投资学第10章

式（4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
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修正久期！！！ D*=D/(1+y)
• 修正久期是麦考利久期除以（1+到期收益率），用以测度 债券对利率的敏感程度。债券价格变化的百分比等于其修 正久期乘以收益率（市场利率）的增量。债券的久期越大， 当收益率（市场利率）变动时，债券价格变动的百分率越 大，也就是风险越大。
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2020/11/19
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10.1 利率的市场行为
• 债券投资者所期望的收益率（必要收益率）
必要收益率 = （1） + （2） + （3） =（真实无风险收益率 + 预期通货膨胀率）+风险溢价
=名义无风险利率+风险溢价
（1）：是指“没有风险的理想世界中的收益率”； 理论上由“社会平均回报率”决定。
NPV 25.32
K = 5.55
k =？Biblioteka Baidu
5
● 6
k
-21.04
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10.3 债券收益的衡量
10.3.3 赎回收益率（YTC） BP=I*PVIFA+CP*PVIF
注意：求解思路与到期收益率（YTM）类似； 距可赎回日年限；CP赎回价格。 以教材P214为例。
• 10.3.4 预期收益率 BP=I*PVIFA+FV*PVIF 关键是：对未来售价FV的预期。 教材P216有错误。
• 假设市场的贴现率为10%，这项15年期的 $100年金的现值为$760.61。
• 养老基金这项负债的“久期”值为6.279， “修正后的久期”为5.708(＝6.279÷1.1)。
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养老基金的资金运用
• 养老基金现在面临的问题是如何将出售每份保单 所得到的$760.61进行有效投资，以至少每年获得 10%的收益率，从而保证在未来每一个时点上的 资产价值至少和负债的价值相当。
（二）到期收益率YTM (yield to maturity)的估计
设：k1 = 6%， NPV1 = 80×4.212 +1,000×0.747 – 1,105
= -21.04 < 0
再设：k2 = 5%,
NPV2 = 80×4.329 +1,000×0.784 – 1,105
= 25.32 > 0
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远期利率
• 未来的短期利率在当前时刻是不可知道的， 所以以短期利率的期望值E(ri)作为未来短 期利率的无偏估计（假设条件）。
• 短期利率的期望值可以通过远期利率基于 三种不同的理论来估计。
– 市场期望理论 – 流动性偏好理论 – 市场分割理论
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10.1.2 影响市场利率的因素
六个因素： • 最重要的是：通货膨胀率 • 货币供给量 • 财政赤字的规模 • 中央银行货币政策 • 国民经济情况 • 国际市场利率
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10.1.3 利率的期限结构
• 在定价过程中，实际上假设了贴现率不随时间变化，也 就是说不管是从现在开始的一年还是从明年开始的一年， 只要时间长度相同，不同时间起点的利率是相同的。
10.3 债券收益的衡量
• 10.3.1 即期收益率（当期收益率） • 10.3.2 到期收益率（YTM） • 10.3.3 赎回收益率（YTC） • 10.3.4 预期收益率
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到期收益率YTM (yield to maturity)的计算
到期收益率 ： 使净现值= 0时的收益率。
例.某人以1,105元购入面值为1,000元的债券，还有
（2）：对未来通货膨胀的估计值。 （3）：是投资者因承担“风险”而要求获得的一定补偿。
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• 10.1.1 此部分内容可以略去不看；仅仅是一些简 单的经验总结，并不是“定理”或“确定 性的结论”。
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10.1.2 影响市场利率的因素
六个因素： • 最重要的是：通货膨胀率 • 货币供给量 • 财政赤字的规模 • 中央银行货币政策 • 国民经济情况 • 国际市场利率
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由3年零息债券的到期收益率和2年零息债券的 到期收益率推断出的第3年的远期利率。
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因此，第n年的1年期远期利率为
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当前零息债券的价格 当前不同期限债券的到期收益率
当前利率期限结构
远期利率 未来短期利率的期望值
三种不同的假定：
（1）市场期望理论 （2）流动性偏好理论 （3）市场分割理论
• 实际情况如何？ 从固定收益证券的到期收益率来看，利率不随时间变化 意味着所有信用风险相同的债券的到期收益率相同。
收益率的大小与时间应该是有关的
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10.1.3 利率的期限结构
• 利率期限结构：债券的到期收益率（Yield to maturity）与债券到期日（the term to maturity） 之间的关系
利率期限结构理论
• 市场期望理论（the market expectations theory）
– 未来短期利率期望值＝远期利率
• 流动性偏好理论（the liquidity perference theory)
– 长期债券必须有流动性溢价（liquidity premium）
• 市场分割理论（the market segentation theory)
– Bonds with higher coupon rates have shorter durations
– Bonds with longer maturities have longer durations
– Bonds with higher YTM lead to shorter durations
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久期？！！
久期的最初定义源于1938年的Frederic Macaulay， 他用贴现的方法计算证券投资的平均回收时间的 时候提出的这个概念，这个概念最初是一个时间 概念，例如一个8年的麦考利久期，意味着你需 要8年收回初始投资。例如银行一笔11年期按揭 贷款的久期是8.254年，意味着银行在前面8.254 年的时间是在收回本金，其后才是银行赚取的利 润。 由此引申，如果收回本金的时间越长，投资者资 金暴露在风险下的时间也就越长，投资活动的风 险越大；利率变化幅度越大，投资者资产价格变 动，或者说风险也越大，所以久期也是一个衡量 价格弹性或者价格波动性的指标：潜在风险因素 微小变化导致的价格近似的百分比变化。
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• 债券分析中久期已经超越了时间的概念， 投资者更多地把它用来衡量债券价格变动 对利率变化的敏感度，并且经过一定的修 正，以使其能精确地量化利率变动给债券 价格造成的影响。修正久期越大，债券价 格对收益率的变动就越敏感，利率上升所 引起的债券价格下降幅度就越大，而利率 下降所引起的债券价格上升幅度也越大。 可见，同等要素条件下，修正久期小的债 券比修正久期大的债券抗利率上升风险能 力强。
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– 久期的经济意义
– 利用久期测度利率敏感性
对于P和1+y的微小变化，有
（4-3） 这表明，债券价格的利率敏感性与久期成 比例。 久期的经济意义：债券价格对利率微小变动时的
敏感度。
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令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。
5年到期，票面利率为8%。
问：若此人决定持有债券至到期日的话，他的投资收益
率有多大？
A =80
1,000
012345
1,105
1,105 = 80×[(1+k)5 -1]/k(1+k)5 +1,000×1/(1+k)5
= 80×( PVAk,5 ) + 1,000×( PVk,5 )
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三、债券的到期收益率
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• 例： 设有一张6年期的公司债，票面利率为 8％，而市场要求利率为8％，已知久期为 4.993。若当期利率上升一个基本点，也就 是从8％上升到8.01％，则此公司债券价格 会如何变动？
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“久期”在利率风险管理中的 运用案例(免疫策略)
• 美国的一家养老基金所出售的一种保单承 诺在今后15年里向保单持有者每年支付 $100。
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3. 由面值和表2给出的合理价格，计算零息债券到期 收益率
到期日
1年 2年 3年 4年 5年
表3 到期收益率
到期收益率
y1=(100/94.340)-1=6% y2=(100/87.352)1/2-1=6.7% y3=(100/80.139)1/3-1=7.66% y4=(100/73.186)1/4-1=8.12% y5=(100/66.837)1/5-1=8.39%
• 到期收益率与未来短期利率有关系
相关
未来短期利率
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未来的短期利率
1. 假设债券市场上所有的参与者都相信未来5 年的1年期短期利率（Short interest rate） 如表1所示 。
表1
第n年 1年 2年 3年 4年 5年
第n年的短期利率
短期利率 6％ 8％ 9% 9.5% 9.5%
– 长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者
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10.2.1 债券的估值模型
Kb — 折现率 1.投资者期望收益率；2. 筹资者的资金成本率(市场利率)
• P210 公式表述有问题。 • P210-213“年付息债券的估值”和“半年付息债券的
估值”模型基础相同，但需要注意细节调整。
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未来不同期限债券的到期收益率
未来利率期限结构
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利率
未来 当前
利率
当前 未来
短期
长期
到期年限 短期
长期
到期年限
当前利率结构为上升式， 但预计未来更是上升， 故长期利率将上升，故 应该看空长期债券。
当前的利率结构为上升 式，但预计未来为水平 式，则长期利率将下降， 故应该看多长期债券。
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• 假定养老基金现在有两种投资机会可供选择：(1) 30年期的长期债券，票面利率为12%，按平价出 售；(2) 6月期短期国库券，为零息票信用工具， 其年收益率为8%。
• 长期债券的“修正后久期”为8.08，短期国库券 的“修正后久期”为0.481。
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养老基金的利率风险防范
• 养老基金现在面临的另一个问题是如何对 投融资所涉及的利率风险实施“免疫策 略”(immunization strategy)，即使资产组合 的价值变动精确地与负债的价值变动相匹 配。
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“久期”的计算例子
• 某种债券的到期收益率为10%，面值为$1 000，票面利率为8%，每 年付息一次，债券的现行市价为$950.25，存续期还剩3年。
• 根据下表，我们可计算出该种债券的“久期”。
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另一种计算“久期”的方法
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• Generally speaking, bond duration possesses the following properties:
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2.求零息债券当前合理的价格
假设零息债券面值为100元，则由表1可得该债券的合理价 格，如表2所示
到期日 1年 2年 3年 4年 5年
表2 零息债券的合理价格
现在的合理价格 100/(1+6％)=94.340 100/[(1+8％)(1+6%)]=87.352 100/[(1+9%)( 1+8％)(1+6%)]=80.139 100/[(1+9.5% )(1+9%)( 1+8％) (1+6%)]=73.186 100/[(1+9.5%)2(1+9%)( 1+8％) (1+6%)]=66.837
• 远期利率（Forward rate）：由当前市场上 的债券到期收益计算的未来两个时点之间 的利率水平。
– 两种n年期的投资策略，使收益满足相同的 “收支平衡关系”的利率：（1）投资于n年的 零息债券；（2）先投资于n－1年的零息债券， 然后紧接着投资1年期的零息债券
– 注意：远期利率可以从当前债券的市场价格来 估计，它不一定等于未来短期利率的期望值， 更不一定是未来短期利率。
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10.3.5 久期和免疫
Duration & Immunization
• 1938年，麦考利Macaulay为评估债券平均还款期限，引入了久期 这个概念。久期是指债券持有人在收到全部现金流入之前所要等待 的平均时间。计算公式如下：
D为久期；Ct为第t期的现金流； t为收到现金流的时期(t=1, 2...n)； n为现金流发生的次数；r为到期收益率。