牛吃草问题---公开课讲课讲稿

第八讲【2 】牛吃草问题牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,牛吃草问题的汗青来源是17世纪英国巨大的科学家牛顿1642—1727)提出来的.典范牛吃草问题的前提是假设草的发展速度固定不变,不同头数的牛吃光统一片草地所需的天数各不雷同,求若干头牛吃这片草地可以吃若干天.因为吃的天数不同,草又是天天在发展的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化.解决牛吃草问题常用到四个根本公式,分离是︰五大根本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的发展速度＝草量差÷时光差;3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的发展速度×吃的天数;`4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的发展速度）;5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的发展速度.这五个公式是解决牛吃草问题的基本.起首一般假设每头牛天天吃草量不变,设为"1",解题症结是弄清晰已知前提,进行比较剖析,从而求出每日新长草的数目,再求出草地里原有草的数目,进而解答题总所求的问题.牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我先介绍一些比较浅易的牛吃草问题,后面给大家开辟一下思维,起首,先介绍一下这类问题的背景,大家看常识要点求天数例1.牧场上长满了牧草,牧草天天匀速发展,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.问：这片牧草可供25头牛吃若干天？解：假设1头牛1天吃的草的数目是1份草天天的发展量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份=原草量+20天的发展量原草量：200-20×5=100份或15×10=150份=原草量+10天的发展量原草量：150-10×5=100份100÷（25-5）=5天答：这片牧草可供25头牛吃5天？演习1（求时光）1．1.一块牧场长满了草,天天平均发展.这块牧场的草可供10头牛吃40天,供15头牛吃20天.可供25头牛吃＿＿天. （）A. 10B. 5C. 20答案：A 假设1头牛1天吃草的量为1份.天天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）.那么愿草量为：10×40-40×5=200（份）,安排5头牛专门吃天天新长出来的草,这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）.2．一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断发展,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,23头牛9天把草吃尽.假如有牛21头,几天能把草吃尽？3．有一片草地,草天天发展的速度雷同.这片草地可供5头牛吃40天,或6供头牛吃30天.假如4头牛吃了30天后,又增长2头牛一路吃,这片草地还可以再吃几天？4．牧场上长满了青草,并且天天还在匀速发展,这片牧场上的草可供9头牛吃20天,可供15头牛吃10天,假如要供18头牛吃,可吃几天？5．因为气象逐渐严寒,牧场上的牧草天天以平均的速度削减,经测算,牧场上的草可供30头牛吃8天,可供25头牛吃9天,那么可供21头牛吃几天？6．因为气象逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在削减,假如某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃若干天？7．一片草地,天天都匀速长出青草,假如可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天,那么可供18头牛吃几天？8．有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供25头牛吃若干天？9．牧场上长满牧草,天天匀速发展,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.可供25头牛吃几天？10.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃若干天？ A.3 B.4 C.5 D.6【牛先生答案】C 【牛先生解析】设该牧场天天长草量恰可供X头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃Y天依据焦点公式代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）【牛先生例5】 A.16 B.20 C.24 D.28 【牛先生答案】C 林子里有山公爱好吃的野果,23只山公可在9周内吃光,21只山公可在12周内吃光,问假如有33只山公一路吃,则须要几周吃光？（假定野果发展的速度不变）A.2周 B.3周 C.4周 D.5周【牛先生答案】C一片牧草,天天发展的速度雷同．如今这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天．假如1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一路吃可以吃若干天？8．有一片草地,天天都在匀速发展,这片草可供16头牛吃20天,可供80只羊吃12天.假如一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么10头牛与60只羊一路吃可以吃若干天？8天（1）按牛的吃草量来盘算,80只羊相当于80÷4=20（头）牛.（2）设1头牛1天的吃草量为1份.（3）先求出这片草地天天新发展的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）（5）最后求出10头牛与60只羊一路吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）1.牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周.假如牧草每周匀速发展,可供21头牛吃几周？求牛的数目例2.因为气象逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在削减.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此盘算,可供若干头牛吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数目是1份草天天的削减量：（100-90）÷（6-5）=10份20×5=100份……原草量-5天的削减量原草量：100+5×10=150 或15×6=90 份……原草量-6天的削减量原草量：90+6×10=150份（150-10×10）÷10=5头答：可供5头牛吃10天？总结：想方法从变化中找到不变的量.牧场上原有的草是不变的,新长出的草固然在变化,但是因为是匀速发展,所以天天新长出的草量也是不变的.准确盘算草地上原有的草及天天新长出的草,问题就会水到渠成.演习2（求牛数）1)有一片草地,可供8只羊吃20天,或供14只羊吃10天．假设草的天天发展速度不变．现有羊若干只,吃了4天后又增长了6只,如许又吃了2天便将草吃完,问有羊若干只？2)有一牧场长满草,天天牧草匀速发展.12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等,草的发展速度不变．问若干头牛8周吃完16公顷的牧草？3)有一牧场长满草,天天牧草匀速发展.这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天.现有牛若干头在吃草,6天后,杀了4头牛,余下的牛吃了2天将草吃完.问本来有牛若干头？4)有3个牧场长满草,第一牧场33公亩,可供牛22头吃54天;第二牧场28公亩,可供17头牛吃84天,第三牧场40公亩,可供若干头牛吃24天？（每块地每公亩草量雷同且都是匀速发展）5)有一牧场长满牧草,牧草天天匀速发展,这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天,如今有若干头牛在吃草,6天后,4头牛逝世亡,余下的牛吃了2天将草吃完,问本来有牛若干头？6)有一块匀速发展的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天,那么它可供几头牛吃20天？7)一片匀速发展的草地,可以供18投牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,假如1头牛天天的吃草两相当于3只羊天天的吃草量.请问：这片草地让17头牛与若干只羊一路吃,刚好16天吃完？8)有一口水井,假如水位降低,水就不断地匀速涌出,且到了必定的水位就不再上升.如今用水吊水,假如每分吊4桶,则15分钟能吊干,假如每分钟吊8桶,则7分吊干.如今须要5分钟吊干,每分钟应吊若干桶水？9)有一片牧草,天天以平均的速度发展,如今派17人去割草,30天才能把草割完,假如派19人去割草,则24天就能割完.假如须要6天割完,须要派若干人去割草？10)有一桶酒,天天都因桶有裂痕而要漏掉落等量的酒,如今这桶酒假如给6人喝,4天可喝完;假如由4人喝,5天可喝完.这桶酒天天漏掉落的酒可供几人喝一天？11)一水库存水量必定,河水平均入库.5台抽水机持续20天可抽干;6台同样的抽水机持续15天可抽干.若要6天抽干,须要若干台同样的抽水机？12)有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供若干头牛吃4天？22头牛吃33公亩牧场的草,54天可以吃尽; 17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽; 若干头牛吃40公亩牧场的草,24天可以吃尽？有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供若干头牛吃4天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【牛先生答案】C 【牛先生解析】设该牧场天天长草量恰可供X头牛吃一天, 依据焦点公式代入(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）假如22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,须要若干头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【牛先生答案】D 【牛先生解析】设每公亩牧场天天新长出来的草可供X头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为Y , 24天内吃尽40公亩牧场的草,须要Z头牛依据焦点公式：,代入,是以 ,选择D 【牛先生注释】这里面牧场的面积产生变化,所以天天长出的草量不再是常量. 下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法,在真题中的运用. .一块草地上的草以平均的速度发展,假如20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全体吃光,而14只羊则要10天吃光.那么想用4天的时光,把这块草地的草吃光,须要＿＿只羊.（）A. 22B. 23C. 24假设1只羊1天吃草的量为1份.天天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃天天新长出来的草,4天时光吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）演习：因气象严寒,牧场上的草不仅不发展,反而天天以平均的速度在削减.已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可供24头牛吃6天,照此盘算,这个牧场可供若干头牛吃10天?13.有一牧场,牧草天天匀速发展,可供9头牛吃12天,可供8头牛吃16天,如今开端只有4头牛吃,从第7天开端,又增长了若干头牛,再用6天吃光所有的草,问增长了几头牛？有一片匀速发展的牧草,可供17头牛吃30天,或可供19头牛吃24天.本来有若干头牛在草地上吃草,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天便将草吃完,问本来有牛若干头？3.有一片牧草,天天以平均的速度发展,如今派17人去割草,30天才能把草割完,假如派19人去割草,则24天就能割完.假如须要6天割完,须要派若干人去割草？牛的数目变化例3：一个牧场上的青草天天都匀速发展.这片青草可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,现有一群牛吃了4天后卖掉落2头,余下的牛又吃了4天将草吃完.这群牛本来有若干头？解：设每头牛天天的吃草量为1份.天天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份,原有的草量为（27-15）×6=72份.如两端牛不卖掉落,这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份.所以这群牛本来有200÷8=25头草地大小变化例4：有三块草地,面积分离是5,15,24亩.草地上的草一样厚,并且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供若干头牛吃80天？这是一道牛吃草问题,是比较庞杂的牛吃草问题. 把每头牛天天吃的草看作1份. 因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天,每亩面积长84－60＝24份所以,每亩面积天天长24÷15＝1.6份所以,每亩原有草量60－30×1.6＝12份第三块地面积是24亩,所以天天要长1.6×24＝38.4份,原有草就有24×12＝288份新发展的天天就要用38.4头牛去吃,其余的牛天天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,是以288÷80＝3.6头牛所以,一共须要38.4＋3.6＝42头牛来吃.解法一：设每头牛天天的吃草量为1,则每亩30天的总草量为：10*30/5=60;每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩天天的新发展草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12,那么24亩原有草量为12*24=288,24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所以3360/80=42(头) 解法二：依据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,依据28头牛45天吃15亩,可以推出15亩天天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24;15亩原有草量：28×45-24×45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头演习：有三块草地,面积分离为5公顷,6公顷和8公顷.每块地每公顷的草量雷同并且长的一样快,第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天.第三块草地可供19头牛吃若干天？有三片草地,面积分离为4公顷,8公顷和10公顷．草地上的草一样厚,并且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周,第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？求最大量例5：经测算,地球上的资本可供100亿人生涯100年,或可供80亿人生涯300年.假设地球新生成的资本增长速度是一样的.那么,为了知足人类不断成长的请求,地球最多只能赡养（）亿人. 70解：设1亿人1年所消费的资本为1份那么地球上每年新生成的资本量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资本不少于消费点的资本时,地球上的资本才不至于逐渐削减,才能知足人类不断成长的须要.所以地球最多只能赡养：70÷1=70（亿人）演习3（求最多）1)有一片牧场,操天天都在匀速发展（天天的增长量相等）,假如放牧24头牛,则6天吃完草,假如放牧21头牛,则8天吃完草,设每头牛天天的吃草量相等,问：要使草永久吃不完,最多只能放牧几头牛？假设地球上新增长资本的增长速度是必定的,照此推算,地球上的资本可供110亿人生涯90年,或可供90亿人生涯210年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以赡养若干亿人？有一片牧场,24头牛6天可以将草吃完,或21头牛8天可以吃完.要使牧草永久吃不完,至多可以放牧几头牛？新型牛吃草检票口吃人例1：搭客在车站候车室等车,并且列队的乘客按必定速度增长,检讨速度也必定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当凋谢2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增长人数的速度还有本来的人数解：设一个检票口一分钟一小我1个检票口30分钟30小我2个检票口10分钟20小我(30-20)÷(30-10)=0.5小我原有1×30-30×0.5=15人或2×10-10×0.5=15人演习：一游乐场在开门前有100人列队等候,开门后每分钟来的旅客是雷同的,一个进口处每分钟可以放入10名旅客,假如凋谢2个进口处20分钟就没人列队,现凋谢4个进口处,那么开门后若干分钟后没人列队？物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来列队付款,每一个收银台每小时能敷衍80名顾客付款.某天某时刻,超市假如只开设一个收银台,付款开端4小时就没有顾客列队了,问假如当时开设两个收银台,则付款开端几小时就没有顾客列队了？D A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时D.0.8小时画展9时开门,但早有人来列队等候入场.从第一个不雅众来到时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,9点9分就不再有人列队了,那么第一个不雅众到达的时光是8点＿＿分. （）A. 10B. 12C. 15C假设每小我口每分钟进入的不雅众量是1份.每分钟来的不雅世人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）到9时止,已来的不雅世人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）第一个不雅众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）所以第一个不雅众到达的时光是9时-45分=8时15分.禁毒图片展8点开门,但很早便有人列队等候入场.从第一个不雅众到达时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,8点9分就不再有人列队;假如开5个入场口,8点5分就没有人列队.第一个不雅众到达时距离8点还有若干分钟？画展9点开门,但早就有人列队入场.以第一个不雅众来到时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,则9分钟后就不再有人列队;假如开5个入场口,则5分钟后就不再有人列队.那么第一个不雅众到达的时光是几点几分？电梯吃人例1.主动扶梯以平均速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,成果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上.问：该扶梯共有若干级？解析：男孩：20×5 =100（级）主动扶梯的级数-5分钟削减的级数女孩;15×6=90（级）主动扶梯的级数-6分钟削减的级数每分钟削减的级数=(20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)主动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）例两个顽皮孩子逆着主动扶梯行驶的偏向行走,男孩每秒可走3级阶梯,女孩每秒可走2级阶梯,成果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒.问该扶梯共有若干级？3×100=300主动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=600主动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）主动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）主动扶梯以平均速度由下往上行驶,小明和小丽从扶梯上楼,已知小明每分钟走25级台阶,小丽每分钟走20级台阶,成果小明用了5分钟,小丽用了6分钟分离到达楼上.该扶梯共有若干级台阶？商场的主动滚梯以平均的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢,于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1 级台阶,女孩每3秒向上走2级台阶,成果男孩用50秒到达搂上,女孩用了60秒到达搂上.问商场的主动滚梯共有若干级？水管抽水例1.水库原有存水量必定,河水天天入库.5台抽水机持续20天抽干,6台同样的抽水机持续15天可抽干,若要6天抽干,要若干台同样的抽水机？剖析：5台 20天原有水+20天入库量6台 15天原有水+15天入库量？台 6天 -原有水+6天入库量解答：设1台1天抽水量为"1",第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90天天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40,原有水100-40=606天的总水量60+2×6=7272÷6=12（台）演习：一个水池,池底有水流平均涌出．若将满池水抽干,用10台水泵需2小时,用5台同样的水泵需7小时,现要在半小时内把满池水抽干,至少要如许的水泵若干台？设每台水泵每小时抽水量为一份．（1）水流每小时的流入量：（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）（2）水池原有水量：5×7-3×7=14（份）或 10×2-3×2=14（份）（3）半小时内把水抽干,至少须要水泵：（14+3×0.5）÷0.5=31（台）演习：有一水井,持续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等.假如运用3架抽水机来抽水,36分钟可以抽完,假如运用5架抽水机来抽水,20分钟可抽完.如今12分钟内要抽完井水,须要抽水机若干架？有一个浇灌用的中转水池,一向开着进水管往里灌水,一段时光后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;假如用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完.问假如筹划用10分钟将水排完,须要若干台抽水机？【牛先生答案】B A.5台 B.6台 C.7台 D.8台一条船有一个破绽,水以平均的速度漏进船内,待发明时船舱内已进了一些水.假如用12人舀水,3小时舀完.假如只有5小我舀水,要10小时才能舀完.如今要想在2小时舀完,须要若干人？例：有一水池,池底有泉水不断涌出.要想把水池的水抽干,如用10台抽水机需抽8小时;如用8台抽水机需抽12小时.那么,假如用6台抽水机,需抽若干小时？解答：设一台抽水机一小时抽水一份.则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份,池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机须要:100÷(25-5)=5小时演习：一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部雷同的抽水机10小时可把水抽干.那么用25部如许的抽水机若干小时可以把水抽干？有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,假如用6台抽水机,那么需抽若干小时？蜗牛登山例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底.白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的,一只天天爬行20分米,另一只天天爬行15分米.黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度倒是雷同的,成果一只蜗牛正好用了5个日夜到达井底,另一只正好用了6个日夜到达井底.那么,井深若干米？蜗牛每夜降低：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米点评：此题按牛吃草问题来处理,考核了学生的思维和推理才能．5. 快.中.慢三车同时从A地动身,追赶一辆正在行驶的自行车.三车的速度分离是每小时24千米.20千米.19千米.快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用（）小时.自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）三车动身时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）慢车追上自行车所用的时光为：60÷（19-14）=12（小时）甲.乙.丙三辆车同时从A地动身,动身后6分钟甲车超过了一名长跑运发动,过了2分钟后乙车也超曩昔了,又过了2分钟丙车也超了曩昔．已知甲车每分钟走1000米,乙车每分钟走800米,求丙车的速度.10. 现有速度不变的甲.乙两车,假如甲车以如今速度的2倍去追乙车,5小时后能追上,假如甲车以如今的速度去追乙车,3小时后能追上.那么甲车以如今的速度去追,几小时后能追上乙车？15小时设甲车如今的速度为每小时行单位“1”,那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5乙车本来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5所以甲车以如今的速度去追,追及的时光为：7.5÷（1-0.5）=15（小时6. 一水池华夏有一些水,装有一根进水管,若干根抽水管.进水管不断进水,若用24根抽水管抽水,6小时可以把池中的水抽干,那么用16根抽水管,（）小时可将可将水池中的水抽干.设1根抽水管每小时抽水量为1份.（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池华夏有的水量为：21×8-12×8＝72（份）（3）16根抽水管,要将水池中的水全体抽干需：72÷（16-12）=18（小时）7. 某船埠剖不断有货轮卸下货色,又不断用汽车把货色运走,如用9辆汽车,12小时可以把它们运完,假如用8辆汽车,16小时可以把它们运完.假如开端只用3辆汽车,10小时后增长若干辆,再过4小时也能运完,那么后来增长的汽车是（）辆.1设每两汽车每小时运的货色为1份.（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）船埠原有货色量是：9×12-12×5＝48（份）（3）3辆汽车运10小时后还有货色量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后来增长的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）9. 某水库建有10个泄洪闸,如今水库的水位已经超过安全警惕线,上游的河水还在按一不变的速度增长.为了防洪,需开闸泄洪.假设每个闸门泄洪的速度雷同,经测算,若打开一个泄洪闸,30小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10小时水位降到安全线.如今抗洪批示部请求在5.5小时内使水位降到安全线,问：至少要同时打开几个闸门？4个设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份.（1）水库中每小时增长的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库华夏有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）其它情况漏水问题,列队等候问题...等均可看作这种问题. “牛吃草”问题剖析5．答案仅供参考：1．设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛（1）天天新长的草量：（15×24-20×12）÷（24-12）=10（份）（2）原有草量：20×12-10×12=120（份）或 15×24-10×24=120（份）（3）12头牛与88只羊吃的天数：120÷（12＋88÷4-10）=5（天）3．设一只羊吃一天的草量为一份．（1）天天新长的草量：（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）（2）原有的草量：8×20-2×20=120（份）（3）若不增长6只羊,这若干只羊吃6天的草量,等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）（4）羊的只数：120÷6=20（只）4．设1头牛吃一周的草量为一份．（1）每公顷每周新长的草量：（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）（2）每公顷原有草量：12×4÷6-1×4=4（份）（3）16公顷原有草量：4×16=64（份）（4）16公顷8周新长的草量：1×16×8=128（份）（5）8周吃完16公顷的牧草须要牛数：（128+64）÷8=24（只）5．（1）长跑运发动的速度：[800×（6+2）-1000×6]÷2=200（米/分）（2）三车动身时,长跑运发动与A地的距离：1000×6-200×6=4800（米）（3）丙车行的旅程：4800+200×（6+2+2）=6800（米）（4）丙车的速度：2.有一口水井,假如水位降低,水就不断地匀速涌出,且到了必定的水位就不再上升.如今用水吊水,假如每分吊4桶,则15分钟能吊干,假如每分钟吊8桶,则7分吊干.如今须要5分钟吊干,每分钟应吊若干桶水？4.有一桶酒,天天都因桶有裂痕而要漏掉落等量的酒,如今这桶酒假如给6人喝,4天可喝完;假如由4人喝,5天可喝完.这桶酒天天漏掉落的酒可供几人喝一天？5.一水库存水量必定,河水平均入库.5台抽水机持续20天可抽干;6台同样的抽水机持续15天可抽干.若要6天抽干,须要若干台同样的抽水机？。

牛吃草问题（讲义）一、教学目标1、知识与技能：（1）能够理解牛吃草问题的实质，掌握该类问题的解法。

（2）通过问题的解法，可以根据所给条件图示或思维图，finding the answer。

2、过程与方法：通过引领学生自主探究、合作学习等方式，激发学生的问题意识和探究欲望，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容牛吃草问题的讲解三、教学方法1、解释法2、举例法3、归纳法四、教学过程Step1、引入（1）学生在小组中集思广益，思考有没有什么常识可以与牛吃草问题相关联。

比如：牛一定会一口一口地吃草，不会一口吃掉。

（2）老师引入牛吃草问题。

如果有一头牛在一片长满草的牧场上吃草，它平均每天可以吃掉牧场上草的90%。

那么如果这头牛吃了2天，牧场上还剩下多少草？Step2、探究（1）老师让学生分组探究。

思考：如果牛吃了1天，牧场上还剩下多少草？如果牛连续吃了两个周六（即2天），又会吃掉多少？如果吃了3天、4天呢？请你们探究该问题的解法。

（2）学生分享与总结。

学生展示自己的解法，并总结出如下规律：n 天后还剩1 ($ 1 \div 10 $) $\times 10 = 1$2 ($ 1 \div 10 $) $\times 9 = 0.9$3 ($ 1 \div 10 $) $\times 8 = 0.8$……n ($ 1 \div 10 $) $\times (10-n) $Step3、引申（1）如上所述，牧场的草只剩10%。

如果这时再入一只牛来吃草，那么还能支撑多少天？（2）如果现在牛吃1天最多能吃掉30%草，那么还能支撑多少天？Step4、总结回顾笔记，让学生总结解决牛吃草问题的方法。

五、教学总结本节课学习到了牛吃草问题。

引入问题后，老师呈现出其解决方式，学生自主学习和合作学习，掌握相关知识与技能。

通过此类问题的引导，学生可以从一系列看似简单的问题中，慢慢发展出自己的数学思维和解题方法，从而增加解决问题的能力。

牛吃草问题教学目的：1、学会在草生长或枯萎时，计算牛吃草的天数或牛的头数。

2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的生长或枯萎速度及原有的草量。

3、掌握典型牛吃草问题的求解方法。

4、掌握草地面积变化的牛吃草问题解法。

教学重难点：1、计算草生长速度和原有草量2、归一法解决草地面积变化类牛吃草问题1、牛吃草，看似主角是牛，其实主角是草，草原上的草到了春天，春意盎然，“蹭蹭”的长，长的比牛吃的还快；到了秋天，就算没有牛，草地自己也会慢慢枯萎。

所以草地自身草量的变化非常关键。

草生长情况下吃草天数的计算，最关键的一步是求出“草地每天真正的减少量。

”牛吃草问题，只要抓住草地每天的减少量，其他问题都好办！2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的情况，关键还是围绕草地进行分析。

主要计算三个量：①草地在多少天内提供了多少草？②多少是新草？③多少是老草？3、解决典型的牛吃草问题，要紧紧抓牢两个关键的量：①草的生长速度②原有的草量4、解决草地面积变化牛吃草问题，最关键的一步是“归一”。

先把已知条件归为一公顷草地提供草的情况，再通过对比算出一公顷草地的草的生长速度和原有草量。

归一运算的步骤：先算出整块草地在多少天内提供了多少草，再除以草地面积，求出一公顷草地在多少天内提供了多少草。

草量变化时求牛数与天数例题1 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天新生长2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？例题2 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天枯萎2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？每天减少量：8×1+2=10份60÷10=6天草地6天被吃完！计算草速与原有草量例题3 一片草地8头牛吃10天，4头牛吃18天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？例题4 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地原有多少份草呢？总草量：6×15=90份新草：15×2=30份老草：90-30=60份典型牛吃草问题例题5 一片草地，8头牛吃10天，6头牛吃15天，4头牛吃几天？草地面积变化牛吃草问题例题6 同样一片草地，15头牛20天吃了其中的5公顷，24头牛30天吃了其中的9公顷，40头牛多少天可以吃其中的10公顷？训练1 1头牛1天吃“1份草”，草地开始有60份草，每天新生长2份草，问几头牛5天可以吃完整片草地的草？训练2 有一片牧场，草地上现有20 0份草，草地每天都均匀地生长5份草．若一开始放25头牛，每头牛每天吃1份草，一共可以吃几天？训练3 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？训练4 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养14头牛，那么15天能把草吃完；如果只放养19头牛，那么10天能把草吃完．那么每天均匀长几份草？草地一开始原有几份草？训练5 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养20头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养15头牛，那么15天能把草吃完．如果要想一直有草吃，那么最多放几头牛？（思考：一直有草吃的含义是什么？）训练6 一片面积为7公顷的草地，可供10头牛吃70天。

牛吃草问题课件一、引言牛吃草问题，又称“牛吃草悖论”，是数学中著名的动态规划问题。

它源于一个有趣的数学谜题，即如何在有限的时间内，让牛吃到尽可能多的草。

这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学原理和思维方式。

本课件旨在通过讲解牛吃草问题，引导大家掌握动态规划的基本思想和方法，培养逻辑思维和问题解决能力。

二、牛吃草问题的提出假设有一个草地，草地在每个单位时间内的生长速度是一定的，比如每天长出k份草。

同时，有一头牛在草地上吃草，这头牛在单位时间内吃的草量也是一定的，比如每天吃m份草。

我们希望知道，这头牛在t天内最多能吃到多少份草。

三、牛吃草问题的分析1.动态规划的基本思想动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为若干个子问题，通过求解子问题来逐步构建原问题的最优解。

在牛吃草问题中，我们可以将t天分为若干个时间段，每个时间段内牛吃草的决策是相互独立的，因此可以将问题分解为多个子问题。

2.牛吃草问题的数学模型f(i)=max{f(i-1)+m,N+kimi}其中，f(i)表示第i天牛最多能吃到的草量。

3.牛吃草问题的求解根据递推关系，我们可以通过循环迭代的方式求解牛吃草问题。

具体步骤如下：（1）初始化f(0)=0，表示第一天牛没有吃到草。

（2）从第二天开始，根据递推关系计算f(i)，直到第t天。

（3）输出f(t)，即为t天内牛最多能吃到的草量。

四、牛吃草问题的拓展1.多头牛吃草问题在牛吃草问题的基础上，我们可以进一步考虑多头牛同时吃草的情况。

假设有n头牛，每头牛的吃草速度不同，我们希望知道在t天内，这n头牛最多能吃到多少份草。

2.草地生长速度变化问题在牛吃草问题中，我们假设草地每个单位时间内的生长速度是一定的。

然而，在实际情况下，草地的生长速度可能会受到季节、气候等因素的影响。

如何在这种情况下求解牛吃草问题，是一个更具挑战性的问题。

五、总结牛吃草问题是一个典型的动态规划问题，通过求解这个问题，我们可以掌握动态规划的基本思想和方法。

牛吃草问题(一)“牛吃草”问题又称牛顿问题，是因牛顿提出而得名的。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就容易解决了。

例1：一片草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9 周，那么，这片草地可供21头牛吃几周？分析：这片草地上的草的数量每天都在变化，但是原来的草的数量是不变的。

牛在一段时间内吃的总草量=原有的草的数量+这段时间内新长出的草的数量新长出的草是匀速生长的，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6 周需要吃草(份)，此时新长出的草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃草(份)，此时新长出的草与原有的草也均被吃完。

所以，162份是与的总和，207份是与的总和。

因此每周新长出的草的份数为( 份)，原有的草的数量为(份）或(份)。

这片草地每周新长出的15 份草，可以安排15 头牛专吃新长出来的草，这样相当于没有新的草长出。

于是这片草地可供21 头牛吃(周）。

同样是这片草地，可供24头牛吃几周？例2：一片草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9 周，那么，这片草地可供多少头牛吃12周？同样是这片草地，可供多少头牛吃8周？方法分享：每天长草量=(对应的牛的数量×吃的较多天数一对应的牛的数量×吃的较少天数)÷（吃的较多天数一吃的较少天数）原有草量=(牛的数量一每天长草量)x可吃天数可吃天数=原有草量÷（牛的数量一每天长草量）牛的数量=原有草量÷可吃天数+每天长草量作业：1.一片草地，每天都匀速长出青草，如果这片青草可供24头牛吃6天或可供20头牛吃10天。

那么，可供19头牛吃多少天？2.一片草地，每天都匀速长出青草，如果这片青草可供24头牛吃6天或可供20头牛吃10天。

牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。

典例评析例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。

请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？牧场上长满牧草，每天都匀速生长。

这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。

问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。

解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。

因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。

牛吃草问题公开课课件一、教学内容本节课我们将探讨《牛吃草问题》，该内容属于数学教材第五章第二节，主要涉及一元二次方程的应用。

详细内容包括理解牛吃草问题的背景，掌握建立数学模型的方法，以及学会解决一元二次方程的实际问题。

二、教学目标1. 让学生掌握一元二次方程在牛吃草问题中的应用，培养其解决实际问题的能力。

2. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，使其能够运用数学知识解决生活中的问题。

3. 激发学生学习数学的兴趣，提高其数学素养。

三、教学难点与重点教学难点：一元二次方程在牛吃草问题中的应用，以及数学模型的建立。

教学重点：掌握一元二次方程的解法和实际应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个关于牛吃草的实际情景，引导学生思考如何用数学知识解决问题。

2. 知识讲解（15分钟）详细讲解一元二次方程的解法，以及如何将其应用于牛吃草问题。

3. 例题讲解（10分钟）通过讲解一道关于牛吃草问题的例题，使学生掌握数学模型的建立和解题步骤。

4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道牛吃草问题的练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。

6. 答疑环节（5分钟）针对学生提出的问题，进行解答。

六、板书设计1. 牛吃草问题背景介绍2. 一元二次方程解法3. 数学模型的建立4. 例题及解答5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：已知一片草地上原有的草量为a，每天长出新草的量为b，牛每天吃草的量为c，问：n天后，牛能吃到的草量是多少？2. 答案：草量 = a + (b c) n八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生掌握情况，以及教学中存在的问题。

2. 拓展延伸：引导学生思考更多关于一元二次方程在实际问题中的应用，如人口增长、物体运动等。

重点和难点解析1. 实践情景引入2. 知识讲解与例题讲解3. 小组讨论与答疑环节4. 作业设计一、实践情景引入1. 选择具有趣味性和真实性的情景，使学生产生探究欲望。

趣味数学牛吃草问题(经典优质课件一、教学内容本节课我们将探讨教材第四章“趣味数学”中的牛吃草问题。

这部分内容详细介绍了牛吃草问题的起源、解题思路以及在实际生活中的应用。

具体内容包括：理解牛吃草问题的背景，掌握其数学模型，学会运用数学方法解决类似问题。

二、教学目标1. 理解牛吃草问题的实质，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2. 掌握牛吃草问题的解题方法，提高学生的逻辑思维和数学建模能力。

3. 培养学生合作交流、共同探讨的学习习惯，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学难点与重点教学难点：理解牛吃草问题的数学模型，运用数学方法解决实际问题。

教学重点：掌握牛吃草问题的解题思路，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔、直尺。

学具：练习本、笔、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一组牛吃草的图片，引发学生对牛吃草问题的兴趣，进而导入本节课的内容。

2. 牛吃草问题讲解（10分钟）（1）介绍牛吃草问题的起源，让学生了解其背景。

（2）讲解牛吃草问题的数学模型，引导学生运用数学知识解决问题。

3. 例题讲解（15分钟）以一道经典牛吃草问题为例，详细讲解解题思路和步骤。

例题：有一片草地，每天长出的草量是固定的，一头牛每天吃草量也是固定的。

问：多少头牛可以在一定时间内吃完这片草地？4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道牛吃草问题的练习题，巩固所学知识。

练习题：有一片草地，每天长出的草量是30千克，一头牛每天吃草量是5千克。

问：10天内需要多少头牛才能吃完这片草地？6. 学生展示与讨论（15分钟）让学生分组讨论，共同解决一道更具挑战性的牛吃草问题，并展示解题过程。

7. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，强调牛吃草问题的解题思路和数学建模方法。

六、板书设计1. 牛吃草问题数学模型：草地草量 = 每天长草量× 时间每头牛每天吃草量× 牛的数量2. 解题步骤：（1）确定草地草量、每天长草量、每头牛每天吃草量。