(江苏专用)2020高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(三)

综合仿真练(三)(理独)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R .若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b 7－a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b 7－a－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0， 即26x ＋by －91＝0， ∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7， 解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4，曲线C 的方程为ρ＝r (r >0)．(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．解：(1)分别将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4转化为直角坐标为A (0,4)，B (－2，－2)，所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(2)曲线C 的方程为ρ＝r (r >0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)． 因为直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，所以直线与圆相切， 因为圆心到直线AB 的距离为432＋－12＝2105， 所以r 的值为2105.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a>a b. 证明：∵b a>0，a b>0，∴要证b a>a b， 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln xx，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln x x2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的， 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )， 即ln b b >ln a a，故b a >a b 得证．2．(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A ，B ，C 三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A ，B ，C 三处投中的概率均分别为12，13，14.(1)设X 表示甲运动员投中的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率． 解：(1)根据题意可知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14；P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124；P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝14；P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以X 的分布列为所以E (X )＝0×14＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示乙运动员投中的个数，由(1)可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14，P (Y ＝3)＝124.所以P (X ＝2，Y ＝3)＝P (X ＝3，Y ＝2)＝14×124＝196，P (X ＝3，Y ＝3)＝124×124＝1576，所以P (X ＋Y ≥5)＝P (X ＝2，Y ＝3)＋P (X ＝3，Y ＝2)＋P (X ＝3，Y ＝3)＝13576.所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为13576.3．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋∑k ＝1n －1－1k C k n －1m m ＋k ＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑k ＝1n－1k Ck －1n －1m m ＋k ＝∑k ＝0n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑i ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1为定值．。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。

5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3a f x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =∠BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(a n }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a 1，a 2，a 3}={b 1,b 2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PF PA的最小值为______.11.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C:(x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC += ，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC.(1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若,求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.(1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A 向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B 在线段AC 上,且BD,BE 均与圆C 相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道 .DE记∠CBD 为θ.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长;②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点(1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值;(3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值;(2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n≥2),使得2n n T a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos(4πρθ-=.若直线1交曲线C 于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x 抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m ∈N *)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X 的数学期望不超过150元,求m 的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合A n ={1,2,…n},n ∈N *,n≥2,将A n 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),其中m=2n .记集合M k 中元素的个数为a k ,k ∈N *,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.参考答案1.{1,3}2.53.-144.3255.126.07.π28.65π9.5 10.2211.8 12.±25513.2 14.(1,12+ln2)-515.16.-5 17.18.20.21A21B 21C。

2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

14个填空题综合仿真练（三）1. 已知集合 A = {1,2,3,4}, B = {x |log 2（x — 1）<2}，贝U A n B = _____ .解析：因为集合 A = {1,2,3,4} ,B = {x |log 2（x — 1）<2} = {x |1<x <5}，所以 A n B = {2,3,4}答案：{2,3,4}22. ______________________________________ 命题p ： ? x € R , x + 2x + 1<0是 命题（选填"真”或"假”）.2 2 2解析：由 x + 2x + 1= （x + 1） >0,得？x € R , x + 2x + K0 是真命题. 答案：真3— i3. 已知复数Z =L ^，其中i 为虚数单位，则复数 z 的模是1 + i -------------3— i 3 — i因为 Z =—，所以|Z | =订j 法二：因为 Z = 1—- = 3— i2 1 — i = 1 — 2i ，所以 |Z | = '12+答案：5 4.某学校共有师生 3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 ___________ .200.答案：2005. ___________________________________________________ 如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ____________________________________________t —1i —2While i <4 t — t x ii — i + 1End While Print t解析：当i = 2时，满足循环条件，执行循环 t = 1X 2= 2，i = 3；当i = 3时，满足循环条件，执行循环 t = 2X 3= 6，i = 4； 当i = 4时，满足循环条件，执行循环t = 6X 4= 24，i = 5;当i = 5时，不满足循环条件，退出循环，输出 t = 24.答案：24 6.男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动解析：法 |3 — i| 10 E =s = ;5解析：样本中教师抽 160 — 150 = 10人，设该校教师人数为n ，则 ¥ = 1603200，所以n =2员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________ .解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n= 12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P= 1 —--=-.7•等差数列｛a n｝中，右a3 + 空 + a?+ a9 + a“= 100,则3a9—a i3= _________ .解析：由题意及等差数列的性质得5a7= 100,故a7= 20,3 a9- a i3= 3(a i + 8d) —(a i+ 12d)=2a7= 40.答案：40&将函数f (x) = sin 2 x + cos 2 x的图象向右平移0 ( 0 >0)个单位，可得函数g(x)= sin 2 x —cos 2 x的图象，贝U 0的最小值为 _________________ .—n —n解析：f(x) = 2sin 2x+ —= 2sin 2 x + —,g( x) = 2sin 2x — -4 = 2sin 2 x-：,n故将函数f (x)向右平移—+ k n, k€ Z个单位可得g(x)的图象，因为0 >0,故0的最n小值为丁.4n答案：T49. 已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1,则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为_________ .1 1解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的高为h,则有丁 +斥=1,而母线长I =“J「2 + h2,2 2 2 1 1 ,亠厂 1 2贝U l = (r + h)卩+ hj2 >4,即可得母线最小值为2，此时r = h=\；2，则体积为3 n r h=3( ,2)3n=乎n.答案：弩n10. 设m€ N,若函数f (x) = 2x—m 10 —x—m+ 10存在整数零点，则m的取值集合为€ Z且2x + 10能被10 —x + 1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况:当2x+ 10= 0,即x=— 5 时，m= 0;解析：令f (x) = 0,得m=2x + 10\/10 —x +1.因为m€ N,贝U 2x+ 10 = 0 或2x+ 10>0, 10 —x当X = 1 时，mi= 3;当x = 9 时，m= 14；当x = 10 时，m= 30.综上所述，m的取值集合为{0,3,14,30}答案：{0,3,14,30}11. 在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC= 4, BC= 2, D是BC的中点，E是AB的中点,△ ABC包括边界)内任一点•贝u N D • "EP的取值范围是_______ .解析：以C为坐标原点，CB CA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,4) , B(2,0)，日1 ,2) , D(1,0)，设Rx, y),-- > --- >则AD • EP = (1 , - 4) •( x —1, y—2) = x- 4y + 71 7-z 1令z = x-4y + 7,贝U y = + —^，作直线y = 4X,1 1 7 - z平移直线y = -x,由图象可知当直线y = -x+ -,4 4 4经过点A时，直线的截距最大，但此时z最小，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最大.即Z min=- 4X 4+ 7 =- 9 , Z max= 2 + 7 = 9,即—9W "D • "E P < 9.故"D • "EP的取值范围是［—9,9］.答案：［—9,9］12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在［0,2］上是增函数，且f(x—4) =-f(x), 给出下列结论：①若一2<X1<X2<2 且X1 + X2>0,则f(xd + f(X2)>0 ;②若0<X1<X2<4 且X1 + X2= 5,贝U f(X1)>f(X2)；③若方程f(x) = m在［—8,8］内恰有四个不同的实根X1, X2, X3, X4,则X1 + X2 + X3 + X4 =-8 或8;④函数f (X)在［—8,8］内至少有5个零点，至多有13个零点.其中正确的结论的个数是__________解析：因为f(x —4) =—f (x)，所以f(x + 8) = f (x)，即函数f (x)的周期为8,因此函数f(x)是周期函数，又函数f(x)是奇函数，且在［0,2］上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示.rL/ ； \. -2• / 叮o 2x 由图看出，①若一2<X I <X 2<2且x i + X 2>0，由奇函数的性质和单调性可知①正确；②若 50<X i <X 2<4 且 x i + X 2= 5, f (x )在［0,2］上是增函数，则 0<x i <5 — x i <4,即 1<X I <2，由图可知f (x i )>f (X 2)，故②正确；③当 n >0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为 2X ( — 6)=—12,另两个交点的横坐标之和为 2X 2= 4,所以X i + X 2+ X 3+ X 4=— 8.当m< 0时，四个交点 中两个交点的横坐标之和为 2X ( — 2) =— 4,另两个交点的横坐标之和为 2X 6= 12,所以 X I + X 2+ X 3+ X 4= 8.故③正确；④由图可得函数f (X )在［—8,8］内有5个零点，所以④不正确.答案：3 13.已知△ ABC 是边长为3的等边三角形，点 P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q——> 2——> 1——> ——>满足AQ = 3 AP +亍AC ,则| BO |的最小值是 ______________ .解析：以点 A 为坐标原点，AB 为X 轴正半轴，使得 C 落在第一象限，建立平面直角坐——> 2——> 1——>2 1 2标系(图略)，设 Rcos a , sin a )，则由 AQ = 3 AP + 3 AC 得，Q ^cos a + 2, ^sin a + --3，故点Q 的轨迹是以D 1,二为圆心，2为半径的圆•又 BD= '7,所以| "BO |的最小2 2 23 2 值是'7 — 3i i14. 已知函数f (X )满足f (X ) = 2f X ,当X € [1,3]时，f (x ) = In x .若在区间3, 3上, 函数g (x ) = f (X ) — ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 _______线OB 之间及直线 OA 上, 即卩k o <a w k °A 时，g (x ) = f (X ) — ax 恰有一个零点，由题易知k oA = 6ln1 13,设过原点的直线与y = ln X , X € ［1,3］的切点为(m l n n )，由y '= X ，得k oB =m 故直线的方程为 y — ln n = Rx — n ) ,••直线过原点，二 ln n = 1,即 n = e ,「. k o = £，故e<a <6ln 一 1解析：当 X € 3, 1 时，*€ [1,3]1 1，贝U f (x ) = 2f - = 2ln - = — 2ln X ,z\. z\.在同一直角坐标系中作y = In X , X € [1,3]与 y = — 2ln 1X , X € 3, 1 的图象如图所示，由图象知当 y = ax 在直线OA 与 y = In X , X € ［1,3］的切3,又当a= 0时，g(x)恰有一个零点，故a的取值范围为 -,6ln 3U {0} •1答案：—，6ln 3 U {0}e。

2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。

综合仿真练(一)1.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .2．(2019·南通市一中模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，部分自变量、函数值如下表.xπ3 7π12 ωx ＋φ 0 π2 π3π22π f (x )24求：(1)函数f (x )的单调增区间．(2)函数f (x )在(0，π]内的所有零点． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π3ω＋φ＝3π2，7π12ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝5π6.又⎩⎪⎨⎪⎧A sin 0＋B ＝2，A sin π2＋B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝2.∴ f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2由－π2＋2k π≤2x ＋5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π (k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝－1.∵x ∈(0，π]，∴5π6<2x ＋5π6≤2π＋5π6，∴2x ＋5π6＝3π2，解得：x ＝π3.∴函数f (x )在(0，π]内的零点为π3.3．(2019·扬州四模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M 的圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－78，0，半径为r ，点P 为椭圆上的一点，若圆M 与直线PA ，PF 都相切，求此时圆M 的半径r .解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝14，a ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝1.∴b 2＝15，∴椭圆C 的方程为：x 216＋y 215＝1.(2)由题意得：A (－4,0)，F (1,0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 2016＋y 2015＝1①当x 0＝1时，直线PF ：x ＝1，与圆M 相切，则R ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＝158，不妨取P ⎝⎛⎭⎪⎫1，154，直线PA ：y ＝1541－－4(x ＋4)，即3x －4y ＋12＝0，∴点M 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＋1232＋42＝158＝r ∴直线PF 与圆M 相切∴当r ＝158时，圆M 与直线PA ，PF 都相切．②当x 0＝－4时，点P 与点A 重合，不符合题意； ③当x 0≠1且x 0≠－4时，直线PA ：y ＝y 0x 0＋4(x ＋4)，PF ：y ＝y 0x 0－1(x －1)化简得：PA ：y 0x －(x 0＋4)y ＋4y 0＝0，PF ：y 0x －(x 0－1)y －y 0＝0∵圆M 与直线PA ，PF 都相切∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0＋4y 0y 20＋x 0＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0－y 0y 20＋x 0－12＝r∵y 0≠0，又y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016代入化简得：x 20－122x 0＋121＝0，解得：x 0＝1或x 0＝121∵－4<x 0<4且x 0≠1 ∴无解． 综上：r ＝158.4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即y ＝kIx2(k 为比例系数)．经测量，在弧AB 的中点C 处的照度为130.(C 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P 安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点， 所以OC ⊥AB ，AC ＝BC ＝10 2. 所以C 处的照度为y ＝4k 1022＋9k 1022＝130，解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ， 则PA ⊥PB ，由AB ＝20，得PB ＝400－x 2(0＜x ＜20)． 所以点P 处的照度为y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2(0＜x ＜20)．所以y ′＝－16 000x3＋36 000x400－x22 ＝4 000×9x 4－4400－x22x 3400－x 22＝20 000×x 2－160x 2＋800x 3400－x 22.由y ′＝0，解得x ＝410. 当0＜x ＜410时，y ′＜0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x2为减函数； 当410＜x ＜20时，y ′＞0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2为增函数．所以x ＝410时，y 取得极小值，也是最小值.所以新增光源P 安装在半圆弧AB 上且距A 为410(距B 为415)的位置． 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)法一：因为f ′(x )＝a －3－2x(x >0),当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a ＞3时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2a －3， f (x )在0，2a －3上单调递减， 由f ′(x )＞0，得x ＞2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞上单调递增. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以a ＞3且2a －3≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以f ′(x )＝a －3－2x≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥3＋2x在(1，＋∞)上恒成立，又当x ＞1时，3＋2x＜5, 所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]， 所以g ′(x )＝a －2x.①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2x≥2，所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0，即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减；由g ′(x )＞0，得x ＞2a，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1上单调递增．所以，存在2a∈(0,1)，使得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)． 因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)由已知可得λ≤n n ＋12n －1，令f (n )＝n n ＋12n －1，则f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝52，f (5)＝158，下面研究f (n )＝n n ＋12n －1的单调性，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋1n ＋22n－n n ＋12n －1＝n ＋12－n2n，所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )， 即f (n )单调递减.因为M 中有3个元素，所以不等式λ≤n n ＋12n －1解的个数为3，所以2＜λ≤52，即λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.(3)设存在等差数列{b n}使得条件成立，则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.所以等差数列{b n}的公差d＝1，所以b n＝n.设S＝a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1，S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋21－2n1－2＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{b n}，且b n＝n满足题意．。

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合1，2，，，则______．2. i 是虚数单位，则的值为______．3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______4. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是______ ．5. 某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为______．6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______． 7. 已知函数的一个对称中心是，则的值为______． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ ．9 设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，，则m 的取值范围是________．10. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为的菱形组成的图形中，______．11. 等差数列的公差为d，关于x的不等式 的解集为，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是______ ．12. 在中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，则______． 13. 已知圆O：与曲线C：，曲线C上两点，、n 、s、p均为正整数，使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，则______．14. 函数其中，若函数有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，四棱锥中，底面ABCD ，，，，，M，N分别为SA ，SC的中点，E为棱SB上的一点，且．证明：平面ABCD；证明：平面SBC．16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．的值；Ⅰ求角A的值；的值．Ⅱ若，，求的值．17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中，，O 为AB上一点，且，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置N分别在线段OD、OC上，点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．面积最小时观赏效果最好．当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？的中点？怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．的值．18. 已知椭圆C ：．若椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，求椭圆的方程；求椭圆的方程； 设，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．的方程．设，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，，求椭圆离心率的取值范围．，求椭圆离心率的取值范围．19. 已知函数，其中．若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；的取值范围；若函数有三个极值点，，，求证：．20. 已知数列的通项公式，设，，，其中成等差数列．，成等差数列．若．当，，为连续正整数时，求的值；的值；为定值；当时，求证：为定值；的最大值．求t的最大值．答案和解析1.【答案】{解析}解：1，2，，；．故答案为：． 进行交集的运算即可．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】{解析}解：，故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】{解析}解：由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有，又，即， 可得．故答案为：． 设双曲线的方程为，则渐近线方程为，由题意可得，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．基础题．4.【答案】5049{解析}解：根据流程图所示的顺序，解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是累加并输出，，故答案为：5049．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出的值的值根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．解模．5.【答案】16{解析}解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为：专业抽取的学生人数为：．故答案为：16．利用分层抽样的性质直接求解．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查应从A 专业抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．算求解能力，是基础题．6.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题．先求出基本事件总数，再利用列举法求出选出的2本书编号相连包含的基本事件有4种，由此能求出选出的2本书编号相连的概率．本书编号相连的概率． 【解答】【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，的五本书， 某同学从中任意选出2本书，本书， 基本事件总数，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：本书编号相连包含的基本事件有：，，，，共4种，种， 选出的2本书编号相连的概率为．故答案为．7.【答案】{解析}解：的一个对称中心是，，，得，，，当时，，故答案为：根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基比较基础．础．8.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．想、化归与转化思想，是中档题． 将侧面和侧面展开成矩形，如图，连结，交于D ，此时最小，当最小时，，此时三棱锥的体积：，由此能求出结果．，由此能求出结果．【解答】【解答】 解：将侧面和侧面展开成矩形，如图，，如图，连结，交于D ，此时最小，最小，，，，，点D 为侧棱上的动点，上的动点，当最小时，，此时三棱锥的体积：的体积：．故答案为：．9.【答案】{解析}解：由题意，函数是奇函数，，函数是奇函数，故有，又周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，故， ， ，当时，解得，当时，解得，所以m 的取值范围是故答案为由题意，故求了的取值范围即可得出关于m 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出的范围，再由周期性得出的范围即可的范围即可本题考查函数的周期性，解题的关键是根据函数的奇函数的性质与周期性的性质求出从而得到m 的不等式，解出m 的取值范围，本题考查了转化的思想的取值范围，本题考查了转化的思想10.【答案】{解析}解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则，，，，，，．故答案为：．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可是计算简便，属于中档题．11.【答案】11{解析}解：关于x 的不等式的解集为，，且，即，则，，故使数列的前n 项和最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11． 根据已知中等差数列的公差为d ，关于x 的不等式的解集为，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．案．本题考查的知识是数列的函数特性，本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．12.【答案】{解析}解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，时，等号成立，，，，．故答案为：．由正弦定理，得：，由余弦定理得，从而，当且仅当时，时，成立，成立，进而求出，由此能求出tan A ．本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】0{解析}解：设，则，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，，消去m ，n 得所以，，此时，此时， 故答案为：0 设，则，结合且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，m 、n 、s 、p 均为正整数，求出m 、n 、s 、p 的值，可得答案．的值，可得答案．本题考查的知识点两点之间的距离公式，恒成立问题，方程思想，难度较大．14.【答案】{解析}解：函数其中，函数，当，或时，，函数为增函数，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，，函数为减函数， 故当时，函数取极大值，函数有两个零点0和t ，若函数恰有6个不同的零点，个不同的零点， 则方程和各有三个解，各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，各有三个零点，由，故，得：，故不等式的解集为：，故答案为：若函数恰有6个不同的零点，则方程和各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，进而得到答案．各有三个零点，进而得到答案． 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．15.【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ连AC ，，N 分别为SA ，SC 的中点，的中点，，又平面ABCD ，平面ABCD ，平面分 Ⅱ连结BD ，，，，，又底面ABCD ，底面ABCD ，，，平面SDB ，平面SDB ，，又，当时，，在与中，，，，又，∽，，即．，平面分{解析}Ⅰ连AC ，则，由此能证明平面ABCD ．Ⅱ连结BD ，推导出，，从而平面SDB ，，由题意得∽，由此能证明平面SBC ．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．空间思维能力的培养．16.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，．化简得，．由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又，，．又，，． ， ，．档题．档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cos A 的值，结合范围，可求A 的值．的值．Ⅱ由正弦定理可求sin B ，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，．：；，可得，设，，，为MN 的中点，的中点，，此时，；分建系2分 ，，，，当且仅当时取等号，时取等号， ，此时．答：当时，P 为队列MN 的中点；的中点；当点M 满足时，观赏效果最好．分答1分{解析}以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC ：，，设，，，然后求解即可．，然后求解即可．通过，推出，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．解即可．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：椭圆C ：，椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．，R 、S 分别为椭圆C ：的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，，， 直线PR ：，即，，直线PS ：，即，，直线MN 的方程为：，即．设，，，．根据题意，解得，连SD ，延长交椭圆于点Q ． 直线SD 的方程为，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标，所以，，即，解得，即，，．椭圆离心率e 的取值范围为{解析}由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．，由此能求出椭圆的方程． 求出，，从而求出直线PR ，直线PS ，从而求出M ，N 坐标，由此能求出直线MN 的方程．的方程．设，，由，得，连SD ，延长交椭圆于由此能求出椭圆离心率e 的取值范围．的取值范围．本题考查椭圆方程、直线方程、椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．是中档题．19.【答案】解：由函数，其中，得，由函数在上单调递增，上单调递增，故，即恒成立，即恒成立．恒成立． 令，则，因此在区间上单调递增，上单调递增，所以．由，则．由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，令，则，当时取极值，时单调递增，单调递增，，则时有两零点，，且，要证：，即证其中，即证：，即，由，，则，即证：；等价于，等价于，由在上单调递增，即证：，又，则证， 令，，--． 恒成立，恒成立，则为增函数，为增函数，当时，，，原结论成立．原结论成立．{解析}由题意求得，依题意，转化为恒成立，可得到a 的取值范围；的取值范围；由题意得，利用有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点是，再利用分析法去证明即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力识的理解掌握水平和分析推理能力20.【答案】解：依题意，，，成等差数列，即，从而，当为奇数时，解得，不存在这样的正整数；当为偶数时，解得，所以分依题意，，，成等差数列，即，从而， 当，均为奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当，均为偶数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，，即分 设，，成等差数列，则，即，整理得，，若，则，因为，所以只能为2或4，所以s 只能为1或2；分若，则，，故矛盾，故矛盾，综上，只能，，成等差数列或，，成等差数列，其中r 为奇数，为奇数， 从而t 的最大值为分{解析}，依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当为奇数或偶数时，分别求得的值；的值；，，成等差数列，根据等差中项可知：，分别当，为奇数或偶数时，即可求得，因此为定值；为定值；设，，成等差数列，根据数列等差中项定义，，分类讨论，求得s 的值，当，求得s 的值，最后求得，，成等差数列或，，成等差数列，其中r为奇数，即可求得t 的最大值．的最大值．本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．与计算能力，属于中档题．。

2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。

综合仿真练(三)1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，得∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真2．(2020·徐州中学模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集个数是________．解析：作出单位圆和函数y ＝3x的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A ∩B 中有两个元素，则A ∩B 有4个子集．答案：43．已知复数z ＝3－i1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5.法二：因为z ＝3－i 1＋i ＝3－i 1－i 2＝1－2i ，所以|z |＝12＋－22＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝1603 200，所以n ＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________．t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5； 当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n ＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34.答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________. 解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， 故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4.答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π.答案：223π10．(2020·无锡期初)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是________．解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34. 答案：3411．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1，0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小， 当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大． 即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9， 即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos α－βcos α＋β＝________.解析：由题意可知A (－a,0)，B (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y 20x 20－a2，又y 20＝b 2－b 2a 2·x 20，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2，即tan αtan β＝－b 2a 2.又e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝32，所以－b 2a 2＝－14，即tan αtan β＝－14，所以cos α－βcos α＋β＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35.答案：3513．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BQ ―→|的最小值是7－23.答案：7－2314．(2020·盐城中学模拟)已知函数f (x )＝1x＋a ln x (x ∈(0，e])的最小值是0，则实数a 的取值集合为________．解析：法一：f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e ＋a ＝0，得a ＝－1e ，满足题意；当0<a ≤1e时，易知x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e＋a ＝0，得a ＝－1e ，不满足题意；当a >1e 时，易知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －a ln a ，令a －a ln a ＝0，得a ＝e ，满足题意．综上，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e .法二：由题意可得①∀x ∈(0，e]，f (x )＝1x＋a ln x ≥0，且②当x ∈(0，e]时，方程1x＋a ln x ＝0有解．由①可得∀x ∈(0，e]，ax ln x ≥－1，当a ＝0时满足题意；当a >0时，需－1a ≤(x ln x )min ；当a <0时，需－1a≥(x ln x )max .令g (x )＝x ln x ，x ∈(0，e]，则g ′(x )＝1＋ln x ，由g ′(x )＝0得x ＝1e ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，又当0<x <1e 时，g (x )<0，所以g (x )max ＝g (e)＝e ，则当a >0时，－1a ≤－1e ，得0<a ≤e；当a <0时，－1a ≥e，得－1e ≤a <0.故可得－1e ≤a ≤e.由②可得a ≠0，且当x ∈(0，e]时，方程－1a ＝x ln x 有解，则－1a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，e ，易得a ≤－1e或a ≥e.综上可得实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e。

1南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数 学参考公式；圆锥的侧面积公式：S=πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．已知集合A={x|x=2k+1，k ∈z}，B={x|x(x-5)<0），则A ∩B=____ ． 2．已知复数z=1+2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为-l ，则输入的实数x 的值为 ． 4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)=x+3a，则f(a)的值为 ．27．若将函数f(x) =sin(2x+3π)的图象沿x 轴向右平移ϕ（ϕ> 0）个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则 ϕ的最小值为8．在△ABC 中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}= {b 1，b 2，b 3}={a ，b ，-2}，其中a>0，b>0，则a+b 的值为 ．10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，-1），则PAPF的最小值为11.已知x ，y 为正实数，且xy+2x+ 4y=41，则x+y 的最小值为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x-m)2+y 2=r 2(m>0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交予A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD ，则直线l 1的率为 ．13.在△ABC 中，BC 为定长，||3|2|BC AC AB =+．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．14．函数f(x) =e x -x-b(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数g(x)=f(f(x)一21）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）如图，三棱锥P-ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证：AC ∥平面PDE;3(2)若PD=AC=2，PE=3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=bcosC +csinB. (1)求B 的值．(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD=717，cosA= -257，求b 的值．17.（本小题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道A8，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD 为θ．4(1)用疗表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222by a x =1(a>b>0)的离心率为21，且过点(0，3)． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．519.（本小题满分16分）已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x ，g(x) =alnx ，a ∈R ．函数h(x)=xx f )(-g(x)的导函数 h'(x)在[25，4]上存在零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)x=0时取得最大值，求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为-12，求实数a 的值． 20.（本小题满分16分）已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n 。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ．14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224ab +的最小值为 ．（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)2020年5月1日，某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x=-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设12e ，求BCAD值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．数学附加题21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量.（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A （异于极点O ），求直线CA 的极坐标方程.22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.数学答案一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(1,3)- 5．16 6．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249．310．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分 因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分 因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分 32sin )3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分 16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x =或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：x =或x =；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=g =………………………………………………12分又92>-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分 18． 解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=， 所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得2222(,),(,)a b A t a t B t a t b a--……………………………………………………4分 当12e =时，3b a =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e-=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e -<，解得12e <<…………………………………14分所以当02e <≤l ，使得BO //AN ；……………………………………15分1e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围；（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1． 列表如下：所以，f (x )的最小值为－1e ，没有最大值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e3 ，＋∞)； (10)分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋xx －1． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ．当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.解(1)设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 是属于特征值λ的一个特征向量，则2223233a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分即262124a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1…………………………………………5分 （2）矩阵M 的特征多项式212()(1)(2)63432f λλλλλλλ--==---=----……8分 由()0f λ=，得4λ=或1λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-…………………………10分 21．（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ解：（1）1()2P A =……………………………………………………………………………2分 00413441111511()1()1[(()()()()]122221616P B P B C C =-=-+=-=……………5分 （2）ξ可取1，2，4…………………………………………………………………………6分418141(1)(2)(4)164162164P P P ξξξ=========……………………8分 列出概率分布表：1119()1244244E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………………………………………10分23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =.……………………………………………………………………………………2分 数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上， 所以4(0)9P =.……………………………………………………………………………………4分 （2）数列1,2,3,,n 中任取其中k 个元素位置不动，则有kn C 种，其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)kn n n k P k C P -=故()(0)nnknn n k k k kP k kCP -===∑∑，又11k k n n kC nC --=……………………………………………6分所以11111000()(0)(0)()nnn n kknn n kn n k n k k k k okP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，…………………8分对任意的0,()!nnk n N P k n =∈=∑，从而11()(1)!n n k Pk n --==-∑所以()(1)!!nnk kP k n n n ==-=∑………………………………………………………………10分。

综合仿真练(三)1．已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63， 则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2.如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN .证明：(1)法一：取A 1C 1的中点P ，连结AP ，NP . 因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1， 所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1.在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB . 所以NP ∥AB ，且NP ＝12AB .因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB .所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ，所以四边形AMNP 为平行四边形，所以MN ∥AP . 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C.法二： 取BC 的中点Q ，连结NQ ，MQ . 由三棱柱可得，四边形BCC 1B 1为平行四边形． 又Q ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点， 所以CQ ∥C 1N ，CQ ＝C 1N ， 所以四边形CQNC 1为平行四边形． 所以NQ ∥CC 1.因为NQ ⊂平面MNQ ，CC 1⊄平面MNQ ， 所以CC 1∥平面MNQ .因为AM ＝MB ，CQ ＝QB ，所以MQ ∥AC . 同理可得AC ∥平面MNQ .因为AC ⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，AC ∩CC 1＝C ，所以平面MNQ ∥平面AA 1C 1C. 因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面AA 1C 1C. (2)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥A B. 因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC .因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ，所以CN ⊥平面AB C.因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥A B.因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ， 所以AB ⊥平面CMN .3.(2019·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD ，其中AB ＝4百米，BC ＝3百米，在其中心P 处(AC 中点)有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池PMN 种植荷花，其中M 点在BC 边上，N 点在AB 边上，满足∠MPN ＝45°.设∠PMC ＝θ.(1)将PM 表示为角θ的函数，并求出cos θ的取值范围； (2)求水池△PMN 面积的最小值．解：(1)∵矩形ABCD ，AB ＝4百米，BC ＝3百米， ∴AC ＝5百米，∵P 为AC 中点，∴AP ＝CP ＝52百米．设∠ACB ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45，cos α＝35在△CPM 中，PM sin α＝CP sin θ，即PM45＝52sin θ∴ PM ＝2sin θ，当点M 在B 处时，θ即为∠PBC ＝∠PCB ＝α，则cos θ＝35，当点N在B 处时，θ＝∠PBC ＋π4＝α＋π4，cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35×22－45×22＝－210∴cos θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－210，35(0<θ<π). (2)在△APN 中，PN sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝AP sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，即PN35＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，∴PN ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4S △PMN ＝12×PM ×PN ×sin π4＝24·2sin θ·32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ∴当2θ－π4＝π2，即θ＝3π8∈(0，π)时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4max ＝1，则(S △PMN )min ＝31＋2＝3(2－1)此时cos θ＝2－24<35符合条件． 答：水池△PMN 面积的最小值为(32－3)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值；(3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP ―→＝25TB ―→，求直线l 的斜率k .解：(1)因为椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，b 28＋8－b 22b2＝1，解得b 2＝4或b 2＝8(舍去)． 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝1－x 1·x 2－1x M －x N 2， 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1.所以AT ·BT MN 2＝72k 2＋1×2k 2＋132＝732.(3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )， 从而AP ―→＝(－x 1，－k －y 1)，TB ―→＝(x 2－1，y 2)， ∵AP ―→＝25TB ―→，∴－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25，①由(2)知x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，②联立①②得x 1＝－4k 2＋232k 2＋1，x 2＝16k 2－232k 2＋1. 又x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，∴50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍去)．又因为k ＞0，所以k ＝ 2.5．数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数i ，j (i <j )，使得a n ＝a i a j ，且i ≠n ，j ≠n ，则称数列{a n }具有性质P .(1)若仅有3项的数列1，a ，b 具有性质P ，求a ＋b 的值； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋2 019具有性质P ；(3)正项数列{b n }是公比不为1的等比数列．若{b n }具有性质P ，则数列{b n }至少有多少项？请说明理由．解：(1)∵数列1，a ，b 具有性质P ∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴a ＋b ＝2或a ＋b ＝－2；(2)证明：假设存在不相等的正整数i ，j (i <j )使得a n ＝a i a j ，即n n ＋2 019＝ii ＋2 019·jj ＋2 019(*)解得：j ＝i ＋2 019ni －n ，取i －n ＝1，则存在⎩⎪⎨⎪⎧i ＝n ＋1，j ＝n ＋2 020n ，使得(*)成立∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋2 019具有性质P;(3)设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0且q ≠1，则b n ＝b 1·q n －1.∵数列{b n }具有性质P∴存在不相等的正整数i ，j (i <j )，i ≠n ，j ≠n ，使得b 1＝b 1·q i －1·b 1·qj －1，即b 1＝1qi ＋j －2，且m ≥3∵j >i ≥1，且i ，j ∈N *，∴i ＋j －2≥1若i ＋j －2＝1，即b 1＝1q，∴b 2＝1，b 3＝q要使b 1＝1q ＝b i b j ，则1q 2必为{b n }中的项，与b 1＝1q矛盾；∴i ＋j －2≠1若i ＋j －2＝2，即b 1＝1q 2，∴b 2＝1q，b 3＝1，b 4＝q ，要使b 1＝1q 2＝b i b j ，则1q 3必为{b n }中的项，与b 1＝1q2矛盾；∴i ＋j －2≠2若i ＋j －2＝3，即b 1＝1q 3，∴b 2＝1q 2，b 3＝1q，b 4＝1，b 5＝q ，b 6＝q 2，b 7＝q 3,这时对于n ＝1,2，…，7，都存在b n ＝b i b j ，其中i <j ，i ≠n ，j ≠n .∴数列{b n }至少有7项．6．已知函数f (x )＝mx＋x ln x (m >0)，g (x )＝ln x －2. (1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)设函数h (x )＝f (x )－xg (x )－2，x >0.若函数y ＝h (h (x ))的最小值是322，求m 的值；(3)若函数f (x )，g (x )的定义域都是[1，e]，对于函数f (x )的图象上的任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝1x ＋x ln x ，f ′(x )＝－1x2＋ln x ＋1.因为f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝0， 所以当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0. 所以函数f (x )的单调增区间是(1，＋∞)．(2)h (x )＝m x ＋2x －2，则h ′(x )＝2－m x 2＝2x 2－mx2，令h ′(x )＝0，得x ＝m2，当0<x < m2时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2上单调递减； 当x >m2时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫m2，＋∞上单调递增．所以h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝22m － 2.①当2(2m －1)≥m2，即m ≥49时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h (22m －2)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22m －1＋22m －1－1＝322，即17m －26m ＋9＝0，解得m ＝1或m ＝917(舍去)，所以m ＝1.②当0<2(2m －1)<m2，即14<m <49时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h ⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝2(2m －1)＝322，解得m ＝54(舍去)． 综上所述，m 的值为1.(3)由题意知，k OA ＝m x2＋ln x ，k OB ＝ln x －2x.考虑函数y ＝ln x －2x，因为y ′＝3－ln x x2>0在[1，e]上恒成立， 所以函数y ＝ln x －2x在[1，e]上单调递增，故k OB ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e ，所以k OA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e ， 即12≤mx2＋ln x ≤e 在[1，e]上恒成立， 即x 22－x 2ln x ≤m ≤x 2(e －ln x )在[1，e]上恒成立． 设p (x )＝x 22－x 2ln x ，则p ′(x )＝－2x ln x ≤0在[1，e]上恒成立， 所以p (x )在[1，e]上单调递减，所以m ≥p (1)＝12.设q (x )＝x 2(e －ln x )，则q ′(x )＝x (2e －1－2ln x )≥x (2e －1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立， 所以q (x )在[1，e]上单调递增， 所以m ≤q (1)＝e.综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e .。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学一、填空题题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =_____________.【答案】{}1,3 【解析】 【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+， 所以()222345z =-+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14- 【解析】 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325 【解析】 【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0 【解析】 【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8.在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.【答案】 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：5π.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b的值为_______________．【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10.已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【解析】 【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin 2PM PAM PA ∠==.2【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-， ∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅=+++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 12.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】 【解析】 【分析】 设1l ：0kxy ，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y ，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =AB OD =∴AB =.圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13.在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】 【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCSBC y =⋅，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14.函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________. 【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =，可知222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解： ()1证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥， 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值. 【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】 【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】 【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()24333【解析】 【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长； ②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =； 综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19.已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h xg x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围； ()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：x ==当10,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20.已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】 【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】16 【解析】 【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22.已知a ＞01a a+-2． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4， 只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.【答案】()135；()29. 【解析】 【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ， 因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=， 所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++， ()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭， 化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24.已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=. 【答案】()14；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。

5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3a f x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =∠BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(a n }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a 1，a 2，a 3}={b 1,b 2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PF PA的最小值为______.11.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C:(x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC += ，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC.(1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若,求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.(1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A 向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B 在线段AC 上,且BD,BE 均与圆C 相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道 .DE记∠CBD 为θ.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长;②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点(1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值;(3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值;(2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n≥2),使得2n n T a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos(4πρθ-=.若直线1交曲线C 于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x 抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m ∈N *)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X 的数学期望不超过150元,求m 的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合A n ={1,2,…n},n ∈N *,n≥2,将A n 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),其中m=2n .记集合M k 中元素的个数为a k ,k ∈N *,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.。