2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题
1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________．
2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________．
4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________．
5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个．
6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________．
7．已知，则分式=_________．
8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________．
9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个．
10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．
11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．
12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为
_________．
二、解答题（共8小题，满分0分）
13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．
15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________．
16．求方程组的实数解．
17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．
18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC 的延长线于F，若．
求证：AD=AE．
19．如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF．
20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．
2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为5．
考点：估算无理数的大小．
分析：根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算，估计结果的整数部分．
解答：解：∵1＜＜2，1＜＜2，
∴a=﹣1，b=﹣1，
∴=
=
=（﹣+﹣1）（+）
=+2+1，
∵≈1.732，2≈2828，
∴5＜+2+1＜6，
+2+1的整数部分为5，
故答案为：5．
点评：此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．
2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889．
考点：二元一次方程组的解．
分析：将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值．
解答：
解：联立方程组，
解得，
则m+n=500x﹣489y+640x+20y
=1140x﹣469y
=1140×3﹣469×（﹣1）
=3889，
故答案为：3889．
点评：本题考查了二元一次方程组的解．结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=．
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：过D作DE⊥AB于E，求出CD=DE，求出∠BDE=30°，求出BD=2BE，CD=DE=BE，根据勾股定理求出AE=AC，求出AB﹣AC=BE，代入求出即可．
解答：解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴BD=2BE，
由勾股定理得：DE=CD=BE，
由勾股定理得：AE2=AD2﹣DE2，AC2=AD2﹣CD2，
∴AE=AC，
即AB﹣AC=AB﹣AE=BE，
∴==．
故答案为：．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，关键是能根据性质求出CD=BE和AB﹣AC=BE，题目比较好，是一道具有一定代表性的题目．
4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=2001．
考点：一元二次方程的解．
专题：计算题．
分析：由a为方程x2﹣2002x+1=0的根，所以将x=a代入方程得到关于a的等式a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a，然后将所求的式子的第二项变形为﹣4004a+a，前两项提取2变形后，将a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a代入，合并约分后再将a2+1=2002a代入，整理后即可得到值．
解答：解：∵a是方程x2﹣2002x+1=0的根，
∴将x=a代入方程得：a2﹣2002a+1=0，
∴a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a，
