标准差和标准偏差 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
标准差和标准偏差
1）首先给出计算公式
标准差：σ=（1）
标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方
这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义他们分别在什么情况下用这两个公式是怎么来的
2）公式由来
标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1
1n
i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n
n
i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。
对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道
2
1
2
()
n
i
i
X X
σ
=
-
∑
是服从卡分分布2
1
n
χ
-
的（这一点请查阅卡
分分布的定义）。因此有下面的公式：
这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。
这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2
n
s则不是2σ的无偏估计。但
是我们可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2
n
s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望：
这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。
3）这两个公式的应用。
在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。
看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。
4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。
在Excel透视表中
标准偏差为=STDEVA()
总体标准偏差为=STDEVPA()
变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。
标准差与平均数的比值称为离散系数或变异系数，记为。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比，它是一个相对变异指标。
变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。常用的是标准差系数，用
CV(Coefficient of Variance)表示。
CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。
用公式表示为：CV＝σ/μ
作用：反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。若两个总体的均值相等，则比较标准差系数与比较标准差是等价的。
一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其作用主要是用于比较不同组别数据的离散程度。其计算公式为v=S/(X的平均值）
§２．３ 第7课时 方差与标准差 教学目标 （１）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； （２）学会计算数据的方差、标准差； （３）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 教学重点 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差． 教学难点 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 教学过程 一、问题情境 １．情境： 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm ２）,甲 １１0 １２0 １３0 １２５ １２0 １２５ １３５ １２５ １３５ １２５ 乙 １１５ １00 １２５ １３0 １１５ １２５ １２５ １４５ １２５ １４５ 哪种钢筋的质量较好？ 二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值１00低于甲样本的最小值１00，最大值１４５高于甲样本的最大值１３５，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。 三、建构数学 １．方差： 一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－ x ，则称－ 21 2 )(1x x n s n i i -=∑=为这个
样本的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差． ２．标准差：21 )(1-=-=∑x x n s n i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． ３．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用 １．例题： 例１．甲、乙两种水稻试验品种连续５年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm ２），试根据这组数 解：甲品种的样本平均数为１0，样本方差为 [（9．8—１0）２ +（9．9—１0）２+（１0．１—１0）２+（１0—１0）２+（１0．２—１0）２]÷５=0．0２． 乙品种的样本平均数也为１0，样本方差为 [（9．４—１0）２+（１0．３—１0）２+（１0．8—１0）２+（9．7—１0）２+（9．8—１0）２]÷５=0．２４ 因为0．２４>0．0２，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。 例２．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的１00只 分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。 解：各组中值分别为１6５，１9５，２２５，２8５，３１５，３４５，３7５，由此算得平均数约 为１6５×１%+１9５×１１%+２２５×１8%+２５５×２0%+２8５×２５%+３１５×１6%+３４５×7%+３7５×２%=２67．9≈２68（天） 这些组中值的方差为 １/１00×[１×（１6５—２68）２+１１×（１9５—２68）２+１8×（２２５—２68）２+２0×（２５５—２68）２+２５×（２8５—２68）２+１6×（３１５—２68）２+7×（３４５—２68）２+
方差，标准差说课稿 (一)教材简析： 《方差和标准差》这个课题选自苏教版必修3的第三章第三节，描述了变量分布的数量特征，方差和标准差是描述离散程度的重要指标之一。通过本节课的学习可以使学生学会如何运用方差和标准差去描述变量分布的离散程度，还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有重要作用。(二)教学目标： 在分析学生及教材的基础上，我制定了本节课的教学目标：1.知识目标：理解方差和标准差的概念，熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。 2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力、计算能力。 3.情感目标：培养学生爱动脑、勤思考、善学习的良好学习习惯，让学生充分体会严密的逻辑推理带给他们的学习上的快乐和成功的感受，激发学生的学习兴趣。 (三)教学重点及难点： 根据《统计基础知识教学大纲》的要求，围绕教学目标，我制定了本课的重点和难点： 1.教学重点：方差、标准差的概念、计算及其运用，这既是本节的重点，又是本章的重点。 2.教学难点：
(1)方差和标准差的计算及运用。我们的学生普遍存在的问题是对概念都能记的很熟，但是不知如何用，本次课通过公式推导、练习来解决这个问题。 (2)方差为什么是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数，这既是教学难点，又是教学的关键，只要把这一关键问题解决好，学生就会更好的理解方差和标准差的概念。(四)教材处理： 将讲解的重点放在方差的概念和计算步骤上，因为只要学生将方差理解好了，标准差的问题就会迎刃而解。 二、说教法 教法是教学中直接决定教学效果的重要因素之一，素质教育的重要内容之一是充分发挥学生的主体作用，围绕这一主题，根据本学科本节内容以及教学对象的特点，我选择了以下教学方法。 1.启发教学法： 由于教学内容比较抽象，以其自身的内容很难吸引学生，所以，我根据教学内容的内在联系，在教学中采用启发式教学，随着教学进程的需要不断提出新问题，不断设置课程中的悬念，环环相扣，让学生带着问题融入课堂，以严密的逻辑推理紧紧吸引学生，这样可以成功的激发学生探求知识的欲望，然后引导学生一步步找到答案，解决问题，这既加深了学生对所学知识的印象，又锻炼了学生的逻辑思维能力和总
计算方法 怎么计算它的大小呢？由标准差的概念可知，标准差反映离散程度的大小，那么多次抽取样本，把这些样本的均值集中起来作为一个新样本，计算它们的标准差，就可以反映它们的离散程度，离散程度大，说明这些均值偏离总体均值“5”越远，也就是抽样误差越大，这就是标准误—standard error。这里的error就是“误差”的英文，所以标准误其实应叫做“标准误差”，我们可以理解为由“标准差”计算得出的“误差”。
到这里可能有的人会说，我实际中怎么可能这么多次抽样呢，书上的公式也不是这样算的啊。没错，实际中我们一般只会抽样一次，而教科书上给出的公式就是通过一次样本的数据来计算标准误，即用样本标准差除以样本量的平方根。至于为什么公式是这样，这个公式准不准，已有统计学家的前辈们研究过了，我们只要去用就行了。如果想了解其原理，可以去更做深一步的研究。 举例 标准误在统计学中的应用十分广泛，以最简单的t检验为例，虽然t检验是应用最广泛的统计学方法之一，但很少有人思考过t值的意义。以单样本t检验为例，我们发现t值公式的分母就是标准误，代表抽样误差，而分子是两均数的差值，也就是实际差异。 所以t值就是实际差异与抽样误差的比值，如果实际差异大，t值就大，抽样误差大，t值就小。当t值大于某个临界值（可查表得出）时，我们更相信两组数据真的有差异，而不是抽样误差，结果就比较可靠，比如我们论文中常用的P＜0.05，反之亦然。 需要注意的一点是，虽然我们用t检验来举例，教科书也把标准误放在t检验的章节，但不代表标准误是均数独有的，也可以是率或其他统计量，因此说标准误是“均数的标准差”是片面的，更合理的说法是“统计量的标准差”。 so，关于“标准差”和“标准误”的区别，你get了吗？ 扫码关注我们
标准偏差与相对标准偏 差公式 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20- 30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l i X 1 σ = l2X 2 …… σn = l n X 我们定义标准偏差(也称)σ为 （1）
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 中定义S2为 数学上已经证明S2是σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也
平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差 说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略. 首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。 一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式： x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。 中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数
华师大版数学八下极差方差标准差教案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
20.3 极差、方差与标准差 第1课时 (一)本课目标 1.理解极差的概念及应用. 2.明确极差是刻画数据离散程序的一个统计量. 3.能够举出一些利用极差进行比较的例子. 重点：极差的概念及应用 难点: 极差概念的引入. (二)教学流程 1.情境导入 播放多媒体──教材中的导图“你喜欢住在哪个城市？”(?或用投影幻灯片或由教学挂图展示).观察导图,?讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适. 2．阅读教材P 30-131 3.师生互动 互动1 师:用平均数、中位数或众数代表数有什么不同 生:思考、讨论、交流. 明确通过复习旧知,导入本节课的内容. 互动2 师:在导图中,为什么说北京“四季分明”，而新加坡“四季温差不大”？ 生:思考、讨论、交流.
明确通过讨论,学生初步感知:最大值与最小值的差可以用来表示 数据高低起伏的变化大小. ℃) 表20.2.1 上海每日最高气温统计表(单位:℃) 互动3 生:小组交流、发表意见. 师:比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用的方法.?请你 计算其平均数. 生:动手、交流.(都是12℃) 师:这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢 生:思考、讨论. 明确平均气温(即平均数)是比较两组数据平均水平的一种常用的 方法,?但它反映不出一组数据的离散程度,由此引入极差的概念.(板书:1.表示一组数据离散程度的指标──极差.) 互动4 师:根据两段时间的气温情况绘成折线图,请同学们观察,它们有差别 吗 生:小组讨论、交流看法.归纳出:(a)中的折线高低起伏较大;(b)中 的折线高低起伏较小.
方差与标准差 班级姓名学号 学习目标：1.经历方差与标准差概念的引进和形成过程，知道方差和标准差是表示一组数据波动程度的量； 2.会计算一组数据的方差和标准差； 3.能根据一组数据的方差或标准差来解释数据的波动性，并用于解决简单 的实际问题. 学习重点：通过对一组数据的波动性的分析，引进方差和标准差的概念和计算方法，并初步进行实际应用 学习难点：方差和标准差的计算. 学习范围： 学习过程 一、引入： 1.下列各组数据的平均数、中位数、众数分别为A组:_______;B组:_______. A组: 0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组: 4, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 9. 2.某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克的袋装食品,在试生产时,从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品,称出各袋食品的重量(克)分别是: 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101.由上述提供的信息,你认为哪一条流水线生产的5袋食品的重量比较稳定(即波动较小)? 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101. 甲、乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别为:_______________ 由此能不能说这两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小一样? 为了直观地看出甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小,用下图表示出来. 从图中可以看出,两组数据都在100附近,但甲的数据波动程度较小,乙的数据波动程度较大.学习要点
二、新知新觉： 如果一组数据:x1,x2,…,xn,它们的平均数为x,那么这n个数与平均数x的差的平方的平均数叫做这n个数的方差,记作S2.即_____________________ 方差的非负平方根叫做标准差,记作S.即____________________________ 方差与标准差反映了一组数据波动的大小,即一组数据偏离平均数的程度.一组数据越接近于它们的平均数,方差与标准差就越小,这时平均数就越具有代表性.只有当一组数据中所有的数都相等时,方差与标准差才可能为零. 方差(标准差)越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 分别计算上述问题的方差和标准差， 三、合作探究: 例题1. 某区要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛.在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为: 9.7,10,9.6,9.8,9.9;乙的平均成绩为9.8环,方差为0.032. (1) 甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少? (2) 据估计,如果成绩达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛? 例题2. 100克的鱼和家禽中,可食用部分蛋白质的含量如图所示. (1) 100克的鱼和家禽中,可食用部分的蛋白质含量的平均数各是多少克? (2) 100克鱼和家禽的蛋白质的平均含量中,哪一个更具有代表性?请说说判断的理由.
标准偏差 标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。 样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S-标准偏差（%） ?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 ?i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 z ?在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳，这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很 低。 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i? X σ2 = l2? X …… σn = l n? X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（2）标准差 教学目标 1、了解方差、标准差的概念. 2、会求一组数据的方差、标准差，并会用她们表示数据的离散程度 3、能用样本的方差来估计总体的方差 4、经过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力 教学重点与难点 教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算， 教学难点：本节教学的难点是方差的几何意义。 情感目标 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 教学方法 类比探究 教学过程 A、复习回顾 1、样本的众数、中位数和平均数常见来表示样本数据的”中心值”。其中众数 和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表示样本数据中的少量信息；平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个数字特征用于刻画样本数据的离散程度。 2、何谓一组数据的极差？极差反映了这组数据哪方面的特征？ 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度，也称离散程度，但极差只能反映一组数据中
两个极值之间的大小情况 , 而对其它非极值数据的波动情况不敏感。 如何做选择 ? 析： 易得甲众数 =乙众数=7, 甲中位数 =乙中位数 =7, 计算可得两平均数亦等为 7。两人射击的众数、 中位数、 平均数都是一样的 , 置疑 ： 两人的射击水平没 有什么差异吗 ? 画图分析 ： 甲成绩比较分散 ,乙成绩相对集中。看来 , 平均数还难以概括样本的 实际状态 , 因此 , 我们还需要从另外的角度来考察这两组数据。 思考 ： 什么样的指标能够反映一组数据变化范围的大小 ? 我们能够用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范 围，用这种方法得到的差称为极差，极差二最大值-最小值。 甲的环数极差 =10-4=6 乙的环数极差 =9-5=4. 极差对极端值非常敏感 , 在一定程度上表明样本数据的的波动情况。 但极差只能 反映一组数据中两个极端值之间的差异情况 , 对其它数据的波动情况不敏感 , 到底是A 组还是B 组数据更加稳定呢？有必要重新找一个对整组数据波动情况更 敏感的指标。本节课我们就要来学习反应一组数据稳定程度的两个量一一标准 差、 方差． C 、 新知讲授 一、 标准差 1、 考察样本数据的分散程度的大小 , 最常见的统计量是标准差。标准差是 样本平均数的一种平均距离 , 一般用 s 表示． 所谓”平均距离” , 其含义可作如下理解 ： 假设样本数据是x1, x2,……xn,其中用X 表示这组数据的平均数 B 、 问题引入 有两位射击运动员在一次射 击测试中各射靶 甲：787954910 乙：9578768 6 如果你是教练 , 你应当如何对这次射击作出评价 10 次, 每次命中的环数如下 ： 74 7 7 ?如果是一次选拔考核 , 你应该
标准差 标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？ (2)什么是极差、方差、标准差？ (3)方差、标准差的计算公式是什么？ [新知初探] 1．平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ， 叫作这n 个数的平均数． (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． (3)众数 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数． 2．极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差 标准差的平方s 2 叫作方差． s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． (3)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差． [小试身手] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( ) (2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( ) A ．84,68 B ．84,78 C ．84,81 D ．78,81 解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81. 3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________． 解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为 53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为1 7 ×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68. 答案：68 4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．
标准差和标准偏差 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义他们分别在什么情况下用这两个公式是怎么来的 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡 分分布的定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但 是我们可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA() 总体标准偏差为=STDEVPA()
2.2 方差与标准差（教案） 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重、难点 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法， 难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设： 乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。 （2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ 二、新知讲授： 讲授新知： （一）方差 定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，， ， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。 意义：用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接近时
【教学目标】 一、知识和技能 1、了解方差、标准差的概念. 2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 3、能用样本的方差来估计总体的方差． 二、过程与方法 会用方差、标准差表示数据的离散程度，通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 三、情感、态度与价值观 通过主动思考与探究，体会到方差表示数据波动情况的合理性，感受到数学与实际的密切联系和巨大作用 【教学重难点】 重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。. 难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点. 【教学过程】 一、创设情景，提出问题 第一次第二次第三次第四次第五次 甲命中环数7 8 8 8 9 乙命中环数10 6 10 6 8 ①请分别算出甲、乙两名射击手的平均成绩； ②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； 二、合作交流，感知问题 请根据统计图，思考问题： ①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？ ②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？ ③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？ ④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？ ⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，
应如何比较？ 三、概括总结，得出概念 1、 根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。 2、 方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念 （注意：在比较两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器） 3、 现要挑选一名射击手参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ （这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论） 四、应用概念，巩固新知 1、 已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 。 2、 已知一个样本1，3，2，X ，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是 。 3、 甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X 甲=X 乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S 2甲 S 2 乙 4、 已知一个样本的方差是S=5 1[（X 1—4）2+（X 2—4）2+…+（X 5—4）2]，则这个样本的平均数是 ，样本的容量是 。 ５、八年级（５）班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下（单位：分） 黎明： 652 653 654 652 654 张军： 667 662 653 640 643 如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论） 五、巩固练习，反馈信息 １、课本“课内练习”第１题和第２题。 ２、课本“作业题”第３题。 3、甲、乙两人在相同条件下各射靶 ( 1 ） 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示． ( 1 ）请填写下表：
标准差(Standard Deviation) 和标准误差(Standard Error)本文摘自 Streiner DL.Maintaining standards: differences between the standard deviation and standarderror, and when to use each. Can J Psychiatry 1996; 41: 498–502. 标准差(Standard Deviation) 标准差，缩写为S.D., SD, 或者 s (就是为了把人给弄晕？)，是描述数据点在均值（mean）周围聚集程度的指标。 如果把单个数据点称为“X i,” 因此“X1” 是第一个值，“X2” 是第二个值，以此类推。均值称为“M”。初看上去Σ(X i-M)就可以作为描述数据点散布情况的指标，也就是把每个X i与M的偏差求和。换句话讲，是（单个数据点—数据点的平均）的总和。 看上去挺有逻辑性的，但是它有两个缺点。 第一个困难是：上述定义的结果永远是0。根据定义，高出均值的和永远等于低于均值的和，因此它们相互抵消。可以取差值的绝对值来解决（也就是说，忽略负值的符号），但是由于各种神秘兮兮的原因，统计学家不喜欢绝对值。另外一个剔除负号的方法是取平方，因为任何数的平方肯定是正的。所以，我们就有Σ(X i-M)2。 另外一个问题是当我们增加数据点后此等式的结果会随之增大。比如我们手头有25个值的样本，根据前面公式计算出SD是10。如果再加25个一模一样的样本，直觉上50个大样本的数据点分布情况应该不变。但是我们的公式会产生更大的SD值。好在我们可以通过除以数据点数量N来弥补这个漏洞。所以等式就变成Σ(X i-M)2/N. 根据墨菲定律，我们解决了两个问题，就会随之产生两个新问题。 第一个问题（或者我们应该称为第三个问题，这样能与前面的相衔接）是用平方表达偏差。假设我们测量自闭症儿童的IQ。也许会发现IQ均值是75, 散布程度是100 个IQ点平方。这IQ点平方又是什么东西？不过这容易处理：用结果的平方根替代，这样结果就与原来的测量单位一致。所以上面的例子中的散布程度就是10个IQ点，变得更加容易理解。 最后一个问题是目前的公式是一个有偏估计，也就是说，结果总是高于或者低于真实的值。解释稍微有点复杂，先要绕个弯。在多数情况下，我们做研究的时候，更感兴趣样本来自的总体（population）。比如，我们探查有年轻男性精神分裂症患者的家庭中的外现情绪（expressed emotion，EE)水平时，我们的兴趣点是所有满足此条件的家庭（总体），而不单单是哪些受研究的家庭。我们的工作便是从样本中估计出总体的均值（mean）和SD。因为研究使用的只是样本，所以
极差.方差与标准差(知识点讲解) 极差、方差与标准差 一、本节知识导学 本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通 过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也 希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情 况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩” 和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。 3．为什么“求平均数”比“求和”更好。 同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。 对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算， 应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。 对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根 运算又可以将他们联系在一起。 二、例题 1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差 分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散 程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。 解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前 10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。 图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程 度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其 平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。） 2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。 分析：要求方差，必须先求平均数。 解：
《方差和标准差》教案 教学目标 1、知识目标：了解方差、标准差的概念 2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 能用样本的方差来估计总体的方差. 3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 教学重点 理解记忆方差和标准差公式，能灵活地运用方差和标准差公式解题. 教学难点 灵活地运用方差和标准差公式解决实际问题. 教学设计 一、创设情景，提出问题 甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表： 1 2.请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； 3.现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？(各小组讨论) 二、合作交流，感知问题 请根据统计图，思考问题： ①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(1 0－8)＋(6－8)＋(8－8)＝0) ②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)×2＋(8－8)×2＋(8
－8)×2＋(8－8)×2＋(9－8)×2＝2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8)×2＋(6－8)×2＋(10－8)×2＋(6－8)×2＋(8－8)×2＝16) 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关！ ③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？ ④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？ ⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？ 三、概括总结，得出概念 根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性. 用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 设一组数据x 1、x 2、…、x n 中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1-x )2、(x 2－x )2、… (x n －x )2，那么我们称它们的平均数，即 S 2=n 1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+(x 3-x )2+…+(x n -x )2]为这组数据的方差. 方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小) 方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念. (注意：在比较两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器.) 现可以请学生回答以上③的问题(这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论) 四、应用概念，巩固新知 1、例:为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10 株苗，测得苗高如下(单位:cm ): 甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐？ 思考：求数据方差的一般步骤是什么？ (1)求数据的平均数；
标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？ 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡分分布的 定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()