第三讲量率对应问题

新 福 克 斯 （New Focus ） 教 育——国 才 奥 数 六 年 级 数 学 培 优 班 讲 义秋季六年级数学培优讲义10、解决工程问题（2）名人名言：我从来不认为半小时是微不足道的很小的一段时间。

——达尔文一、知识导入“1”的量×分率=分率的对应数量 对应量÷数量的对应分率=单位“1”的量 二、例题探究例1甲乙两家人合买一箱水果，甲家分了其中的52还多3千克，，乙家分了其中的一半，问买的这箱水果共有多少千克？举一反三1.学校在花坛边修一条路，预计三天修完，第一天修了总长的31，第二天比第一天多修了5米，还剩下15米，这条路的长度为多少米？2.张明看一本故事书，每天 看30页，3天后还剩下全书的85没有看。

这本故事书共有多少页？例2 一篓苹果分给甲乙丙3人，甲分得全部苹果的51加5个苹果，已分得全部苹果的41加7个苹果。

丙分得全部苹果的41加7个苹果。

丙分得全部苹果的81，正好和剩下的苹果相等。

这篓苹果有多少个？举一反三3.乙堆橘子。

第一次卖出了72，第二次卖出的比第一次多3千克，两次一共卖出了27千克，这堆橘子原有多少千克？4.有一个蓄水池，第一天放出了60吨水，第二天放出了65吨水，剩下的水比原来的这池水的41少5吨，原来水池有多少吨水？例3某工厂计划生产一批零件，第一天完成计划的21，第二天完成计划的52，第三天完成480个，结果超过计划的103。

计划生产零件多少个？举一反三5.食堂有一批大米，用去总重量的32后，又运进2600千克，现在所存大米比原来还多51，现在食堂存的大米有多少千克？6.一堆砖，用去它的103后，又增加了340块，这时砖的总块数比原来没有用时的块数多81，原来有多少块砖？例4.有大小两只鸡笼。

小笼里的鸡比大笼里的鸡少18只。

如果从小笼里拿出6只放进大笼里的鸡的只数相当于大笼的74，求原来大小鸡笼内各有多少只鸡？举一反三7.甲乙两个仓库存放一批化肥，甲仓库比乙仓库多120袋，如果乙仓库搬出25袋放进甲仓库，乙仓库的化肥的袋数就是甲仓库的53，甲乙两仓库原来各有化肥多少袋？8.某车间三个小组共做了一批零件，第一小组做了总数的72，第二小组做了1600个零件，第三小组做的零件数是一二两个小组总和的21。

量率对应引导题量，就是对应分率所对应的具体事物的数量；分率，就是量跟总量的比，或者说是量相对于单位“1”的份数比如图，我们把一个12千克重的西瓜3位小朋友，单位“1”分率1/3 分率1/2 分率1/612千克 4千克 6千克 2千克单位“1”量 1/3对应的量 1/2对应的量 1/6对应的量从上图我们不难看出，单位“1”对应的量是总量，我们规定为单“1”量。

请同学们完成：1.把西瓜平均分成三份，取出其中的2份，这2份对应的量是（）千克。

这2份西瓜的量对应的分率是（）。

2.如果把西瓜平均分成6分，，取出其中的5份，这5份对应的量是（）千克。

这5份西瓜的量对应的分率是（）。

总结：从上面我们可以看出，分率、和分率对应的量，是两个不同的概念，分率是取出的份数与总分数的比，也就是我们平时说的分数。

每一个分数相对于单位“1”量来说，总有一个一定的量和它相对应，这时我们就说，这个分数，是它对应量的分率，这个量，就叫做这个分率所对应的量。

3、单位“1”，单位“1”量，分率和分率对应量之间存在密切的关系，弄清这个关系，对我们今后学习分数应用题大有好处。

思考1），如果我们知道单位“1”量、分率，求分率对应的量如何求？例一，见龙小学六年级甲班共33人，女生人数是全班人数的4/11，问女同学有多少人？解题思路：把33人，分成11分，每份33÷11=3（人），四份：3×4=12（人）。

综合算式：33÷11×4=12（人）我们可以把上式转化成：33×（4÷11）=12（人）不难看出，4÷11，其实就是4/11.所以，我们今后只要知道单位“1”量，求它的几分之几，只要拿单位“1”量乘以分率就行了。

总结；求一个数（单位“1”量）的几分之几是多少，用乘法。

2）如果，我们知道分率和分率对应的量，求单位“1”量怎么求？例题、一个西瓜5/6是10千克，问这个西瓜重多少？思路：西瓜的一份是2千克，总共是6份，那6份重是2×6=12千克列式：10÷5×6=12千克即为：10÷（5/6）=12千克不难看出，上式即为，用分率对应的量除以对应的分率，就求出单位“1”的量了总结；已知一个数（单位“1”量）的几分之几是多少，求这个数用除法。

第七专题 量率对应专题精悉 解答分数应用题，首先要确定单位“1”。

的单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种对应关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。

求一个数的几分之几是多少时，应用的关系式为：单位“1”×分率=对应数量。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，应用的关系式为：对应数量÷对应分率=单位“1”基础提炼例1 张明看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的85没有看，这本故事书共有多少页？解析 求总页数的关键是在确定全书总页数为单位“1”后，找到已看的页数相当于总页数的几分之几。

从题中看出，已看的页数为30×3=90（页），已看了全书的1—85=83，所以90页与全书的83对应，这样便可求出全书的总页数。

30×3÷（1—85）=90÷83=240（页）。

例2 有两只桶共装油44千克，若第一桶里倒出51，第二桶里倒进2.8千克，则两桶内的油相等，原来每只桶各装油多少千克？解析 把第一桶油的重量看作单位“1”，若第一桶油倒出51，第二桶油倒进2.8千克则两桶油相等，也就是说第二桶油倒进2.8千克后，第二桶油相当于原来第一桶油的1—51=54，这样（44+2.8）千克就和（1+54）相对应，用除法可以先求出第一桶原有油的重量，再求出第二桶内原有油的重量。

第一桶油重量：（44+2.8）÷[1+(1—51)]=46.8÷154=26（千克）。

第二桶油重量：44-26=18（千克）。

模仿训练练习1 某小学学生中83是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？练习2 某饲养场有改良羊和牛共160头。

一次卖出羊总数的101，又买来30头牛，这时羊和牛的头数相等，求原来羊和牛各有多少头？巩固训练习题一 一瓶油第一次吃去51，第二次吃去余下的43，这时瓶内还有51千克，这瓶油原来有多少千克？习题二 某小学六年级选出男生的111和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的2倍，已知这个学校六年级共有156我，男、女生各有多少人？拓展提高习题一 食堂有一批大米，用去总量的32，又运进260千克，现存大米比原来还多20%，现存大米多少千克？习题二 水泥公司生产的水泥存放在两个仓库里，第一仓库存放水泥占总数的56%，如果从第一仓库调6顿到第二仓库，这时两个仓库存放的水泥相等，求两个仓库共存放水泥多少吨？习题3 新民小学的男生比全校学生总数的74少25人，女生比全校学生总数的94多15人。

量率对应基础在前两讲中，分数是作为一个量出现的，但是分数不仅仅只表示量，还可以表示率（分率），例如：13的25是215，此中13、25和215都是分数，但表示的意义却不相同，13是量，代表的是总量，215也是量，但表示的是分量，而25表示的是率（分率），代表的是分量（215）占总量（13）的25（对应比率）。

总结下来就是公式：单位“1”的量=对应分量对应分率在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：1).如何求一个数的几分之几？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就可以得到。

例如：求5的25是多少？解答：25=25⨯。

2).如何求一个数是另一个数的几分之几？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就可以得到。

例如：求23是34的几分之几？解答：2324834339÷=⨯=。

3).已知一个数的几分之几，如何求这个数？要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几就可以得到。

例如：一个数的23等于18，那么这个数等于多少？解答：2318182732÷=⨯=。

第三讲 量率对应初步【例题1】【基础、提高】（1）一根绳子对折3次，每一小段是这根绳子的______（2）六（1）班有15名学生参加科技组，参加美术组的学生人数是参加科技组人数的45，参加合唱组的学生人数是参加美术组人数的23，参加合唱组的有_____名学生。

【尖子】公园内有一个湖泊，其余为绿地、建筑物和道路，已知公园面积是2 1 5平方千米，绿地面积为公园的23，建筑物和道路的占地总面积为公园面积的118，问湖泊的面积是______平方米【例题2】【基础、提高】（1）一堆煤重1202吨，21天烧完，每天烧______吨，每天烧这堆煤的______（填几分之几）。

（2）一商品原价500元，降价100元出售，则实际上是按照原价的______折出售的。

【尖子】（3）某班男生人数的12是女生人数的23，那么男生人数是全班人数的_____（填最简分数）【例题3】【基础、提高】（1）2004年雅典奥运会，中国共获得金牌32枚，占金牌总数的32301，那么雅典奥运会金牌总数是______枚。

第五讲奥数精练之量率对应一、学前回顾甲、乙两人从两地出发，相向而行。

甲走完全程需2小时，乙走完全程需3小时，两个相遇时甲比乙多走445千米，求两地之间的距离。

二、兴趣导入一辆车从甲地开往乙地需要12小时，如果将速度提高20％，能提前几小时到达？三、方法培养对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。

所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。

1.量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对应关系是解答分数应用题的关键。

（1）求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量×分率=对应数量。

（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量÷对应分率=单位“1”的量。

2.对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。

我们可以通过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。

四、巩固训练例1．王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的47，第二天做了余下的35，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？拓展一某小学学生中的38是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？拓展二小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的18多16页；第二天看的页数比总页数的1216少2页，还余下88页。

这本书共有多少页？拓展三新生小学男生比全校学生总数的47少25人，女生比全校学生总数的49多15人，求全校总人数。

拓展四部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的38，第二次运来了50千克，这时，已运来的恰好是没运来的57，还有多少千克苹果没有运来？例2．小明有5盒奶糖，小强有4盒水果糖，共值44元。

如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。

一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？拓展一把105升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的12，或可灌满乙容器及甲容器的13。

推荐小学奥数问题精讲(精心整理) XXX奥数教学如何学好奥数？1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。

2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。

3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。

我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。

4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。

5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。

转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。

6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。

第一讲第一题：时钟问题有一个一直每小时快20秒，它3月1日中午12点准确，下一次准确的时间是什么时间？（5月30日12时）答：一圈快20x12=240秒=4分，一共要快几圈才会正好对准标准时间12x60÷4=180（圈），换算成是几日180x12=2160时=90日，3月1日中午12时+90日=5月30日12时第二题：几何问题如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．AB=BC=10，那么阴影局部的面积是几何？(圆周率取3.14)1 -答：第三题：和差倍问题答：假设杨树、柳树和槐树棵树分别为：a、b和c，由题意可得：易获得三种树分别为：825、XXX、315棵第四题：行程问题甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两头同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。

2019国家公务员考试行测技巧：“量”与“率”，你会分辨吗?小提示（Ctrl+鼠标左键或者右键打开链接）通过2019年宁夏公务员考试招录公告暂未发布，2018年宁夏公务员考试报名时间为：2017年11月17日9:00至22日16:00，笔试考试时间为：2017年12月10日，请各位考生安排好时间，一鼓作气！宁夏中公教育整理了2019国家公务员考试资料供考生备考学习。

各类公职考试中，行政职业能力测验是必考科目，而在言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析以及常识判断这五个部分中，资料分析因其列式较为简单，计算量略小，是广大考生拿分的部分。

但在一些资料分析的题目中，很多考生分不清楚比重的变化量和平均数的变化率这两个概念，下面中公专家就此问题进行详细解析。

一、概念区分1.比重的变化量指的是现期比重与基期比重做比较所变化的具体百分点。

需要注意的是因为比重为百分数，一般百分数之间不作比，只作差比较大小，所以比重的变化量是现期比重减基期比重所得。

2.平均数的变化率指的是现期平均数与基期平均数做比较所变化的百分数。

需要注意的是因为平均数为具体的数值，所以平均数的变化率是现期平均数与基期平均数作比而得，研究的是现期平均数相较于基期平均数的增长率。

二、公式比较比重的变化量= a/b- a(1+y%)/b(1+x%)平均数的变化率=( a/b)÷(a(1+y%)/b(1+x%))-1三、例题精讲例1：2014年湖南常德市主营业务税金及附加304.7亿元，同比下降4.9%，利润总额为486.4亿元，同比下降6.9%，2014年湖南省常德市主营业务税金及附加占利润总额的比重相比去年( )。

A.约上升1.2个百分点B.约上升1.8个百分点C.约下降1.2个百分点 D约下降1.8个百分点中公教育解析：由题目可知，数值为2014年的，而问题求与上年比较，所以求的是基期，又问比重与上年做比较，所以可判定，问题所求为比重的变化量，由公式可得304.7/486.4-304.7×(1-6.9%)/486.4×(1-4.9%)，计算可得结果约为1.2个百分点。

目录第一讲分数应用题 (1)第二讲百分数 (9)第三讲商业中的数学 (13)第四讲分数百分数巩固与练习 (19)第五讲工程问题（1） (25)第六讲工程问题（2）.............. . (29)第七讲比和比例............... .. (33)第八讲圆与扇形..................... .. (37)第九讲圆柱与圆锥 (43)第十讲用割补法求面积 (49)第一讲 分数应用题用分数来解答的应用题叫做分数应用题，与百分数有关的应用题叫做百分数应用题。

分数应用题有以下三种基本类型： 求一个数是另一个数的几分之几； 求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，他有其自身的特点和解题规律。

在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。

实际上分数（百分数）应用题涉及的知识面广，数量关系变化多端，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，通过分析推理，弄清量与分率的对应关系，将复杂的分数应用题转化为上述三种类型，然后依据有关的数量关系解答应用题。

在日常生活、生产当中会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。

这两讲我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律。

例1 新华书店运来一批图书,第一天卖出总数的81多16本,第二天卖出总数的21少8本,还余下67本。

这批图书一共多少本?分析：解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率。

从含有倍数关系的句子可以看出图书的总数为“单位1”。

现在找出题中所给的数量与“单位1”之间的关系，见线段图：从图中可以看出卖出总数的81和21后，余下的分率是1－81－21=83，与83相对应的数量是(67－8＋16)，从而可以求这批图书。

解答：(67－8＋16)÷1－81－21=200（本）答：这批图书共有200本。

说明：我们还可以通过另一种方法找出量率对应。

第三讲-量率对应初步（含作业解疑）2012-06-13 17:14:35| 分类：六年级零期班| 标签：量率对应初步|字号大中小订阅量率对应关系是解决分数应用题的一种技巧，这种方法将一个数看的比较透，一个（分）数除了表示具体的数值或者数量，还可以表示事物之间的关系（比较）。

一般而言我们把比较的对象看成“单位1的量（总量）”，被比较的对象看成“分量”，最后比较得出的结果看成“分率”。

因而量率对应就是要求我们同学们学会如何将量和率对应起来，从而利用公式进行巧妙的求解。

量率对应公式：如下图：其中课堂上我们要求我们掌握一些重点：1）能够根据题目条件和问题结论会找“单位1的量”，结合对应的量率公式的转化灵活求解；选择一个好的“单位1的量”，往往对题目的解答有很大的帮助。

“单位1的量”往往有一些特征，前面有一些字眼：“是”、“占”和“比”；有时“单位一的”比较多，需要进行取舍，这就要看同学们对题意的理解了；还有时“单位1的量”比较隐蔽，拿着需要去发现。

通过接下来的几道例题帮助大家来进行课后的巩固。

2）这节课的主要方法是采用“列算式”。

其实有的同学觉得使用方程是一个很方便的选择，没错；然在对这一节课的理解上我还是主张使用列算式，这需要我们同学们动一番脑筋的，正好也是个动脑的好机会。

另外对于一些题目，我们也从多个角度来探讨“方程”和“算式”两种方法的简便程度，从而大家选择一个自己喜欢的方法。

等到秋季班的学习中相信大家的理解会更深一层，到时大家应该能运用自如。

这节课有个难点：就是关于求“单位1的量”：已知分量差（分量和），需要我们找到对应的分率差（分率和），而后在进行求解。

注意点：这节课的学习希望大家就量率对应有个深刻的理解，从某种程度上来说，有点“照葫芦画瓢”。

对于下一讲的学习《比和比例》，我还是要求同学们根据自己的情况选择适合自己的方法，当然“方程”、“份数法”将会是下讲较好的办法。

【例1】1）18比16多几分之几？2）16比18少几分之几？【解析】：对于这类问题，首先我们要明确这一问题的答案肯定是不一样的，其次我们应该弄懂题目的问题：要我们求什么？很显然是：几分之几，那就是分率。

第三讲 分数应用题—— 量率对应1、填一填：（1）柳树的棵数是杨树的32，松树的棵数是柳树的21，松树的棵数是杨树的（ ）。

（2）甲数比乙数多52，乙数比甲数少（ ）。

5比4多（ ），4比5少（ ）。

6比（ ）少21（3）甲数的32等于乙数的65。

甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。

甲数是甲乙两数之和的（ ）。

乙数是甲乙两数之和的（ ）。

括号里填上分数。

2、判断：（1）两段一样长的绳子，第一段剪去全长的21米，第二段剪去全长的21，两段绳子剩下的一样长。

（ ）（2）两段都是长2米的绳子，第一段剪去全长的21米，第二段剪去全长的21，第一段剩下的长。

（ ）（3）甲是乙的43，则乙是甲的34。

（ ）（4）六（1）班的人数比六（2）班少121，则六（2）班的人数比六（1）班多121。

（ ）3、已知甲校学生数是乙校学生数的52，甲校女生数是甲校学生数的103，乙校男生数是乙校学生数的5021，那么，两校女生总数占两校学生总数的几分之几？量率对应1、五年级男生有50人，女生有40人． ⑴女生人数是男生人数的几分之几？⑵男生人数比女生人数多几分之几？⑶女生人数比男生人数少几分之几？⑷女生比男生少的人数是全班人数的几分之几？2、一个单位精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了几分之几？3、小静的书架上有三种不同种类的书，其中漫画书比故事书多2本，小说书比故事书少2本，已知故事书比小说书多41，那么漫画书比故事书多几分之几？4、一个水箱中的水是装满时的56，用去200立升以后，剩余的水是装满时的34，这个水箱的容积是多少立升？5、水果店卖出库存水果的五分之一后，又运进水果66000斤，这时库存水果比原来库存量多六分之一，原来库存水果多少万斤？6、迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机台．7、用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张?8、有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少120，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？9、一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果这8天每天看的页数相等，而且3天看的页数恰好是全书的522，这本书共有多少页？10、小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的25，还剩下30页，这本故事书有多少页？12、小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的15没看，这本故事书有多少页？13、某运输队运一批大米．第一天运走总数的15多60袋，第二天运走总数的14少60袋．还剩下220袋没有运走．这批大米原来一共有多少袋？14、京京看一本故事书，第一天看了全书的18还多21页，第二天看了全书的16少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？15、某工厂第一车间原有工人120名，现在调出81给第二车间后，这第一车间的人数比第二车间现有人数的76还多3名。

小学六年级分数问题之量率对应梳理知识点梳理要点： 一、设谁为单位“1”； 二、如何理解量率对应； 三、量率对应的公式；四、如何画图理解量率对应并使用量率对应公式； 五、如何列算式理解量率对应并使用量率对应公式； 字眼“是，占，比”后面，“的”前面的统统设为单位“1”。

一、设谁为单位“1”的技巧①字眼“是”后面，“的”前面的设为单位“1”1，甲是乙的72。

这里把谁看成单位“1”，另外一个可以表示成多少？解答：把乙看作单位“1”。

甲=乙×72=1×72=72。

2，小明是小军年龄的98。

这里把谁看成单位“1”，另外一个可以表示成多少？解答：把小军年龄看作单位“1”。

小明年龄=小军年龄×98=1×98=98。

3，小明很喜欢看课外书，周六看的页数是周日看的页数的54。

这里把谁看成单位“1”，另外一个可以表示成多少？解答：把周日看的页数看作单位“1”。

周六看的页数=周日看的页数×54=1×54=54。

4，中秋节放假天数是十一黄金周放假天数的73。

这里把谁看成单位“1”。

另外一个可以表示成多少？解答：把十一黄金周放假天数看作单位“1”。

中秋节放假天数=十一黄金周放假天数×73=1×73=73。

二、字眼“比”后面，“的”前面的设为单位“1”1，甲比乙大31。

这里把谁看成单位“1”，另外一个可以表示成多少？甲是乙的几分之几？解答：把乙看作单位“1”。

甲=乙×（1+31）=1×（1+31）=34。

2，中秋节放假天数比十一黄金周放假天数少74。

这里把谁设为单位“1”，另外一个可以表示成多少？解答：把十一黄金周放假天数看作单位“1”。

中秋节放假天数=十一黄金周放假天数×（1-74）=1×73=73。

3，第一单元测试后，小明数学分数比小军多51。

这里把谁看成单位“1”，另外一个可以表示成多少？小明数学分数是小军数学分数的几分之几？ 解答：把小军的分数看作单位“1”。

工程问题一、基本概念：工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

二、比例关系：工作总量相同，工作效率和工作时间成反比；工作时间相同，工作效率和工作总量成正比；工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。

三、基本公式：工作效率×工作时间=工作总量（请写出其他公式）。

解题思路：一般把工作总量看作单位“1”，表示出各个工程（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。

特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。

）四、常用方法：代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

五、变形应用：有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在完成任务，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”、“牛吃草问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

工程问题一．含义：在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题。

基本数量关系：工效×时间=工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。

四：基本思想：分做合想、合做分想。

五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。

二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。

第三讲 解答题的解法1．(2020·陕西理)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机 变量ξ的概率分布如下表：(1)求a 的值和ξ(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率．解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2. ∴ξ的概率分布为∴Eξ(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次；事件A 1表示“两个月内有一个月被投 诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得P (A 1)＝C 12P (ξ＝2)P (ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17. 2．已知向量a ＝(4cos B ，3cos 2B －2cos B )，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，1，f (B )＝a ·b .(1)若f (B )＝2，且0<B <π，求角B ；(2)若对任意的B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝a ·b ＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B＝2cos B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B ＝－2cos B ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＋3cos 2B＝2cos B sin B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 ∵f (B )＝2∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝1∵B ∈(0，π) ∴2B ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π3∴2B ＋π3＝π2∴B ＝π12.(2)由(1)知f (B )＝2sin(2B ＋π3)，又0<B <π2，∴π3<2B ＋π3<4π3，∴－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3≤1，∴－3<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3≤2，∵f (B )－m >2恒成立， ∴m <f (B )－2恒成立．∴m <－3－2，即m ∈(－∞，－3－2)．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列？请证明你的结论；(2)求S n 和a n ；(3)求证：S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 2n ≤12－14n .(1)解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 由已知得：S n －S n －1＝－2S n S n －1(*) 又∵a 1＝12，∴S n 与S n －1不可能为0. ∴(*)式可化为1S n －1－1S n＝－2，即1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，公差d ＝2. (2)解：由(1)知 1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝1a 1＋(n －1)·2＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12nn －1， ∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，－12n n －1n ≥2.(3)证明：由(2)知，S n ＝12n ，∴S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋132＋…＋1n 2≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11×2＋12×3＋ …＋1n n －1 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝14⎝⎛⎭⎪⎫2－1n ＝12－14n .∴S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .当且仅当n ＝1时等号成立．4．(2020·莱芜调研)设x ＝0是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e x(x ∈R )的一个极值点． (1)求a 与b 的关系式(用a 表示b )，并求f (x )的单调区间； (2)设a >0，g (x )＝－(a 2－a ＋1)e x ＋2，问是否存在ξ1，ξ2∈[－2，2]，使得|f (ξ1)－g (ξ2)|≤1成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋b ]e x由f ′(0)＝0，得b ＝－a ∴f (x )＝(x 2＋ax －a )e xf ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ]e x ＝x (x ＋a ＋2)e x令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－a －2由于x ＝0是f (x )极值点，故x 1≠x 2，即a ≠－2当a <－2时，x 1<x 2，故f (x )的单调增区间是(－∞，0]和[－a －2，＋∞)，单调减区间是(0，－a －2)当a >－2时，x 1>x 2 ，故f (x )的单调增区间是(－∞，－a －2]和[0，＋∞)，单调减区 间是(－a －2,0)．(2)当a >0时，－a －2<－2，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，因此f (x )在[－2,2]上的值域为[f (0)，max{f (－2)，f (2)}]＝[－a ，(4＋a )e 2] 而g (x )＝－(a 2－a ＋1)ex ＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34e x ＋2在[－2,2]上单调递减，所以值域是[－(a 2－a ＋1)e 4，－(a 2－a ＋1)]因为在[－2,2]上，f (x )min －g (x )max ＝－a ＋(a 2－a ＋1) ＝(a －1)2≥0所以，a 只须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋a 2－a ＋1≤1.解得0<a ≤2.即当a ∈(0,2]时，存在ξ1、ξ2∈[－2,2]使得|f (ξ1)－g (ξ2)|≤1成立．5．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 方法一：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解：C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．图(1)(3)证明：如图(1)，连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG 及∠BAG ＝90°知四边形ABEG 是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ， 因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，根据三垂线定理，BG ⊥ED . 又ED ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE . 由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE . 由(2)知CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE . 方法二：(2)由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．图(2)如图(2)，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以 射线AF 为 z 轴正方向，建立直角坐标系A —xyz . (1)证明：设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0，2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．所以，GH →＝(0，b,0)， BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →. 又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解：C 、D 、F 、E 四点共面． 理由如下：由题设知F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →. 又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面． (3)证明：由AB ＝BE ，得c ＝a ， 所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0. 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD .又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .6．已知过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，N 为弦AB 的中点．又函数y ＝a sin x ＋3b cos x 图象的一条对称轴的方程是x ＝π6.(1)求椭圆C 的离心率e 与直线ON 的斜率；(2)对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ(θ∈R )使等式OM →＝cos θ]＋OB →＋ sin θOB →成立．解：(1)因为函数y ＝a sin x ＋3b cos x 图象的一条对称轴的方程是x ＝π6，所以对任意的实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ，取x ＝π6，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，整理得a ＝3b . 于是椭圆C 的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 由a ＝3b ，知椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2，① 又椭圆C 的右焦点F 为(2b,0)， 直线AB 的方程为y ＝x －2b ，②把②代入①展开整理，得4x 2－62bx ＋3b 2＝0，③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1，x 2是方程③的两个不等的 实数根，由韦达定理，得x 1＋x 2＝322b ，x 1·x 2＝34b 2，④所以x 0＝x 1＋x 22＝324b ，y 0＝x 0－2b ＝－24b . 于是直线ON 的斜率k ON ＝y 0x 0＝－13.(2) OA →与OB →是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ使得等式OM →＝λ]＋OB →＋μOB →成立，设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标可得(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)， ∴x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2.又M 在椭圆C 上，代入①式，得(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，展开整理，得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2，⑤又∵x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b )＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.A ，B 两点在椭圆上，故有x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，代入⑤式化简，得λ2＋μ2＝1.由同角三角函数关系知道总存在角θ(θ∈R )使等式⎩⎪⎨⎪⎧λ＝cos θ，μ＝sin θ.成立，即OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．综上所述，对于椭圆C 上的任意一点M ，总存在角θ(θ∈R )使等式OM →＝cos θOA →＋ sin θOB →恒成立．。

七年级数学下册第三讲知识点本文将介绍七年级数学下册第三讲的知识点，主要包括三个方面：比例及其应用、单位换算和求平均数。

一、比例及其应用比例是指两个数或两个量之间的等量关系。

在比例中，一般用“:”或“/”表示，如3:5或3/5。

其中，前者表示“3比5”，后者表示“3除以5”。

比例中的四个数可以用“比例式”来表示，如a:b = c:d，其中a 和c称为“比例的前项”，b和d称为“比例的后项”。

在求解比例问题时，需注意“前项乘后项等于后项乘前项”的原则，即在已知一组比例的三个数时，可以求出第四个数。

比例的应用十分广泛，如商业中的利润、代价和售价之间的关系，物理中的速度、距离和时间之间的关系等。

因此，掌握比例及其应用是数学学习的基础。

二、单位换算单位换算是指在不同单位之间进行转换，并求得相应的等价数量。

常见的单位换算包括长度、重量、容积、时间等方面。

在进行单位换算时，需要掌握一些转换系数。

如长度单位换算中，1米=100厘米=1000毫米；重量单位换算中，1千克=1000克=1万毫克等。

掌握这些转换系数可以帮助我们轻松地进行单位换算。

对于不同的问题，需要选择适当的换算单位。

例如，对于一些大数量级的问题，可以使用科学记数法来简化计算。

此外，还需注意各种计量单位的大小关系，以免计算时出现错误。

三、求平均数平均数是指一组数的和除以该组数的数量所得到的值。

在实际应用中，求平均数可以帮助我们更好地了解数据的总体特征。

在计算平均数时，需要根据具体情况选择相应的方法。

针对小数的平均数计算，可以将小数转化为分数再进行计算；对于一些分布不均匀的数据，需要考虑到加权平均数的概念等。

值得注意的是，平均数只能反映数据总体的平均特征，但并不能代表任何一个具体数据。

因此，在使用平均数评价一组数据时，还需要结合其他数据进行综合评估。

四、总结本文主要介绍了七年级数学下册第三讲的知识点，其中包括比例及其应用、单位换算和求平均数三个方面。

这些知识点都是数学学习的基础，大家需要认真掌握，并在实际情况中加以应用。

蔚然教育一对一辅导授课教案学生：______ 科目：教师：______ 第___ 阶段第次课___年___月___日_点到_授课目标与考点、重、难点分析：一、如何分析量率对应问题？二、如何解决量率对应问题？授课内容：量率对应问题一、如何分析量率对应问题？1.量率对应问题有两点：（1）.找准单位“1”如：5.1班有女生16人，占男生的4/5单位“1”就是男生再如：华山冶炼厂有男工150人，是总人数的3/5.总人数是单位“1”总结：一般占、比、是这类字后的是单位“1”.。

（2）看好求谁如果单位一不知道，那就是求单位“1”。

用除法，对应量除以对应分率，得到单位“1”。

如：华山冶炼厂有男工150人，是总人数的3/5，总人数是多少？单位“1”不知道。

求总人数：150÷3/5=250（人）如果单位一已知，求其他量，用乘法。

如：华山冶炼厂有员工250人，男工占总人数的3/5，男女工各多少人？单位“1”就是总人数。

求男工：250×3/5=150（人）求女工：250-150=100（人）或250×（1-3/5）=100(人)二、如何解决量率对应问题？1、甲．乙两仓库存货吨数比为4：3，如果从甲库中取出8吨搬到乙库，则甲，乙两仓库存货吨数比4：5，甲仓库原存货多少吨？分析：从甲仓库取出8吨搬到乙仓库,甲仓库减少了8吨,乙仓库增加了8吨。

但是总题没有变化。

所以，把两个仓库的总量看作单位“1”。

（1）由甲．乙两仓库存货吨数比为4：3。

可知：甲原来占两个仓库总量的4/（4+3）=4/7乙原来占两个仓库总量的3/（4+3）=3/7（2）如果从甲库中取出8吨搬到乙库，则甲，乙两仓库存货吨数比4：5。

可知甲仓库现在存货占总量的4/（4+5）=4/9乙仓库现在存货占总量的5/（4+5）=5/9所以：两个仓库存货总量是8/（4/7-4/9）=63（吨）甲仓库原存货：63×4/7=36（吨）2、果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵树的1/3等于梨树棵树的4/9，问这两种果树各有多少棵？分析：题中的1/3是以苹果树为标准的，4/9是以梨树为标准量的，解题时必须统一成一个标准量。