线性代数大一上学期考试复习

x1 x2 2x3 2x1 x2 x3
x4 1 2x4
3
3x1 x2 3x4 5
解
1
(
AM
)
1
0 1
1 2
1 1
2 1
r2 r1
r3 2r1
r4 3r1
1 0
0 1
1 3
1 0
2 1
2 1 1 2 3 0 1 3 0 1
3
1
0
3
5
0 1 3 0 251
r3 r2
性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后 再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 3
几个重要结论：
a11
(1) D
a 22
a a11 22 ann
ann
(2) D
a1n
a2,n1
n( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
a n1 4
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
0
1
0
3
4
0
1
0
3
4
0 0 1 4 7 0 0 1 4 7
2
3
4
11
12
0
0
0
0
14
所以, 向量组的秩等于4，故向量组线性无关.
21
三. 线性方程组的求解 △
非齐次：化B为阶梯形，比较 rA,rB,n之间的关系
rA rB rA rB n rA rB n
无解 无穷多解
x1 x2 x3 L xn a a 0 L 0 Dn 0 a a L 0 L L LLL 0 0 0L a
n
x1 x2 L xn x2 x3 L
ci c1
0
a 0L
i2
0
a a L
xn 0 按第1列展开 0
M
M MMM
0
0 0L a
9
x1 x2 L xn x2 x3 L xn
0
a 0L 0
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
矩阵与矩阵相乘： 设 A (aij)ms, B (bij)sn, △ 规定 AB C (cij)mn,
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 A
的转置矩阵，记作 A 或 A
.
13
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak A AA
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f ( A) a Ak a Ak1 a A a E
k
k 1
1
0
方阵的行列式：
满足: 1 A n A ; 2 AB A B
14
三. 逆矩阵的计算
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
1 2 1
α1
0
,
α
2
1
,
α3
1 ;
1
1
1
0 1 1
β1
1
,
β2
1
,
β3
2
1
0
1
(1)求由基底1,2,3到基底1,2,3的过渡矩阵;
(2)已知向量在基1,2,3下的坐标为(1, 2, 3)T，求 在基1,2,3 下的坐标。
28
解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为
0
a a L 0
M
M MMM
0
0 0L a
a 0L 0
按第1列展开
a a L 0
( x1 x2 L xn ) L L L L
0 0L a ( n 1)
(x1 x2 L xn )an1
10
第二章 矩阵
一. 矩阵概念 二. 矩阵的基本运算 三. 逆矩阵的计算 四. 矩阵的初等变换
11
一. 矩阵概念 m n 数 aij (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
0 0
4x1 8x2 17x3 11x4 0
解
2 4 5 3 r2 3/ 2r1 2 4 5 3
A
3
6
4
2
r3 2r1
0
0
7 2
5 2
4 8 17 11
0 0 7 5
2/ 7r 1
r3 7r2
r1 5r2
1/ 2r1
0 0
2 0 0
0 1 0
2 7
5
7
0
r2
23
所以, 方程组等价于
0 1 4
解： Q AX E 2X , (A 2E)X E,
X ( A 2E)1 E,
1 0 1
A
2E
1 0
1 1
0 2
2 1 1
(A
2E )1
2
2 1
1 1 1
X ( A 2E )1 E
2 1 1
2
2 1
1 1 1
18
第三章 线性方程组
一. 向量组的线性相关性
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、满秩的）
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A △ A
满足规律： ( A )1 1 A,
(
A)1
1
A1(
0)
( AT )1 ( A1)T, A1 A 1
例: 已知
A
2n
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 jn
a a a
n1
n2
nn
例：五阶行列式， a13a52a41a35a24
a13a52a41a35a24 a13a24a35a41a52
带正号
2
三. 行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有 元素，等于用数 k 乘此行列式。
19
二. 向量组的秩、矩阵的秩及其求法
极大线性无关组：若向量组的一个部分组线性无关，但将 向量组中任何一个向量添加到这个线性无关的部分组中去， 得到的都是线性相关的部分组，则称该线性无关部分组为 向量组的极大线性无关组。
向量组的秩：一个向量组的极大线性无关组所含向量的 个数称为这个向量组的秩。
矩阵的秩：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
29
(2) 设在基1,2,3下的坐标为 X ( x1, x2 , x3 )T
x1
1 0 1 1 1 1
X
x2
M
1
2
1
3
2
2
x3
3 2 4 4 3
x1 1/ 2
x2
7
/
2
x3 9 / 2
在基1,2,3下的坐标为(-1/2, -7/2, 9/2)T.
? △ 如何求向量组或矩阵的秩
初等行变换
（将向量组写成）矩阵
行阶梯形矩阵
化成行阶梯形矩阵后，看非零行的行数。
20
例：判断下列向量组的线性相关性并求秩。 (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12);
解 因为 1 0 0 2 5 1 0 0 2 5
a11 a12
记作
A
a 21
a 22
a m
1
a m2
a1n
a 2n
a mn
简记为： Amn
实矩阵: 元素是实数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、单位阵
12
二. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
31
解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为
r4 r2
r2
1 0
0 1
1 3
1 0
2
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
同解方程组为: 通解为:
x1 x2
2 1
x3 3x3
x4
x1 2 x%3 x%4 x1 2 1 1
x2 x3
1 x%3
3x%3
x4 x%4
或
x2 x3 x4
1 0
非齐次： 通解： X X0 k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , 其中 X0 为AX=b 的一个特解；X1 , X2 ,L Xnr 是导出组的一个基础解系。
例. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:
2x1 4x2 3x1 6x2
5x3 4x3
3x4 2x4
1 0
1 2
,
B
2 0
3 3 ,
求： 2A(B E)1 _4_
15
1. 解矩阵方程 (1)AX B X A1 B (2) XA B X BA1
2. 克莱姆法则（求解线性方程组）
AX b
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
16
四. 矩阵的初等变换
初等行变换 初等变换
分别取
x1 x3
2x2
5 7
x4
2 7
x4
x2 x4
1 0
,
x2 x4
0 1
得一个基础解系为:
2
2 7
1
1
0
,
0
2
0
5 7
1
通解:
X k11 k22
（ k1, k2 为任意常数）
24
例. 求下列非齐次线性方程组的通解:
x1 x3 x4 2
初等列变换 具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换
△ 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就
变成了 A1 .
即， A, E 初 等行变 换 E，A1
17
3 0 1
例:Βιβλιοθήκη Baidu
设
A
1
1
0
且
AX
E 2X,求矩阵X.
化为箭形行列式
2. 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质进 行计算
6
例1：
x a1 x L
x D
L
x a2 L LL
x
xL
x x L x an
r1 ri
x a1 x L x a1 a2 L 0
i 2,3,L , n L L L L
a1
0 L an
对第 i 列 提出公因子 ai 箭形行列式
1, 2, 3 1,2,3 M M 1,2,3 1 1, 2, 3
即：
1 2 11 0
M
0 1
1 1
11
1 1
1 1
1 0
2 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1
2
1
1
1
2
1
3
2
1 3 1 1 0 1 2 4 4
0 1 1
M
1
3
2
2 4 4
0
x%3
3 1
0
x%4
0 0 1
,
x%3 ,
x%4
R
26
第四章 线性空间
一. 线性空间的概念
线性空间，子空间
二. n维线性空间，基底与坐标
基底，维数，坐标；
三. 基底变换与坐标变换 △
如何求基底变换的过渡矩阵； 如何求基底变换下的坐标变换；
27
作业 在R3中有以下两组基底：
唯一解
齐次： 化A为阶梯形，比较 rA,n之间的关系
rA n rA n
唯一解（零解）
无穷多解 （非零解）
四. 线性方程组解的结构 △
齐次：基础解系～解集合中的一个极大线性无关组( X1, X2,L , Xnr ) 通解： X k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , k1 , k2 ,L , knr R
aa
11
12
0 D
a22
0 0
a 1n
a2n a a a
11 22
nn
ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann 5
四. 行列式的计算 △
1. 利用行列式性质计算：
化为三角形行列式
30
例. 设
1 2 1
α1
0
,
α
2
1
,
α3
1 ;
1
1
1
0 1 1
β1
1
,
β
2
1
,
β3
2
1
0
1
(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵;
(2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐标. (3)已知向量在基1, 2, 3下的坐标为(2, 5, 3)T，求 在基1, 2, 3下的坐标。
第一章 行列式
一. 排列与反序
行列式的概念定义
二. n 阶行列式的定义
三. 行列式的性质
四. 行列式的计算
行列式的基本性质及 计算方法
1
一. 排列与反序 反序，反序数 奇排列，偶排列
例：34512 反序数：6
偶排列
二. n阶行列式的定义
a a a
11
12
1n
a21
a22
a (1) a a a ( j1 j2 jn )
线性相关，线性无关的定义和判定。
定义：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示
定理：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 至少存在一组不全为零的m个数1 , 2 ,L , m , m
使得等式 j j 11 22 L mm 0 成立。 j1
7
x a1 x L x
a1
a2
an
(a1a2 L an ) 1 1 L 0
L LLL
1 0 L 1
ci c1
n x
x
1
L
a i1 i
a2
x an
i 2, , n (a1a2 L an ) 0
1 L 0
L LLL
0
0 L 1
(1)n1(a1a2 L
an )[
n i 1
x ai
1]
8
例2：
性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等 于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外 全与原来行列式的对应的行（列）一样。
性质5：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有 两行（列）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素 成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 。