用数形结合法巧解最值问题
胡龙林
数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。 1利用数轴上的截距解函数最值
截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[
例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值.
解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111|
12|22=+-?b , 可得22±=b . 于是
,22max +=b .22min -=b
例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值.
解 令?????-+=+-=,
43,34222t t y t t x 有x y S -=又
).0,0(,1624433422222≥≥=+??????-+=+-=y x y x t
t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16
242
2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得
b
0b 2u v
图1
.62,6min max -==S S
例3 求函数2310)(2-+-+=x x x x f 的最值.
解 设
整理可得
)0(,2)5(22≥=+-v v u . （1）
因此, 可看出方程（1）表示uov 平面上的一个半圆()如图1O 且它与x 轴在)0,25(-A 与)0,25(+B 处相交.
v
7
2
5-o A 1O B u
图2
进一步原函数可以写成
v u x f +=)(, （2）
方程（2）表示uov 平面上斜率为-1的直线系, ()x f 表示此直线系在u 轴上的截距,通过计算可得函数与半圆相切的直线在u 轴上的最大截距为7, 即7)(max =x f 而过)0,25(-A 直线在u 轴上的最小截距为,25- 即25)(min -=x f
2,(0).1023,u x v v x x =??≥?=-+-??
2 利用两点间的距离公式解函数最值
两点间的距离公式分为平面和空间两种形式, 在平面内设1122(,),(,),A x y B x y 则
122212||()().AB x x y y =-+-
在空间中, 可设111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则
222121212||()()().AB x x y y z z =-+-+-
例4 求函数2225625()y x x x x x R =-++++∈的最小值.
解 如图所示.
x
O )
2,1(A )
4,3(-B )
4,3('--B
图3
由于
2565222++++-=x x x x y
2222(1)(02)(3)(04)
x x =-+-+++-, 且y 是点(,0)x 到点(1,2),(3,4)A B -的距离之和, B 关于x 轴的对称点为(3,4)B '--, 因此
22(13)(24)213AB =+++=.
故
132max =y .
例5 求函数1725422++++-=x x x x z 的最小值，并求出此时的x 值.
解 将已知函数进行整理可得
.)40()1()10()2(2222++++-+-=x x z
上式表明z 是点)0,(x p 到点(2,1),(1,4)A B --的距离之和（如下图所示），
??
)
1,2(A )4,1(--B x
y
图4
要求其最小值，只需在x 轴上找到一点p ，使得p 到A , B 的之间距离之和达到最小即可. 通过进一步的求解, 有
34)41()12(||22min =+++==AB z .
并且, 可得直线AB 的方程
3
154+=+x y , 令0=y , 通过求解可得45=x ，因此此当4
5=x 时，.34min =z 由以上可以看出数形结合是把数学问题中的数量数关系与空间形式结 合起来的一种思维，它使逻辑思维与形象思维完美统一起来。数形结合解题思想 新颖，方法直观，题过程简捷，可避免因对限制条件考虑不周而造成的失误，提 高学生的解题能力。还利于数学各支的结合，深化思维，有利于学生解决问题及 创新能力的提高。
数形结合巧解分段函数问题
作者: 日期:
数形结合巧解分段函数问题-中学数学论文 数形结合巧解分段函数问题 湖北武汉关山中学刘元利张璟怡 在数学研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，数形结合是历年高考的重点和热点之一。而分段函数作为一类特殊的函数,凡是函数中所涉及到的内容，它都有可能涉及到，如求分段函数的定义域和值域、极值和最值、判断其奇偶性、对称性、单调性、周期性，作图象等在历届高考中也都有所体现，解决这些问题的主要思想方法有数形结合、等价转化及分类讨论等三种方法。本文仅从数形结合方面来求解分段函数问题作了一些整理和归纳，以供参考。 一、求分段函数的定义域、值域及最值 例1.对任意实数x，设f (x)是4x+1,x+2,-2x+4 三个函数中的最小值，求f (x )的最大值 分析：4x+1,x+2,-2x+4 三个中哪个会最小呢？三个都有可能，因而要进行 讨论，故f (x)应为分段函数 解：依题意知，
所 2 求分段函数的单调区间 - 由伺\町知屮 2?对于给定的正数心定文附数川A ） 解徘主三-1 或 （X ）的解析式是解题关键，再作图象求最值比分类讨论求值 评注：先找出 -W 作岀兀图象如M 2所示.由 作岀尸沢幻的岡象如圈 函数屮耳庖弋当时心壬炳数A ⑴的单碉区间为］ ￡1>-匚即.由/（灯輕* 比较要好得多，有时数形结合法就是一种最佳之法。 2呵知/（A ■啲逮增区间为（-X.-I ］，ii （ 例2X 2009年湖南卷［设两数/(iWoc ,4?)内有定 | /( x )./(x J W * 11 ,_/■( jc )乂 2 JI 4K +L * 评注：这是一种自定义函数的题型，具有创新意识，要弄懂定义求出函数解
专题：数形结合思想 ---应用数形结合求最值 鼎城一中高三文科数学备课组周巧菊 教学目标： 1.通过复习让学生领会数形结合思想本质； 2.通过具体问题的学习，培养学生用数形结合思想方法探求解决问题的思路； 3.掌握用数形结合思想方法解决三种类型最值问题的解法： 能力目标：提高学生分析问题，等价转换能力和解决问题的能力； 教学重点：用数形结合思想方法解决最值问题的思路及解法。 教学难点：数与形的相互转化 教学资源：多媒体，学案 教学过程 一、提出问题 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，那么如何运用数形结合思想分析问题和解决问题呢？大家会求|1||1| =-++的最小值吗？最小值为2. y x x 二、数形结合的思想内容 1．数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合． 2．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 三、数形结合的思想与最值 例1.若奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么 [-7，-3]上是（A） A. 增函数且最大值为-5； B.减函数且最小值为-5； C. 增函数且最小值为-5； D.减函数且最大值为-5； 变式：例1的条件不变，求函数y=|f(x)+5|在 [-7，-3]∪ [3，7]的最小值为 0 。
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
第课时总课时 数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。 【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。 师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？ （学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。） 集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。 四、归纳梳理。 师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。
截长补短法 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中， ? ? ?==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . F E D C B A 图1-2 A B C D P 12 N 图3-1 P 12 N A B C D E 图3-2 A B C D 图1-1
六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题 一、六招破解函数最值问题 函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下： 1．配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af (x )2＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法． [例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e － x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． [解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e － x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e － x ，则f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2. 因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2. [点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决． 2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题． [例2] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________． [解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R . 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3 [点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 得到的． 3．不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种： a 2＋ b 2 ≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤????a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．
一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12) B ．(1 2，1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 答案 B 解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示， 当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1 2 ，故f (x )＝ g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(1 2，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． 设函数f (x )＝? ???? x 2＋bx ＋c ，x ≤0， 2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， 解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝??? ? ? x 2 ＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.
作出函数f (x )＝? ?? ?? x 2 ＋4x ＋2， x ≤0， 2， x >0与y ＝x 的图象，如图， 由图知交点个数有3个，故选C. 热二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________． (2)若不等式|x －2a |≥1 2 x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)? ????－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． (2) 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤1 2 . 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答． (1)设A ＝{(x ，y )|x 2 ＋(y －1)2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ?B 成立 的实数m 的取值范围是__________． (2)若不等式9－x 2 ≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2 解析 (1) 集合A 是一个圆x 2 ＋(y －1)2 ＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0
妙用“数形结合”，巧解小学数学问题-小学数学论文-教育 期刊网 妙用“数形结合”，巧解小学数学问题 浙江绍兴市越城区灵芝镇中心小学（312000）罗海明 “数形结合”是数学的重要思想方法之一，而且“数形结合”能培养学生创造性思维、抽象思维和形象思维。著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合千般好，数形分离万事休。”可见数形结合的重要性。 一、注重“形”与“数”之间的结合 在小学数学课堂教学过程中，应注重“数”与“形”之间的结合。通过“形”来刺激学生的感官，使其首先进行仔细观察，进而得出计算关系，而这种计算关系则涉及“数”。根据数学问题中”数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征、规律来研究和解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论，在这里我们暂且称之为“以形助数”。“以形助数”其实是指在数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。“以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型；若无形，则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高学段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？ 【例1】计算如图1所示图形的面积。
首先让学生审题：（1）从整体上来看，图1为一个什么平面图形？（2）图1中有几个三角形，它们的特征是什么？让学生带着这两个问题进行思考，最终得出如下解题思路。 解题思路分析：要求梯形的面积，那么就需要知道上底、下底以及高这三个条件。由图1可以看出，该梯形的高是6厘米，那么解题的关键就是求出上底以及下底的长度，或者求出它们二者的长度和。在左边的直角三角形中，其中一个内角是45°，由此可知左边这个直角三角形为等腰直角三角形，因此梯形高的左边部分与下底相等。同理可知，右边的小三角形也是一个等腰直角三角形，因此梯形的上底与高的右边部分相等。然后按照等腰直角三角形的含义推出该梯形上下底长度之和为梯形高，即为6厘米，因此根据梯形的面积公式得（上底+下底）×高÷2=（6×6）÷2=18（平方厘米）。 【例2】如图2所示，直角三角形的面积为12平方厘米，计算圆的面积大小。 首先提出两个问题：（1）图2中包括哪两种图形？（2）两种图形各自的面积计算的基本公式是什么？ 解题思路分析：根据圆的面积计算公式S=πr2，若要计算圆的面积，那么解决此题的关键之处在于先求出r。在图2中，三角形的底以及高都是圆的半径，图
初中数学全等专题截长补短法 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，时DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45° 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列
说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF 平分∠DAE.则下列式子正确的为（）
A.AE－BE＝EF B.AE－BE＝DF C.AE－BE＝EC D.AE －BE＝AB 1.解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS） ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°。答案：C 2.解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD， ∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°， ∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°， ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到
2015年湖南公务员考试行测答题技巧：特值法巧解工程问题 一、从工作时间入手，把工作总量设为“时间”的最小公倍数 例：一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完 成需 15天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需多少天? A.8天 B.9天 C.10天 D.12天 中公解析：C。设工作总量=90，则甲的效率为3，甲、乙效率之和为5，乙、丙 效率之和为6，可求乙效率2，丙效率为4，甲、乙、丙合作的天数为90÷9=10。 二、从工作效率入手，先找出“效率”的最简比例，将效率设为特值 例：一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队与乙队的工作 效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲乙两队留下继续工作。那么,开工22天后，这项工程： A.已经完工 B.余下的量需甲乙两队共同工作1天 C.余下的量需乙丙两队共同工作1天 D.余下的量需甲乙丙三队共同工作1天 中公解析：D。由于丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当，不妨假设丙队 每天的工作量为4，乙队每天的工作量为3，则甲队每天的工作量为3。这项工 程总的工作量为(4+3+3)×15=150，则工作22天后，工程还剩下150- (4+3+3)×2-(3+3)×(22-2)=10 的工作量，正好让甲、乙、丙三队共同工作1天。 三、题干若涉及很多人完成一项工作，可将每人每天的工作效率设为1，根据 效率求工作总量 例：修一条公路，假设每人每天的工作效率相同，计划180名工人一年完成， 工作4个月后，因特殊情况，要求提前两个月完成任务，则需要增加多少名工人? A.50 B.65 C.70 D.60 中公解析：D。此题涉及很多人一起工作，所以设每人每天工作效率为1，则工 作总量为180×12=2160，工作4个月后完成了180×4=720，还剩2160- 720=1440份总量，要求提前两个月，则需要10个月完成，由于已经工作了4 个月，所以剩下的工作要6个月完成，需要的效率应该是1440÷6=240，所以 需要增加240—180=60个人。 很多考生在解题时常将工作总量设为1，但是算到最后会发现计算起来比较麻烦。中公教育专家建议大家以后在做工程问题的时候尽量避开设1这种方式， 进而达到方便计算快速解题的目的。
1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不
选择第4题图 P D C B A 一、角平分线的性质 一．选择题填空（共10小题） 1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．到三角形的三边距离相等的点是（ ） A ．三角形三条高的交点 B ．三角形三条内角平分线的交点 C ．三角形三条中线的交点 D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ） A ．BD ：CD B ．AD ：CD C ．BC ：A D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ） A 、＞ B 、＜ C 、＝ D 、无法确定 5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ． 7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ． 7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ． 二、截长、补短法的专题 例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°， 求证：AB ＝AC ＋CD ． m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +
用数形结合法巧解最值问题 胡龙林 数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。 1利用数轴上的截距解函数最值 截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[ 例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值. 解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111| 12|22=+-?b , 可得22±=b . 于是 ,22max +=b .22min -=b 例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值. 解 令?????-+=+-=, 43,34222t t y t t x 有x y S -=又 ).0,0(,1624433422222≥≥=+??????-+=+-=y x y x t t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16 242 2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得
小学数学六年级下册《数形结合解决问 题》
青岛版小学数学六年级下册《数形结合解决问题》精品教案 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？ 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？
学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现，可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾听他人的想法和意见，可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子，通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。
截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例： H P G F B A C D E 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证） H P G F B A C D E 方法二（好证不好想） H M P G F B A C D E 例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页） F E D C A B （1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。 求证：EF=DE+BF （1）变形a E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形b E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形c j F E A B C D 正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？ （1）变形 d F E D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求?AEF 的面积 （1）解：（简单思路）
目录 0 引言 (1) 1 以“数”化“形” (1) 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2) 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3) 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3) 2 以“形”变“数” (4) 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4) 3 “形”“数”互变 (6) 3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6) 3.2 利用三角函数图象求角度 (7) 3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7) 结论 (9) 致谢 (9) 参考文献
提纲 1 以“数”化“形” 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 2 以“形”变“数” 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 3 “形”“数”互变 3.1 数轴在有理数化简中的应用 3.2 利用三角函数图象求角度 3.3 利用数形结合解决平面几何问题。
摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。 关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题 引言 做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。 1 以“数”化“形”
在公务员行测考试中，工程问题是数量关系的一个考点，也是难点，但在其解题过程中可利用题目中的不变量构造比例关系，简便计算过程。接下来新西南教育就为各位考生来讲解一下工程问题解题过程当中的常用的比例法。 一、工程问题中比例法的应用环境 工程问题中存在工作总量=工作效率×工作时间(W=p×t)的关系，且这三个量中存在定值时，或者说存在不变量、相同量时，考虑用比例法，即： (1)p为定值时，W与t成正比; (2)t为定值时，W与p成正比; (3)W为定值时，p与t成反比。 二、题型应用 【例题1】玩具厂对一批玩具进行加工，原计划要28小时完成，由于后期更换仪器设备，改进工作效率后只需要21小时就能完成，已知后来每小时比原计划多加工10个玩具，求这批玩具的总量有多少个? A.630 B.720 C.840 D.1120 【答案】C 【参考解析】由题目可知，在工作效率提升前后，需生产的玩具总量W固定不变，则p和t成反比，两次完成工作所需时间比为28∶21=4∶3，则工作效率之比为3∶4，提升1份工作效率，共对应10个玩具，3分工作效率对应30个玩具，又因为按照原计划完成工作需要28天，所以需要加工的玩具总数为30×28=840个，故选C。 【例题2】某计算机厂要在规定的时间内生产一批计算机，如果每天生产140台，可以提前3天完成;如果每天生产120台，就要再生产3天才能完成。问规定完成的时间是多少天?
A.30 B.33 C.36 D.39 【答案】D 【参考解析】由题目可知，无论以何种方式进行加工，总工作量未发生任何变化，则p 和t成反比。由于按照每天生产140台可提前3天完成，按每天生产120天需推后3天完成，则两种工作方式完成整个工程所需时间相差6天。两次工作效率之比为140∶120=7∶6，则所用时间之比为6∶7，相差1份时间对应6天，按照每天生产140台需要6份时间，对应时间为36天，又因为比规定时间提前3天完成，则规定时间为36+3=39天，故选D。 想要通过比例思想求解工程问题，就需要在题目当中找出不变量，从而构造比例关系进行求解。看似简单，但要想熟练应用，还需各位考生勤加练习，才可熟能生巧。
利用数形结合处理数学问题的技巧 摘要 数形结合在代数解题中有广泛应用，是数学研究的常用方法，它的思想可以把抽象的代数问题具体化，把数量关系与空间图形结合起来，既能分析其代数意义，又能揭示其几何意义。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。下面将通过一些典型例题，探索解题中应用数形结合的技巧和方法。 关键词：数形结合思想方法技巧典型例题 正文： 数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。“以形助数”就是把某些复杂的数学问题通过几何图形很直观的看出来，这样就把问题直观具体化。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
数形结合在高考解题中的应用 摘 要： 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。 数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。 在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有： 1 距离函数 2、 y a x b -- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、2 2 a a b b ±+余弦定理 6、 ax b cx d ++ 双曲线 a ．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解， 且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 b ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的 对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 c ．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，