦长|AB |的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式； 法二：利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|； 法三：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ◆焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .【做一做2】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[分析] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[解析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3. 由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【类题通法】根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．【巩固练习1】1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3， ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.2.已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ∵抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，∴△ABO 为等腰三角形． ∴A 、B 两点关于x 轴对称． 设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF ⊥OA . 则k BF ·k OA ＝－1，即－y 0－0x 0－p 2·y 0x 0＝－1.又∵y 20＝2px 0，∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝5p2. 2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A 、B ， 求证：OA ⊥OB .[分析] (1)可转化为点P 到准线的距离． (2)OA ⊥OB ⇔OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. [解析] (1)解：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离， ∴4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0，Δ>0，∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A 、B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA→⊥OB →，即OA ⊥OB . 轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l ，与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则下列直线l 的方程满足条件的是( )A ．y ＝1B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －2y ＋4＝0解析：由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 的方程为y ＝1.当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．当Δ＝0时，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． 此时直线l 的方程为y －1＝－1(x ＋2)或y －1＝12(x ＋2) 即x ＋y ＋1＝0或x －2y ＋4＝0. 答案：ACD2.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴p2＝1，p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2， 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝4x ， 消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.3. 抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．[解析] 如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .【类题通法】1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦．2．对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线焦点弦的许多性质，应用起来非常方便．如图，已知线段AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线AC ，BD ，垂足分别为点C ，D ，点M 为线段AB 的中点，点M ′为线段CD 的中点．(1)几何性质①以过焦点F 的弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点M ′，∠AM ′B＝90°；②以线段CD 为直径的圆与弦AB 相切于点F ，∠CFD ＝90°；③通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦．(2)代数性质①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p (定值)．【巩固练习3】如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB 的长．[解析] (1)由焦点F (1,0)，得p 2＝1，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l 的方程为y ＝43(x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝43(x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254.所以，线段AB 的长为254.（四）操作演练 素养提升1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC．y2＝±36x D．y2＝±33x3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．2194．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。