湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．对任意m Z Î，有()20m f =B ．函数()f x 的值域为[)0,¥+C ．存在Z n Î，使得()219n f +=D ．函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k Î，使得()()1,2,2k k a b +Í.(1)若点34,55B æöç÷èø，求cos AOC Ð的值；(2)设203AOB x x p æöÐ=<<ç÷èø，四边形ABCD 的最大值.20．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间关系满足如图所示的曲线，当[]0,1.5t Î时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]1.5,6Î时，曲线是函数()log 2.5a y t =++易知1,,222x ABD ACD BDA AOB p Ð=Ð=Ð=Ð=即1232x CAD COD p Ð=Ð=-，则在Rt △ABD 中，sin 2sin 2x AB AD ADB =×Ð=，同理，sin 2sin 32x CD AD CAD p æö=×Ð=-ç÷èø，则22sin 12sin 32sin 22322x x x y p æö=+++-=++ç÷èø32sin3cos sin 3sin 3cos 2222x x x x ++-=++即2e e 10x x p -+=，此时240010p p ì->ï>íï>î，方程有2根，即函数()F x 有两个零点；③当a<0时，()020h a =->，()2220h a =-<，此时方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；综上所述：当1a =时，函数()F x 有一个零点；当01a <<时，函数()F x 有两个零点；当0a £或1a >时，函数()F x 无零点.。

湘一实验中学新生入学考试数 学 试 卷时量：90分钟满分：100分 一. 计算（每小题3分，共24分） 1. =⨯2525243______________________ 2. =⨯-+60)6712743(3. =⨯+⨯⨯399973125888.04. =÷-⨯+⨯4.0155.009.075.3851875.3 5.=-⨯⨯+333456123122456123 6.=+÷⨯)15019123.0()5625.01.0( 7.=+++30119201171211561138.=÷⨯÷001.001.01.01二、填空题（每小题3分，共45分）9.有1、2、3、4、5、6数字卡片各一张，每次取两张组成一个两位数，可以组成__________个偶数。

10.+⨯+1232123…+123123⨯的和除以7的余数是11. 分数中125，1912，2310，74，2215中，最小的分数与最大的分数的最简整数比是_______________12.为迎接五城运动会，某校设计一个正方形与一个圆形的花坛种花，它们的周长相等，则这个正方形花坛的面积是圆形的花坛的面积是圆形的花坛面积的百分之几？（14.3=π）答13.价格为40元的某种商品的税额一般在%5.6和%6之间，这两种税额差是 元（税额指：缴纳的税款）14.观察等式：22333223323636)321(321,39)21(21,111==++=++==+=+==；请计算 =+++++333333654321 。

15.某个体商店以每双6.5元购进一批拖鞋，售价为7.4元，卖到还剩5双时，除成本外还获利44元，则共卖出______________双拖鞋。

16.有一串数，前面两个数分别是1,2003,从第3个数开始，每个数都是前2个数的差（以大数减小数），则这串数的第205个数是________________________.17.“八一建军节”那天，某中队少先队员以每小时4千米的速度从学校往相距17千米的舟桥部队去慰问，出发0.5小时后，战士们闻讯前往迎接，每小时比少先队员快2千米，再过几小时他们在途中相遇？答__ _____________小时。

20一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项时正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 42．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。

现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ） 203．已知c b a 、、是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abccabbca222++的值为（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B 、C ，且与边AB 、AC 分别相交与点D 、E 。

若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心5．方程256323+-=++y y x x x 的整数解()y x ，的解的个数（ ） （A ） 0 （B ） 1 （C ） 3 （D ） 无穷多 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图点A 、C 都在函数()033 x xy =的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 。

7．如图，在直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，4=CA ，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 。

长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案汇总经过多年的发展，长沙市已经形成了以长沙一中、长沙二中、长沙四中、长郡中学为代表的四大名校。

这些学校在长沙市的教育界享有崇高的声誉，被广大学生和家长所追求。

为了选拔出最优秀的学生，这些名校会举行自主招生考试。

本文将对长沙市高中四大名校自主招生考试试卷及答案进行汇总，帮助考生更好地了解考试内容。

首先，我们先来看一下长沙一中自主招生考试试卷及答案汇总。

长沙一中自主招生考试试卷通常由语文、数学、英语和综合四个部分组成。

其中，语文部分主要包括阅读理解、写作和文言文等题型；数学部分主要包括选择题、计算题和应用题等题型；英语部分主要包括听力、阅读和写作等题型；综合部分主要包括物理、化学、生物和历史等学科的考查。

考生需要根据自己的实际情况选择答题顺序，并在规定的时间内完成试卷。

长沙一中自主招生考试试卷的答案通常会在考试结束后公布，考生可以通过官方网站或咨询老师等方式获取。

接下来，我们再来看一下长沙二中自主招生考试试卷及答案汇总。

长沙二中自主招生考试试卷的题型与长沙一中相似，主要包括语文、数学、英语和科学等部分。

语文部分主要涉及阅读理解、写作和古文阅读等内容；数学部分主要包括选择题、填空题和证明题等内容；英语部分主要包括听力、阅读和写作等内容；科学部分主要包括物理、化学和生物三个学科的考查内容。

同样，长沙二中自主招生考试试卷答案也会在考试后及时发布，方便考生核对答案。

然后，我们继续介绍长沙四中自主招生考试试卷及答案汇总。

长沙四中自主招生考试试卷的组成与前两所学校类似，同样包括语文、数学、英语和综合四个部分。

语文部分主要包括阅读理解、写作和文言文等内容；数学部分主要包括选择题、填空题和解答题等内容；英语部分主要包括听力、阅读和写作等内容；综合部分主要涵盖物理、化学和生物三个学科的内容。

考生在完成试卷后，可以通过查看官方网站或向学校咨询的方式获得答案。

最后，我们来了解一下长郡中学自主招生考试试卷及答案汇总。

FB 长沙市一中自主招生数学测试卷（一）一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程2230x ax a-+-=至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、22<<-a B、23≤<a C、23≤<-a D、23≤≤-a2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边BCAB、的中点，DFBD、分别交CE于点HG、，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于……………………（）A、26B、28C、24D、303、设zyx、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(zxxyxzxxyx---=-+-，则代数式xyzzyx3333-++的值是…………………（）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：︒=∠=∠=30,53cos,10BCEBCDBC，则线段DE的长是…………………（）A、89B、73C、4+33D、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是…………………（）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数dcba、、、同时满足下列两个等式：⑴0cossin=-+cbaθθ；⑵0sincos=+-dbaθθ（其中θ为任意锐角），则dcba、、、之间的关系式是：。

8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内 部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角 形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________．2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________．3．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D,则=_________．4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________．5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个．6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________．7．已知，则分式=_________．8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3,S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________．9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个．10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a,最大值为2b，求a、b的值．12．函数,其中a为任意实数,则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为_________．二、解答题（共8小题，满分0分）13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3)x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3,DC=2，求△ABC的面积．15．一个三角形的三边长分别为a、a、b,另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________．16．求方程组的实数解．17．如图,在半径为r的⊙O中，AB为直径,C为的中点，D为的三分之一分点,且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点),求AE的长．18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若．求证：AD=AE．19．如图,在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证:∠DAE=∠BAF．20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设a为的小数部分,b为的小数部分，则的整数部分为5．考点: 估算无理数的大小．分析：根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算,估计结果的整数部分．解答：解：∵1＜＜2,1＜＜2，∴a=﹣1，b=﹣1，∴===(﹣+﹣1)（+）=+2+1，∵≈1。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，哪个数是负数？A. -3B. 0C. 3D. -52. 已知一个等差数列的前三项分别是3、5、7，则该数列的公差是：A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形4. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是：A. （-2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （2，3）5. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^4二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积是______。

7. 若一个正方形的周长为20cm，则该正方形的对角线长为______cm。

8. 在直角坐标系中，点B（-4，5）关于y轴的对称点是______。

9. 若一个数的平方是49，则这个数是______。

10. 已知一个等比数列的前三项分别是2、6、18，则该数列的公比是______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. （解答题）已知等差数列的前三项分别是3、5、7，求该数列的第四项。

12. （解答题）已知一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，求该三角形的周长。

13. （解答题）在直角坐标系中，已知点A（2，3）和点B（-4，5），求线段AB的长度。

14. （解答题）已知一个数的平方是49，求这个数的正负。

15. （解答题）已知一个等比数列的前三项分别是2、6、18，求该数列的第五项。

答案：一、选择题：1. A2. A3. B4. A5. B二、填空题：6. 247. 108. （4，5）9. ±710. 3三、解答题：11. 912. 2813. 6√214. ±715. 54。

自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。

2014年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分．每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分）1．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（）A．3B．7C．8D．112．（5分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3．（5分）已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x ﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 4．（5分）记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004B．2006C．2008D．20105．（5分）以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB 交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）A．B．C．D．46．（5分）某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15B．16C．17D．18二、填空题（每小题6分，共48分）7．（6分）若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=．8．（6分）在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为．9．（6分）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是．10．（6分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为．11．（6分）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为．12．（6分）如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD 的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为．13．（6分）按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是．14．（6分）给你两张白纸一把剪刀．你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀，要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀（分别在旁边的白纸上画出来）三、解答题（本大题共5小题，12'+12'+14'+18'+16'=72'）15．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b 厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动．ⅰ）设x秒后△A′B′C′与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；ⅱ）几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？16．（12分）已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O 的切线交x轴于点A．（1）求直线HA的函数解析式；（2）求sin∠HAO的值；（3）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由．17．（14分）青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？18．（18分）如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．19．（16分）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m ×n）的值．2014年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共30分．每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分）1．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（）A．3B．7C．8D．11【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．【解答】解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故选：B．【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数字．2．（5分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（1）不改变车票价格，减少支出费用，则收支差额变大，【解答】解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议（1），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（2）．故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．3．（5分）已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x ﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．【解答】解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0变形得（x﹣m）（x﹣n）=3，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，关键是对m，n，a，b大小关系的讨论是此题的难点．4．（5分）记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004B．2006C．2008D．2010【分析】本题需先根据得出n×T n=（S1+S2+…+S n），再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【解答】解：∵∴n×T n=（S1+S2+…+S n）T500=2004设新的理想数为T x501×T x=8×501+500×T500T x=（8×501+500×T500）÷501==8+500×4=2008故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要根据题意找出关系是解题的关键．5．（5分）以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB 交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）A．B．C．D．4【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB=A′B，∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故选：A．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．6．（5分）某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15B．16C．17D．18【分析】现根据题意设未知数，再根据公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行列方程组求解．【解答】解：设A到B调x1件，B到C调x2件，C到D调x3件，D到A调x4件，这里若x i（i=1，2，3，4）为负数，则表明调动方向改变．则由题意得：，解得：，则调动总件数为|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|，它的最小值为16．故选：B．【点评】本题考查的是多元一次方程组，解答此题的关键是分别设出A到B调x1件，B到C调x2件，C到D调x3件，D到A调x4件，再根据A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件列出方程组，求出未知数的值．二、填空题（每小题6分，共48分）7．（6分）若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+ (1)=2000．故答案为：2000．【点评】此题主要考查了取整函数的性质，得出[]=[]=[1+]=1等，是解决问题的关键．8．（6分）在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为．【分析】连接DE，根据相似三角形的判定定理得出△DCE∽△ABC，进而判断出AB∥CD、△DEF∽△ABF，再根据相似三角形的性质即可进行解答．【解答】解：连接DE，∵AE=2CE，BD=2CD，∴=，且夹角∠C为公共角，∴△DCE∽△ABC，∴∠CED=∠CAB ， ∴AB ∥DE ， ∴△CDE ∽△CBA ，∴==，∴=，∵S △ABC =3， ∴S △CDE =3×=，且∠EDA=∠BAD ，∠BED=∠ABE ， ∴△DEF ∽△ABF ，∴==，∴设S △DEF =x ，则S △AEF =S △BDF =3x ，S △ABF =9x ， ∴x +3x +3x +9x=3﹣， 解得：x=， ∴S △DEF =，∴S △DEF +S △CDE =+=． 故答案为：．【点评】本题考查的是面积及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质性质进行解答．9．（6分）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是．【分析】抽取3面旗，总共的情况计算思路为：第一面旗有9种，第二面有（9﹣1）即8种，第三面有（9﹣1﹣1）即7种，则总的情况有9乘以8乘以7等于504种；要求颜色和号码都不同的情况计算思路为：第一面旗还是有9种情况；第二面旗的情况为：除去第一面已选的颜色外，还剩另外2种颜色本来是6种情况，但是第一面旗肯定能确定一个号码，所以剩下的2种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样，则选了第一面旗后，第二面旗的选择就只有4种情况了；而第一面旗和第二面旗选定后，第三面旗就已经确定唯一了，即轮到第三面旗的时候就没的选了，前面2面旗已经把颜色和号码都定死了．【解答】解：根据乘法公式可知：任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504种情况，三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有9×4×1=36种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率是=．故答案为：．【点评】此题考查了利用乘法公式求概率．解题的关键是求得总共的情况数与要求颜色和号码都不同的情况数．10．（6分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．11．（6分）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为201．【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．【解答】解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×100+1=201，故答案为：201．【点评】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较小的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题．12．（6分）如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD 的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为．【分析】把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a 和b的值，得到E的坐标．【解答】解：把（1，3）代入到y=得：k=3，故函数解析式为y=，设A（a，）（a＞0），根据图象和题意可知，点E（a+，），因为y=的图象经过E，所以将E代入到函数解析式中得：（a+）=3，即a2=，求得：a=或a=﹣（不合题意，舍去），∴a=，∴a+=，则点E的横坐标为．故答案为：．【点评】此题考查学生会根据一点的坐标求反比例的解析式，灵活运用正方形及反比例函数的性质解决实际问题，是一道中档题．13．（6分）按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是2＜x≤4．【分析】把x=5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．【解答】解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，结果是3x﹣2；第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤4∴2＜x≤4．即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．故答案为：4；2＜x≤4．【点评】考查一元一次不等式组的应用；根据第4次和第5次的运算结果得到关系式是解决本题的关键．14．（6分）给你两张白纸一把剪刀．你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀，要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀（分别在旁边的白纸上画出来）【分析】根据折叠的性质，第一个图形可将正方形两对折，剪边上一角可得图1的图形，而第二个图形因为在中间，故要将正方形三对折，可以动手自己做做．【解答】解：【点评】本题考查的图形的折叠问题，注意空间想象能力，类似这样的问题，可以自己动手做做．三、解答题（本大题共5小题，12'+12'+14'+18'+16'=72'）15．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b 厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动．ⅰ）设x秒后△A′B′C′与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；ⅱ）几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？【分析】（1）利用根与系数的关系及根的判别式、勾股定理列出有关m的方程后求得m的值，代入方程求得方程的两根后即可求得a和b的值；（2）x秒后BB′=x，得到B′C′=4﹣x，利用C′M∥AC得到△BC′M∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式后用x表示出MC′后利用三角形的面积公式表示出函数关系式，最后代入y=后求得x的值即可．【解答】解：（1）∵三角形ABC是直角三角形，且AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b 厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，∴∴（a+b）2﹣2ab=25即：（m﹣1）2﹣2（m+4）=25因式分解得（m﹣8）（m+4）=0解得：m=8或m=﹣4（舍去）∴m=8∴方程为x2﹣7x+12=0解得：x=3或x=4∴a=4，b=3（2）ⅰ）∵△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动，∴x秒后BB′=x则B′C′=4﹣x，∵C′M∥AC∴△BC′M∽△BCA∴=∴MC′=（4﹣x）=y=（4﹣x）×（4﹣x）=（0≤x≤4）∴S△BCMⅱ）当y=时，=解得：x=3或x=5（不合题意）∴3秒后重叠部分的面积等于平方厘米．【点评】本题考查了相似三角形的综合知识，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，应加强训练．16．（12分）已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O 的切线交x轴于点A．（1）求直线HA的函数解析式；（2）求sin∠HAO的值；（3）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由．【分析】（1）连OH，作HK⊥x轴于k，根据关于x轴对称的坐标特点得到H点坐标为（3，﹣4），再根据切线的性质由AH为⊙O的切线，得到OH⊥AH，利用等角的余角相等得到∠OAH=∠KHO，根据三角形相似的判定得RtAKH∽Rt△HKO，则AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，求出AK=，易得A点坐标为（，0），然后利用待定系数法求直线AH的解析式；（2）在Rt△OKH中，利用勾股定理计算出OH=5，然后在Rt△OAH中，利用正弦的定义即可得到sin∠HAO的值；（3）过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，根据垂径定理得到OM垂直平分DN，即D点与N点关于x轴对称，则N点坐标为（3，﹣4），ON=5；由DM⊥EF根据等腰三角形的性质可得DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，根据圆周角定理的推论得到弧BN=弧CN，然后利用垂径定理的推论可得OT⊥BC，利用等角的余角相等得到∠TGO=∠MNO，在Rt△OMN，OM=3，MN=4，利用正弦的定义即可得到sin∠MNO==，则sin∠CGO=，即sin∠CGO的大小不变．【解答】解：（1）如图，连OH，作HK⊥x轴于k，∵点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，∴H点坐标为（3，﹣4），∵AH为⊙O的切线，∴OH⊥AH，∴∠AOH+∠OAH=90°，∠KOH+∠KHO=90°，∴∠OAH=∠KHO，∴Rt△AKH∽Rt△HKO，∴AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，∴AK=，∴OA=OK+AK=3+=，∴A点坐标为（，0），设直线HA的函数解析式为y=kx+b，把H（3，﹣4），A（，0）代入得，解得，∴直线HA的函数解析式为y=x﹣；（2）在Rt△OKH中，OH==5，在Rt△OAH中，sin∠HAO===；（3）sin∠CGO的大小不变．理由如下：过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，如图，则OM垂直平分DN，即D点与N点关于x轴对称，则N点坐标为（3，﹣4），ON=5，又∵△DEF为等腰三角形，DM⊥EF，∴DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，∴弧BN=弧CN，∴OT⊥BC，∴∠TGO+∠GOT=90°，而∠MNO+∠MON=90°，∴∠TGO=∠MNO，在Rt△OMN，OM=3，MN=4，∴sin∠MNO==，∴sin∠CGO=．即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin∠CGO的值不变．【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦所对的弧的直径垂直平分弦；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；运用待定系数法求函数的解析式以及关于坐标轴对称的点的坐标特点；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理进行几何计算．17．（14分）青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？【分析】（1）根据二分队的行进速度为（4+a）千米/时与路程为10，得出二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，又一分队用1小时打通道路，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，即可得出一分队的行进速度；（2）根据要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时，得出等式方程，进而分析得出符合要求的答案．【解答】解：（1）根据塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路一个小时后道路畅通，那么我们再看二分队，二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，那么在二分队经过小时后到达塌方处的时候，一分队必须清理好塌方，也就是说一分队至少提前一小时到达塌方处（距离营地10KM）而一分队只要保证比二分队提前一个小时到达塌方处再利用一个小时打通塌方，那么当二分队到达塌方处才不会影响时间，而后二分队按照（4+a）千米/时的速度前行与一分队无关，这样就很好算了，路程10KM，二分队速度：（a+4）KM每小时，那么二分队到达塌方处需要小时，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，这样路程10KM，一分队所用时间（﹣1）小时，一分队的行进速度至少为=千米/时；当a=0时，一分队的行进速度至少为千米/时；（2）要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时．根据题意得：+1=+a，解得：a=或a=（不合题意舍去）这样a=大于3，不符合题意．∴当二分队不休息，也就是=，解得：a=0，∴二分队应在营地休息0小时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，此题比较抽象根据行程时间得出等式是解决问题的关键．18．（18分）如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．。

第一套：满分150分2020-2021年长沙市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合{}4M =<，{}31N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．已知复数12i z =-（i 为虚数单位），且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1a =，2b =-B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =D ．1a =-，2b =-3．如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B ．10x --=C 310y --=D 20y --=4．有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是（ ） A ．16B ．15C ．45D ．565．在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，∠BAC =60°，AM ，BN 分别是BC ，AC 边上的中线，则AM BN ⋅=（ ） A ．12B ．12-C ．52D ．52-6．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1D ．()(),01,-∞+∞7．在等腰△ABC 中，∠ABC =120°，点O 为底边AC 的中点，将△ABO 沿BO 折起到△DBO 的位置，使二面角D−BO−C 的大小为120°，则异面直线DO 与BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭，对[]0,2x π∈恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ）A ．2；2B ．2；2- C ．2-；2- D ．2-；2二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．若110a b<<，则下列结论一定正确的是 A ．2ab b < B ．22a b <C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．a b a b ->+10．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法，其中正确的是（ ） A ．2022年我国5G 用户规模年增长率最高 B ．2025年我国5G 用户数规模最大C ．从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D ．这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC−A 1B 1C 1展开得到平面图如图所示，∠ABC =90°，AA 1=AB ，P 为AB 1的中点，Q 为A 1C 的中点，则在原直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，下列说法正确的是（ ）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面 B ．A 1C ⊥AB 1C ．几何体A−PQCB 和直三棱柱ABC−A 1B 1C 1的体积之比为38D ．当BC AB 时，A 1C 与平面ABB 1所成的角为45°12．已知动圆C ：()()22cos sin 1x y αα-+-=，[)0,2απ∈，则（ ）A ．圆C 与圆224x y +=相切B ．圆C 与直线sin cos 10x y αα+-=相切C ．圆C 上一点M 满足CM =（0，1），则M 的轨迹的长度为4πD ．当圆C 与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1选择题答题卡三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a ，b 的夹角为45°，=a 2⋅=a b ，若()λ+⊥a b b ，则λ=________．14．军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm ）分别为168，171，172，173，175，175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为________． 15．写出与圆221x y +=和()()223416x y -+-=都相切的一条直线的方程________．16．神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A 处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B 处和C 处，如图为其示意图，若A ，B ，C 在同一水平面上的投影分别为A 1，B 1，C ，且在C 点测得B 的仰角为26.6°，在C 点测得A 的仰角为45°，在B 点测得A 的仰角为26.6°，BB 1=7km ，∠B 1A 1C =120°．则CA 1的长为________km．（参考数据：1 tan26.62︒≈）四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在某公司一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为23，且各轮题目能否正确回答互不影响．（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；（2）求李明通过面试的概率．18．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：BC ⊥平面BDE ． 19．（本小题满分12分）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=．（1）设直线1l 与2l 的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；（2）设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合． 20．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E−AM−D 21．（本小题满分12分） 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅．（1）若cos cos A Bb a=，判断△ABC 的形状并说明理由； （2）若△ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆M ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：20x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。