福建省福州第一中学高三下期2月数学(理)试题word版含解析

一、单选题二、多选题1. 已知命题：命题: 则下列判断正确的是A ．是真命题B ．是假命题C ．是假命题D ．q 是假命题2.（ ）A．B．C．D．3. 已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）A ．b 与c 是异面直线B ．a 与c 没有公共点C．D．4.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．6.的展开式中的系数为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．257. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8.若复数，则（ ）A ．0B ．C．D．9. 已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）A．B．C．D．10. 一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A ，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为D ．甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为11.如果对定义在上的奇函数，对任意两个不相等的实数、，都有，则称函数为“函数”，下列函数为函数的是（ ）A．B．C．D．12.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ）福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷(1)福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷(1)三、填空题四、解答题A．B ．面积的最小值是C．D ．存在最小值13. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．14.已知函数其中．那么 的零点是_____；若的值域是 ，则c 的取值范围是_____．15. 已知函数是奇函数，则______．16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，.(1)求；(2)求的面积.17.为等差数列的前n 项和，已知.（1）求及；（2）设，数列的前n 项和为，证明：.18. 某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：生长指标值分组频数(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；(2)求这株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.①利用该正态分布，求；②若从试验田中抽取株小麦，记表示这株小麦中生长指标值位于区间的小麦株数，利用①的结果，求.附：.若，则，.19. 如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.20. 已知数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列前项和为，求证：．21. 如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角的余弦值．。

高三数学（理）综合测试（2）满分150分，考试时间110分钟一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分.1. 已知复数z 二色比（，为虚数单位），则其共辘复数7在复平而内所对应的点位于（）14-Z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 己知集合A = B = {X |X 2-6X + 8<O ],则AnC”B=（ ）A. {x x<0]B. |x|2<x<4]C. {xO<J ;<2^J U >4]D. {x|0<x<2^Kx>4]3.据统计，春季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布^（lOOO.lOO 2）,则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为（）卩A. 0.4987B. 0.8413C. 0.9772D. 0.9982附：若X~N （“Q 2）,贝IJ:P （“ -（7<X<// +（7）= 0.6826, P （“ -2cr< X <// + 2（7）= 0.9544P(“ 一 3<r v X 5 “ + 3cr) = 0.99744. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（）5. 已知函数 /（兀）二 A sin （砒+ 0）,其中 A>0, Q>0,贝 i] “/（0） = 0 ” 是 “ y 二/（兀）是 奇函数”的（）A.充分不必要条件 D. 102B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A.—兀B.—兀C. 4兀D. 5龙3 3x + 4y-13<07.已知变量x, y满足约束条件\x-2y-l<0，且有无穷多个点(x,y)使目标函数z二y + x fcc+y-4>0 取得最小值，则k=()A. 4B. 3C. 2D. 1&已知正三棱锥P-ABC中，E, F分别是AC, PC的中点，若EF丄BF , AB = 2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A. 4/rB. 8TTC. 6龙D・ 12龙9.己知两定点A(-2,0)和3(2,0),动点P(x9 y)在直线Z:y = x+3±移动，椭圆C以A, B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(), 2 4 一、2 4A. - <—B. - <—C. -D. --^=V26 V26 V13 V1310.已知函数/(x)= r zee，',x-°,其中£为白然对数的底数，若关于x的方程/(/(%)) = 0[-lnx,x > 0有且只有一个实数解，则实数d的取值范围为()A. (一8,0)B. (—oo,0)U(0,l)C. (0,1)D. (0,l)U(l,2)二、填空题：本大题共3小题，每小题5分.11.(2/+—=)7的展开式屮，常数项为 ____________ •12.已知向量方,万满足p| = |fe| = l,且阿+习=呵方一阀伙>0）,则向量方与向量方的夹角的最大值为_________ •13.在等差数列｛色｝中，⑦=5, %=21,记数列］丄［的前〃项和为S”，若S./I+1 - < —' 心_ 15对任意的斤w N*恒成立，则正整数加的最小值为___________ ・三、解答题:本大题共6小题，共85分.14.（本小题满分15分）在AABC中，角A、B、C 的对边分别为d、b、c,若B = 60°,且cos（B + C） = -—.14（1）求cosC的值；（2）若d = 5,求AABC的面积.15.（本小题满分15分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物（单位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+oo)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客屮购物款不低于100元的顾客占60%,据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）.（注：视频率为概率）.（1）试确定加/的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（2）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数§的分布列与数学期望.16.（本小题满分15分）已知斜三棱柱ABC-A,B｝C｝的侧而BB、C\C与底面ABC垂直，BB、= BC, ZB,BC = 60°,AB = AC, M是EG的中点.•4】(1)求证：AB JI平面\CM :(2)若人色与平面BB,C,C所成的角为45°,求二面角B的余弦值.17.(本小题满分15分)已知动圆C过定点M(0,2),且在兀轴上截得弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l:x-y-2 = 0上任意一点，过A做曲线C的切线，切点分別为P、Q, 求AAPQ 而积的最小值及此时点A的坐标.18.(本小题满分15分)已知函数f\x) = x+e~x.(1)讨论函数/(兀)的单调性，并求其最值；(2)若对任意的^G(0,+oo),不等式/(^) < or2 4-1恒成立，求实数Q的取值范K请考生在第19、20、21三题中任选一题作答•注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.19.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在AABC中，CQ是ZACB的平分线，ZACD的外接圆交BC于点£, AB = 2AC.(1)求证：BE = 2AD；(2)当AC = 1, EC = 2时，求AD 的长.20.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程, [X =4COS6Z#十在平面直角坐标系兀Oy中，已知椭圆C的参数方程为彳. (Q为参数)，在以原点O[y = 2sina为极点，兀轴的正半轴为极轴的极坐标系屮，直线/的极坐标方程为術+ 2psin(&-彳)= 0.(1)求椭圆C的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)若椭圆C与直线/相交于A、B两点,求\AB\.21.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲己知函数/(x) = |x-2| + x, g(x) = |x+l|.(1)解不等式f(x) >g(x)；(2)对任意的实数X,不等式恒成立，求实数加的最小值.。

一、单选题二、多选题1. 已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，，则（ ）A ．17B ．18C ．20D ．242. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3. 已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法一定正确的是（）A．是函数的极小值点B．当或时，函数的值为0C．函数的图像关于点对称D ．函数在上是增函数6.已知函数，且，则（ ）A．B ．0C ．100D ．102007. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C 的方程为（ ）A．B．C．D．8. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A．B．C．D．9.设函数，则下列结论正确的是（ ）A．的一个周期为B ．的图像关于直线对称C．的一个零点为D ．在单调递减10.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷三、填空题四、填空题五、填空题C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分11. 下列命题中，真命题有（ ）A ．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B．若随机变量，则C ．若事件A ，B满足且，则A 与B 独立D ．若随机变量，则12. 钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则________．13. 城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线．已知号地铁线的每辆列车有节车厢，从月日起实行“夏季运行模式”，其中节车厢开启强冷模式，节车厢开启中冷模式，节车厢开启弱冷模式．现在有甲、乙人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙人不在同一节车厢的概率为__________．14. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若，且，则________．15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的定义域是，都有又因为 是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时， ④ ，在区间 ⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．六、解答题七、解答题八、解答题空格序号选项①（A）（B）②（A）（B）③（A ）2（B）④（A）（B）⑤（A）（B）18. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．19. 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.附：（其中）20. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M 为BC 的中点.(1)求证：平面PBD ；(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值；(3)求D 到平面APM 的距离.九、解答题十、解答题21. 某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20.(1)求样本容量；(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数.22. 已知公比大于1的等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)求．。

1（在此卷上答题无效）2023～2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,1A x x B =<=-，则A B =U A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.{}1- D.{}1,1-2.已知点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，则C 的焦点到其准线的距离为A.12B.1C.2D.43.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，若122λ+e e 与12μ+e e 是共线向量，则A.2λμ=- B.2λμ=- C.2λμ= D.2λμ=4.在ABC △中，2AB =，4AC =，BC =ABC △的面积为A.2B. C.4D.A. B. C. D.22227.甲、乙、丙三个地区分别有%x ，%y ，%z 的人患了流感，且,,x y z 构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x 的可能取值为A.1.21B.1.34C.1.49D.1.518.已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()='g x f x .若()2g x -的图象关于点()20，对称，且()()()22112---=-g x g x g x ，则下列结论一定成立的是2A.()()2f x f x =-B.()()2g x g x =+C.()20241==∑n g n D.()20241n f n ==∑二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2024年福建省高三数学2月模拟大联考试卷2024.2考试时间120分钟，总分150分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}225201A x x x B x x =-+<=>，，则A B = （）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()1,22．已知i 为虚数单位，1i12i -=-（）A．B．D．3．已知a ，b为单位向量，若a b -= ，则a ，b 的夹角为（）A．6πB．π3C．2π3D．5π64．设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b -=>>分别交于A B 、两点，若线段AB 的中点横坐标是45m ，则该双曲线的离心率是（）B．C．25．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为()22()20ex I x I μσ--=，其中I 为输出信号功率最大值（单位：mW ），x 为频率（单位：Hz ），μ为输出信号功率的数学期望，2σ为输出信号的方差，3dB 带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。

现已知输出信号功率为()2(2)20ex I x I --=（如图所示），则其3dB 带宽为（）B．C．D．6．已知12345,,,,a a a a a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A．32-B．16-C．132D．1167．如图，在三棱锥-P ABC中，,2AB BC BA BC PA PB PC ==⊥===，点M 是棱BC 上一动点，则PM MA +的取值范围是（）A．4⎤⎥⎦B．2⎡⎤⎣⎦C．⎤⎥⎣⎦D．⎣8．方程22014π2cos2cos2cos cos41x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭所有正根的和为（）A．810πB．1008πC．1080πD．1800π二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．若,A B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B．若样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为8C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数D．某人解答5个问题，答对题数为X ，若()5,0.6X B ，则()3E X =10．对于函数()ln xf x x =，下列说法正确的是（）A．()f x在e x =处取得极大值1e ；B．()f x 有两个不同的零点；C．()()()43f f f π<<D．44ππ<11．已知nM 是圆()222*:220n O x y nx ny n n +--+=∈N 上任意一点，过点()1,n P n -向圆nO 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n Q x y ，点()3,n A n n ，则下列说法正确的是（）A．1n =时，1k =B．n y n =+n n x y n ⎛⎫< ⎪-⎝⎭D．12n n n n M A M P +的最小值是312n +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13151n nS S a n n +-==+，，则2024a =．13．设函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，则ω的取值范围是．14．如图，在SBE △中，1SE BE ==，在直角梯形BEDC中，2BE DE CD BE CD DE ⊥==，∥，，，DE SE ⊥，记二面角S DE B --的大小为θ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则直线SC 与平面SDE 所成角的正弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足24n n S a n =+-．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()21log 1n n b a +=-，求数列(){}1nnb a-的前n 项和n T ．16．在三棱柱111ABC A B C -中，113AA =，在底面ABC 中，有AB BC ⊥，且86AB BC ==，，点D 为等腰三角形1B AC的底边AC 的中点，在1BB D△中，有112cos 13BB D ∠=．(1)求证：1BC B D ⊥；(2)求直线1AB 与平面1B BC所成角的正弦值．17．甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项目不再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．（注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．）(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X 的分布列和数学期望．18．已知椭圆E 的方程为22221(0),x y a b A a b +=>>为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，E 的离心率为12ABO ,△(1)求E 的方程；(2)过点()2,1P -的直线交E 于M N 、两点，过点M 且垂直于x 轴的直线交直线AN 于点H ，证明：线段MH 的中点在定直线上．19．已知函数()ln a f x x x =-．(1)当1a =-时，求()f x 的极值；(2)若存在实数0102x <<，满足()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()2f a 的取值范围．1．D【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式22520x x -+<，得122x <<，即1{|2}2A x x =<<，而{}1B x x =>，所以{|12}A B x x =<< .故选：D2．B【分析】由复数的除法和模的定义求解.【详解】()()()()1i 12i 1i 3i 12i 12i 12i 55-+-+==--+.故选：B 3．C【分析】利用两边平方的方法化简已知条件，从而求得a ，b的夹角.【详解】设a ，b的夹角为θ，由a b -=22123,2a a b b a b -⋅+=⋅=-，1cos cos 2a b a b θθ⋅=⋅⋅==-，由于0πθ≤≤，所以2π3θ=.故选：C 4．A【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.【详解】由线段AB 的中点横坐标是45m ，得线段AB 的中点纵坐标是35m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22222230x y m b x a y a b -+=⎧⎨-=⎩消去x 得2222222(9)6()0b a y b my b m a --+-=，422222222222364(9)()4(9)0b m b b a m a a b b m a ∆=---=+->，因此212226695b m my y b a +==-，整理得224a b =，显然0∆>成立，所以该双曲线的离心率e ===.故选：A5．D【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.【详解】依题意，由01()2I x I =，2(2)20()e x I x I --=，得2(2)2002e 1x I I --=，即2(2)22e x -=，则有2(2)2ln 2x -=，解得12x =22x =，所以3dB带宽为21x x -=故选：D 6．B【分析】结合题意，5a 取最小值时为负数，且48a =，利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意，要使5a 最小，则135,,a a a 都是负数，则2a 和4a 选择2和8，设等比数列的公比为(),0q q <，当428,2a a ==时，242842a q a ===，所以2q =-，所以516a =-；当422,4a a ==时，2422184a q a ===，所以12q =-，所以51a =-；综上，5a 的最小值为16-.故选：B.7．A【分析】把平面PBC 展开，判断出当M 与C 重合时，PM MA +最大；PM MA +的最小值为AP ，利用余弦定理即可求解.【详解】如图所示，把平面PBC 展开，使A、B、C、P四点共面.当M 与B重合时，24PM MA +=<；当M 与C 重合时，224PM MA +=+=最大；连结AP 交BC 于1M ，由两点之间直线最短可知，当M 位于1M 时，PM MA +最小.此时，4sin CBP ∠==，所以π14cos cos sin 24ABP CBP CBP ⎛⎫∠=+∠=-∠=-⎪⎝⎭.由余弦定理得：AP ==PM MA +的取值范围为4⎤⎥⎦.故选：A.8．C【分析】易得222014π2cos2cos2cos cos412cos 22x x x x x⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22014πcos2,cos a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得到1,1a b ==或1,1a b =-=-讨论求解.【详解】解：222014π2cos2cos2cos cos412cos 22x x x x x⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22014πcos2,cos a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()2222a a b a -=-，即1ab =，所以1,1a b ==或1,1a b =-=-，当1,1a b ==时，即22014πcos21,cos 1x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以111007ππ,Z,Z x k k x k k =∈=∈，因为1007=11953⨯⨯，所以=π,19π,53π,1007πx ，当1,1a b =-=-时，即22014πcos21,cos 1x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()()211121π2014π4028π,Z,,Z21π2212k x k x k k k +=∈==∈++，因为21k +是奇数，所以1402821k +也是奇数，不成立；所以方程所有正根的和为：π+19π+53π+1007π=1080π,故选：C 9．BCD【分析】对于A，由由相关系数的意义即可判断；对于B，由方程的性质即可判断；对于C，3022% 6.6⨯=，2822% 6.16⨯=结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D，由二项分布均值公式即可判断.【详解】对于A，因为0.970.99A B r r =<=，即A 组数据比B 组数据的相关性较弱，故A 错误；对于B，若样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为22s =，则数据12621,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为222128s s ==，故B 正确；对于C，将这原来的30个数从小大大排列为1230,,,a a a ，则3022% 6.6⨯=，所以原来的22%分位数为672a a +，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为229,,a a ，则2822% 6.16⨯=，所以剩下28个数据的22%分位数为782a a +，由于1230,,,a a a 互不相同，所以C 正确；对于D，某人解答5个问题，答对题数为X，若()5,0.6X B，则()50.63E X=⨯=，故D正确.故选：BCD. 10．AC【分析】A选项，对函数()ln xf xx=求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；B选项，令函数()ln0xf xx==，求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项，根据单调性可知()()4f fπ<，代入即可比较大小.【详解】()f x的定义域为()0,∞+，且()21ln xf xx-'=.令()0f x'=，得()e.x f x=∴在()0,e上单调递增，在()e,+∞上单调递减，因此()f x在ex=处取得极大值()1e,Aef=正确.令()0f x=，解得1x=，故函数()f x有且仅有一个零点，B错误.由()f x在()e,+∞上单调递减，得()()()43f f fπ<<，则C正确.因为()()4f fπ<，即ln4ln4ππ<，所以4ln4lnππ<，则44,Dππ<错误.故选：AC.11．BCD【分析】对于A，直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B，首先由直线与圆相切，联立方程组得判别式为0，由此可得nk=C，首先得nnxy n==-()f x x x=，结合导数即可判断；对于D，由12n n n nM A M C=结合三角形三边关系即可求解.【详解】当1n=时，圆1O的方程为()()22111x y-+-=，圆心为()1,1，半径为1，过点()11,1P-向圆1O引切线，根据题意可知，切线斜率存在，设切线方程为()11y k x=++，即10kx y k-++=，1=，又因为nk>，所以1k=，故A不正确；设直线():1n nl y k x n=++，由()2221220ny k x nx y nx ny n⎧=++⎨+--+=⎩，得()()22221220nnn k x k n x k ++-+=，由Δ0=，即()()222222410nn n knk k --+=，又因为0n k >，所以n k =2211n n n n k n x k n -==++，所以()111n n n n y k x n n n n ⎫=++=++=⎪+⎭，故B 正确；因为n n x y n=-，令()f x x x=，()1f x x='，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x x ='<，所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为π04<，而()00f =，所以()00f f <=n n x y n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故C 正确；设3,2n n C n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时12n n n n M A M C =，故而13||||||||||122n n n n n n n n n n M A M P M C M P C P n +=+≥=+，等号成立当且仅当n M 在n n C P 上，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得,,n n nk x y 关于n 的表达式，由此即可顺利求解.12．4047【分析】由题意可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，由n S 与n a的关系求出其通项公式可解.【详解】因为111n nS S n n +-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以11nS a n n =+-，则21n S n n na =-+，所以3136S a =+，2122S a =+，又332145a S S a =-=+=，可得11a =，且2n S n =，所以22202420242023202420234047a S S =-=-=.故答案为：404713．58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】由()0,πx ∈，得πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，所以π2ππ3π3ω<+≤，解得5833ω<≤，所以ω的取值范围是58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：58,33⎛⎤⎥⎝⎦.1-【分析】根据题意以,EB ED 和过点E 垂直于平面BED 的直线建立空间直角坐标系E xyz -，可知BES ∠为二面角S DE B --的平面角，设出点S 的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.【详解】如图，以,EB ED 和过点E 垂直于平面BED 的直线建立空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,0,,2,,B DC 由BE DE ⊥，DE SE ⊥，可知BES ∠为二面角S DE B --的平面角，又1SE =，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设(S a ，2ππ11cos ,cos ,3322a ⎡⎤⎡⎤∈=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(((),2,ES a SC ED ==-=，设平面SDE 的法向量为(),,n x y z =r，则00n ED n ES ax ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则z y ==，所以n ⎛⎫= ⎝ ，设直线SC 与平面SDE 所成角为α，则()2222221sin cos ,212311n SC a aa n SC a n SCaa a a α⋅-+-====-⋅+⋅-++--，其中()213324224423222a a a a a a -=-++≤--+=----，53222a -≤-≤-，当且仅当322a a -=-，即23a =-时，取得最大值,则sin α的最大值为()24233131-=-=-.故答案为：31-【点睛】思路点睛：根据题意设出点S 的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.15．(1)证明见解析；(2)12n n T n +=⋅.【分析】（1）利用1,2n n n a S S n -=-≥变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.（2）由（1）求出nb ，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）数列{}n a 中，24n n S a n =+-，当2n ≥时，1125n n S a n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，又11123a S a ==-，则13a =，112a -=，所以数列{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知11222n n n a --=⨯=，1212log (1)log 21n n n b a n ++=-==+，(1)(1)2nn n b a n -=+⋅，则23223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，于是234122232422(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ，两式相减得231112(12)22(222)(1)22(1)2212n n n n n n T n n n +++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，所以12n n T n +=⋅.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出1B D，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、性质推理即得.（2）以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，连接BD ，由AB BC ⊥，点D 为AC的中点，得152BD AC ===，在1BB D △中，222111112cos BD B B B D B B B D BB D =+-⋅∠，即222111251321313B D B D =+-⨯⨯，解得112B D =，由22211169BD B D B B +==，得190B DB ∠=，即1B D BD ⊥，由11B A B C =，点D 为AC 的中点，得1B D AC ^，而,,AC BD D AC BD ⋂=⊂平面ABC ，因此1B D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1BC B D⊥.（2）在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F ，由（1）知1B D ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，显然直线1,,DE DF DB 两两垂直，以点D 为坐标原点，直线1,,DE DF DB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12)D A B C B --，11(3,4,12),(6,0,0),(3,4,12)AB CB BB =-==--，设平面1B BC的法向量(,,)n x y z =，则16034120n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得(0,3,1)n = ，令直线1AB 与平面1B BC 所成的角为θ，因此111||sin|cos,|||||AB nAB nAB nθ⋅=〈〉===，所以直线1AB与平面1B BC所成角的正弦值是121065.17．(1)甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为0.8；(2)分布列见解析，X的数学期望为4.3．【分析】（1）设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件iA，利用iA表示事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜，结合概率加法和乘法公式求解；（2）确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可其分布列，再利用期望公式求其期望.【详解】（1）设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件iA，1,2,3i=，则()()()1230.7P A P A P A===，则事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜可表示为12123123A A A A A A A A++，所以事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为()121231230.70.70.70.30.70.30.70.70.7840.8P A A A A A A A++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈，（2）由（1）可得甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率约为0.8，同理可得甲俱乐部在女子双打项目中获胜的概率约为0.8，甲俱乐部在男子单打项目中获胜的概率约为0.8，设事件甲俱乐部在女子单打项目中第i局获胜为事件iB，1,2,3i=，则()()()1230.2P B P B P B===，则事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜可表示为12123123B B B B B B B B++，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率为()121231230.20.20.20.80.20.80.20.20.1040.1P B B B B B B B B++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率约为0.1，同理可得事件甲俱乐部在混合双打项目中获胜的概率约为0.1，由已知X的取值可能为3,4,5；()30.80.80.10.20.20.90.1P X==⨯⨯+⨯⨯=，比赛进行了4个项目，甲俱乐部获胜的概率为()0.80.80.90.80.20.10.20.80.10.80.4864⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，比赛进行了4个项目，乙俱乐部获胜的概率为()0.20.20.10.20.80.90.80.20.90.20.0584⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，()40.48640.05840.54480.5P X ==+=≈，()50.80.80.90.20.80.20.10.20.80.20.90.8P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.20.80.10.20.20.80.90.80.20.20.10.80.35520.4+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=≈，所以X 的分布列为X345P0.10.50.4所以随机变量X 的数学期望()30.140.550.4 4.3E X =⨯+⨯+⨯=.18．(1)22143x y +=(2)证明过程见解析【分析】（1）由题意11,22c ab a ==,,a b c 的平方关系即可求解.（2）由题意设直线MN 方程为210kx y k -++=，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交点坐标以及中点坐标表示出T 的坐标，证明22TTy x +为定值即可.【详解】（1）因为离心率为12ABO,△11,22c ab a ==又因为222a b c =+，所以224,3a b ==，即E 的方程为22143x y +=.（2）由题意过点()2,1P -的直线斜率存在，设为210kx y k -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22210143kx y k x y -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()()2224382182210k x k k x k k +++++-=，可得()()122212282143822143k k x x k k k x x k ⎧++=-⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，所以()()()121112212142y y k x k x k x x k +=+++++=+++()()()()222224243821621434343k k k k k k k k ++++=-+=+++，且()()122112212121x y x y x k x x k x ⎡⎤⎡⎤+=+++++⎣⎦⎣⎦()()()()2212122221622182124221(*)434334k k k k k kkx x k x x k k k +-+-=+++=-=+++，()()()()2222122196264213242031k k k k k k k ∆+=+=>---⇒<+，直线()22:22y AN y x x =++和1x x =联立，得()()2211112122,221,22,y y x y x H x Tx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++ ⎪ ⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦⎝⎭，T 为MH 的中点，令[]()()()211221*********,2,22222 y x x x y x y y y y x x y x ⎡⎤+=∈-=+=⎢⎥+⎣+⎦+++，此时()()()1222122122222x y x y y y yx x x +++=+++，化简得()()122112121222224x y x y y y yx x x x x +++=++++，将(*)代入上式得()()()()2224122123282211621443k k yx k k k k k -++==++--+++，所以线段MH 的中点T 在定直线3260x y -+=上.【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出()2111212,22y x T x y x ⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎢⎥ ⎪+⎣⎦⎝⎭，再结合韦达定理证明22TT y x +为定值即可顺利得解.19．(1)()f x 的极小值为1，无极大值；(2)()22ln 2,∞-+.【分析】（1）利用导数研究函数单调性，从而求极值；（2）利用函数()f x 的导数可知a<0，且20001x a x x <-<-，从而1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，再求范围即可.【详解】（1）当1a =-时，()()1ln ,0f x x x x =+>，则()22111x f x x x x ='-=-，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x =时，()f x 取极小值为()11f =，无极大值；（2）由()ln a f x x x =-，则()221(),0a x af x x x x x '+=+=>，若0a ≥，则()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，若()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则20001x x x =-，解得00x =或012x =，与题意不符，所以a<0，当0x a <<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x a =-时，()f x 取极小值为()()ln 1f a a -=-+，又0102x <<，则()200000012011x x x x x x --=>--，所以20001x x x >-，而()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以201x a x x <-<-，设21(),0,12x g x x x ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，则()()22()01x x g x x --'=>，所以()g x 为增函数，则11()(22g x g <=，所以1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()2211ln 2ln f a a a a a =-=--，令()()112ln,,02h x x xx⎛⎫=--∈-⎪⎝⎭，则()221,xh xx'+=可知()0h x'>，所以()h x为增函数，且112ln222ln2, 22h⎛⎫⎛⎫-=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()22ln2,h x∞∈-+，即()()222ln2,f a∞∈-+.【点睛】思路点睛：第（2）问中，根据条件，利用导数可分析出21x a xx<-<-，从而先确定a的取值范围，再求()2f a的取值范围．。

2021届高三数学下学期2月联考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考生注意：1.本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.2.请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.假设2z i =+，那么z zz z-=〔 〕 A. 85iB. 2455i -C. 85i -D.2455i + 【答案】A 【解析】 【分析】求出一共轭复数2z i =-，根据复数运算法那么()()2222222224i i z z i i z z i i i +--+--=-=-+-即可得解.【详解】2z i =+，2z i =-，()()222222282245i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.应选：A【点睛】此题考察复数的概念辨析和根本运算，关键在于纯熟掌握复数的运算法那么，根据法那么求解.2.集合(){}2lg 10A x x x =-->，{}03B x x =<<，那么A B =〔 〕A. {}01x x << B. {}{}10x x x x <-⋃> C. {}23x x << D. {}{}0123x x x x <<⋃<<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A ，根据交集运算即可得解. 【详解】(){}{}22lg 1011A x x x x x x =-->=-->()(){}()()210,12,x x x =-+>=-∞-+∞，{}03B x x =<<所以A B ={}23x x <<.应选：C【点睛】此题考察集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式. 3.设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，那么b =〔 〕C. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=可得()0⋅-=a a b ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，||2b ∴=.应选：A【点睛】此题考察利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如下图，那么该几何体的正视图为〔 〕A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据侧视图和俯视图特征断定几何体，找出正投影，即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中1AED BCC -， 正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面， 所以正视图为A 选项的图形. 应选：A【点睛】此题考察三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确.5.设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，那么〔 〕 A. 321e e e << B. 312e e e <<C. 123e e e <<D.213e e e <<【答案】D 【解析】 【分析】双曲线HY 方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，那么22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，那么222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，那么223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 应选：D.【点睛】此题考察双曲线的HY 方程和离心率，属于根底题. 6.假设24log log 1x y +=，那么2x y +的最小值为〔 〕A. 2B. 23C. 4D. 22【答案】C 【解析】 【分析】 由条件有24(0,0)xy x y =>>，利用均值不等式有2224x y x y +=可得到答案.【详解】因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ， 所以24(0,0)xy x y =>>，那么2224x y x y +=，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 应选：C【点睛】此题考察对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸〞问题：“今有池方一丈，葭生其HY.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？〞其意思为“今有水池1丈见方〔即10CD =尺〕，芦苇生长在水的HY ，长出水面的局部为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接〔如下图〕.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号是〔 〕A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC 的值，可得tan BCAB θ=，再利用二倍角的正切公式求得tan 2θ，利用两角和的正切公式求得tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】设BC x =，那么1AC x =+， ∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =. 即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2，解得2tan 23θ=〔负根舍去〕. ∵12tan 5θ=， ∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 应选：B.【点睛】此题主要考察二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于根底题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，那么一等奖人选的所有可能的种数为〔 〕 A. 420 B. 766C. 1080D. 1176【答案】D【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一一共222220668132C C C C ---=种， 一等奖三个名额，一一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 应选：D【点睛】此题考察计数原理的综合应用，需要纯熟掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解. 9.函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，那么〔 〕 A. ()f x 的最小正周期为2π B. 曲线()y f x =关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()f x 的最大值为2D. 曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】由可得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】()1sin 2sin 22226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，那么T π=. ()f x当6x π=时，2666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =关于6x π=对称，当3x π=时，3sin 23306f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.应选：D.【点睛】此题考察三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是根底题. 10.函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为〔 〕A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将原题转化为求方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当0x >时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.【点睛】此题考察函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解. 11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，假设二面角11B BC E --为45︒，那么四面体11BB C E 的外接球的外表积为〔 〕A.172π B. 12π C. 9πD. 10π【答案】D 【解析】 【分析】连接11B C 交1BC 于O ，可证1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，即可求得11,B E B O 的长度，即可求出外接球的外表积.【详解】解：连接11B C 交1BC 于O ，那么11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，那么1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，那么145B OE ︒∠=.因为2AB =，所以112B E BO ==， 故四面体11BB C E 的外接球的外表积为22444102ππ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察二面角的计算，三棱锥的外接球的外表积计算问题，属于中档题. 12.假设曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，那么m 的取值范围为〔 〕A. 427,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.4271,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 曲线()11xm y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11x my xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101xmy x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围. 【详解】解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点， 又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++， 当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e =-=-，又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →， 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 应选：A.【点睛】此题考察利用导数研究曲线上某点切线方程，考察等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考察推理与运算才能，属于难题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.假设x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，那么yz x =的取值范围为________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 作出可行域，yz x=几何意义为可行域内的点(),x y 与点()0,0连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如下图，那么131232OA z k yx≥===，故z 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题考察分式型目的函数的最值问题，关键是画出可行域，是根底题.14.某工厂一共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时〔单位：分钟〕与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.假设将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开场组装，那么至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.〔此题第一空2分，第二空3分〕【答案】； 【解析】 【分析】①根据工时从小到大依次分析得出工时人数16，工时人数8，工时人数12，即可得到中位数；②计算出工时平均数即可得解.【详解】①根据散点图：工时人数3，工时人数5，工时人数6，工时人数12，工时人数16，工时人数8，所以工时的中位数为；②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开场组装， 至少需要时间是：3561216810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.533.14505050505050⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：①；②【点睛】此题考察求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.3A π=，1b =，且()()22222sin4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，那么a =______.【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边公式化简()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，再运用余弦定理得出2248cos 2a b A +=，即可求出a .【详解】因为()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-， 所以()()2222248a b c bc a +=+-，又3A π=，1b =，所以()()2222248a bbc bc a +=+-，所以22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯==，那么2442a +=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于根底题.16.设()()2,02,0A B -，，假设直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x 轴的间隔 ，那么a =___________.【解析】【分析】由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB △的内心到x 轴的间隔 ，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值. 【详解】点P 满足||||6PA PB +=,那么点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，那么2224595a y a =+.因为APB △的内心到x 轴的间隔 ，所以PAB △的内切圆的半径20r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，那么a =【点睛】此题考察考察直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22，23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.17.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】〔1〕121322n n n a --+⨯=〔2〕n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】〔1〕根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；〔2〕通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：〔1〕因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；〔2〕由〔1〕可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】此题考察等差数列，等比数列的通项公式，考察分组法求和，是根底题. 18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，假设抽取的零件都是正品或者都是次品，那么停顿检验；假设抽取的零件至少有1个至多有3个次品，那么对剩下的6个零件逐一检验.每个零件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格互相HY ，且每个零件的人工检验费为2元.〔1〕设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；〔2〕除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为根据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.【答案】〔1〕详见解析〔2〕应该选择人工检验，详见解析【解析】【分析】〔1〕根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X的分布列；〔2〕由〔1〕求出X的数学期望EX，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比拟即可得出结论.【详解】解：〔1〕由题可知，工人抽查的4个零件中，⨯=元，当4个都是正品或者者都是次品，那么人工检验总费用为：248⨯+⨯=元，当4个不全是次品时，人工检验总费用都为：426220所以X的可能取值为8，20，44(8)0.80.20.4112P X==+=，P X==-=，(20)10.41120.5888那么X的分布列为〔2〕由〔1〕知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元， 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>， 所以应该选择人工检验.【点睛】此题考察离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于根底题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .〔1〕证明：PO ⊥平面ABCD .〔2〕求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕2211【解析】 【分析】〔1〕通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .〔2〕建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】〔1〕证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，那么//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，那么BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .〔2〕解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如下图不妨设1OB =，那么(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 那么(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，那么00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ，那么sin cos ,11BC n θ=<>==. 【点睛】此题考察线面垂直，线面角的计算，属于中档题.20.函数3()f x x ax =+.〔1〕讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；〔2〕假设3a ≥-，求不等式()()2624224361282f x x x x x a x -+<+++++的解集.【答案】〔1〕当0a ≥时，()0f x '，那么()f x 在(),a +∞上单调递增; 当13a =-时,()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭;当13a <-时()fx 的单调递减区间为⎛⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭;当103-<<a 时 ()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭；〔2〕(22+. 【解析】 【分析】〔1〕2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <讨论得出函数()f x 的单调性.(2) 原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+,又222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，当3a ≥-时，22()333f x x a x '=+≥-，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，从而可得出答案.【详解】〔1〕2()3f x x a '=+.当0a ≥时，()0f x '，那么()f x 在(),a +∞上单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得x =〔i 〕当13a =-时，a =，令()0f x '<，得1133x -<<；令()0f x '>，得13x >.所以()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.〔ii 〕当13a <-时，a >， 令()0f x '<，得33a a x；令()0f x '>，得a x <<3a x .所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭.〔iii 〕当103-<<a 时，a <，令()0f x '<，得a x <<()0f x '>，得3a x .所以()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭. 〔2〕因为3a ≥-，所以22()333f x x a x '=+≥-，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.因为()()()()3642222261282222x x x a x x a x f x +++++=+++=+，所以原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+.因为222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，所以222432x x x -+<+，解得22x <<+(22-+.【点睛】此题考察讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点. 〔1〕假设l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G .证明：点G 在定直线上.〔2〕假设2p =，点M在曲线y =MP MQ ，的中点均在抛物线C 上，求MPQ 面积的取值范围.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕4⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】(1) 设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2py kx =+，与抛物线方程联立可得212x x p =-，求出抛物线在点P 处的切线方程，和在Q 点处的切线方程，联立可得答案.(2) 设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为210104,22x y x x⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可得1202x x x +=，212008x x y x =-，MN x ⊥轴，||MN =200334x y =-，12x x -=MPQ的面积)32212001||424S MN x x x y =⋅-=-，从而可求出三角形的面积的范围.【详解】〔1〕证明：易知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为2py kx =+. 由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-.由22x py =，得22x y p =，x y p '=，那么1PG x k p=，直线PG 的方程为()21112y x x p x x p -=-，即21102x x x y p p--=，① 同理可得直线QG 的方程为22202x x x y p p--=，② 联立①②，可得()()1212122x x x x x x y p--=.因为12x x ≠，所以1222x x py p ==-，故点G 在定直线2p y =-上.〔2〕解：设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为210104,22x y x x⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.因为, MP MQ 得中点均在抛物线C 上，所以12,x x 为方程22004422x y x x ++⎛⎫=⨯⎪⎝⎭的解， 即方程22000280xx x y x -+-=的两个不同的实根，那么1202x x x +=，212008x x y x =-，()()220002480x y x ∆=-->，即204x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，那么MN x ⊥轴. 那么()()2221201212011||288MN x x y x x x x y ⎡⎤=+-=+--⎣⎦ 200334x y =-，12x x -==所以MPQ的面积()32212001||424S MN x x x y =⋅-=-. 由0y =，得()2200110x y y =--，所以()2220000044125x y y y y -=--+=-++，因为010y -，所以()201254y -++，所以MPQ面积的取值范围为4⎡⎢⎣. 【点睛】此题考察直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线的相关问题，抛物线中三角形的面积的范围问题，属于难题.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩〔θ为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 〔1〕求曲线C 的极坐标方程；〔2〕假设点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．【答案】〔1〕4cos 2sin ρθθ=-〔2〕5【解析】 【分析】〔1〕先将21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；〔2〕先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：〔1〕由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=，即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-. 〔2〕因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕.将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，那么122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===故11PA PB +. 【点睛】此题考察普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考察直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题. 【选修4-5：不等式选讲】 23.函数()32f x x kx =--.〔1〕假设1k =，求不等式()31f x x ≤-的解集；〔2〕设函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭区域为Ω，证明：当23k <<时，Ω的面积大于1615. 【答案】〔1〕{}1x x ≥-；〔2〕证明见解析【解析】 【分析】〔1〕对不等式进展零点分段讨论求解；〔2〕求出函数与x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k <<求得面积即可得证. 【详解】〔1〕假设1k =，不等式()31f x x ≤-即：3231x x x --≤-32310x x x ----≤，当23x <时，23330,1x x x x -+--≤≥-，得213x -≤<，当213x ≤≤时，32330,1x x x x -+--≤≤，得213x ≤≤， 当1x >时，32330,1x x x x --+-≤≥，得1x >， 综上所述：1x ≥-即：不等式()31f x x ≤-的解集为{}1x x ≥-；〔2〕()()()232,332232,3k x x f x x kx k x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎪--+≤⎪⎩，该函数图象与x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为2222,,,0,,03333k A B C k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，23k <<，249k <<该三角形面积：12222333kS k k ⎛⎫=-⋅ ⎪-+⎝⎭22439k k =⨯- 2249939k k -+=⨯-2494916113939415k ⎛⎫⎛⎫=-+>⨯-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以原命题得证.【点睛】此题考察求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2020-2021学年福建省福州市市第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的三个内角A,B、C所对的三边分别为a，b、c，若△ABC的面积则tan等于A．1/2 B．1/4C．1/8 D．1参考答案：答案：B2. ( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知下图（1）中的图像对应的函数为，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4参考答案：B由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为，又故.故选B．5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D.考点：诱导公式.6. 某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A．B．C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，由此能求出C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率．【解答】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，∴C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率：p=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）参考答案：C8. 下列选项中，说法正确的是( )A．命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：对于A，命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．9. 若函数，函数，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．B11 B12解析：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B【思路点拨】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．10. （5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A． ac2＜bc2 B．＜ C．＞ D． a2＞ab＞b2参考答案：D【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C 不成立；选项D ， ∵a＜b ＜0，∴a 2﹣ab=a （a ﹣b ）＞0， ∴a 2＞ab ．∴ab﹣b 2=b （a ﹣b ）＞0， ∴ab＞b 2．故选项D 正确，故选D ．【点评】： 本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。

福建省数学高三下学期理数 2 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） 已知 A∩B=B，且 A={ A . {x|-2≤x<3} B . {x|-2<x<3} C . {x|-2<x≤3} D . {x|-2≤x≤3}}，若 CAB={}，则集合 B=（ ）2. （2 分） 如图，将边长为 5+ 的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体 积是（ ）.A.B.C.D.3. （2 分） 设 x∈R，则“x> ”是“2x2＋x－1>0”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件第 1 页 共 19 页C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. （2 分） (2016 高一上·南昌期中) 已知函数 y=f（x）的定义域为[﹣1，5]，则函数 y=f（3x﹣5）的定义 域为（ ）A.B.[ ， ] C . [﹣8，10] D . （CRA）∩B5. （2 分） (2019 高三上·宜昌月考) 已知函数 （）A. B. C. D.，且，则6. （2 分） (2018 高一上·成都月考) 已知函数 数 的取值范围是（ ）A. B. C.第 2 页 共 19 页是上的减函数，则实D.7. （2 分） (2019 高三上·黑龙江月考) 四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A . ④①②③ B . ①④②③ C . ③④②① D . ①④③②8. （2 分） (2019 高三上·达县月考) 已知函数 数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.在区间上为增函数，则实9. （2 分） (2020·德州模拟) 已知函数，若关于 x 的方程有且只有两个不同实数根，则 m 的取值范围是（ ）A. B.第 3 页 共 19 页C. D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)10. （1 分） (2018 高一上·台州月考) 已知，则________．11. （1 分） (2016 高三上·平湖期中) 已知函数 f（x）= |f（x）| 的解集为________．12. （1 分） (2020 高一上·通榆期末) 定义在 R 上的偶函数,则的零点个数为________.满足，则 f（f（﹣1））=________，,且当时,13. （1 分） (2018 高一上·宁波期末) 已知函数 f（x）=cos（2x），则=________；若，x∈[- ， ]，则 sin（x）=________．14. （1 分） (2020 高二下·通州期末) 已知函数，若函数恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是________.15. （1 分） (2020·银川模拟) 已知函数是定义在 上的奇函数，且满足时，，则________，三、 解答题 (共 5 题；共 50 分).当 ________.16. （10 分） (2018·枣庄模拟) 已知向量，函数.（1） 求的对称中心；（2） 求函数在区间上的最大值和最小值，并求出 相应的值.17. （15 分） 如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，E 为 AC 与 BD 的交点，PA⊥平面 ABCD，M第 4 页 共 19 页为 PA 中点，N 为 BC 中点．（1） 证明：直线 MN∥平面 PCD； （2） 若点 Q 为 PC 中点，∠BAD=120°，PA= ，AB=1，求三棱锥 A﹣QCD 的体积．18. （5 分） (2020 高一下·七台河期末) 已知等比数列 的前 n 项和为 ，，且.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若数列 为递增数列，数列 满足，求数列 的前 n 项和 .19. （10 分） 已知 f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且 f（﹣1）=1，若 m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＜0．（Ⅰ）证明：f（x）在区间[﹣1，1]上是单调减函数；（Ⅱ）解不等式 f（x+ ）＜f（ ） ； （Ⅲ）若 f（x）≤t2﹣mt﹣1 对所有 x∈[﹣1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数 t 的取值范围．第 5 页 共 19 页20. （10 分） (2017·新余模拟) 已知函数 f（x）=sinx﹣xcosx（x≥0）．（1） 求函数 f（x）的图象在处的切线方程；（2） 若任意 x∈[0，+∞），不等式 f（x）＜ax3 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3） 设 m= f（x）dx，，证明：．第 6 页 共 19 页一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 7 页 共 19 页解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、第 8 页 共 19 页考点：解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、 考点： 解析：第 9 页 共 19 页二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、第 10 页 共 19 页考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。

福州一中2019届高三下期理科数学期初调研试卷第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．z 是复数z =1+i i 3+2的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．35 B ．−35 C ．15 D ．−152．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |3x ＜1}，则（ ）A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．（∁R A ）∩B ＝（﹣∞，0]D ．A ∪B ＝（﹣∞，1）3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，公差d ＝2，若a m ＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5（m ∈N *），则m ＝（ ）A ．19B ．18C ．17D ．164．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且√3b +2c ＝2a cos B ，则A ＝（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π35．如图，在正十二边形ABCDEFGHIJKL 内任取一点，则该点恰好在六边形ACEGIK 内的概率是（ ）A ．√33B ．√32C ．5√39D ．4√376．已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π[7．我国的“生肖”，指代表十二地支而用来记人的出生年的十二种动物，即鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，也叫属相．某四人要对十二生肖选四个画图，每人画一个，每个生肖最多被选一次，且鼠和牛至少选一个，狗和猪都要选，则画图的种数为（ ）A ．17B ．204C ．408D ．864 8．已知a ＝log 2e ，b ＝ln 3，c ＝log1e 12，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a 9．函数y ＝sin （x −π6）的图象与函数y ＝cos （2x −π3）的图象（ ）A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为CC 1中点，过点A 作平面α∥平面DBE ，平面α与侧面BCC 1B 1交于线段MN ，点P 为线段MN 上任意一点，则线段DP 长度的最小值是（ ）A ．√5B ．65√5C ．2√2D ．311．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点M （12，0），O 为坐标原点，则四边形OMAB 面积的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．36﹣16√2D ．2012．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣1，g （x ）＝ln （1+x ）﹣ax ，若存在x 0∈[2，3]，使得f （x 0）•g （x 0）＜0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（ln32，e 2−34） B ．（2ln23，e 2−34） C ．（2ln23，e 3−49） D ．（ln32，e 3−49）第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量X ～B （5，13），则P （2＜X ≤4）＝ ． 14．若x ，y 满足约束条件{y ≥xx +y ≤23x −y +2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点M ，N 在双曲线E 的一条渐近线上，|FM |＝|FN |=√3a 且FM →⋅FN →=a 2，则双曲线E 的离心率是 ．16．已知点O 是△ABC 的内心，若AO →═37AB →+17AC →，则cos ∠BAC ＝ ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．数列{a n }满足a 1＝1，a n +1=n2． （1）求证：数列{a n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式；（2）若b n =√2√2n+7√2n+6，求数列{b n }的前2019项和．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，PC ＝AB ＝2BC ＝2，P A ＝PB =√3BC ．（1）求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D ﹣PB ﹣C 的正切值为√6，求PD 与平面ABCD 所成角的余弦值．19．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，右焦点为F ，点G （0，√6），直线FG 与圆Q ：x 2+y 2﹣2√6x ﹣2√6y +9＝0相切．（1）求直线FG 和椭圆E 的方程；（2）直线FG 与椭圆E 交于A ，B 两点，C ，D 为椭圆E 上的两点，若四边形CADB 的对角线CD ⊥AB ，求四边形CADB 面积的最大值．20．某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去30期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有5期，不低于40百斤且不超过60百斤的有15期，超过60百斤的有10期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y =b x +a ；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于6.2百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧与新鲜度要求较高，故养殖户需设置若干台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量有关，并有如下关系：鱼的重量（单位：百斤）20＜X ＜40 40≤X ≤60 X ＞60 冲水机运行台数 1 2 3若某台增氧冲水机运行，则该台冲水机每期盈利5千元；若某台冲水机未运行，则该台冲水机每期亏损2千元．以频率作为概率，养殖户欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应安装几台增氧冲水机？ 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ），其回归方程y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑ n i=1x i y i −nxy∑ n i=1x i 2−nx 2=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．21．已知函数f （x ）＝4e 3x ﹣3（x ﹣a ）4+16，a ＜1．（1）若函数y ＝f （x ）的图象在x ＝1处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）当x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求a 的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P （a ，2），其参数方程为{x =a +t y =2+t ，（t 为参数，a ∈R ），以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ﹣ρ+8sinθ＝0．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且PA →+2PB →=0→，求实数a 的值．23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（1）若函数f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）当x ∈[1，3]时，f （x ）＜2x 恒成立，求实数a 的取值范围．。

福州市2020届高三理科数学2月调研卷A参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符9.【解析】由条件，令1x y ==，可得264n=，解得6n =.又6620266()k k k k C x y x y -=+=∑，1001001001000(2)(1)(2)k kk k k xy C x y -==--∑.由所求，只需计算26()x y +展开式中取出106xy 及12y 的两种情形.若26()x y +展开式中取106xy ，则100(2)x y -展开式中需要取含100y 的项，此项的系数为100100100(1)1C -=.若26()x y +展开式中取12y ，则100(2)x y -展开式中需要取含98xy 的项，此项并不存在.故26100()(2)x y x y+-展开式中110xy 的系数为6，选择D.10.【解析】由条件得(,0)F c ，不妨设1:b l y x a =，2:bl y x a =-，则||bc FA b c ==.又BFb k a =，则直线BF 方程为()b y xc a =-，由方程组(),b y x c a b y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得,22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2||2c FB a ==.由4||||5FA FB =得2452c b a =⨯，即4222425c c a a -=，424125e e -=，解得e 或e =.因为b a >且c e a ==e =，选择C.11.【解析】当1x <-时，1ln ||ln()y x x ==-关于x 在(,1)-∞-上单调递减，且此时10y >.同样当1x <-时，211()e exx y ==关于x 在(,1)-∞-上单调递减，且20y >.从而当(,1)x ∈-∞-时ln ||()e x x f x =单调递减，故排除A 和B 选项.当1x >时，ln ()ex x f x =，1ln 1ln ()e e x x xx x x f x x --'==，可求2212ln 21ln 4(2)02e 2e f --'==<，故ln ()exxf x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为负数，故排除D 选项，选择C.12.【解析】22,02,()72cos ,22x x f x x x -<⎧⎪=⎨π<⎪⎩„„，如图所示，在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象（实线），同时画出函数()ln g x x m =+的图象（虚线），观察图象，当()g x 过点(2,2)B 或与()22f x x =-相切时(设切点为A )时，()f x 与()g x 恰有两个交点，即函数()ln y f x x m =--恰有2个零点.由()g x 过点(2,2)，可得ln22m +=，解得2ln2m =-.由()g x 与()22f x x =-相切，设切点A 横坐标为0x ，得001()2g x x '==，得012x =，将其代入()22f x x =-中，得A 点纵坐标为1-，故A 点坐标为1(,1)2-，可得此时1ln 12m +=-，解得ln21m =-.综上，要使得函数()ln y f x x m =--在区间7(0,]2上恰有3个零点，m 的取值范围应为(ln 21,2ln 2)--，选择C.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．6M 14．914 15. 13[,]42- 16．12362n n -+-16．【解析】由条件22(1)n n S S n n +-=可得2(1)()0n n S S n +-=，从而2n S n =，当1n =时，得11a =，当2n …时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，显然11a =也符合表达式21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 设0111321222n n n T --=+++L ①，则12113212222nnn T -=+++L ②，由①-②可得1211112222121232211231222222212nn n n n n n n n T ----+=++++-=+⨯-=--L ，则12362n n n T -+=-.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）1sin2ABCS bc A∆=，故222sinABCA b c a∆==+-，从而sin A A=，得tan A=，π3A=. (6分)（2）由（1）πA=，2π3B C=-，2π2πsin sin sin()sin sin cos33B C C C C-=--=2π1πcos sin sin sin sin()323C C C CC---=-，因为2π3C<<，故πππ333C-<-<，则πsin()3C<-，sin sinB C-的取值范围为(. (12分)18．【解析】（1）在图2中取BE中点G，连接AG，CG.由条件可知四边形ABFE正方形，则有AG BE⊥，且可求12AG AF=在GBC∆中，BG=，3BC=，45GBC∠=︒，由余弦定理得2222cos2965CG BG BC BG BC GBC=+-⋅∠=+-=.在AGC∆中，22225AG CG AC+=+=，由勾股定理逆定理可得90AGC∠=︒，即AG CG⊥.由于BE，CG⊂平面BCD，AG BE⊥且AG CG⊥，BE CG G=I可得AG⊥平面BCD.又AG⊂平面ABE，故平面ABE⊥平面BCD.(6分)（2）如图，以O为原点，以平行于DC的方向为x轴，平行于ED的方向为y轴，建立空间直角坐标系.由题设条件可得下列坐标：(2,2,0)F，(0,2,0)E，(2,3,0)C，(0,3,0)D.由（1）得AG⊥平面BCD，可求A点坐标为.由于(1,1,AF=u u u r，(2,0,0)EF=u u ur，设平面AEF的法向量111(,,)u a b c=r，由0u AF⋅=r u uu r及0u EF⋅=r uu u r得11110,20a ba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取1b=，则u=r.由于(1,2,AC=u u u r，(2,0,0)DC=u u u r，设平面ACD的法向量222(,,)v a b c=r，由0v AC⋅=r u uu r及0v DC⋅=r u uu r得222220,20,a ba⎧+-=⎪⎨=⎪⎩取2b=v=r.·cos,u vu vu v==r rr rr r=，则平面AEF与平面ACD所成.(12分)y19．【解析】（1）椭圆C 离心率为23，可得23c a =，则23c a =，222259b a c a =-=，故椭圆C 方程为2222159x y a a +=，将点5(2,)3代入，可得29a =，从而25b =，椭圆C 标准方程为22195x y +=.(6分) （2）设直线l 斜率为k ，可得l 方程为3()2y k x =-，设M ，N 坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，将3()2y k x =-与椭圆方程联立，得221953()2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 并化简，可得2222(3620)108180081k x k x k +--+=，则22121083620k x k x =++，2122180813620k k x x -++=.设P 点坐标为(6,)t ，则1121213()4226696PM PN PA t k x t y t y t k k k x x x ----+-=+-=---223()4269t k x t x --+-- 121212(3615154)(92)18(6)(6)x x x x k t x x --+-=--，注意到12361515x x --+22122210818081362043605024361x k k x k k -+=-⨯+++⨯=，从而20PM PN PA k k k +-=，由此可得,,PM PA PN k k k 成等差数列. (12分)20．【解析】（1）2()3f x x '=，不等式1()()ln xf x xf x x x '+>+等价于4313ln x x x x +>+，等价于3213ln 0x x x x+-->.记321()3ln ([)4,)g x x x x x x=+--∈+∞，则4322211361()36x x x g x x x x x x---'=-+--=，由于4x …，则43361x x x ---… 33333346161(5)(1)0x x x x x x x x ⨯---=--=-+->，可得()0g x '>，()g x 在[4,)+∞上单调递增，则321()(4)434ln 465ln 422ln 2044g x g =+-⨯-->-=>…，从而得证4313ln x x x x +>+，即1()()ln xf x xf x x x '+>+.(6分)（2）()ln e xf x x m <+等价于3ln e x x x m ->.记3ln ()()[4,20e20]xx x q x x-∈=，可求233421(3)e (ln )e 3ln 1e e ()x xx xx x x x x x x q x x x ----==-'+，由（1）可得()0q x '<，故()q x 在区间[4,2020]上单调递减，从而3a 4m x()(44n )l 4e q x q -==.由于5e 2>，则 4452e 2()6257828>⨯=>，故3344444ln 44ln 42e 6417820e e e ------=<<.由于11e 4<，故44221112131961e ()()()62416416<=<=<，334444ln 44ln 4e 1e e ----=4642620e -->=.综上可得344ln 412e -<<，又344ln 4e m ->且m 为整数，从而m 的最小值为2.(12分)21. 【解析】（1）棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =.棋子跳到第2站，包含两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为111224⨯=，所以2113244P =+=.(3分)棋子跳到第n 站(299n 剟)站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -.综上，211122n n n P P P --=+(299n 剟).(4分)（2）由（1）知211122n n n P P P --=+，则1121()2n n n n P P P P ----=--，又因为1012P P -=-，所以1{}n n P P --(1,2,3,,100n =L )是首项为12-，公比为12-的等比数列.(8分)（3）由（2）知11111()()222n n n n P P ---=--=-，所以99989999989897100111()()()()()()1222P P P P P P P P =-+-++-+=-+-++-+L L 99100100111()()212122[1()](1)132321()2--⨯-==--=---. 所以玩该游戏获胜的概率为10021(1)32-.(12分)请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，得222(1)x y r -+=，点π(2,)3P 的直角坐标为，将其代入1C ，得23r =，所以曲线1C 的普通方程为22(1)3x y -+=.曲线2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即2cos21ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.(5分)（2）将点1(,)A ρα，2π(,)6B ρα-代入2C 的极坐标中，得21cos21ρα=，22πcos(2)13ρα-=，所以2222121111π3π==cos 2cos(2)cos 22)||||323OA OB αααααρρ+++-=+=+， 由已知π(0,)4α∈，可得ππ5π2(,)336α+∈，π)3α+∈，所以2211||||OA OB +的取值范围为.(10分) 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲【解析】（1）当1a =时()1|1|f x x x =++-，若1x …则()24f x x =„12x ∴剟；若11x -<<，则()24f x =<成立；若1x -„，则()24f x x =-„，2x ∴-…，21x ∴--剟.综上，原不等式的解集为{}|22x x-剟.(5分)（2）当1x …时113x ax x b ++-+„，121ax x b ∴-+-„，21121x b ax x b ∴--+-+-剟， (2)2,(2)a x b a x b +-⎧∴⎨-⎩…„，20,22,20,2a a b a a b+⎧⎪+-⎪∴⎨-⎪⎪-⎩……„„，22,0,2a a b a b-⎧⎪∴+⎨⎪-⎩剟…„，0a b ∴+….(10分)。

一、单选题二、多选题1.函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数在上有且仅有1个零点，则下列选项中b 的可能取值为（ ）A ．0B．C．D ．4 3. 的展开式中常数项为（ ）A ．60B．C．D．4. 如图，正四棱台中，所在的直线与所在的直线是（）A ．相交直线B ．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D ．互相垂直的异面直线5. 已知，，则的值等于 A．B．C．D．6. 如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，到平面的距离为3，则多面体的体积为（）A ．18B ．15C ．12D ．97. 关于椭圆，有如下四个论断：①焦点在轴上；②过点；③过点；④短轴长为．若有且仅有三个论断是正确的，则椭圆的长轴长为（ ）A．B．C．D ．68. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望（ ）A．B．C．D．9.已知，且，则关于表述正确的是（ ）A．B．C．D．福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷(3)福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷(3)三、填空题四、解答题10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．的最大值为D ．的最大值为11. 为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是( )A ．共有625种分配方法B ．共有1024种分配方法C ．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法D ．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法12. 对于实数、、，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，，则D ．若且，则13. 已知两个球的表面积之比为1：2，则这两个球的体积之比为_______.14. 若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________．15. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是___________.（填写所有正确选项的序号）①菱形;②有3条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形;⑤有一组对角相等的四边形.16. 随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推出新产品，吸引更多的消费者前来消费．某商店推出了一种新的产品，并选择对某一天来消费这种新产品的顾客共人进行满意度调查，为此相关人员制作了如下的列联表．满意不满意总计男顾客女顾客总计已知从全部人中随机抽取人为满意的概为．（1）请完成如上的列联表；（2）根据列联表的数据，是否能在犯错率不超过的前提下认为“满意度与性别有关系”？（3）为了进一步改良这种新产品，商家在当天不满意的顾客中，按照性别利用分层抽样抽取了人进行回访，并从这人中再随机抽取人送出奖品，求获奖者恰好是男女的概率．附注：．17.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.18. 已知函数. .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围.19. 如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点.(1)求△的面积；(2)若，点，重合，求点的坐标；(3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值.20. 已知函数.(1)求的极值；(2)若函数在区间上没有极值，求实数k的取值范围.21. 化简：．。

高三下学期理科数学单元测试第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项 是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x|y = ln （l-x ）},B = {x|2v >1},则 AC\B=（） A. 0 B. {%|0< x< 1} C. {x| x< 0} D. {%| x< 1}2. “x>l ” 是“丄Vl” 的（）XA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件他=9,前3项和为S 3 =3j\26k,则公比q 的值是（4. 在AABC 中，内角A, 5 C 所对的边分别是d,b, c ,若c 2 =(^-/?)2+6, C = y ，则AABC的面积是（）x-2> + l<05. 已知约束条件《 ax-y>0 表示的平面区域为D,若区域D 内至少有一个点在函数x<ly = e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为（） A.[匕4）B.[匕+8）C. [1,3）D. [2,+8）6. 己知某几何体的三视图如图所示，则其侧面为直角三角形的个数为（）3•等比数列{a 讣中, A. 1B.C ・1或-丄2D. 一1或一丄2A. 3B.婕3^/3 "T"D. 3^3A. 1B. 2C. 3D. 47. 在5X5的棋盘中，放入3颗相同的黑子和2颗相同的白子，它们均不在同一行也不在同一 列，则不同的排列方法有（）A. 150 种B. 200 种C. 600 种D. 1200 种8.在平面直面坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数/（%）=-的團象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是（ A. 1B. 2C. 3D. 4 a9. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为人、巴，这两条曲线在第一象限的交点为P, \PF X F 2是以P 斤为底边的等腰三角形，若|P 片|=10,椭圆与双曲线 的离心率分别为 g,则弓的取值范围是（）‘1 、 (\ . 1 (\ \ ri jA. _ +<X> <3 丿B I?1 \ ° ——.+8D.10. 己知/（兀）是定义在7?上的函数，/（1） = 1，且对于任意的XG R 都有/（X 4-5）＞/（X ）4-5,/（X + 1）＜/（X ）4-1-X ,则 g （2016）的值为（）A. 1B. -1C. 2016D. 2018第II 卷（共90分）二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）11. 已知|方|=6,|亦=3,：馬=一12,则向量方在向量为方向上的投影是 __________________ 12. 阅读如图所示的程序框，若输入的〃是30,则输出的变量S 的值是13.已知在四面体ABCD^f BC = CD=\,BD = £,其余棱长均为2, II 四面体ABCD 的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 _____________ •三、解答题(本大题共6小题，共85分.14-18题每题15分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.)14. 已知在AABC 屮，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c, K/?2 = tz 2 + c 2, b = i.(2)若o = 2c,求\ABC 的而积.15. 为了分析某个高三学生的学习态度，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7次 考试的数学成绩兀，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.数学88 83 117 92 108 100 112 物理949110896104101106(1) 他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2) 已知该生的物理成绩〉，与数学成绩兀是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请估计他的数学成绩大约是多少？(参考公式：冋归方程y = bx^-a f 其中⑴若 tan A - tanC求c ；.a = y-bx ,其中工兀X = 70497,=70994 )/=! /=116 •如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与ACDE所在的平面交于CD,且AE丄平W]CDE.AE = i.（1）求证：平面ABCD丄平ifij ADE : ⑵设点F是棱BC上-点，若二面角A-DE"的余弦值为晋，试确定点F在BC上的位置.17.已知圆O： F + y2=4，点P为直线l：x = 4上的动点.（1）若从点P作圆0的切线，点P到切点的距离为2命，求点P的坐标以及两条切线所夹劣弧长；⑵若A（-2,0）,B（2,0）,直线PA, 与圆0的另一个交点分别为M,N ,求证：直线MN经过定点（1, 0）・18.已知函数y（x）= €/ + 'n x在点（1,/（1））处的切线与X轴平行.⑴求实数d的值及/（兀）的极值.⑵是否存在区间「,/ +彳）（『＞0）,使函数/（兀）在此区间上存在极值点和零点？若存在, 求出实数f的取值范］韦I;若不存在，请说明理由.⑶如果对任意的有|/（召）一/（兀2）|丫切丄一丄I，求实数a的取值范围.请考生在19、20、21三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.19.（本小题满分10分）选修4-1：儿何证明选讲如图所示，P4为圆0的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=\0,PB = 5^BAC的平分线与BC 和圆0分别交于点D 和E •⑵求AD AE 的值.20. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程x = 1 —t2r- （/为参数），曲线C| : < y = ^f• 2 ⑴设/与G 相交于A B 两点，求1R⑵若把曲线G 上各点的横坐标压缩为原来的尹纵坐标压缩为原来的刍倍，得到曲线C 2,设点P 是曲线C2上的一个动点，求它到直线/的距离的最小值. 21. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数/(兀)=1 2x - d I +Q .(1) 若不等式/(兀)< 6的解集为{x |-2<x<3},求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下,若存在实数〃使f(n)<m-f(-n)成立，求实数加的取值范围.(1)求证:AB _ PA ~AC~~PCx = cos 0八（&为参数）.y = sin &已知直线。

2021年福建省福州市市第一中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k2=8.01，附表如下：A．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”B．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”参考答案：A【考点】独立性检验．【分析】由题目所给数据，结合独立检验的规律可作出判断．【解答】解：∵k2=8.01＞6.635，∴在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关”，即有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”．故选：A2. 已知tanθ=2，则2sin2θ+sinθcosθ=（）A．2 B．C．﹣D．参考答案：A【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由于tanθ=2，利用“弦化切”可得即可求解．【解答】解：∵tanθ=2，∴2sin2θ+sinθcosθ===．故选：A ．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．3. 下列说法的正确的是A. 经过定点的直线的方程都可以表示为B. 经过定点的直线的方程都可以表示为C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为D. 经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为参考答案：D4. 直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A B C D参考答案：D5. 已知函数则满足不等式的的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：C略6. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A. (－∞,1)B. (－∞,3)C. (－1,2)D. (－2,1)参考答案：D【分析】构造函数，分析可得为奇函数，则，结合函数的奇偶以及单调性即可得到的取值范围。