理论力学9-刚体动力学

x sin sin cos y cos z
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刚体一般运动的微分方程
刚体质心的运动（质心运动定理）
C R( e ) mv
刚体相对于质心平动系的运动（相对质心 动量矩定理）
自转角速度 1 进动角速度 2
可由动量矩定理和变矢量对时间的导数的几 何意义证明
规则进动：自转角速度和进动角速度的大 小都是常数、章动角为常数的定点运动
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陀螺近似理论
第 9章
陀螺近似理论
(1 2 )
ω ω1 ω2
LO J x x i + J y y j + J z z k J x2 x i + J y 2 y j + J z (1 2 z )k
x ( J z J y ) y z M x J x y ( J x J z ) x z M y J y z ( J y J x ) y x M z J z
对于固连系
刚体动力学
(e) ω J Oω M O J Oω
刚体动力学
9.3 陀螺近似理论
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规则进动
欧拉角：
莱查定理
Z
y
第 9章
— 进动角 — 章动角 — 自转角
z
O

刚体对定点的动量矩矢量端点在惯性参考系 中的速度，等于外力对同一点的主矩
u M L O LO O
x
Y N(节线)
刚体动力学
刚体动力学
0 , 0 2 , 0 2 X
建立固连坐标系Cx1y1z1，基向量i、j、k ω sin j1 cos k1 对质心的动量矩
LC J x1 x1i1 J y1 y1 j1 J z1 z1k1
解
第 9章
例 9-3
M Cx1 l ( N Ay N By ) 2 ( J1 J 2 ) 2 sin cos M Cy1 l cos ( N Bx N Ax ) 0 2 M Cz1 l sin ( N Bx N Ax ) 0 2
0
0 0 1 mR 2 2
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JO是实对称阵，必存在三个实特征值（即为 主转动惯量），相应的特征向量就是三个惯 性主轴。
定点运动刚体的动力学方程
dLO (e) MO dt
L d (e) O ω LO M O dt
欧拉动力学方程
第 9章

固连坐标系为主轴坐标系
引言
第 9章


第9章 刚体动力学 动力

动力学普遍定理给出了一般质点系动力学 问题的分析方法，之前着重分析了刚体平 面运动的动力学问题 刚体定点运动和一般运动在理论和工程上 都具有重要意义，如何分析其动力学问题？ 如何求解定轴转动刚体的约束反力？
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2013年12月16日
第 9章
刚体动力学 刚体动力学
解
刚体动力学
J1 sin j1 J 3 cos k1 dLC ω LC ( J1 J 3 ) 2 sin cos i1 dt
质心运动定理
N Ax N Bx 0, N Ay N By 0
N Ax 0, N Bx 0 J J N Ay N By 1 3 2 sin cos l
J z ( x 2 y 2 ) dm
J y ( z 2 x 2 ) dm J xz J zx xz dm
T 1 T J O 2
惯性积
J yz J zy yz dm
J xy J yx xy dm
惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量 分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量
2 1 ml 2 2 解法二： T 1 mvC Tr 1 ml 2 z2 24 z 2 8
Jx 1 ml 2 , J z 1 ml 2 3 3
1 ml 2 3 JO 0 0 0 0 0 0 0 1 ml 2 3
1 ml 2 z2 6
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转子动平衡
第 9章 动不平衡的转子 对转子进行动平衡 第 9章
转子动平衡
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2013年12月16日
第 9章
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刚体动力学
刚体动力学
J yz 0
Leabharlann Baidu
J yz 0
附加质量以改变整个转子的质量分布，使转 轴成为中心惯性主轴
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陀螺
第 9章 如果刚体对O点的两个主转动惯量对称，例如 Jx = Jy = J，则称刚体动力学对称，Oz轴称为动 力学对称轴。 陀螺：绕动力学对称轴高速 旋转的定点运动刚体 结构特性：动力学对称 运动特性：绕对称轴高速旋 转 陀螺有何动力学特性？ 如何解释？
J x J xy J xz x J yx J y J yz y 0 J zx J zy J z z
y
1 mR 2 4 JC 0 0
0
1 mR 2 4
第 9章
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第 9章
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刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
z
x
1 m(b 2 c 2 ) 12 0 0 1 m( a 2 c 2 ) 0 0 JC 12 1 m( a 2 b 2 ) 0 0 12
JO = — 惯性矩阵的特征值问题
固连系中刚体对O点的惯量矩阵
J x J xy J xz r 2 I r r T dm J yx J y J yz JO J J Jz zy zx
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刚体动力学
刚体动力学
转动惯量 J x ( y 2 z 2 ) dm 转
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惯性主轴
可以证明，一定存在正交阵A，使得
J' O A J O A
T
确定惯性主轴的几何法
第 9章

为对角阵
J x 0 0 J' O 0 J y 0 0 0 J z
惯量矩阵的 转轴公式
如果均质刚体有对称平面， 则平面上某点的惯性主轴之 一必与平面垂直
z1 z 2 对称面 o1 o2
2 2 4 0 2
J xz 2 J yz 0 2 J xz J yz 0
J xz J yz 0
定轴转动刚体的动反力等于静反力的充要 条件是，转动轴为刚体的中心惯性主轴
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例 9-3
L d (e) C ω LC M C dt
9.2 定轴转动刚体的动反力
讨论：如果两个力系的主矢量和对质心的主 矩相等，则在这两个力系作用下刚体质心的 运动和绕质心的定点运动完全相同，因此两 个力系等效。
3
定轴转动刚体的动反力
第 9章 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz 在固连坐标系中 ] T ε [0 0 ] T ω [0 0 解除约束，代之以约束反力， 解除约束 代之以约束反力 刚体动力学方程为
列阵形式
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2 T LO r ω r r ω dm J Oω
惯量矩阵
第 9章

定点运动刚体的动能
第 9章
T 1 mi vi2 1 mi vi (ω ri ) 2 2
1 ω (ri mi vi ) 1 ω Lo 2 2
Lo J o ( J xz z
y
解
ωz
J yz z
J z z ) T
J xy J xz J yz J y 0
l
Lo 1 ml 2 z k 3
刚体动力学
3 杆的动能 3. 解法一： T 1 T J o 1 J 2 1 ml 2 z2 2 2 z z 6
上式非常复杂，是否有简化形式？
讨 讨论：若外力系的主矩是角速度和时间的函 若外力系 矩 角 度 时 函 数，则可由欧拉动力学方程求解角速度，再 由欧拉运动学方程积分得到欧拉角； 若外力系的主矩还是欧拉角的函数， 则需要联立欧拉动力学方程和欧拉运动学方 程求解。 cos sin sin
动反力等于静反力的条件
yC 2 xC 0 2 yC xC 0
例 9-3
第 9章 已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯量为 J1、 J1 、 J3 ，在转轴AB上有安装偏角α。 求：以角速度 匀速转动时A、B轴承的动反力
xC yC 0
刚体动力学
刚体定点运动的动量矩
定点：O 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz

z

r
9.1 刚体动力学方程
刚体对O点的动量矩
L O r v dm
2 LO r ω (ω r ) r dm
x

o

y
r v r (ω r ) ( r r ) ω (ω r ) r r 2 ω (ω r ) r
C R RO RA mv
A
定轴转动刚体的动反力
z
第 9章 固连系中的分量形式
mxC Rx ROx RAx myC
2
z

RA
ω, ε C
F1
RO F2
Fm

A
myC 2 Ry ROy RAy mxC
0 Rz ROz
J yz 2 M x lRAy J xz J xz 2 M y lRAx J yz M z J z
P
m x z
i i i
0
m y z
i
i i
0
刚体动力学
如果均质刚体有对称轴,
惯量矩阵为对角阵的坐标系Oxyz称为主轴
坐标系，相应的坐标轴称为惯性主轴，对 角元称为主转动惯量。
惯量矩阵为对角阵的质心坐标系Cxyz称为
则此轴是轴上各点的惯性 主轴
z
对称轴
m x z
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i i i
x
O
ωz
y l
Tr 1 T JC 2
2 刚体一般运动的动能： T 1 mvC 1 T JC 2 2
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例 9-1
建立固连坐标系Oxyz 1. 杆对O点的惯量矩阵
x 0, z 0
x O z
解
第 9章
例 9-1
2. 杆对O点的动量矩 ω z k (0, 0, z )T
0
m y z
i
i i
0
x
y
中心主轴坐标系，相应的坐标轴称为中心 惯性主轴。
2
例 9-2 用几何法确定中心惯性主轴
第 9章
z
确定惯性主轴的解析法
第 9章 矢量LO与一般不共线： LO = JO 如果 沿某一惯性主轴z： = z k LO =Jz — LO与 共线
c
y
x
b
a
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F1
RA
ω, ε C
RO
F2
Fm
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第 9章
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第 9章
23/38
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
l
l
rc
y
rc
y
L d O ω LO M O rOA R A dt
O


轴承动反力反映了刚体对转轴 的动力不对称性
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O

x



x
定轴转动刚体的动反力
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1
刚体相对于质心平动系的动量矩和动能
第 9章 相对质心动量矩
LCr ρi mi vir mi ρi (ω ρi )
mi [ i2ω ρi ( ρi ω)]
例 9-1
第9章 均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求: 1. 杆对O点的惯量矩阵 2. 杆对O点的动量矩 z 3. 杆的动能
LCr J C ω
其中 J C mi [ i2 I i i T ]
2 2 1 ω ( ρi mi vir ) 1 ω LCr 2 2
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第 9章
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第 9章
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刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
2 相对运动动能 Tr 1 mi vir 1 mi vir (ω ρi )