高中数学教案精选--正态分布1

3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2X2)= 0.954 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
相应的正态曲线在x= 0.3
时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落
在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
2.正态曲线的性质
ms(x)
(xm)2
1 e 2s2
2s
,x(,)
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
11
正态分布密度曲线（简称
正态曲线）
Y
“钟形”曲线
X
0 函数解析式为：
m,s(x)
1
e
2s
(xm)2
2s2 x(,)
式中的实数m、s是参数 表示总体的平均数与标准差
思考：你能否求出小球落 在（a, b]上的概率吗？
0
ab
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的 坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率（阴 影部分的面积）为:
x=μ
m-a m+a
特别地有（熟记）
P(msXms)0.6826, P(m2sXm2s)0.9544, P(m3sXm3s)0.9974.
P(msXms)0.6826, P(m2sXm2s)0.9544, P(m3sXm3s)0.9974.
我们从上图看到，正态总体在m2s,m2s 以外取值的概率只有4.6％，在m3s,m3s以外
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1。
（5）方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若s固定,
随 m值
的变化而
沿x轴平
移, 故 m
称为位置
参数；
m3 m1 m2
（6）均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
s=0.5 s=1
若m固定, s大
P(aXb)abm,s(x)dx
1.正态分布定义 y
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(aXb)abm,s(x0 )dx a b
x
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s
唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.
正态分布记作N（ m，s2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布，则记作：
时, 曲线“矮而 胖”；
s小时, 曲线 “瘦而高”s, 故
称 为形状参数。
s=2
m
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面概积率规律（重要）
•X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
• 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
0.683
例2：在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
多少？ 0.954
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
0.3415*2000=683
练一练：
取值的概率只有0.3 ％。 由当于a 这3s些时概正率态值总很体小的（X 一取般值不几超乎总过取5 值％于）区，
间通(常m 称3s这, 些m 情3s况) 之发内生,为其小他区概间率取事值件几。乎不可能.在
实际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
4.应用举例
例1：若X~N(5,1),求P(6<X<7).
2.正m态s(曲x)线的21 性s质e(x2 sm2)2 ,x(,)
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
x=m
x=m
x=m
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
X=m
正态曲线下的面概积率规律（重要）
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
X=m
3.特殊区间的概率:
若X~N ( m , s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m m P ( ax≤ a )m m a a m,s(x )d x
1、若X~N（μ，σ2），问X位于区域（μ，μ＋σ）
内的概率是多少？
解：由正态曲线的对称性可得，
P ( m x m s ) 1 P ( m s x m s ) 0 .3 4 1 3 2
练一练：
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2)内取值的概率
A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.023 D
X~N(m,s2) 。（EX= m DX= s ）
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从 正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；
Байду номын сангаас在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
期望是 1
。
归纳小结
1.正态曲线及其特点； 2.正态分布及概率计算；
3.3s原则。
高尔顿钉板 这是英国生物统计学家高 尔顿设计的用来研究随机现象的模型， 称为高尔顿钉板（或高尔顿板）。
导入
高尔顿板模型与试验
高尔顿板.exe
频率 以球槽的编号为横坐
组距 标，以小球落入各个
球槽内的频率值为纵
坐标，可以画出“频 随着重复次数的增加，
率分布直方图”。
直方图的形状会越来
越像一条“钟形”曲线。