第二章 第7节 三角函数的最值及应用
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【教学目标】 1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等 2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响
【重点难点】
1.重点：三角函数最值的常用方法
2.难点：选择求三角函数最值的方法
【教学过程】
一.知识梳理
三角函数的最值问题
(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2
. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．
③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭
⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y) (cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．
② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c bt
(－1≤t ≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
二.基础自测：
1．函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值
2．已知函数)(1cos sin 2
3cos 212R x x x x y ∈++= (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值
(2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
三.典型例题
例1．求函数y =
x x cos 2sin 2--的最大值和最小值
例2．已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数,a b 的值．
例3．已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得(sin )f m x -27cos )4
f x ≤+对一切实数x 均成立，求实数m 的范围
例4．求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域
例5．已知函数12)6
(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=π
f f x b x x a x f 且 （１）求实数,a b 的值；
（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值
四.课堂反馈
1. 函数22cos sin 21y x x =+-的最小值是 ．
2. 函数sin 3sin x y x =
+的最大值为 ，最小值为 ．
3．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，值域是[]2,5，求,a b 的值．
五.课后练习 班级 姓名 .
1. 函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6
≤x ≤2π3的值域是________．
2当22x π
π
-≤≤，函数sin y x x =的最大值为 ，最小值为 ．
3．已知22326x y +=，则
2x y +的最大值是 ． 4 y =x x sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________ 5 y =x x sin 2sin +的最大值是_________
6函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4
π］上的最小值是
7. 函数y =x －sin x 在［
2π，π］上的最大值是
8. 函数y =
2sin 1sin 3+-x x 的最小值是_______
9. 已知将函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图像向右平移4
π个单位后得到的图像关于原点对称,则ω的最小值为 ．
10. 已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值
11.设函数2()sin cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T ，并求出函数()f x 的单调递增区间；
（2）求在[0,3)π内使()f x 取到最大值的所有x 的和．
-=填空题答题纸=-
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