应用随机过程习题课二

习题

1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数

12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞

且1221

(),()33P P ωω==，分别求：

（1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π

；

（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π

；

（3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t .

2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程

1

2

cos ()2t X t πωω⎧=⎨⎩出现正面出现反面

且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1

2

，求 1）画出{()}X t 的样本函数

2）{()}X t 的一维概率分布，1

(;)2F x 和(1;)F x

3）{()}X t 的二维概率分布121

(,1;,)2

F x x

3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t

cos ()2

t t X t t π⎧=⎨

⎩在时刻抛掷硬币出现正面

在时刻抛掷硬币出现反面

求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121

(,1;,)2

F x x

4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ.

（1）分别求3,,,424t ππππωωωω

=

时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程：

()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞

其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，

求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数.

6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

1

()(),1,2,

,(0)0n

k Y n X k n Y ==

==∑

其中()(0,1,2,)X k k =是相互独立同服从2(0,)N σ的正态随机变量. 试求： （1）()Y n 的概率密度；

（2）((),())Y n Y m 的联合概率密度（m n ≥）.

7. 给定随机过程{(),}X t t T ∈，定义另一个随机过程：

1,(),()0,().X t x Y t X t x <⎧=⎨≥⎩

试证：{(),}Y t t T ∈的均值和自相关函数分别为{(),}X t t T ∈的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程

()cos()β=+ΘX t A t

其中β为正常数，r. v. ~(0,1),~(0,2)A N U πΘ二者相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()m t 、方差函数()D t 和相关函数(,)R s t .

9. 已知随机变量,ξη相互独立都服从正态分布2(0,)N σ，分别设：

（1）()X t t ξη=+； （2）()cos X t t ξ=，

令01

max ()t Z X t ≤≤=，分别两种情形求()E Z .

10. 一个通讯系统，以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号，A 为常数，信号输出时间

~(0,)i X U T ，且持续到周期结束，设每个信号的输出时间i X 相互独立，设()Y t 为t 时

刻接收到的信号幅度，求{()}Y t 的一维概率分布。

11. 一个通讯系统，每隔T 秒信号源输出一个宽为X 的矩形脉冲，其中r. v. ~(0,)X U T ，

并假定不同时间间隔脉冲宽度的取值是相互独立的，能传送的这类信号称为脉冲调制信号. 设(),0Y t t ≥，表示脉冲宽度调制信号在t 时间幅度{(),0}Y t t ≥是一个随机过程，它的一个样本函数如图所示. 试求()Y t 的一维分布.

图

12. 一个通讯系统，以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号，A 为常数，每个周期内信

号输出时间5~(0,)6i X U T ，持续时间~(0,)6i T

Z U ，,i i X Z 相互独立，且输出时间i X 相

互独立，持续时间i Z 也相互独立，证()Y t 为t 时刻接收到的信号幅度，求{()}Y t 的一维概率分布。

13. 一脉冲位置调置信号()Y t ，其幅度为A ，(0,)U T ξ=，ξ与()Y t 相互独立，设

()()Z t Y t ξ=+，求（1）()Z t 的一维概率分布；（2）{()}Z t 的均值函数和自相关函数. O

T 2T 3T

X 1 X 2

X 3 X 4 A Y (t ) t

14. 设()cos()X t a t ξη=+其中a 为常数，ξ服从柯西分布，

即21

(),()(1)

f x t x ξπ=-∞<<+∞+

~(0,2)U ηπ，,ξη相互独立. 求该过程均值函数()X m t ，协方差函数(,)C s t .

15. 设()cos()X t t ξβη=+，其中β为正常数，随机变量ξ服从瑞利分布：

2

2

22,0(),00,0x x e x f x x σξσσ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩

~(0,2)U ηπ，ξ与η相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()X m t ，协

方差函数(,)X C s t .

16. （半随机二元波） 设{(),}X t t -∞<<+∞在每个长度为T 的区间[(1),]n T nT -，

0,1,2,n =±±，取值+1或1-，且

1

{()1}{()1},(1)2

P X t P X t n T t nT ===-=-<<

且在不同区间的取值是独立的.求{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数和自相关函数。