三阶系统的综合分析与设计
摘要：真对三阶系统综合分析与设计问题，试绘制根轨迹，通过分离点的求解，理论分析单位阶跃响应，2
t
t
=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差，
t
r+
+
3
(t
)
)
(1
并求取当-6为闭环系统的一个极点时的K值，求取主导极点阻尼比为0.7时的K值，绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度，并验证了其正确性和有效性。
主题词：三阶系统，根轨迹，单位阶跃响应，传递函数
关键词 Third-order system's generalized analysis Abstract：Analyzes and designs the question really to the third-order systems synthesis. Draw root locus.Through solving separation point. Theoretical analysis unit order step response2
t
t
=. Unit Laplace domain signals. Ramp
+
r+
t
3
)
(1
)
(t
signals and unit of the steady-state error acceleration signal. And when calculating the 6 - for the closed-loop system when a pole of K value. Calculating the dominant pole damping ratio is 0.7 of K value. Draw Bode diagram and the Nyquist curve. Calculating the amplitude margins, and phase Angle tolerance. And to verify its validity and availability. And to verify its validity and availability.
Key words：Third-order system.Root locus.Unit order step-response.Transfer function
0引言：
在控制工程中，三阶系统非常普遍，但是三阶系统属于高阶系统,其动态性能指标的确定是比较复杂，不能像二阶系统那样可以用特定的公式计算。因此，我们可以借助于MATLAB 软件对高阶系统进行分析。要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制。以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性。
1．理论基础
1.1根轨迹：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上变化的轨迹。根轨迹由180度、0度和参量根轨迹。
1.2闭环系统：输出量直接或间接地反馈到输入端，形成闭环参与控制的系统成为闭环控制系统。也叫反馈控制系统。为了实现闭环控制，必须对输出量进行测量，并将测量的结果反馈到输入端与输入量进行相减得到偏差，再由偏差产生直接控制作用去消除偏差。整个系统形成一个闭环。对于自动控制系统而言，闭环系统，在方框图中，任何一个环节的输入都可以受到输出的反馈作用。控制装置的输入受到输出的反馈作用
时，该系统就称为全闭环系统，或简称为闭环系统。 1.3MATLAB 绘制根轨迹 1.4单位阶跃响应 1.5绘制BODE 图 2．方法提出
初始条件：某单位反馈系统结构图如图1、2所示：
)
图1 图2
要求绘制根轨迹，k 值的求取，稳态误差，单位阶跃响应，BODE 图和Nyquist 曲线判断稳定性。 3．实验验证
3.1理论绘制根轨迹
根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下： 开环传递函数为：7.13
()(2)(5)
G s s s s =
++
3.3.1根轨迹的起点、终点和根轨迹条数
根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括开环零点）。系统有三个极点（n=3）,没有零点（m=0）,即有三条根轨迹分支，它们的起始点为开环极点(0，-2，-5)；因为没有开环零点，所以三条根轨迹分支均沿着渐近线趋向无限远处。 3.1.2实轴上的根轨迹
根轨迹在实轴上的分布，实轴上的某一区域，若是右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹可知,实轴上的[-∞,-5] 和 [-2, 0]区域为根轨迹。 3.1.3根轨迹的确定
本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:
(21)
180,0,1,2,a k k n m
φ+=
︒=- 把n=3,m=0代入求得：
(21)(21)
18060,180,300(0,1,2)3
a k k k n m φ︒︒︒++=
︒===- 渐近线与实轴的交点为：
0257
303
n m j
i
j
i
p z
n m
ασ---=
=
=---∑∑
3.1.4分离点的求解
系统中没有有限零点，由法则五得：
111
025
d d d ++=++ 解得：72d =-和7
6
d =-
由于根轨迹区域为[-2, 0]，所以取7
6
d =- 3.1.5根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程式为
3
2
7100s s s k +++= 对上式应用劳斯判据，有：
3s
1 10
2s 7 k
1s
7*107
k
- 0s k
令劳斯表中1
s 行的首项为零，得k= 70,根据2
s 行的系数，得辅助方程： 72s +k=0
将k=70代入上式并令s j ω=,解得交点坐标 3.16/rad s ω=
