中考数学综合专题训练二次函数压轴题
1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax 2
+bx+3经过A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。
答案：解：（1）抛物线y=ax 2
+bx+3经过A （-3,0），B （-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a ＝1
b ＝4∴抛物线的解析式为y=x 2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2
-1∴抛物线的顶点M
（
-2
，
,1
）
∴
直
线
OD
的
解
析
式
为
y=
2
1x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h ，21
h ），∴平移的抛物线解析式为y=（x-h ）
2
+2
1h.①当抛物线经过点C 时，∵C （0，9），∴h 2
+21h=9，
解得h=21. ∴ 当 21≤h<
21 时
，平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点. （
2）当抛物线与直线CD 只
有一个公共点时，
由
方
程
组
y=
（
x-h
）
2
+
2
1h,y=-2x+9.
得 x 2+（-2h+2）x+h 2+21h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h 2
+21
h-9）=0，
解得h=4.
此时抛物线y=（x-4）2
+2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围
是 h=4或 21≤h<2
1. （3）方法1
将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x 2
， 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）. 假设存在满足题设条件的点P （0，t ），如图，过P 作GH ∥x 轴，分别过E ，F 作GH 的垂线，垂足为G ，H.∵△PEF 的内心在y 轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP ，∴△GEP ∽△HFP ，...............9分∴GP/PH=GE/HF,
∴-x E /x F =(y E -t)/(y F -t)=(kx E +3-t)/(kx F +3-t) ∴2kx E ·x F =（t-3）（x E +x F ）
由y=x 2，y=-kx+3.得x 2
-kx-3=0. ∴x E +x F =k,x E ·x F =-3.∴2k （-3）=（t-3）k,∵k ≠0,∴t=-3.∴y 轴的负半轴上存在点P （0，-3），使△PEF 的内心在y 轴上.
方法 2 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）,点E ，F 的坐标
分别为（m,m 2）（n,n 2
）由方法1知：mn=-3.作点E 关于y 轴的
对称点R （-m,m 2
）,作直线FR 交y 轴于点P ，由对称性知∠EPQ=∠FPQ ，∴点P 就是所求的点.由F,R 的坐标，可得直线FR 的解析式为y=（n-m ）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P （0，-3）.∴y 轴的负半轴上存在点P （0,-3），使△PEF 的内心在y 轴上.
点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．
2．（如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （-4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；
（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2=d 1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．
【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，把B （-4，4）代入即可得到a 的值；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，易证Rt △BAE ≌Rt △ACD ，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C 点坐标（3，5）；
（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，则有d 1= 21
a 2，又AF=OF-
OA=PH-OA=d 1-1= 21a 2-1，PF=a ，在Rt △PAF 中，利用勾股定理得到PA=d 2= 21
a 2+1，即有结论
d 2=d 1+1；
（3）△PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC 的周长=PC+PH+6，要使PC+PH 最小，则
C 、P 、H 三点共线，P 点坐标为（3，21
），此时PC+PH=5，得到△PAC 的周长的最小值=5+6=11．
【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，
∵拋物线经过点B （-4，4），
∴4=a •42，解得a=21
，
所以抛物线的解析式为：y= 21
x 2；
过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图， ∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ， ∴Rt △BAE ≌Rt △ACD ，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5，
∴C 点坐标为（3，5）；
（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，
∵点P 在抛物线y= 21
x 2上，
∴b= 21
a 2，
∴d 1= 21
a 2，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d 1-1= 21
a 2-1，PF=a ，
在Rt △PAF 中，PA=d 2= 21
= 21
a 2+1，
∴d 2=d 1+1；
（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC 的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，
则C 、P 、H 三点共线时，PC+PH 最小，
∴此时P 点的横坐标为3，把x=3代入y= 21x 2，得到y=21
，
即P 点坐标为（3，21
），此时PC+PH=5，
∴△PAC 的周长的最小值=5+6=11．
【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax 2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC 的周长转化为PC 与PH 和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．
本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3）小题非常类似，如下题，供参考。
