大一高等数学期末考试试卷
一、选择题（共12分）
1. （3分）若2,0,(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h
→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)
12
3. （3
分）定积分22
ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2
4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .
2. （3分） 1
241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x
→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .
三、计算题（共42分）
1. （6分）求2
0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6
分）设2,1
y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰
4. （6分）求3
0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x
t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰
7. （6分）求极限3lim 1.2n
n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
四、解答题（共28分）
1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x
2. （7分）求由曲线cos 2
2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.
4. （7
分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明
1()[()()]()()().22b
b a a
b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案
一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.
二、 1 31;y x =+ 2 2;3
3 0;
4 0. 三、 1 解 原式2
05lim 3x x x x →⋅= 5分 53
= 1分 2 解
22ln ln ln(1),12
x y x x ==-++ 2分
2212[]121
x y x x '∴=-++ 4分
3 解 原式221ln(1)(1)2
x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x
=++-+⋅+⎰ 2分
2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分
3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分
1211(1)1cos t t dt e dt t
-=+++⎰⎰ 1分 21
0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分
5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-
1分 cos sin 1
x x =- 1分 cos sin 1
x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2
f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2
x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
4分 =3
2e 2分
四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分
()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分
().x f x x e ∴=+ 1分
2 解 222
cos x V xdx π
ππ-=⎰ 3分 2202cos xdx π
π=⎰ 2分 2.2π=
2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分
当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分
该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解
1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4
x = 1分
35(5)5 2.55,,(1)1,44
y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分 ∴
最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明
()()()()()()b
b
a a x a x
b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b
b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分
[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分
