南京邮电大学2010/2011学年第二学期
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）
1、交换二次积分
⎰
⎰
x e dy y x f dx ln 0
1
),(的积分次序为
（
c ）
(A ) ⎰
⎰
x e dx y x f dy ln 0
1
),( (B )
⎰⎰
1
),(dx y x f dy e e y
(C )
⎰
⎰
e
e
y
dx y x f dy ),(10
(D )
⎰⎰
e
x dx y x f dy 1
ln 0
),(
2、锥面22y x z +=在柱面
x y x 22
2≤+内的那部分面积为 （D ）
(A )
⎰
⎰
-
θπ
π
ρρθcos 20
22
d d (B )
⎰
⎰
-
θπ
π
ρ
ρθcos 20
222
d d
(C )
⎰
⎰
-
θπ
π
ρρθcos 20
2
22
2d d (D )
⎰
⎰
-
θπ
π
ρρθcos 20
22
2d d
3、若级数∑∞
=-1
)2(n n
n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞
=--1
1
)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （
A ）
(A ) ∑∞
=-1
)13(n n
n n (B )
∑∞
=+1
21n n n (C ) ∑∞
=+1
11
sin n n (D )
∑∞
=1
3!n n n 5、若函数)()2()(2
222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平
面上处处解析，则实常数a 的值 为 （
c ）
(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1、曲面
12
2-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x
2
、
已
知
)
0(:222>=+a a y x L ，
则
=-+⎰L
ds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=
及平面)0(>=R R z 所围成的
闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ω
dxdydz y x f )(22为
三次积分为⎰⎰⎰
R
R dz f d d ρ
πρρρθ)(20
20
4、函数
x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦
级数为
nx n
x n n sin )1(2
11+∞
=-=∑
，收敛区间为π<≤x 0
5
、
=
+-)1(i Ln
2,1,0),24
3(2ln ±±=++k k i ππ
=
-]0,[Re 2z
z e s z
1-
三、(本题8分）设),()(2
2
xy y x
g y x f z ++=，
其中函数
)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏
导数，求
y x z x z ∂∂∂∂∂2,
解：211
2yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分
=∂∂∂y
x z
2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分
四、(本题8分）在已知的椭球面13
42
2
2=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
解：设顶点坐标为)0,,(),,(>z y x z y x ，
xyz v 8=….2分
令(8),,(λ+=xyz z y x F )13
42
2
2-++z y x ….2分 02
8),,(=+
=x yz z y x F x λ
，
028),,(=+=y xz z y x F y λ，
03
28),,(=+=z xy z y x F z λ
解得：
1,31,32===z y x ， (3)
分，
3
16
max =V ….1分
五、(本题7分）
⎰⎰+D
y x dxdy e
2
2，其中
)0(:222>≤+a a y x D .
解： 原式=
⎰⎰
a
d e d 0
20
ρρθρ
π
….5分
a
e e 0)(2ρρρπ-= ]1)1[(2+-=a e a π….2分
六、(本题8分）计算
⎰
+-+-L
dy
y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2
223，其中L 为抛物线2
2y x π=上由点(0,0)到)1,2
(π
的
一段弧。
装 订
线 内
不 要 答 题
自
觉
遵 守
考
试 规
则，诚 信 考 试，绝 不
