函数单调性讲义提高

函数单调性

1单调性定义

（1）单调性定义：设函数的定义域为A ，区间I A ⊆。

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间；

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间；

单调增区间或单调减区间统称为单调区间。

（2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 1212()()0f x f x x x ->- 单调递增 1212

()()

0f x f x x x -<- 单

调递减

例1定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有

()()

0f a f b a b

->-成立，则必有（ ）

A 、函数()f x 是先增加后减少

B 、函数()f x 是先减少后增加

C 、()f x 在R 上是增函数

D 、()f x 在R 上是减函数 （3）增函数、减函数的定义及图形表示

增函数: )()(2121x f x f x x <⇒< 减函数: )()(2121x f x f x x >⇒< 注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点

①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A 与B 上都是增(或减)函数，在A ∪B 上不一定单调．

②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x 1，x 2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．

③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域

例1下图是定义在区间[-5，5]上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？

例2已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根

例3已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.

例4已知函数f (x )＝x －

1，若f (a ＋1)

[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＋1<0

10－2a >0或⎩⎪

⎨⎪⎧

a ＋1>0

10－2a >0a ＋1>10－2a

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a

∴a <－1或3

2函数单调性的证明方法 （1）定义法：

○1 任取x1，x2∈D ，且x1

（2）图象法(从图象上看升降)

例1判断函数x

x y 4

+=在[)∞+，2上的单调性,并用定义证明.

例2试讨论函数(

)f x =在区间[]1,1-上的单调性．

.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．

()(

)12f x f x -=

2

21

2

11x x ---

=

=∵ x 2－x 1＞0，2

22

111x x -+-＞0，

∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >． 当210x x >>时，120x x +<，那么()()12f x f x <．

故(

)f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．

例3已知函数()()

2

1

1f x x =

-用单调性定义证明：()f x 在(),1-∞上为增函数；

解设121x x <<， ()()()()()()

21211222

122011x x x x f x f x x x -+--=

<--

所以()f x 在(),1-∞上为增函数.

例4证明函数f (x )＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 2，

f (x 1)－f (x 2)＝⎝

⎛⎭⎫2x 1－1x 1

－⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2

＝2(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 2

－1x 1

＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2

由于x 1

x 1x 2

>0，

因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

例5函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫

x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.

(1)求f (1)的值；

(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域． 解：(1)∵当x >0，y >0时，

f ⎝⎛⎭⎫

x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1

则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1

，

∵x 2>x 1>0.∴x 2

x 1

>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数．

∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝⎛⎭⎫164＝f (16)－f (4)， ∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．