北师版七年级数学《整式的除法》单元巩固与提高 知识讲解与练习

初一数学下册第一章整式的除法习题(含详细解析答案)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx北师大版数学七年级下册第一章1.7整式的除法课时练习一、选择题1. 15a3b÷（-5a2b）等于（）A．-3a B．-3ab C．a3b D．a2b答案：A解析：解答：15a3b÷（-5a2b）=-3a，故A项正确.分析：由单项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.2. -40a3b2÷（2a）3等于（）A．20b B．-5b2 C．-a3b D．-20a2b答案：B解析：解答：（-40a3b2）÷（2a）3=-5b2，故B项正确.分析：先由积的乘方法则得（2a）3=8a3，再由单项式除以单项式法则可完成此题.3. -20a7b4c÷（2a3b）2等于（）A．-ab2c B．-10ab2c C．-5ab2c D．5ab2c答案：C解析：解答：-20a7b4c÷（2a3b）2=-5ab2c，故C项正确.分析：先由积的乘方法则得（2a3b）2=-4a6b2，再由单项式除以单项式法则与同底数幂的除法可完成此题.4. 20x14y4÷（2x3y）2÷（5xy2）等于（）A．-x6 B． y4 C．-x7 D．x7答案：D解析：解答：20x14y4÷（2x3y）2÷（5xy2）= x7，故D项正确.分析：先由积的乘方法则得（2x3y）2=-4x6y2，再由单项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.5.（2a3b2-10a4c）÷ 2a3等于（）A．a6b2c B．a5b2c C．b2-5ac D．b4c-a4c答案：C解析：解答：（2a3b2-10a4c）÷ 2a3=b2-5ac，故C项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.6. （ x4y3+x3yz）÷x3y等于（）A．x4y3+xz B．y3+x3y C．x14y4 D．xy2+z答案：D解析：解答：（ x4y3+x3yz）÷x3y = xy2+z，故D项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.7.（x17y+x14z）÷（－x7）2 等于（）A．x3y+z B．－xy3+z C．－x17y+z D．xy+z答案：A解析：解答：（x17y+x14z）÷（－x7）2= x3y+z，故A项正确.分析：先由幂的乘方法则得(－x7）2=x14，再由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.8.（612b2-612ac）÷[（－6）3]4等于（）A．b2-b2c B．a5-b2c C．b2-ac D．b4c-a4c答案：C解析：解答：（612b2-612ac）÷[（－6）3]4= b2-ac，故C项正确.分析：先由幂的乘方法则得[（－6）3]4=612，再由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.9.（8x6y+8x3z）÷（2x）3等于（）A．x6y+x14z B．－x6y+x3yz C．x3y+z D．x6y+x3yz答案：C解析：解答：（8x6y+8x3z）÷（2x）3= x3y+z，故C项正确.分析：先由积的乘方法则得（2x）3=8x3，再由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.10.（4x2y4+4x2z）÷（2x）2等于（）A．4y4+z B．－y4+z C．y4+x2z D．y4+z答案：D解析：解答：4x2y4+4x2z）÷（2x）2= y4+z，故D项正确.分析：先由积的乘方法则得（2x）2=4x2，再由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.11.（x7y4+x7z）÷x7等于（）A．y4+z B．－4x2y4+xz C．x2y4+x2z D．x2y4+z答案：A解析：解答：（x7y4+x7z）÷x7=y4+z，故A项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.12.（ x3y2+x2z）÷ x2等于（）A．xy+xz B．－x2y4+x2z C．x y2+z D．xy4+x2z答案：C解析：解答：x3y2+x2z）÷ x2= x y2+z，故C项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.13.( -5a4c-5ab2c) ÷(-5ac）等于（）A．-a6b2-c B．a5-b2c C．a3b2-a4c D．a3+b2答案：D解析：解答：( -5a4c-5ab2c) ÷(-5ac）= a3+b2，故D项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.14.（ x2y2+y7+y5z）÷y2等于（）A．x2+ y5+y3z B．x2y2+y5z C．x2y+y5z D．x2y2+y7+y5z答案：A解析：解答：x2y2+y7+y5z÷y2=x2++ y5+y3z，故A项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.15.（2a4+2b5a2）÷a2等于（）A．a2c+b5c B．2a2+2b5 C．a4+b5D．2a4+ba2答案：B解析：解答：（2a4+2b5a2）÷a2=2a2+2b5，故B项正确.分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题.二、填空题16．（5x3y2+5x2z）÷5x2等于；答案：xy2+z解析：解答：（5x3y2+5x2z）÷5x2=5x3y2÷5x2 +5x2z÷5x2 = xy2+z分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题17．（2a3b2+8a2c）÷2a2等于；答案：ab2+4c解析：解答：（2a3b2+8a2c）÷2a2=2a3b2÷2a2 +8a2c÷2a2= ab2+4c分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题18．（6a3b2+14a2c）÷a2等于；答案： 6ab2+14c解析：解答：（6a3b2+14a2c）÷a2=6a3b2÷a2+14a2c÷a2= 6ab2+14c分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题19．（-6a3-6a2c）÷(-2a2)等于；答案：3a+3c解析：解答：（-6a3-6a2c）÷(-2a2)= （-6a3）÷（-2a2）+（-6a2c）÷（-2a2）=3a+3c分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题20．（-12x3-4x2）÷(-4x2)等于；答案：3x+1解析：解答：（-12x3-4x2）÷(-4x2) = (-12x3)÷(-4x2)+(-4x2) ÷(-4x2)= 3x+1分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题三、计算题21．-20 x3 y5 z÷(-10x2y)答案：2xy4z解析：解答：解：-20 x3 y5 z÷(-10x2y)= 2 x3-1 y5-1 z=2xy4z分析：由单项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题22．（-6 x4 y7）÷(-2 x y2) ÷（-3 x2y4）答案：- x y解析：解答：解：（-6 x4 y7）÷(-2 x y2) ÷（-3 x2y4）= - x4-1-2y7-2-4=- x y分析：由单项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则可完成此题23．（2a4 -6a2+4a）÷2a答案：a3 -3a+2解析：解答：解：（2a4 -6a2+4a）÷2a=2a4÷2a-6a2÷2a+4a÷2a= a3 -3a+2分析：先由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则计算，再合并同类项可完成此题.24．(3a3b2+3 a2b3- 3 a2b2)÷3ab答案：a2b+ ab2-ab解析：解答：解：(3a3b2+3 a2b3- 3 a2b2)÷3ab=3a3b2÷3ab+3 a2b3÷3ab - 3 a2b2÷3ab=a2b+ ab2-ab分析：由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则计算可完成题.25.( x2 y3-9x y5+8y2)÷y2答案：x2y-9x y3+8解析：解答：解：( x2y3-9x y5+8y2)÷y2= x2y3÷y2-9x y5÷y2+8y2÷y2= x2y3-2-9x y5-2 +8y2-2= x2y-9x y3+8分析：先由多项式除以单项式法则与同底数幂的除法法则计算，再合并同类项可完成此题.。

第一章 整式的乘除（提高）幂的运算（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.+⋅=m n m n a a a ,m n m n p m n p a a a a ++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()n n na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)； (2) ． 【答案与解析】解：（1）．（2）． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：． 类型二、幂的乘方法则 2、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）． （3）．（4）．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数()()()()()n nnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数23[()]a b --32235()()2y y yy +-22412()()m m xx -+⋅3234()()x x ⋅23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=3、（2019春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据2x=23（y+2），32y =3x ﹣9，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知，则＝ ．【答案】－5；提示：原式∵∴ 原式＝＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．① ② ③④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个322,3mm ab ==()()()36322mmm m a b a b b +-⋅()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅23222323+-⨯24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=()3236926x y x y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯【答案】A ；提示：只有⑤正确；；；；【变式2】（2019春•泗阳县校级月考）计算： （1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21． 【答案】（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2=a 4•9a 6＋16a 10 =9a 10＋16a 10=25a 10； （2）（2）20•（）21．=（×）20• =1× =．5、（2019秋•济源校级期中）已知x 2m=2，求（2x 3m）2﹣（3x m）2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x 6m ﹣9x 2m=4（x 2m ）3﹣9x 2m=4×23﹣9×2 =14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．【巩固练习】一.选择题1．下列计算正确的是( )． A. B.C. D.2．的结果是( )．()3236928x yx y -=-()326m maa-=-()3618327aa =()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯()325xx =()5315x x =4520x x x ⋅=()236xx --=()()2552aa -+-A.0B.C.D.3．下列算式计算正确的是( )． A. B.C. D. 4．可以写成( )．A. B. C. D.5．下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6．（2019•盐城）计算（﹣x 2y ）2的结果是（ ）A ．x 4y 2B ．﹣x 4y 2C ．x 2y 2D ．﹣x 2y 2 二.填空题7．化简：(1)＝_______；(2)＝_______．8.直接写出结果：(1)＝； (2)＝；(3)若，则＝______．9.（2019春•靖江市期末）已知2m +5n +3=0，则4m ×32n的值为 ． 10.若，用，表示可以表示为 ．11.（2019•杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 ．12.若整数、、满足，则＝ ，＝ ，＝ ．三.解答题13.若，求的值．14.（2018春•吉州区期末）已知a x =﹣2，a y=3．求：（1）a x+y 的值；（2）a 3x 的值；（3）a 3x+2y的值．72a -102a 102a -()33336aa a +==()22nn x x -=()()3626y y y -=-=()33333327c c c ⨯⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31n x+()13n x+()31n x+3nx x ⋅()21n n x+()23636xx =()2551010525a ba b -=-3328()327x x -=-()42367381x yx y =235x x x ⋅=33331)31(b a ab +-()()322223a a a +⋅()_____n233n n n a b 1011x y ()5_____y ⋅2,3n n a b ==6n23,25,290abc===a b c a b c 50189827258abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c 2530x y +-=432x y⋅15. 已知，则. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ； 【解析】；；.2. 【答案】A ； 【解析】.3. 【答案】D ； 【解析】；；.4. 【答案】C ； 【解析】；；.5. 【答案】B ；【解析】①②④错误. 6. 【答案】D ；【解析】解：∵a•a 3=a 4，∴选项A 不正确；∵a 4+a 3≠a 2，∴选项B 不正确； ∵（a 2）5=a 10，∴选项C 不正确； ∵（﹣ab ）2=a 2b 2，∴选项D 正确． 故选：D ．二.填空题 7. 【答案】；； 【解析】； .8. 【答案】；；；【解析】（3）.9. 【答案】；【解析】4m×32n=22m×25n=22m +5n，∵2m +5n +3=0，∴2m +5n=﹣3，∴4m ×32n =2﹣3=．10.【答案】；200080,200025==yx =+yx 11()326xx =459x x x ⋅=()236x x --=-()()255210100a a a a -+-=-=()33339aaa ⨯==()222()()n nn x n xxn ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数为奇数()326yy -=-()1333n n xx ++=()314n n x x +=()2212n n nnx x ++=33827a b 628a 33333333311198()33272727ab a b a b a b a b -+=-+=()()3222266632728aa a a a a +⋅=+=233ab 22x y ab ()62323nnnnab =⨯=⋅=21c a b =++【解析】11.【答案】b ＞c ＞a ＞d ；【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511，∵81＞64＞32＞25， ∴b ＞c ＞a ＞d ．故答案为：b ＞c ＞a ＞d ． 12.【答案】＝6，＝6，＝3；【解析】.三.解答题13.【解析】 解：∵， ∴∴原式＝.14.【解析】解：（1）a x+y =a x •b y=﹣2×3=﹣6；（2）a 3x =（a x ）3=（﹣2）3=﹣8；（3）a 3x+2y =（a 3x ）•（a 2y）=（a x ）3•（a y ）2=（﹣2）3•32=﹣8×9 =﹣72．15.【解析】解：∵∴；∴；()2221903252222221c a b a b c a b ++=⨯⨯=⋅⋅==++∴∴a b c 22232232233235018925233235227258352abca ab b ca b c b c a a b a b c +-+--⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭336223062203a b c a b c a b a b c +-==⎧⎧⎪⎪+-==⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩∴∴()()25252543222222xyxyx y x y +⋅=⋅=⋅=2530x y +-=253x y +=328=252000,802000,20002580xy===⨯()()2525200025802580252000yyx xy y y y y ===⨯=⨯=⨯252525200025x y x yy +⋅==⨯2525xyx y +=∴，同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）（、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 要点四、科学记数法的一般形式xy x y =+111x y x y xy++==m n m na a a -÷=a m n 、m n >01a =a a 00n -n n 1nnaa -=a n m n m n a a a +=m n 0a ≠()mm m ab a b =m 0a ≠0b ≠()nm mn a a =m n 0a ≠()0na a -≠n a a ()1122xy xy -=0xy ≠()()551a b a b -+=+0a b +≠（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）．（2）10na ⨯n 1||10a ≤<10na -⨯n 1||10a ≤<83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x x x -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5()()x y x y -÷-125(52)(25)a b b a -÷-6462(310)(310)⨯÷⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-1212(52)(25)a b b a -=-x y-5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-（3）．（4）．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知，，求的值．【答案与解析】 解： ． 当，时，原式． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2019春•苏州）已知以=2，=4，=32．则的值为 ．【答案】解： ==8，==16，=•÷=8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）．【答案与解析】解：（1）； （2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：．64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-32m =34n =129m n+-121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======32m=34n=224239464⨯==3m 3nma na ka 32m n ka +-3ma322n a 2432m n k a +-3m a 2n a k a 223-⎛⎫- ⎪⎝⎭23131()()a b a b ab ---÷222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭【答案】解：5、 已知，，则的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ ，∴ ． ∵ ，，∴ ，．∴ ． 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求． 举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式．（2）原式． 类型三、科学记数法6、（2018秋•福州）观察下列计算过程：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+1151611732832=+++=1327m=1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭n m 331133273m-===3m =-122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=422n -=4n =-4411(3)(3)81nm -=-==-127122nn-⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=m n nm 1232()a b c --3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭424626b a b c a c--==8236981212888b b c b cb cc---=⨯==（1）∵÷=，÷==，∴=（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=, 由此可归纳出规律是：=（a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：= ；= ．（2）用科学记数法：3×= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）=； ==； （2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【巩固练习】一.选择题1. （2019•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．B ．÷=C ．+=D ．•=2.下列计算中正确的是( )．A.B.C.D.3．近似数0.33万表示为（ ）3353332231333=⨯3353353-23-23-2a 7a 27a a 225a a a ⨯51a2a 7a 27a -5a -5a -51a pa-1pa 103-259x x x ⨯÷410-10na ⨯103-1013259x x x ⨯÷259x +-221x x -=410-810-10na ⨯()25a=10a 16x 4x 4x 22a 23a 46a 3b 3b 32b 212a a xx x ++÷=()()6322xy xy x y÷=()12529x x xx÷÷=()42332nn n n xx x x +÷=A ．3.3×B ．3.3000×C ．3.3×D ．0.33×4．的结果是（ ）A ．B ．C ．2D ．05.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．B ．C ．D ．6.下列各式中正确的有（ ）①②；③；④；⑤．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. ______，＝______．8. __________,__________,______.9． ＝______，＝______．10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．12（2019春•江西）若=-2, =-，则= ． 三.解答题13．（2019春•吉州）已知=3，=5．求： （1）的值；（2）的值； （3）的值．210-310310410020122012(1)(0.125)8π-+⨯323-201)3(,)2(,)61(---21)3()61()2(-<<--201)3()2()61(-<-<-102)61()2()3(-<-<-120)61()3()2(-<-<-21()9;3-=224-=-01a =()111--=()2336-==-+-01)π()21(()011 3.142--++()()532aa -÷-=201079273÷÷=02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭()3223a b-()22a b---m m ma na 12-23m na -2x2y2x y+32x212x y +-14．用小数表示下列各数：（1）8.5×（2）2.25×（3）9.03×15. 先化简，后求值：，其中.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、，正确； B 、÷=，错误；C 、+=，错误；D 、•=b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】； ； .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×. 4. 【答案】C ；【解析】.5. 【答案】A ； 【解析】，所以.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；；；；. 二.填空题 7. 【答案】3；； 【解析】. 8. 【答案】；【解析】.310-810-510-()()23424211212a b a b a b ----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭23a b ==-，()25a=10a 16x 4x 12x 22a 23a 25a 3b 3b 6b 21a a xx x ++÷=()()6333xy xy x y ÷=()4235n n n n x x x x ÷=3102012201220121(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=210)3()61()2(-<<--2124-=()010a a =≠()111--=-()239-=12()01111 3.1421122--++=-++=7;27;10a 201074030739273333327÷÷=÷÷==9.【答案】；【解析】；.10.【答案】；11.【答案】； 12.【答案】-32； 【解析】解：，=4=﹣32.三.解答题13.【解析】 解：（1）=•=3×5=15；（2）===27；（3）=•÷2=×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×＝0.0085 （2）2.25×＝0.0000000225（3）9.03×＝0.0000903 15.【解析】 解：原式 当时，原式.整式的乘法（提高）6627a b 42a b()632266627327a a ba b b --==()422422a a b a b b----==4410-⨯113.8410⨯()224mm a a ,==()3318n n a a ==-23m n a -2x y+2x 2y32x()32x 33212x y +-()22x 2y 23310-810-510-4863482323444a ba b a b a b a b ------=-÷=-=-23a b ==-，23412(3)27=-=-【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、 计算： （1）（2）．【答案与解析】()m a b c ma mb mc ++=++()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()()121232n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----解：（1）（2）．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型二、单项式与多项式相乘2、计算： （1） （2）【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简． 【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心． 举一反三： 【变式】（2019秋•台山市校级期中）化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）． 【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x()()121232n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()121232n nx x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---=﹣3x 2+16x ．3、（2019秋•德惠市期末）先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98． 【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 举一反三：【变式】若，求的值． 【答案】解：，当时，原式＝．类型三、多项式与多项式相乘4、（2019秋•天水期中）若（x 2+nx +3）（x 2﹣3x +m ）的展开式中不含x 2和x 3项，求m ，n 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x 2和项，也就是x 2和项的系数为0，由此得方程组求解． 【答案与解析】解：原式的展开式中，含x 2的项是：mx 2+3x 2﹣3nx 2=（m +3﹣3n ）x 2，含x 3的项是：﹣3x 3+nx 3=（n ﹣3）x 3，由题意得：，解得．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解． 举一反三：20x y +=332()4x xy x y y +++332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++22(2)2(2)x x y y x y =+++20x y +=220020x y +=3x 3x 33030m n n +-=⎧⎨-=⎩63m n =⎧⎨=⎩【变式】在 的积中，项的系数是－5，项的系数是－6，求、．【答案】解：因为项的系数是－5，项的系数是－6，所以，，解得. 【巩固练习】 一.选择题1．（2019•台湾）计算（2x 2﹣4）（2x ﹣1﹣x ）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．﹣x 2+2 B ．x 3+4 C ．x 3﹣4x +4 D ．x 3﹣2x 2﹣2x +4 2．下列各题中，计算正确的是( )．A. B.C . D. 3. 如果与－2的和为，1＋与－的差为，那么化简后为( )A. B. C.D.4. 如图，用代数式表示阴影部分面积为( )．A.B. C.D.5．结果是的式子是( )．A .(＋4)( ＋2)2B .(＋4)()()22231x ax b x x ++--3x 2x a b ()()22231x ax b x x++--3x 2x 235a -=-2316b a --=-14a b =-=-，()()233266mn m n --=()()332299m n mn m n --=-()()232298m nmn m n --=-()()323321818m n m n ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦2x 2y m 2y 22x n 24m n -22684x y ---221084x y --22684x y --+221084x y -+ab ac bc +()ac b c c +-()()a c b c --31216x x -+x x x ()22x x -+C .(－4)D .(＋4)6. 已知：，则的值为（ ） A.－1 B.0 C. D.1 二.填空题7. 已知，则＝___________.8.（2019春•无锡校级期中）如果（x+1）（x 2﹣2ax+a 2）的乘积中不含x 2项，则a= ．9. 之积中含项的系数为 .10.（2019春•莘县期末）若（a m+1bn+2）•（a2n ﹣1b 2n）=a 5b 3，则m +n 的值为 .11. 观察下列各式：； ； ；根据这些式子的规律，归纳得到：.12.把展开后得，则三.解答题13.（2019春•聊城校级月考）计算 （1）（﹣2a 2b ）2•（ab ）3（2）已知a m=2，a n=3，求a2m+3n的值．14.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：＝，就可以用图1的面积关系来说明． ① 根据图2写出一个等式 ；② 已知等式：＝，请你画出一个相应的几何图形加以说明．x ()22x x ++x ()22x -222440,23a b a b --=+=2122a b b +1220m n +=332()48m mn m n n +++-322322(4235)(233)--+-+x x y xy y x xy y 32x y 22()()x y x y x y -+=-2233()()x y x xy y x y -++=-322344()()x y x x y xy y x y -+++=-43223455()()x y x x y x y xy y x y -++++=-123221()()n n n n n x y x x y x y xy y ------+++++= (6)2)1(+-x x 0122101011111212......a x a x a x a x a x a ++++++=++++++024681012a a a a a a a ()()2a b a b ++2223a ab b ++()()x p x q ++()2x p q x pq +++15.已知的展开式中不含和项，求的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】（2x 2﹣4）（2x ﹣1﹣x ）=（2x 2﹣4）（x ﹣1）=x 3﹣2x 2﹣2x +4．故选：D ． 2. 【答案】D ； 【解析】；；.3. 【答案】A ；【解析】，＝4. 【答案】C ；【解析】阴影部分面积为.5. 【答案】D ；【解析】6. 【答案】A ；【解析】两式相减得，将代入得 . 二.填空题7. 【答案】－8；【解析】()()2283x px xx q ++-+2x 3x p q 、()()233266mn m n --=-()()332299m n mn m n --=()()232278m nmn m n --=-22222,12x y m y x n -=++=24m n -22222224448684x y y x x y ----=---()()()2ab a c b c ab ab ac bc c ac c b c ---=-++-=+-()()()()2242444x x x x x +-=+-+322344416161216x x x x x x x =-++-+=-+2241b b +=-244a b =+2122a b b +()214422412b b b b b ++=+=-332()48m mn m n n +++-32232248m m n mn n =+++-8. 【答案】；【解析】解：原式=x 3﹣2ax 2+a 2x+x 2﹣2ax+a 2=x 3+（1﹣2a ）x 2+（a 2﹣2a ）x+a 2，∵不含x 2项， ∴1﹣2a=0，解得a=， 故答案为：．9. 【答案】12；【解析】用多项式的乘法展开式子，得项的系数为12. 10.【答案】；【解析】已知等式整理得：a m +2n b3n +2=a 5b 3，可得，解得：m =，n =，则m +n =，故答案为：.11.【答案】； 12.【答案】365； 【解析】∵展开后得∴当时，，①；当时，，②∴①＋②＝，∴.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=4a 4b 2•a 3b 3=a 7b 5；（2）a2m+3n=（a m ）2•（a n ）3 =4×2722(2)2(2)88m m n n m n =+++-=-32x y 25323m n n +=⎧⎨+=⎩-nnx y=108． 14.【解析】解：①②如图所示：15.【解析】 解：因为展开式中不含和项， 所以， 解得，.乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型()()2222252a b a b a ab b ++=++()()2283x px xx q ++-+432322432338248(3)(38)248x x qx px px pqx x x q x p x q p x pqx x q=-++-++-+=+-+-++-+2x 3x 30p -=380q p -+=3p =1q =22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+（2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如（6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；；；. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( )()()()() ＋1(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++221+421+821+1621+3221+221+221-421+421-221+421+821+1621+3221+＝()( )( )()()()＋1 ＝－1＋1＝．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算：(1)(2)(＋)( －)( )( )【答案】解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝．(2)原式＝[(＋)( －)]( )( )＝[()( )]( )＝()( )＝．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2019春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，221-221+421+821+1621+3221+6426422(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +x x 29x +29x -29x +481x -a b a b 22a b +44a b +22a b -22a b +44a b +44a b -44a b +88a b -根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63， 由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63， 解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，熟练应用平方差公式可简化计算．举一反三：【变式】解不等式组：【答案】解：由①得，，． 由②得，，，．∴ 不等式组的解集为．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式．（2）原式． 【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②22921x x x --+>210x >5x >2225(2)44x x x -<-2225444x x x -<-425x -<- 6.25x > 6.25x >2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+23a b +-(23)a b +-a (23)b -a a 2b 3c -2b -3c 222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-a b举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解：(1) ＝[－(－)][ ＋(－)]＝＝．(2) ＝[2＋(－1)][2－(－1)]＝＝．(3)＝．(4) ＝＝－ ＝－＝ 4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ ，∴ ，即． 即．()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---()()a b c a b c -++-a b c a b c ()()222222a b c a b bc c--=--+2222a b bc c -+-()()2112x y y x -+-+x y x y ()()()222221421x y x y y --=--+22421x y y -+-()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦222222x xy y xz yz z -++-+()()231123a b a b +---()2231a b -+-22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦224129461a ab b a b －－－＋＋－a b c 2220a b c ab bc ac ++---=2220a b c ab bc ac ++---=2222222220a b c ab bc ac ++---=222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=222()()()0a b b c a c -+-+-=∴ ，，，即，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式的最小值是____________. 【答案】4；提示：，所以最小值为4.【巩固练习】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ① ② ③ ④ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 若是完全平方式，则值是（ ） A. B. C. D. 13.下面计算正确的是( )．A.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝－－B.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝＋C.原式＝[－(7－－)][－(7＋＋)]＝－D.原式＝[－(7＋)＋][－(7＋)－]＝4．(＋3)(＋9)(－3)的计算结果是( )．A.＋81B.－－81C. －81D.81－5．下列式子不能成立的有( )个．0a b -=0b c -=0a c -=a b c ==2220a b c ab bc ac ++---=2ab 222225x xy y y -+++()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++()()2552ab x x ab -++()()ax y ax y ---()()ab c ab c ---()()m n m n +--214x kx ++k 2±1±4±()()77a b a b -++---a b a b 27()2a b +a b a b 27()2a b +a b a b 27()2a b +a b a b ()227a b +-a 2a a 4a 4a 4a 4a① ② ③④ ⑤A.1B.2C.3D.46．（2019春•开江县期末）计算20192﹣2019×2019的结果是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1 二.填空题7．多项式是一个完全平方式，则＝______．8. 已知，则的结果是_______. 9. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则＋＝_______.10.（2019春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.12. 如果＝63，那么＋的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值.14.（2019春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 15. 已知：求的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】①，②，③可用平方差公式. 2. 【答案】B ；()()22x y y x -=-()22224a b a b -=-()()()32a b b a a b -=--()()()()x y x y x y x y +-=---+()22112x x x -+=--28x x k -+k 15a a +=221a a+223x x --()2x m k -+m k m k n ()()()()313133n n n n +---+()()221221a b a b +++-a b 22(1)10199+()()()2222(2)224m m m +-+(3)()()a b c a b c +--+2(4)(321)x y -+()26,90,a b ab c a -=+-+=a b c ++【解析】，所以＝±1.3. 【答案】C ；4. 【答案】C ；【解析】(＋3)(＋9)(－3)＝.5. 【答案】B ；【解析】②，③不成立. 6. 【答案】D ；【解析】解：原式=20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）=20192﹣（20192﹣1）=20192﹣20192+1=1，故选D.二.填空题7. 【答案】16；【解析】，∴＝16.8. 【答案】23；【解析】. 9. 【答案】－3；【解析】，＝1，＝－4.10.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=（216﹣1）（216+1）+1， =232﹣1+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6． 故答案为：6．11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除. 12.【答案】±4；【解析】. 三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝2221112224x x x kx ⎛⎫⎛⎫±⨯+=±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k a 2a a 224(9)(9)81a a a -+=-2228244x x k x x -+=-⨯+k 21()25,a a+=222211225,23a a a a ++=+=()22223211314x x x x x --=-+--=--m k ()21n -()()221221a b a b +++-()222163,228,4a b a b a b =+-=+=±+=±()()2210011001=100002001100002001=20002++-+++-+。

第一章:整式的运算一、概念1、整式:单项式和多项式统称为整式.2、单项式: 由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式。

单项式不含加减运算，分母中不含字母。

（单独的字母；单独的数字；数字与字母的乘积）3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式含加减运算。

代数式:用运算符导(指加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

数的一切运算规律也适用于代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式乘方:求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方 幂:如果把a^n 看作乘方的结果，则读作a 的n 次幂二、公式、法则:（1）同底数幂的乘法:a m ﹒a n =a m+n（同底，幂乘，指加） 逆用: a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法:a m ÷a n =a m-n（a ≠0）。

（同底，幂除，指减） 逆用:a m-n = a m ÷a n （a ≠0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方:（a m ）n =a mn （底数不变，指数相乘）逆用:a mn =（a m ）n（4）积的乘方:（ab ）n =a n b n推广:逆用， a n b n =（ab ）n （当ab=1或-1时常逆用） （5）零指数幂:a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂:11()(0)p p p a a a a -==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

（8）多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

（9）平方差公式:（a+b ）(a-b)=a 2-b2 （10）完全平方公式: 222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+逆用:2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）:222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab +=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 例如:229x +mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平方差公式，则m = ；是一个完全平方公式，则m = ；（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷（12）常用变形:221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)第一单元习题一、填空1、代数式4xy 3是＿＿项式，次数是＿＿2、代数式x x a x a 5154323+-是＿＿项式，次数是＿＿ 3、(2x 2y+3xy 2)－(6x 2y －3xy 2)=________________4、43)()(b a b a -⋅-=__________________5、(3x+7y)·(3x －7y)=________________6、(x+2)2－(x+1)(x －1)=______________7、⑴、251010-⨯= ； ⑵、=⋅32a a ； ⑶、()=535 ； ⑷、()=32m ； ⑸、=÷-251010 ； ⑹、=÷68a a ； ⑺、()=3mn ； ⑻、=⎪⎭⎫ ⎝⎛3321b a ； ⑼、()=-4322n m ；⑽、()=⨯-016.813.5 ； ⑾、=⨯-428 ； ⑿、()()=-+2 2x x ；⒀、()=-232y x ； ⒁、=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2213x 二、选择题(2×4=8)1、下列计算正确的是 （）A 、2a-a=2B 、x 3+x 3=x 6C 、3m 2+2n=5m 2nD 、2t 2+t 2=3t 22、下列语句中错误的是 （ ）A 、数字 0 也是单项式B 、单项式 a 的系数与次数都是 1C 、21x 2 y 2是二次单项式 C 、－32ab 的系数是 －32 3、下列计算正确的是 （）A 、(－a 5)5=－a 25B 、(4x 2)3=4x 6C 、y 2·y 3－y 6=0D 、(ab 2c)3=ab 2c 34、（x+5）(x-3)等于 （ ）A 、x 2 －15B 、x 2 + 15C 、x 2 + 2x －15D 、 x 2 － 2x － 155、下列计算正确的是（ ）A 、422a a a =+B 、632a a a =⋅C 、()532a a = D 、()()123223a a a =⋅ 6、下列计算正确的是（ ）A 、()623mn mn =；B 、()24222n m m n =；C 、()422293n m mn =-；D 、()51052n m n m =- 7、8m 可以写成（ ）A 、42m m ⋅B 、44m m +C 、()42mD 、()44m8、计算()()1 52+--x x x 的结果，正确的是（ ）A 、54+xB 、542+-x xC 、54--xD 、542+-x x三、计算2、xy y xy y x 322122⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3、（3a+2b ）2－b 24、用完全平方公式计算200125、用平方差公式计算2004×19966、(3x+9)(6x+8)7、(a-b+2)(a-b-2)8、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+5353b a b a9、(3mn+1)(3mn-1)-8m 2n 2 10、 (2x 2)3－6x 3(x 3+2x 2+x)11、已知8b a =+，5ab -=，求下列各式的值。

2024北师大版数学七年级下册1.7.1《整式的除法》教案1一. 教材分析《整式的除法》是北师大版数学七年级下册第1章第7节的内容，本节课主要介绍整式除法的基本概念和运算方法。

通过本节课的学习，学生能够理解整式除法的意义，掌握整式除法的运算方法，并能够应用整式除法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的加减法和乘法，对整式的基本概念和运算方法有一定的了解。

但是，对于整式除法这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来理解和掌握。

三. 教学目标1.理解整式除法的概念和意义。

2.掌握整式除法的运算方法。

3.能够应用整式除法解决实际问题。

四. 教学重难点1.整式除法的概念和意义。

2.整式除法的运算方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法，通过引导学生思考和解决问题，让学生理解和掌握整式除法。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：已知两个整式的商和余数，如何求被除式？让学生回顾整数除法的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解整式除法的定义和运算方法，通过PPT课件展示实例，让学生跟随老师一起完成整式除法的运算。

在此过程中，强调整式除法的基本步骤：确定除数、试除、商式、余式。

3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT课件上的练习题，老师巡回指导，解答学生遇到的问题。

在此过程中，注意引导学生运用整式除法的基本步骤，培养学生的运算能力。

4.巩固（10分钟）通过PPT课件上的练习题，让学生巩固整式除法的运算方法。

老师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足，并进行针对性的讲解。

5.拓展（10分钟）让学生思考：整式除法在实际问题中的应用。

老师出示几个实际问题，让学生运用整式除法进行解决。

通过这个过程，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调整式除法的概念和运算方法。

1专题1.5 整式的除法（知识讲解）【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即m n m n a a a-÷=a m n 、m n >01a =a a 00()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++2要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．【答案与解析】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型二、单项式除以单项式2、计算：（1）；（2）； （3）；（4）．【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x xx -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭342222(4)(2)x y x y ÷2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++3 （4）中多项式因式当做一个整体参与计算．【答案与解析】解：（1）．（2） ． （3）．（4）．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 解：（1）．（2）． 342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+3153a b ab ÷532253x y z x y -÷2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63(1010)(210)⨯÷⨯33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-4 （3）． （4）．3、 金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型三、多项式除以单项式4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 【答案与解析】解：（1）．（2）． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯324(67)x y x y xy -÷42(342)(2)x x x x -+-÷-22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-5（4） ． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．举一反三：【变式1】计算：（1）； （2）．【答案】解： （1）原式 ．（2）原式． 【变式2】 化简：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦解：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-6 =()32212332x x x x x -+-÷=()322122x x x -÷ =24x -.。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 下列计算结果正确的是（ ）A ．2334222x y xy x y -⋅=- B ．222352x y xy x y -=-C ．4232874x y x y xy ÷= D ．()()2323294a a a ---=-2. 423287a b a b ÷的结果是 ( ) A.24abB.44a bC. 224a bD. 4ab3.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ）A ．（a 3﹣a ）÷a=a 2B ．（a 3）2=a 5C ．a 3+a 2=a 5D ．a 3÷a 3=1 4. 如果□×3ab ＝23a b ，则□内应填的代数式是（ ） A.ab B.3abC.aD.3a5．下列计算正确的是( )．A.()13n n x y z +-÷()13n n x y z +- ＝0B.()()221510532x y xyxy x y -÷-=-C.x xy xy y x 216)63(2=÷- D.231123931)3(x x x x xn n n +=÷+-++ 6. 太阳的质量约为2.1×2710t ，地球的质量约为6×2110t ，则太阳的质量约是地球质量的（ ）A.3.5×610倍B.2.9×510倍C.3.5×510倍D.2.9×610-倍 二.填空题7. 计算：()()22963a b abab -÷＝_______.8. 2xy •（______）＝26x yz -． 9. 计算()()34432322396332x y x y x y x y x y xy -+÷=-+-.10．直接写出结果：(1)()()35aa -÷-＝_______；(2)()24a a -÷-＝_______；(3)1042x x x ÷÷＝_______； (4)10n ÷210n -＝_______；(5)()3mm aa ÷＝_______；(6)()()21nn y x x y --÷-＝_______．11．（2015春•成都校级月考）（﹣a 6b 7）÷= ．12．学校图书馆藏书约3.6×410册，学校现有师生约1.8×310人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅______册图书. 三.解答题13.（2014秋•陇西县期末）（1）计算：（）2÷（﹣）2（2）计算：（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）．14. 先化简，再求值：()()()23242622532a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦，其中a ＝－5． 15．天文学上常用太阳和地球的平均距离1.4960×810千米作为一个天文单位，已知月亮和地球的平均距离约为384401千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到0.0001)【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】A 、2334224x y xy x y -⋅=-，所以A 选项错误；B 、两个整式不是同类项，不能合并，所以B 选项错误；D 、()()2323294a a a ---=-+，所以，D 选项错误.2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】解：A 、（a 3﹣a ）÷a=a 2﹣1，错误；B 、（a 3）2=a 6，错误；C 、a 3与a 2表示同类项，不能合并，错误；D 、a 3÷a 3=1，正确； 故选D ．4. 【答案】C ；5. 【答案】D ； 【解析】()13n n xy z +-÷()13n n x y z +- ＝1；()()221510532x y xy xy x y -÷-=-+；21(36)612x y xy xy x -÷=-. 6. 【答案】C ；【解析】（2.1×2710）÷（6×2110）＝0.35×610＝3.5×510.二.填空题7. 【答案】32a b -； 8. 【答案】3xz -；【解析】26x yz -÷2xy ＝3xz -. 9. 【答案】23xy -；10. 【答案】(1)2a ；(2)－2a ；(3)4x ；(4)100；(5) 2ma ；(6) ()1n x y +- ；【解析】（6）()()()()21211nn n n n y x x y x y x y --++-÷-=-=-.11．【答案】﹣3a 2b 5； 【解析】解：（﹣a 6b 7）÷=，故答案为：﹣3a 2b 5. 12．【答案】20册；【解析】3.6×410÷（1.8×310）＝20. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）（）2÷（﹣）2=×=；（2）（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）=﹣3x 3y 3+2x 2y 4+xy 5.14. 【解析】解：原式＝()61264594a a a a-÷÷＝6444a a -÷ ＝2a -当a ＝－5时，原式＝－25. 15.【解析】解：由题意得：384401÷1.4960×810≈0.0026（个天文单位） 答：月亮和地球的平均距离约为0.0026个天文单位.。

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

北师大版数学七年级下册1.7《整式的除法》教案1一. 教材分析《整式的除法》是北师大版数学七年级下册第1章第7节的内容。

本节课主要介绍整式除法的基本概念和运算方法，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式和多项式除以多项式的运算规则。

通过学习本节课，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，并能够运用整式除法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减法和乘法运算，具备一定的代数基础。

但是，对于整式除法这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对于除法运算在代数中的应用有一定的疑惑，需要教师进行引导和解释。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解整式除法的基本概念，掌握整式除法的运算方法，能够熟练地进行整式除法的计算。

2.过程与方法：通过实例分析和练习，学生能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂讨论和练习，培养合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本概念和运算方法。

2.难点：整式除法在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论和练习。

2.引导发现法：教师引导学生发现整式除法的运算规则，培养学生的观察和思考能力。

3.练习法：通过大量的练习，巩固学生的知识和技能。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示整式除法的运算规则和实例。

2.练习题：准备一些练习题，用于学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入整式除法的概念，例如：“已知两个多项式的乘积是2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，其中一个多项式是x - 1，求另一个多项式。

”2.呈现（15分钟）教师引导学生观察和分析问题，引导学生发现整式除法的运算规则。

通过PPT展示整式除法的运算步骤和实例。

第一章 整式的乘除（基础）幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.+⋅=m n m n a a a ,m n m n p m n p a a a a ++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()n n na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）；（2）； （3）．【答案与解析】解：（1）原式． （2）原式．（3）原式．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）； （2）（为正整数）；（3）（为正整数）． 【答案】解：（1）原式．（2）原式． （3）原式．2、已知，求的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：【答案与解析】234444⨯⨯3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+234944++==34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+a x y +5323(3)(3)⋅-⋅-221()()ppp x x x +⋅-⋅-p 232(2)(2)n⨯-⋅-n 532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-22122151()p pp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-2220x +=2x 22222x x +=⋅解：由得．∴ ．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2019春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】解：∵a x =3，a y=2， ∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知，．求的值．【答案】 解：．【变式2】已知，，求的值．【答案】 解：因为, .2220x +=22220x ⋅=25x=m nm n aa a +=⋅2()m a 34[()]m -32()m a-a m -a 3m -2(3)62m m -=-2()m a 2m a =34[()]m -1212()m m =-=32()m a-2(3)62m m a a --==2a x =3b x =32a bx +32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=84=m 85=n 328+m n 3338(8)464===mm 2228(8)525===n n所以.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）； （2）； （3）． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】（2018春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．【巩固练习】一.选择题1.（2018•杭州模拟）计算的x 3×x 2结果是（ ）A ．x 6B ．6xC ． x 5D ．5x2．的值是( )．A.B.C.D.3．（2019•淮安）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 4 4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×＝B. 1000×＝C. 100×＝D. 100×1000＝ 5．下列计算正确的是( )． A.B. C.D.6．若成立，则( )．A. ＝6，＝12B. ＝3，＝12323288864251600+=⨯=⨯=m nm n 22()ab ab =333(4)64ab a b =326(3)9x x -=-222()ab a b =326(3)9x x -=2n n a a +⋅3n a+()2n n a+22n a+8a 21031010103010310510410()33xy xy =()222455xyx y -=-()22439xx -=-()323628xyx y -=-()391528m n a ba b =m n m nC. ＝3，＝5D. ＝6，＝5 二.填空题7.（2019•大庆）若a m =2，a n =8，则a m+n= ． 8. 若，则＝_______． 9. 已知，那么______．10．若，则＝______；若，则＝______． 11. ______； ______； ＝______．12.若n 是正整数，且，则＝__________.三.解答题13.（2018春•莱芜校级期中）计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2．14.（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）；15.（1）若，求的值． （2）若，求、的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ； 【解析】解：原式=x 3+2=x 5，故选C ．2. 【答案】C ；【解析】. 3. 【答案】B ；【解析】解：A 、a 2•a 3=a 2+3=a 5，故本选项错误； B 、（ab ）2=a 2b 2，故本选项正确；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，故本选项错误．故选B ．4. 【答案】C ；【解析】100×＝；1000×＝；100×1000＝. 5. 【答案】D ；m n m n ()319xaa a ⋅=x 35na=6n a =38m a a a ⋅=m 31381x +=x ()322⎡⎤-=⎣⎦()33n ⎡⎤-=⎣⎦()523-210na =3222()8()n n a a --3843()()x x x ⋅-⋅-2333221()()3a b a b -+-3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯()()3522b a a b --()()2363353a a a -+-⋅3335n n x xx +⋅=n ()3915n ma b b a b ⋅⋅=m n 2222n n n n n a aa a ++++⋅==21041010101310510【解析】；；.6. 【答案】C ； 【解析】，解得＝3，＝5.二.填空题7. 【答案】16；【解析】解：∵a m =2，a n =8，∴a m+n=a m •a n=16，故答案为：16.8. 【答案】6； 【解析】.9. 【答案】25； 【解析】.10.【答案】5；1； 【解析】；.11.【答案】64；；； 12.【答案】200； 【解析】.三.解答题 13.【解析】解：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2=﹣x 2n+2+x 2n+2 =0．14.【解析】解：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）.15.【解析】解：（1）∵ ∴()333xy x y =()2224525xyx y -=()22439x x -=()333915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====m n 3119,3119,6x aa x x +=+==()2632525nn aa ===338,38,5mma a aa m m +⋅==+==3143813,314,1x x x +==+==9n -103-()()32322222()8()81000800200n nn n a a a a --=-=-=3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-3335n n x xx +⋅=4335n xx +=∴4＋3＝35 ∴＝8（2）＝4，＝3 解：∵∴ ∴3＝9且3＋3＝15∴＝3且＝4同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）n n m n ()3915n ma b ba b ⋅⋅=333333915n m n m a b b a ba b +⋅⋅=⋅=n m n m m n m na a a -÷=a m n 、m n >01a =a a 00n -n n 1nnaa -=a n m n m n a a a +=m n 0a ≠()mm m ab a b =m 0a ≠0b ≠（、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽()nm mn a a =m n 0a ≠()0na a -≠n a a ()1122xy xy -=0xy ≠()()551a b a b -+=+0a b +≠10na ⨯n 1||10a ≤<10na -⨯n 1||10a ≤<83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x x x -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5()()x y x y -÷-125(52)(25)a b b a -÷-6462(310)(310)⨯÷⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）．（2） （3）．（4）．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知，，求的值．【答案与解析】 解： ． 当，时，原式． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2019春•苏州）已知以=2，=4，=32．则的值为 ．【答案】解： ==8，==16，=•÷=8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）．【答案与解析】1212(52)(25)a b b a -=-x y-5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-32m =34n =129m n+-121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======32m=34n=224239464⨯==3m 3nma na ka 32m n ka +-3ma322n a 2432m n k a +-3m a 2n a k a 223-⎛⎫- ⎪⎝⎭23131()()a b a b ab ---÷解：（1）； （2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：．【答案】解： 5、 已知，，则的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ ，∴ ． ∵ ，，∴ ，．∴ ． 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求． 举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+1151611732832=+++=1327m =1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭n m 331133273m-===3m =-122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=422n -=4n =-4411(3)(3)81nm -=-==-127122nn-⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=m n nm 1232()a b c --3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭解：（1）原式．（2）原式． 类型三、科学记数法6、（2018秋•福州）观察下列计算过程：（1）∵÷=，÷==，∴=（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=, 由此可归纳出规律是：=（a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：= ；= ．（2）用科学记数法：3×= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）=； ==； （2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【巩固练习】424626b a b c a c--==8236981212888b b c b cb cc---=⨯==3353332231333=⨯3353353-23-23-2a 7a 27a a 225a a a⨯51a 2a 7a 27a -5a -5a -51a pa-1p a103-259x x x ⨯÷410-10na ⨯103-1013259x x x ⨯÷259x +-221x x-=410-810-10na ⨯1. （2019•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．B ．÷=C ．+=D ．•=2.下列计算中正确的是( )．A.B.C.D.3．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×B ．3.3000×C ．3.3×D ．0.33×4．的结果是（ ）A ．B ．C ．2D ．05.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．B ．C ．D ．6.下列各式中正确的有（ ）①②；③；④；⑤．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. ______，＝______．8. __________,__________,______.9． ＝______，＝______．10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．()25a=10a 16x 4x 4x 22a 23a 46a 3b 3b 32b 212a a xx x ++÷=()()6322xy xy x y÷=()12529x x xx÷÷=()42332nn n n xx x x +÷=210-310310410020122012(1)(0.125)8π-+⨯323-201)3(,)2(,)61(---21)3()61()2(-<<--201)3()2()61(-<-<-102)61()2()3(-<-<-120)61()3()2(-<-<-21()9;3-=224-=-01a =()111--=()2336-==-+-01)π()21(()011 3.142--++()()532aa -÷-=201079273÷÷=02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭()3223a b-()22a b---m m12（2019春•江西）若=-2, =-，则= ． 三.解答题13．（2019春•吉州）已知=3，=5．求： （1）的值；（2）的值； （3）的值．14．用小数表示下列各数：（1）8.5×（2）2.25×（3）9.03×15. 先化简，后求值：，其中.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、，正确； B 、÷=，错误；C 、+=，错误；D 、•=b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】； ； .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×. 4. 【答案】C ；【解析】.5. 【答案】A ； 【解析】，所以.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；；；；. m a na 12-23m n a -2x 2y2x y+32x212x y +-310-810-510-()()23424211212a b a b ab----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭23a b ==-，()25a=10a 16x 4x 12x 22a 23a 25a 3b 3b 6b 21a a xx x ++÷=()()6333xy xy x y ÷=()4235n n n n x x x x ÷=3102012201220121(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=210)3()61()2(-<<--2124-=()010a a =≠()111--=-()239-=二.填空题7. 【答案】3；；【解析】. 8. 【答案】；【解析】.9.【答案】；【解析】；.10.【答案】；11.【答案】； 12.【答案】-32； 【解析】解：，=4=﹣32.三.解答题13.【解析】 解：（1）=•=3×5=15；（2）===27；（3）=•÷2=×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×＝0.0085 （2）2.25×＝0.0000000225（3）9.03×＝0.0000903 15.【解析】解：原式 12()01111 3.1421122--++=-++=7;27;10a 201074030739273333327÷÷=÷÷==6627a b 42a b()632266627327a a ba b b --==()422422a a b a b b----==4410-⨯113.8410⨯()224mm a a ,==()3318n n a a ==-23m n a -2x y+2x 2y32x()32x33212x y +-()22x 2y 23310-810-510-4863482323444a b a b a b a b a b ------=-÷=-=-当时，原式.整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.23a b ==-，23412(3)27=-=-()m a b c ma mb mc ++=++()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把与分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】解： （1）．（2）．（3）．221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭121(2)(3)2n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-x y -y x -221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-121(2)(3)2n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅-22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦3352()m n x y =--【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2018•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）． 【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3） =2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）； （2）；（3）； 【答案与解析】 解：（1）．（2）．（3）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232221233a b a b ab =-+-22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：【变式1】．【答案】解：原式．【变式2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数． 【答案】解：＝因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332444235a b a b a b =--+224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭2224232211222m n mn m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-n ()()2121n n n n +--()()2121n n n n +--222223n n n n n +-+=n ()()2121n n n n +--(32)(45)a b a b +-2(1)(1)(1)x x x -++()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-（3）．（4）．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项． 4、（2019春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可． 【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ， 则a +2=﹣5，2a=b ， 解得，a=﹣7，b=﹣14， 则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使成立的非负整数解． 【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解． 解：，， ，，． ∴ 取非负整数为0，1，2，3．【巩固练习】一.选择题()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+22912689(6)x x x x x -+->+-229689954x x x x -->+-229699854x x x x --->-1546x ->-4615x <x1．下列算式中正确的是( )．A.B.C.D.2．（2019•毕节市）下列运算正确的是（ ） A ．﹣2（a +b ）=﹣2a +2b B ．（a 2）3=a5C ．a 3+4a=a 3D ．3a 2•2a 3=6a 53．（2018秋•白云区期末）下列计算正确的是（ ）A ．x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x ﹣1 B ．ab （a+b ）=a 2+b 2C ．3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3xD ．﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3﹣2x 2+2x 4．已知，那么的值为( )．A.－2B.2C.－5D.55. 要使成立，则，的值分别是( )．A. B. C.D.6．设M ＝，N ＝，则M 与N 的关系为( )． A.M ＜N B.M ＞NC.M ＝ND.不能确定二.填空题7. 已知三角形的底边为，高是，则三角形的面积是_________. 8. 计算：①＝________；②＝______；③＝_______；④＝______．9.（2019•瑶海区一模）计算：x 2y （2x +4y ）= ． 10. .11.（2018•江都市模拟）若化简（ax+3y ）（x ﹣y ）的结果中不含xy 项，则a 的值为 ． 12. 若，，则＝____________.三.解答题13.（2018春•邳州市期末）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2． （1）由图2，可得等式： ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a 2+b 2+c 2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a 2+5ab+2b 2=（2a+b ）（a+2b ）；326326a a a ⋅=358248x x x ⋅=44339x x x ⋅=77145510y y y ⋅=()()221323x x x mx +-=--m ()23254x x a x b x x ++-=++a b 22a b =-=-，22a b ==，22a b ==-，22a b =-=，()()37x x --()()28x x --(62)a b -(26)b a -+()()23x x ++()()37x x ++()()710x x +-()()56x x --()()()_______x y z y x z z x y ---+-=2xy =3x y +=()()11x y ++（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．14. 解下列各方程．（1） （2） 15. 化简求值：（1），其中．（2），其中．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】；；.2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=﹣2a ﹣2b ，错误；B 、原式=a 6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式=6a 5，正确.3. 【答案】C ；【解析】解：A 、x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x 2﹣x ，故此选项错误；B 、ab （a+b ）=a 2b+ab 2，故此选项错误；C 、3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3x ，故此选项正确；D 、﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3+2x 2+2x ，故此选项错误； 故选：C ．4. 【答案】D ；【解析】，所以.5. 【答案】C ；【解析】由题意，所以.6. 【答案】B ；【解析】M ＝，N ＝，所以M ＞N.二.填空题222(1)(32)22y y y y y y +--+=-25(3)4(6)(4)0x x x x x x +--++-+=11112323x x ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭4x =-22323(21)(342)x x x x x x x -+--+1x =-325326a a a ⋅=45339x x x ⋅=77145525y y y ⋅=()()2221325323x x x x x mx +-=--=--5m =3524a b +=-=，22a b ==-，21021x x -+21016x x -+7. 【答案】；8. 【答案】. 9. 【答案】x 3y +2x 2y 2； 10.【答案】0；【解析】原式＝. 11.【答案】3；【解析】解：（ax+3y ）（x ﹣y ）=ax 2+（3﹣a ）xy ﹣3y 2，含xy 的项系数是3﹣a ， ∵展开式中不含xy 的项， ∴3﹣a=0， 解得a=3． 故答案为：3．12.【答案】6；【解析】原式＝. 三.解答题 13.【解析】解：（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+ac+bc ）=121﹣76=45； （3）如图所示：（4）根据题意得：2a 2+5ab+3b 2=（2a+3b ）（a+b ），则较长的一边为2a+3b ．14.【解析】解：（1）．，．（2）．， ．2212182-++ab a b 222256;1021;370;1130x x x x x x x x ++++---+0xy xz xy yz xz yz --++-=12316xy x y +++=++=2222223222y y y y y y +-++=-42y =-12y =-222551524440x x x x x x +----+=1515x -=1x =-15.【解析】 解：（1）原式 ． 当时，原式． （2）原式当时，原式．乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如2111111111111222332334669x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅+⋅+-=-+- ⎪⎝⎭21149x =-4x =-21118(4)434999=⨯--=-=4324324326333423x x x x x x x x x =-+-+-=++1x =-4323(1)(1)(1)3113=⨯-+-+-=-+=22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；；；. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝．2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()()2332a b b a --()()2323a b a b -++()()2323a b a b ---+()()2323a b a b +-()()2323a b a b ---()()2323a b a b +--()()2323a b a b -++()23b ()22a 2294b a -()()2323a b a b ---+()22a -()23b 2249a b -()()2323a b a b +-()22a ()23b 2249a b -(5) ＝－＝．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）．【答案】解：（1）原式． （2）原式．（3）原式．2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三： 【变式】（2019春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） 【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）()()2323a b a b ---()23b -()22a 2294b a -332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．4、（2019春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】 解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++()()22a b a b --=+∵a+b=7，ab=5，∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知，＝12．求下列各式的值：(1) ；(2) ．【答案与解析】解：(1)∵ ＝－＝－3＝－3×12＝13．(2)∵ ＝－4＝－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本题关键是不求出的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：【变式】已知，，求和的值．【答案】解：由，得； ①由，得． ②①＋②得，∴ ． ① ②得，∴ ．【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D.7a b +=ab 22a ab b -+2()a b -22a ab b -+22a b +ab ()2a b +ab 27()2a b -()2a b +ab 27()2a b +()2a b -ab 22a b +()2a b +ab ()2a b -ab ,a b 2()7a b +=2()4a b -=22a b +ab 2()7a b +=2227a ab b ++=2()4a b -=2224a ab b -+=222()11a b +=22112a b +=43ab =34ab =))((n m n m +--()()3333x y xy -+))((b a b a ---()()2222c ddc -+2．若＝6，＝5，则等于( )． A.11 B.15 C.30 D.603．下列计算正确的是( )．A.＝B. ＝C.D.( )()＝4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.B.C.D.5．（2019春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ） A ．10 B ．±10 C ．﹣20 D ．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )． A.B. C. D.二.填空题7．若是一个完全平方式，则＝______．8. 若＝,则M ＝______．9. 若＝3，＝1，则＝_______.10.（2019春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ___________.12.若，则代数式的值为________.三.解答题13.（2019春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：，其中． 15.已知：，且求的值.x y +x y -22x y -()()55m m -+225m -()()1313m m -+213m -()()24343916n n n ---+=-+2ab n -2ab n +224ab n-244x x --m m ++2412296a ab b ++24129t t ++()222396x y x xy y -=-+()()22a b c c a b +-=--22241)21(n mn m n m +-=-()()()2244x y x y x yxy -+-=-2216x ax ++a 2294x y +()232x y M ++x y +xy 22x y +()25(2)(2)21x x x -+--=()212x -=225x x -+22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a 3=a 2225,7x y x y +=+=,x y >x y -【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中和符号相反，和符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】＝；＝；()()＝.4. 【答案】A ；【解析】；；. 5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20． 故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】，所以.8. 【答案】；【解析】＝.9. 【答案】7；【解析】，.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 4）（1+x 4）=1﹣x 8，故答案为：1﹣x 811.【答案】；m m -n n -()()22x y x y x y -=+-()()55m m -+225m -()()1313m m -+219m -2ab n -2ab n +2224a b n -2211()42m m m ++=+22296(3)a ab b a b ++=+224129(23)t t t ++=+()()()()22222x y x y x yxy-+-=-222216244x ax x x ++=±⨯+4a =±12xy -2294x y +()23212x y xy +-()2222x y x y xy +=++22927x y +=-=2421x x +-【解析】.12.【答案】6；【解析】因为，所以.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】解：当. 15.【解析】解：∵，且∴，∴，∵∴ ∵即 ∴.整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-()212x -=2221,256x x x x -=-+=223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+3,=231016a =⨯+=时原式()2222x y x y xy +=++2225,7x y x y +=+=27252xy =+12xy =()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=1x y -=±,x y >0x y ->1x y -=。

【专题讲义】北师大版七年级上册寒假精讲课程第四讲：整式的除法一、知识详解知识点一、单项式除以多项式单项式与单项式相除有以下法则：单项式与单项式相除，把它们的系数，同底数幂分别相除，除数中多余的字母连同它的指数不变，作为积的形式。

在理解平方差公式的概念时，注意以下三点：⑴法则包含三个方面：1，系数相除2，同底数幂相除3，只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式；⑵1，运算中的单项式的系数包括他前面的符号2,不要遗漏只在被除式中含有的字母;(3)对于混合运算，要注意运算顺序，有乘方要先算乘方，有括号要先算括号里的，同级运算按从左往右计算。

【例1】15a3b÷（-5a2b）等于（）A．-3a B．-3ab C．a3b D．a2b【变式】计算题-20 x3 y5 z÷(-10x2y)让家成为孩子钟爱的课堂页1让家成为孩子钟爱的课堂页 2知识点二、多项式除以单项式单项式与多项式相除有以下法则：多项式与单项式相除，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的积相加在理解完全平方公式的概念时，注意以下三点：（1）多项式是几个单项式的和，所以多项式的每一项都包括它前面的符号; （2）计算时不要漏项，多项式除以一个单项式结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同；（3）多项式除以单项式的实质是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。

【例2】（ x 3y 2+x 2z ）÷ x 2等于（ ）A ．xy +xzB ．－x 2y 4+x 2zC ．x y 2+zD ．xy 4+x 2z【变式】 （2a 4 -6a 2+4a ） ÷ 2a知识点三、混合运算【例3】[6 a 2m+1·(-a 2)2-3 a 2m+2-9(a m+1) 2]÷⎪⎭⎫⎝⎛-+231m a让家成为孩子钟爱的课堂页 3【变式】 知识点四、化简求值【例4】化简求值：[(2x －y)(2x ＋y)＋y(y －6x)＋x(6y －2)]÷2x ，其中x ＝1 009.【变式】[(2x －y)(2x ＋y)＋y(y －6x)＋x(6y －2)]÷2x ，其中x ＝1 009.二、出门检测1．下列各式计算正确的是 ( ) A.6x 6÷2x 2＝3x 2 B ．8x 8÷4 x 2＝2 x 6 C ．a 3÷a 3＝0 D.32a 5 b ÷23a 5b ＝1 2．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2251y x ÷⎪⎭⎫⎝⎛-251xy ＝ .3．3a n +1÷2 a n ＝ .4．6 a 2 x 3·( )=36 a 4 x 5-24 a 3 x 4+18 a 2 x 3． 5．计算．222335)(4)(10)ab a bc a b ⋅-÷-（让家成为孩子钟爱的课堂页 4(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛2483yz x ÷(0.375 x 4y )； (2) ⎪⎭⎫⎝⎛--3322216y x xy y x ÷(-3xy )；三、课下作业1．计算：(-3b 3)2÷b 2的结果是( ) A.-9b 4 B.6b 4 C.9b 3 D.9b 42．“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( ) A.（ab ）2=ab 2 B.（a 3）2=a 6 C.a 6÷a 3=a 2 D.a 3•a 4=a 12 3．已知(a 3b 6)÷(a 2b 2)=3，则a 2b 8的值等于( ) A.6 B.9 C.12 D.814．七年级二班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a 2-9ab +3a ，其中一边长为3a ，则这个“学习园地”的另一边长为_____． 5．已知被除式为x 3+3x 2-1，商式是x ，余式是-1，则除式是_____． 6．计算．(1)(30x 4-20x 3+10x )÷10x(2)(32x3y3z+16x2y3z-8xyz)÷8xyz(3)(6a n+1-9a n+1+3a n-1)÷3a n-1．7．若(x m÷x2n)3÷x2m-n与2x3是同类项，且m+5n=13，求m2-25n的值．8．若n为正整数，且a2n=3，计算(3a3n)2÷(27a4n)的值．让家成为孩子钟爱的课堂页5。

北师大版数学七年级下册1.7《整式的除法》教学设计1一. 教材分析《整式的除法》是北师大版数学七年级下册第1.7节的内容，本节主要介绍整式除法的基本概念、方法和运算规则。

整式除法是代数运算的重要部分，它不仅可以帮助学生巩固整式的知识，而且为后续学习方程的解法、函数的图像等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减运算，对代数运算有一定的了解。

但学生在进行整式除法运算时，可能会对除数的选取、商的变化、余数的处理等方面产生困惑。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解整式除法的运算规则，并通过大量练习让学生熟练掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握整式除法的基本概念、方法和运算规则；2.过程与方法：通过实例演示和练习，培养学生进行整式除法运算的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习整式除法的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本概念、方法和运算规则；2.难点：除数的选取、商的变化、余数的处理。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。

通过实例分析、师生互动、小组合作等形式，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、练习题等；2.学生准备：笔记本、笔、练习本等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际例子，如计算“(3x^2 - 2x) ÷ (x - 1)”的结果，引导学生思考整式除法的意义和必要性。

2.呈现（10分钟）教师讲解整式除法的基本概念、方法和运算规则，通过PPT展示相应的例题和解析，让学生清晰地理解整式除法的步骤和要点。

3.操练（10分钟）教师给出几个整式除法的练习题，让学生在课堂上独立完成。

教师选取部分学生的作业进行讲解和点评，指出其中的错误和不足。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同解决一些具有代表性的整式除法问题。

七年级数学第一章第8—9节完全平方公式；整式的除法北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第一章第8—9节完全平方公式及整式的除法1、完全平方公式.2、整式的除法中学习单项式除以单项式，多项式除以单项式.二、教学目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算，了解（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2的几何背景.2、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（其中仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式）.3、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.三、知识要点分析1、完全平方公式（这是重点）（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2右边是三项（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.（3）几何解释上图中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号. 若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”.（4）公式中字母可代表的含义公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字或单项式. 2、整式的除法 （这是重难点） （1）单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如：（3a 2b ）÷（5a ）=（3÷5）·（a 2÷a ）·b =53ab . 注意：Ⅰ.单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的.Ⅱ.本节只研究结果为整式的单项式除法，所以单项式相除的结果中的字母少于或等于被除式的字母，而结果的次数为被除式、除式的次数之差.（2）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 如：（3x 2y －4xy 2）÷（xy ）=（3x 2y ）÷（xy ）－（4xy 2）÷（xy ）=3x －4y（3）对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减。

第一章 整式的运算第一节 整式1．整式的有关概念：（1）单项式的定义：像1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．（3）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．（4）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（5）整式的概念：单项式和多项式统称为整式．2．定义的补充： （1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．（2）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．（3）区别是否是整式：关键：分母中是否含有字母？分母有字母的为分式，如a 分之3是分式。

3．例题讲解：例1：下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？并指出它们的系数和次数？ （！）ab ＋c （2）ax 2＋bx ＋c （3）－5（4)π.2y x － (5)12－x x 例2：求多项式363222+--b ab a 的各项系数之和？第二节 整式的加减一、 知识点复习：1、填空：整式包括单项式和多项式.2、整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.3、所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

4、括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘。

二、练习： 例1：下列各式，是同类项的一组是（ ） （A ）y x 222与231yx （B ）n m 22与22m n 例2、计算：（1）)134()73(22+-++k k k k （2）)2()2123(22x xy x x xy x +---+例3：先化简，再求值：()[],673235222x x x x x x +++--其中x=21 例4、已知：A=x 3－x 2－1，B=x 2－2，计算：（1）B －A （2）A －3B第三节 同底数幂的乘法一、复习提问2.指出下列各式的底数与指数：(1)34；(2)a 3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23．3、同底数幂的乘法法则: m n m n a a a += （,m n 都是正数）是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 m n p m n p a a a a++=（其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用： m n m n aa a +=（m 、n 均为正整数）二、巩固练习(1)107×104； (2)x 2·x 5；(3)10·102·104；(4)-a ·(-a)3；(5）(-a)2·(-a)3三、小结1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对这个法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．2．解题时要注意a 的指数是1．3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．4．-a 2的底数a ，不是-a ．计算-a 2·a 2的结果是-(a 2·a 2)=-a 4，而不是(-a)2+2=a 4．5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算第四节 幂的乘方与积的乘方一、知识点复习：1. 幂的乘方法则：()m n mn a a =(,m n 都是正整数)幂的乘方,底数不变，指数相乘。

第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

??，次数是注意：0. 是数字，而不是字母，它的系数是二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：mnm?n(m,na?a?a都是正整数)1、同底数幂的乘法：mnmn(m,n都是正整数（a）?a)、幂2的乘方：nnn)都是正整数(abn(ab)?、积的乘方： 3nm?mn(m,n都是正整数?aa?a,a?0)、同底数幂的除法：4 六、零指数幂和负整数指数幂：0);a?10a?(1、零指数幂：1p?(a?a0,?p是正整数) 2、负整数指数幂：p a七、整式的乘除法：、单项式乘以单项式：1法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式相乘，先用一个多项式多项式与的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：22b?)?aa?b)(a?b( 1、平方差公式：222222b??2ab2?a?ab?b(a?b)?a(a?b) 2、完全平方公式：七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。

整式的除法（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、先化简，再求值．455232334745525774183682x y z xy z x y z x y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g ，其中1x =-，2y =-，3z =．【答案与解析】 解：原式4152513233141745535774182682x y z x y z x y z y z ---++⎛⎫⎛⎫=-⨯÷---⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33432345745557712622x y z x y z x y z y z ⎛⎫=-÷-+÷ ⎪⎝⎭ 3332434547556125x y z x y z -----=⨯+ 042421122x yz x yz yz x yz =+=+． 当1x =-，2y =-，3z =时，424211(2)3(1)(2)33182122yz x yz +=⨯-⨯+-⨯-⨯=--=-． 【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．2、观察下列单项式：x ，－22x ，43x ，－84x ，165x ，…（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第n 个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（－22x ）÷x ＝－2x ；43x ÷（－22x ）＝－2x ；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第n 个单项式为()12n n x --⋅；（2）并用此公式可写出第10个单项式的结果．【答案与解析】解：（1）－2x ，()12n n x --⋅；（2）第n 个单项式为()12n n x --⋅，则第10个为－51210x ．【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、x 的指数的变化得出规律是解题的关键．类型二、多项式除以单项式3、计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦g g g； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷；（3）5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b +-++--÷+．【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中()a b +看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算．【答案与解析】解：（1）原式223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭g g g52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． （3）原式5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b =+-+-+÷+5343332()2()3()2()()2()a b a b a b a b a b a b =+÷+-+÷+-+÷+231()()22a b a b =+-+-． 【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题．举一反三：【变式1】先化简，再求值．（1）22224[(2)()()5]2x y x y x y y y +-+--÷，其中2x =-，14y =； （2）已知210x y -=，求222[()()2()]4x y x y y x y y +--+-÷的值．【答案】解：（1）原式224244[44()5]2x xy y x y y y =++---÷ 224244(445)2x xy y x y y y =++-+-÷2422xy y xy =÷=．当2x =-，14y =时，原式12(2)14=⨯-⨯=-． （2）原式22222(222)4x y x xy y xy y y =+-+-+-÷2(42)4xy y y =-÷12x y =-． 由已知210x y -=，得152x y -=，即152x y -=． 【变式2】（2014秋•梁平县校级期中）计算：[（﹣2a 2b 3）2﹣（3ab 2）3]÷（﹣a 2b 3）．【答案】解：原式=（4a 4b 6﹣27a 3b 6）÷（﹣a 2b 3）=﹣6a 2b 3+ab 3．4、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式．【答案与解析】解： 所求的多项式为2322a a a a a a a a a a+-+++=+-++-++(43)(21)28286432832=++．295a a【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余式，应牢记这一关系式．举一反三：【变式】（2015春•淮北期末）已知一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，则这条边的长是．【答案】x﹣2y+3．解：因为一个三角形的面积为3x2﹣6xy+9x，其中一条边上的高是6x，可得：2（3x2﹣6xy+9x）÷6x=x﹣2y+3，故答案为：x﹣2y+3．。

《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律. 4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想． 【知识网络】【要点梳理】 要点一、代数式诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 要点二、整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．2n 2)(b a（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．要点四、探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.【典型例题】类型一、代数式1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x （x≥10）本.(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱.【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．【答案与解析】解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:(1) 代数式分别为:25×10+5(x-10),(25×10+5x) ×90%（2）把x=30分别代入两个代数式:25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元） (25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元） 所以选择第一种优惠方式．【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型． 类型二、整式的相关概念2．（2019春•新泰市期中）下列说法正确的是（ ） A ．1﹣xy 是单项式 B ．ab 没有系数C ．﹣5是一次一项式D ．﹣a 2b+ab ﹣abc 2是四次三项式【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案． 【答案】D ．【解析】解：A 、1﹣xy 是多项式，故A 错误； B 、ab 的系数是1，故B 错误； C 、﹣5是单项式，故C 错误；D 、﹣a 2b+ab ﹣abc 2是四次三项式，故D 正确； 故选：D ．【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项．举一反三：【变式1】（2018•佛山）多项式2a 2b ﹣ab 2﹣ab 的项数及次数分别是（ ） A ．3，3 B ．3，2 C ．2，3 D ．2，2 【答案】A2a 2b ﹣ab 2﹣ab 是三次三项式，故次数是3，项数是3． 【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则， ，这个二次三项式为 .【答案】类型三、整式的加减运算3．若是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】解：因为是同类项， 所以 解得当且时， . 31(4)5(2)n m x xx n m -++---+x ________m =________n =4,3,-259x x --315212135m n m n x y x y --+-与312121535m n m n x y x y --+-与315,21 1.m n -=⎧⎨-=⎩2,1.m n =⎧⎨=⎩2m =1n =55553152121424214()()35353515m n m n x y x y x y x y x y x y --++-=-=-=【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母．．．．的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三：【变式】合并同类项．(1)； (2)． 【答案】(1)原式＝(2)原式．4. （2018春•无锡校级期中）已知x=2018，求代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x （x+3）+5x+16的值”时，马小虎把“2018”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说明原因． 【答案与解析】解：原式=6x 2+4x+9x+6﹣6x 2﹣18x+16=22， 结果不含x ，故原式化简后与x 的取值无关，则马小虎把“2018”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，根据结果不含x ，即可得证．此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式1】已知A ＝x 2＋2y 2－z 2，B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2，且A ＋B ＋C ＝0，则多项式C 为( )．A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－5y 2－z 2C ．3x 2－y 2－3z 2D ．3x 2－5y 2＋z 2【答案】B【变式2】先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值． 【答案】2222344522x xy y x xy y -+-+-3232399111552424xy x y xy x y xy x y --+---22(35)(42)(42)x xy y -+-++-22222x xy y =--+3232391191554422xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=--+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32345x y x y =---22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭22211[(3515)]333a a a a a =---+--． 当时，原式＝0-0-4＝-4．【变式3】(1) (x ＋y )2－10x －10y ＋25＝(x ＋y )2－10(______)＋25;(2) (a －b ＋c －d )(a ＋b －c －d )＝[(a －d )＋(______)][(a －d )－(______)]． 【答案】（1）x ＋y ； （2）－b ＋c ，－b ＋c类型四、化简求值5. （1）直接化简代入当时，求代数式15a 2－{－4a 2＋[5a －8a 2－(2a 2－a )＋9a 2]－3a ｝的值． （2）条件求值已知(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0，求3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1的值． （3）整体代入(鄂州)已知，求的值．【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解.【答案与解析】解：（1）原式=15a 2－[－4a 2＋(5a －8a 2－2a 2+a ＋9a 2)－3a ] =15a 2－[－4a 2＋(6a －a 2)－3a ]=15a 2－(－4a 2＋6a －a 2－3a )=15a 2－(－5a 2＋3a ) =15a 2+5a 2—3a =20a 2—3a 当时，原式===（2）由(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0可知：2a ＋b ＋3=0，b －1=0，解得a = -2，b =1. 3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1 =3a －3(2b －8＋3a －2b －1－a )＋1 =3a －3(2a －9)＋1 =3a －6a +27＋1 =28—3a 由a = -2则 原式=28—3a =28+6=34（3）∵ ，∴ ．∵222116[(34)]333a a a a =----222116(34)333a a a a =--++22816(4)333a a a =--++228164333a a a =+--2814433a a =--0a =210m m +-=3222009m m ++210m m +-=21m m +=22222009m m m +++3222009m m m =+++322()2009m m m =+++．所以的值为2010．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系． 举一反三：【变式】已知，求代数式的值． 【答案】 设，则，原式． 又因为＝6，所以原式． 类型五、探索与表达规律6. 如图，在2005年3月的日历上：(1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为x ，则其余两个数分别为 ； (2)用一个矩形框出四个数，请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系: ；(3)用一个十字框任意框出5个数，设中间一个数为a ，则框出的5个数的和为 ． 【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔7，一横行相邻的两个数相差1，据此很容易求出本题答案． 【答案】（1）x －7，x ＋7；（2） a ＝b －1＝c －7＝d －8； （3）5a ． 【解析】（1）（3）较简单；（2）b 比a 大1，所以b ＝a ＋1；c 比a 大7，所以c ＝a ＋7；d 比c 大1，所以d ＝c ＋1． 由b ＝a ＋1得a ＝b －1 ①，由c ＝a ＋7得a ＝c －7 ②，由d ＝c ＋1得c ＝d －1 ③，将③代入②得a ＝c －7＝（d －1）－7＝d －8 ④． 由①②④得：a ＝b －1＝c －7＝d －8．【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．22()2009m m m m =+++22009m m =++12009=+2010=3222009m m ++26a b a b -=+2(2)3()2a b a b a b a b-+++-2a b p a b -=+12a b a b p+=-32p p =+p 31261262=⨯+=举一反三：【变式】如图，是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的：(1)观察图形，填写下表：(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为_______，周长为________． (用含n 的代数式表示) 【答案】（1）（2）5n+3， 10n+8．类型六、综合应用7. 对于任意有理数x ，比较多项式与的值的大小． 【答案与解析】解：∵∴无论x 为何值，＞．【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点． 举一反三：【变式】如果关于x ，y 的多项式与 的差不含二次项，求的值． 【答案】2452x x -+2352x x --22222(452)(352)4523524x x x x x x x x x -+---=-+-++=+240x +>2452x x -+2352x x --2(2)mx xy x +-2(323)x nxy y -+mn解：原式＝＝ 由题意知，则， ∴． ∴．【巩固练习】一、选择题1．A 、B 、C 、D 均为单项式，则A+B+C+D 为( )． A ．单项式 B ．多项式 C ．单项式或多项式 D ．以上都不对 2．下列计算正确的个数 （ ）① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤A ．2B ．1C ．4D ．03．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b ，其中a ，b 为有理数，则3 * 5的值为( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 4．化简(n 为正整数)的结果为( )．A ．0B ．-2aC ．2aD ．2a 或-2a5．已知a-b ＝-3，c+d ＝2，则(b+c)-(a-d)为( )． A ．-1 B ．-5 C ．5 D ．16. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）A ．－2bB ．0C ．2cD ．2c －2b7．（2018•临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，… 按照上述规律，第2018个单项式是（ ） A ．2018x2018B ． 4029x2018C ． 4029x2018D ． 4031x20188．如果是关于的二次三项式，那么m ，n 应满足的条件是( )．A ．m ＝1，n ＝5B ．m ≠1，n ＞3C ．m ≠-1，n 为大于3的整数D ．m ≠-1，n ＝5 二、填空题9．（2018•大丰市一模）若﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，则m+n= ．22(2)(323)mx xy x x nxy y +---+2(3)(22)3m x n xy x y -++--30,220m n -=+=3,1m n ==-3(1)1mn =-=-ab b a 523=+32522=-y y y x x y y x 22254=-532523x x x =+xy xy xy =+-331(1)(1)nn a a +-+-a c c b b a ++--+=32(1)n m a a --++a10． （1）（___________）；（2）2a －3（b －c ）＝___________．（3）(________)＝7x+8．11．当b ＝________时，式子2a+ab-5的值与a 无关． 12．若，则________． 13.某服装店打折出售服装，第一天卖出a 件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的2倍，则该服装店这三天共卖出服装________件. 14.当k =__________时，多项式x 2－3kxy －3y 2－xy －8中不含xy 项. 15．（2019•河北）若mn=m+3，则2mn+3m ﹣5mn+10= ．16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．三、解答题17.（2019春•高密市校级月考）先化简，再求值． （a 2+1）﹣3a （a ﹣1）+2（a 2+a ﹣1），其中a=﹣1．18．已知：为有理数，，求的值．19. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形 和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD, 其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm, （1）用含x 的代数式表示CM= cm, DM= cm.（2）若x=2cm ，求长方形ABCD 的面积.20. 测得一弹簧的长度L(厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下面一组对应值：-=+-222x y xy x 2561x x -+-45a b c -+=30()b a c --=31a 3210a a a +++=23420121...a a a a a ++++++…CMDHE GK试根据表中各对对应值解答下列问题：(1)用代数式表示挂质量为x 千克的物体时的弹簧的长度L ． (2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？(4)若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？【答案与解析】 一、选择题1. 【答案】C【解析】若A 、B 、C 、D 均为同类项，则A 、B 、C 、D 的和为单项式，否则为多项式，故选C ．2．【答案】D 3. 【答案】C【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13． 4. 【答案】A【解析】分析两种情况，当n 为偶数时，，，当n 为奇数时，，，无论哪种情况，结果都是0．5．【答案】C【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d ＝-a+b+c+d ＝-(a-b)+(c+d)当a-b ＝-3，c+d ＝2时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选C ． 6．【答案】B 7. 【答案】C ． 8．【答案】D【解析】由题意得：n-3＝2且m+1≠0，得n ＝5且m ≠-1． 二、填空题9.【答案】﹣1．【解析】由﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，得，解得．m+n=﹣1.10.【答案】11.【答案】-2【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与a 无关，故2+b ＝0，所以b ＝-2． 12.【答案】-24【解析】因为与互为相反数，又因为， 所以，由此可得． 13.【答案】4a +12；(1)1n-=1(1)1n +-=-(1)1n -=-1(1)1n +-=22;233;5137xy y a b c x x --+--a b c -+b a c --45a b c -+=45b a c --=-430()30245b a c ⎛⎫--=⨯-=- ⎪⎝⎭【解析】．14.【答案】－； 【解析】，解得． 15．【答案】1；【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，把mn=m+3代入得：原式=﹣3m ﹣9+3m+10=1，故答案为：1.16.【答案】127, .【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子，第2个比第1个多12个，即1+6×（1+2）枚，第3个比第2个多18个，即1+6×（1+2+3）枚，第4个比第三个多24个，即1+6×（1+2+3+4）=61枚．……, ∴第n 个比第(n-1)个多6n 个，即1+6×（1+2+3+4+…+n ）=3n 2+3n+1枚．三、解答题17.【解析】解：原式= a 2+1﹣3a 2+3a+2a 2+2a ﹣2=5a ﹣1，当a=﹣1时，原式=﹣5﹣1=﹣6．18.【解析】解：19.【解析】解：（1） （或）.（2）长方形的长为：cm, 宽为：cm. 所以长方形的面积为：.20.【解析】解：(1).(2)将，代入，得（㎝） ∴所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17㎝.(3)将，代入，得，解得∴若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.(4)∵弹簧的长度不超过20厘米，即L ≤20，∴≤20，得≤16∴若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克. (12)2412a a a a +++=+911303k --=19k =-1332++n n 2,x +22x +3x 2214x x x x x ++++++=4242210x +=⨯+=21401014cm =⨯0.512L x =+10x =0.512L x =+0.5120.5101217L x =+=⨯+=18L =0.512L x =+180.512x =+12x =0.512x +x 2342012235232009231...1(1)(1)...(1)101a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=+++++++++++++=+=。