八年级数学特殊三角形(习题及答案)

特殊三角形（习题）

例题示范

例1：已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且∠EAF =60°． 求证：△AEF 是等边三角形． 【思路分析】 ①读题标注：

②梳理思路：

要证△AEF 是等边三角形，已知∠EAF =60°，只需证△AEF 是等腰三角形即可，考虑证AE =AF ，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接AC ，可以把线段AE 和AF 分别放在△ABE 和

△ACF 中．结合题中条件∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，可知△ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以∠B =∠ACF =60°，

∠BAC =∠EAF =60°，因此∠BAE =∠CAF ，进而得证△ABE ≌△ACF ，证明成立． 【过程书写】

证明：如图，连接AC ．

∵∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形 ∴AB =AC ，∠BAC =60°，∠ACF =60° ∴∠1+∠3=60°，∠B =∠ACF ∵∠EAF =60° ∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2

∴△ABE ≌△ACF （ASA ） ∴AE =AF

∴△AEF 是等边三角形

巩固练习

1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边三角形ABE ，连接DE ，

则∠BED 的度数为________．

60°

60°

60°

F

E D

C

B

A

F

E

D

B

A 3

2160°

60°

60°F

E

D

C

B

A

2.如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为直角边，点A为直角顶点，作等

腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD与BE交于点P，则∠BPC 的度数为________．

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，

交AB于点D，交AC于点E，若DE=2，则AC的长是________．

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相

交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为________．

5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，过C作CD⊥AB，交BA的

延长线于点D．求证：AB=2CD．

6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，

F 为BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ． 求证：∠FED =∠FDE ．

7. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC

的中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．

F E

D

A G F E

D C B A

思考小结

1.在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑30°角所对的直角边是

___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形_____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形___________．

2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质：

如图，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，如果从等腰的角度出发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑_____________________________，可以得到CD=______．

综上可得，对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到：CD=______=_______．

【参考答案】

1.45°

2.90°

3. 6

4.60°

5.证明：如图

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∵∠B=15°

∴∠ACB=15°

∵∠DAC是△ABC的一个外角，

∴∠DAC=∠B+∠ACB

=15°+15°

=30° ∵CD ⊥AB ∴∠D =90°

在Rt △ADC 中，∠D =90°，∠DAC =30° ∴CD

∴CD

即AB =2CD

6. 证明：如图

∵

BD ，CE 分别为AC ，

AB 边上的高 ∴∠BDC =

∠CEB =90° ∵F

是BC 的中点 ∴DF =

BC ，EF ∴DF =EF ∴∠FED =∠FDE 7. 证明：如图，连接DE ．

∵AC=BC ，∠ACB=90° ∴∠A =45° ∵CD ⊥AB ∴∠ADC =90°，AD

∴CD ∴AD =CD ∵E 为AC 中点 ∴DE ，DE ⊥AC ，∠1=45°

∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE ∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3

在△AEF 和△DEG 中

321G

F

E D

C

B

A

∴△AEF≌△DEG（ASA）

∴EG=EF

思考小结：

1. 斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一

2. 三线合一，BD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

，AD，BD