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x0
x0
1
x sin 2
lim
x
x0
x
lim
x0
1
1
sin
不存在
2
x
x
则 f ( x ) 在点 x 0 处不可导
y 3.设
arccos x
1
sin
，则 y ( )
A （
）。
2
2
1
A.
； B.
2
3
1
； C.
； D.
2
2
3
。
2
解y 1 x 2
arccos x 1 cos
2
2
1
1
1
x2
1 x
2
2
x
4.曲线
x 1.当
0 D 时，下列函数中为无穷小的函数是（
）。
1
1
1
x2
A. lg sin x ； B.cos ； C. sin e ； D. 。
x
x
解 A . lim lg sin x
x0
1
C . lim sin 不存在
x0
x
1
B . l i m c o s 不存在
x0
x
1
D . l i me x 2
0
x0
3 x[ f ( x )] 2
x
1 e ，若
f ( x0 ) 0 ，
( x 0 0) 则（ B ）。
A. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值；
B. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值；
C. ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲线 y f ( x ) 的拐点；
D. f ( x 0 ) 不是 f ( x ) 的极值， ( x 0 , f ( x 0 )) 也不是曲线 y
2.设 f ( x )
1 x sin 2 , x
x
0
,x
0 ，则 f ( x ) 在点 x
0
A. 极限不存在； C ．连续，但不可导；
B. 极限存在，但不连续； D. 可导。
1
解 由 lim
x0
x sin 2 x
0
f0
则 f ( x ) 在点 x 0 处连续
0 处（ C ）。
又f 0
f x f0
lim
C. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ； D. f ( x ) 0, f ( x ) 0 。
解 设 x 0,
则x
,0
f -x f x
f -x f x
又 f -x 0
fx
f x0
由 f -x
f x且 f
x0
则f x 0
y 8. 函 数 f ( x ) 对 一 切 x 满 足
xf ( x )
y
t cos t 在t
t sin t
处的切线方程是（
4
B ）。
2 A. y
8
4 (x
4
2 )；
8
2 B. y
8
C. y x ；
D. y
x。
4
2
(x
)；
4
8
dy
dy
dt
sin t t cos t
4
解
dx t
dx
cos t t sin t t
4
4
4
dt t
4
y 则切线方程为
24
42 4
2 x
42
y 5.已知函数
x
0, 解 定义区间为
,
令f x
1
2 ln x
x
ln 2 x
2
x x2
2 ln x ln x
2
] ； C.(
,
) ； D. 以上都不对。
2
5
解y 1
x3 y
3
1
5
2 x
3
33
10 93 x
当x
0, +
y <0 时 ,
,则曲线是凹的
7.若 f ( x ) f ( x ), ( 且 f ( x ) 0 ，则在 (0,
x
) ，在 (
) C 内有（
）。
, 0) 内 f ( x ) 0
A. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ； B. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ；
解 f x0
1 e x0 x0
ex0 1 x0ex0
f ( x ) 的拐点。
当 x0 0 f x 0
0， 当 x0 0 f x0
0
也即 f
x0
0 ，则 x
x 0 不是拐点
又 f x0
三．解答题：
0 ,则 f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
1.求函数 f ( x )
2
ln x
的单调区间与极值。 （ 8 分）
y sin xy 1
dy
dx 。
1 x sin xy
x 解 对方程两边关于
求导 得 :
1 y - sin xy y xy 0
y sin xy 1
ysi n x y 1
y
则 dy
dx
1 x sin xy
1 x s i nxy
y 7. 曲线
e
2x
在点 M
(0,1)
K 处的曲率
45 25
解y x0
2x
2e x0
6
f0
2f
3f
6
6
2
2
则最大值为
3
6
4. 设
x 5( t sin t )
dy
，则
d2y
0,
1
y 5(1 co s t )
dx t 0
dx 2 t 0 2 0
解
dy
dx
t0
dy
dt
5 s in t 0
dx
5 1 cos t
t0
dt t 0
d2y
2 t0
dx
dy d
dx
dx
dy d
dx
dt dx
dt
t0
e2x
cos x ，则 y ( 40 )
A （
）。
40
2x
40
2x
A. 2 e
cos x ； B. 2 e
sin x ；
e2x
C.
cos x ；
e2x
D.
sin x 。
n 2x
解e
n
2x
2e
n
cos x
n cos x
2
A 则即得结果 y 6.曲线 x
5
x B 3
的凹区间是（
）。
A. ( , 0) ； B. [0,
2x
2y
4e
4
x0
x0
y
则k
3
22
1y
4
45
3 22
25
1
2
8.函数 f ( x )
xe x 在 x 0
1 处的二阶泰勒公式为 f ( x )
e 2e x 1
3e
2
x1
2
3
e
6
3
x1
n
解由f
x
n
x ex ,代入泰勒公式即得
二．选择题： （每小题 4 分，共 32 分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答 案对应的选项的字母填入题后括号里）
2 , 则 lim
f (3
h0
h ) f (3) 2h
1。
解 已知
f3
f (3)
f (3 h)
lim
2
h0
h源自文库
则 lim
f (3
h0
h) 2h
f (3)
1
f (3)
f (3 h )
lim
2h 0
h
1
f
3
2
1
2
1
2
3.函数 f ( x )
x
2 cos
x
在
[0
,
上的最大值为
]
3
2
6
解令 f
x
1 2 sin x 0 得 x
cos t 1 1
co s t co s t
2
s in t
2
t0
1
5 1 co s t
20
5. 设 y
x1 x( x
0 ) ，则 y
t0
xx 1 x
x ln x
解 两边取对数有 ln y
1 x ln x
x 两边关于
求导得 y
y
ln x
1
x , 整理后即得结果
x
y 6. 设 函 数 y( x ) 由 方 程 x y cos( xy ) 0 确 定 ， 则
高等数学（上）期中测试题
一 填空题：（每小题 4 分，共 32 分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）
1.设
f (x)
(1
1
x)x ,x
在(
0
,
) a 上处处连续，则
xa,x
0
1
解 lim 1 x x
lim
1
x0
x0
1 1
x
x
e1
--- 。
lim x a
x0
-1
a e a ,有连续性有
2. 已 知 f ( 3 )
