百度文库- 让每个人平等地提升自我河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (5)1.公式法 (5)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。
例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。
如等时时321,10=-===y x y x 。
二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。
，y 。
）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。
，y 。
）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有yxy F F d d x -=。
例1:验证方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。
解 令),(y x F =2x -2y ,则x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有dx dy =y x F F -=y x 22=yx故1=x dxdy=)1,(!yx=1 2.隐函数存在定理2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,。
例2：设函数()y x z z ,=由方程z y x z xy ++=2所确定，求yz∂∂ 解：设()z y x z xy z y x F ---=2,,则012≠-=xy F z （将x ，y 当常数，对z 求偏导）12-=xyz F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）根据定理2：22112112xy xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设()v u y x F ,,,、()v u y x G ,,,在点()0000,,,v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)）()()v F vG u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,在点()0000,,,v u y x P 不等于零，则方程组()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 在点()0000,,,v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有GvGu Fv Fu Gv Gx FvFx v x G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1xGvGu Fv Fu Gx Gu FxFux u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1xGv Gu Fv Fu Gv Gy FvFyv y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1yGvGu Fv Fu Gy Gu FyFuy u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1y例3：设1,0=+=-xv yu yv xu ，求.,,,yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u xvy x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对由定理3可求 022≠+===-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y xx y v F vG u F uG 且则22yx yvxu xu y xx y y x u v +=-==∂∂----22y x xvyu xv y xx y u v x y +-==∂∂---{⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y v y y u x u yv x y u y yv y v y u x y vx y u y u yv xu xv yu 00y 01求导方程两边对同上可求得22y x yu xv y u +-=∂∂ 22yx yuxv y v +--=∂∂三. 隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式=x z -Z X F F ,=y z-zy F F 。
类型条件公式()0,=y x F()00≠≠x y F F 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x y yx F F dx dyF F dx dy或 类型 条件 公式()0,,=z y x F0≠x Fxz x y F F z x F F y x -=∂∂-=∂∂,0≠y Fyz y x F F z y F F x y -=∂∂-=∂∂,0≠z Fzy z x F F y z F F x z-=∂∂-=∂∂,()(){,,,0,,,==v u y x F v u y x G()(),≠=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂v F vG u F u G v u G F J ，()()v x G F J x u ,,1∂∂-=∂∂，()()x u G F J x v,,1∂∂-=∂∂ ()()v y G F J y u ,,1∂∂-=∂∂，()()y u G F J y v ,,1∂∂-=∂∂2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y 看作独立变量，z 是x,y 的函数，得到含yz x z ,的两个方程，解方程可求出yz x z ,.3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成,),,(),,(dy z y x v dx z y x u dz +=则dy dx ,的系数便是yz x z ,，在求全微分时，z 应看做自变量.例1.已知x y y x arctan ln 22=+，求22dxy d . 解. 方法一：令22ln ),(y x y x F +=-)ln(21arctan 22y x x y +=xy arctan -则2222),(,),(y x xy y x F y x y x y x F yx +-=++=所以=dx dy =-y x F F xy y x -+-上式再对x 求导得3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法二： 方程,0arctanln22=-+xyy x 两端分别对x 求导得 22'y x yy x ++022'=+--y x yxyyx y x dx dy -+= 3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法三：方程xyy x arctan ln22=+，两端分别求微分得)(arctan )(ln 22xyd y x d =+利用全微分不定性，上式化为x yd xy y x dy dx 2222221121+=++ 由全微分运算法则计算并化简得3222'22)()(2)(22)()(y x y x y x y xy dx y d xy y x dx dy dxy x dy y x -+=--=-+=+=-参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，【3】邵燕南.高等数学【M】北京：高等教育出版社，【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】南京：东南大学出版社，【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】北京：高等教育出版社，。
