代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等
多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。
多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。
行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。
例1：矩阵A[ 1 , 0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换，确定a b c d之间的关系，并写出矩阵M
[ 2，-1] [ c,d]
解：直接代入AM=MA，
( a b ) = ( a+2b c+2d ) ( 2a-c 2b-d ) ( -b -d )，
于是b=0，c+2d=2a-c=0，d=-a，c=2a，所以 ( 1 0 )
M=a ( 2 -1) =aA。
不是方阵的矩阵也可以有“逆”。一个比较典型的“逆”是Moore-Penrose逆
（Moore-Penrose Pseudoinverse，之所以有Pseudo，我觉得是因为它和方阵的逆还不完全兼容，在方阵本身不可逆的情况下，它也是存在的）。矩阵A如果是m*n的，那么它的Moore-Penrose逆B是n*m的，同时满足： (1)ABA=A； (2)BAB=B；
(3)(AB)^* = AB； //其中A^*指的是A的共轭转置， (4)(BA)^* = BA。 //对于实矩阵来讲共轭转置就是转置
容易看出，如果A是方阵，那么A的Moore-Penrose逆是唯一的，就是它的逆。即使A不是方阵，它的Moore-Penrose逆也是唯一的。另外如果取两次Moore-Penrose逆那么会变回原来的矩阵，也就是，A的逆的逆是A。
例2： x a a a
a x a a a a x a
a a a x 的解法解:
原式=(第一行为各行相加) x+3a x+3a x+3a x=3a a x a a a a x a a
a a a x =
1 1 1 1 a x a a
a a x a ×（x+3a） a a a x
=(2、3、4行依次减去a倍的1行) 1 1 1 1 0 x-a 0 0
0 0 x-a 0 ×（x+3a） 0 0 0 x-a
=（x+3a）（x-a）^3
解决高等代数问题要从基础出发，一步一的来，最后了解题目所代表的意义，这样才能学好高代，更好地做题。
