圆的参数方程
1.已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，
B ⎝
⎛⎭⎫－3，3
2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.
由于0≤θ<2π，
解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.
将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，
得⎩⎪⎨⎪
⎧－3＝2cos θ，
32＝3sin θ，
即⎩⎨⎧cos θ＝－32，
sin θ＝1
2.
由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π
6
，
所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π
6
. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t
y ＝3t 2－1，(t 为参数)．
(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．
[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．
[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t
－1＝3t 2－1，∴t ＝
0.
即点M 1(0，－1)在曲线C 上．
把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t
10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.
3.已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1
y ＝2t ，(t 为参数)．
①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．
把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．
把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪
⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.
故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.
4.(1)曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t
y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．
解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)
(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1
y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：
⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝
π
2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，
所以32＝±a .又a >0，所以a ＝3
2.
答案：32
5.已知某条曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t
y ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．
解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧t ＝2，
a ＝1.∴a 的值为1. 答案：1
6.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．
解析：令x ＋12＝cos θ，y －1
2＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．
答案：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ
(θ为参数)(注本题答案不唯一)
7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．
解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.
令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ
y ＝3＋sin θ，(θ为参数)．
答案：⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)
8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ
y ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ
，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)
∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)
9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．
解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的
一个参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)．
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)
10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θ
y ＝－3＋10sin θ
，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )
A ．P (1，3)，r ＝10
B ．P (1，3)，r ＝10
C ．P (1，－3)，r ＝10
D ．P (1，－3)，r ＝10
解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.
11.圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ
y ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )
A ．(0，2)
B ．(0，－2)
